TI20G - Ujang Ahmad Khoirudin - 1112 Makalah Hukum Dasar Probabilitas [PDF]

Citation preview

APLIKASI HUKUM DASAR PROBABILITAS PADA KEHIDUPAN SEHARI HARI Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas Individu pada mata kuliah “Teori Probabilitas” Dosen Pengampu : Yuni Syifau Rohmah M.Pd



Nama



:



Ujang Ahmad Khoirudin



NIM



:



20416226201112



Kelas



:



TI20G



PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK DAN ILMU KOMPUTER UNIVERSITAS BUANA PERJUANGAN KARAWANG 2020/2021



KATA PENGANTAR Puji dan syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, atas rahmat-Nya Kami dapat menyelesaikan makalah tentang Hukum dasar Probabilitas yang dibutuhkan sebagai syarat Tugas pada mata kuliah Teori Probabilitas Pada kesempatan ini , Penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada pihak-pihak yang terlibat dalam proses pembuatan makalah ini yaitu : 1. Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan kesehatan kepada kami untuk menyelesaikan makalah ini. 2. Kepada Ibu Yuni Syifau Rohmah M.Pd selaku dosen mata kuliah Mata kuliah Teori Probabilitas. 3. Kepada seluruh teman – teman yang sudah berkontribusi dalam memberikan saran dan support kepada penulis. Penulis berharap makalah ini dapat memberikan pengetahuan yang lebih tentang Hukum Dasar Probabilitas. Penulis menyadari bahwa masih banyaknya kekurangan dari makalah ini, oleh karena nya. kritik dan saran yang membangun sangat penulis harapkan dari seluruh pembaca untuk menjadikan makalah ini menjadi lebih baik.



Karawang,



Oktober 2021



Penulis



i



DAFTAR ISI



KATA PENGANTAR............................................................................................................................i DAFTAR ISI.........................................................................................................................................ii BAB I PENDAHULUAN......................................................................................................................1 1.1 Latar Belakang.............................................................................................................................1 1.2 Rumusan Masalah........................................................................................................................1 BAB II PEMBAHASAN.......................................................................................................................2 2.1 Aturan Hukum Penjumlahan........................................................................................................2 2.2 Peluang Bersyarat........................................................................................................................2 2.3 Aturan Perkalian..........................................................................................................................2 2.4 Aturan Teorema Bayes................................................................................................................2 BAB III PENUTUP...............................................................................................................................3 3.1 Kesimpulan..................................................................................................................................3 DAFTAR PUSTAKA............................................................................................................................4



ii



BAB I PENDAHULUAN



1.1 Latar Belakang Dalam mempelajari Teori probabilitas kita dituntun untuk mengetahui Hukum hokum dasar dari probabilitas yang akan berguna di saat kita berhadapan dengan beberapa pilihan yang harus kita tentukan untuk memilih atau mengambil keputusan. Seperti misalkan saja pada saat kita ingin bepergian, kita melihat langit terlihat mendung. Dalam keadaaanini kita dihadapkan antara 2 permasalahan, yaitu kemungkinan terjadinya hujan sertakemungkinan langit hanya mendung saja dan tidak akan turunnya hujan. Statistic yang membantu permasalahan dalam hal ini adalah probabilitas. Probabilitas dapat didefinisikan sebagai peluang atau kemungkinan dari suatu kejadian, ukuran suatu kemungkinan atau derajat ketidakpastian dari suatu peristiwa yang akan terjadi di masa mendatang. Rentangan kemungkinan atau probabilitas antara 0 sampai dengan 1, jika kita mengatakan probabilitas dari sebuah kejadian adalah 0, maka peristiwa tersebut tidak mungkin terjadi. Dan sebaliknya jika kita mengatakan bahwa probabilitas nya 1 maka kemungkinan terjadi nya peristiwa tersebut adalah pasti. Dalam mempelajari Teori probabilitas kita harus memahami hukum dasar dari Probabilitas. Olehkarena nya penulis ingin mendalami dan menerangkan hukum dasar probabilitas melalui penulisan makalah ini.



1.2 Rumusan Masalah Adapun Rumusan masalah yang akan di urai pada makalah ini adalah sebagai berikut : 1. Aturan Hukum Penjumlahan 2. Peluang Bersyarat 3. Aturan Perkalian 4. Aturan Teorema Bayes



1



BAB II PEMBAHASAN



2.1 Aturan Hukum Penjumlahan Aturan Hukum Penjumlahan untuk menerapkan nya peristiwa peristiwa harus bersifat saling lepas (mutually exclusive). Saling lepas adalah bila satu peristiwa terjadi maka tidak ada peristiwa lain dapat terjadi pada saat yang sama. Sebagai contoh, jika dadu yang dilemparkan menampak kan sisi angka 2 berada di atas, maka tidak ada sisi angka lain dapat berada di posisi atas pada saat yang bersamaan. contoh lainnya sebuah sepedah yang berjalan maju tidak mungkin berjalan mundur pada saat yang sama Jika kejadian A dan B saling lepas, Hukum Khusus penjumlahan menyatakan bahwa Probabilitas satu peristiwa atau peristiwa lain terjadi sama dengan penjumlahan probabilitas masing masing peristiwa. Hukum ini dinyatakan dalam rumus berikut : P ( A atau B )=P ( A ) + P( B) Untuk tiga peristiwa saling lepas dinyatakan sebagai A,B dan C dan rumus tersebut dinyatakan sebagai berikut



P ( A atau B atau C )=P ( A ) + P ( B ) + P(C) Sebagai contoh, Sebuah mesin Shaw mengisi kantung plastic dengan campuran kacang panjang, brokoli, dan sayur lainnya. Hamper seluruh kantung plastic mempunyai berat yang tepat. Tetapi karena terdapat sedikit perbedaan ukuran kacang panjang dan sayur lainnya, sebuah kantung plastic mungkin menjadi sedikit lenih ringan atau lebih berat. Pegujian terhadap 4000 kantung plastic pada masa lalu menunjukan informasi sebagai berikut :



Berat Lebih ringan Tepat Lebih Bera



Peristiwa A B C



Jumlah Kantung 100 3600 300 4000



2



Probabilitas Terjadi 0.025 0.900 0.075 1000



1000 4000



Berapa probabilitas Sebuah kantung akan memiliki kriteria lebih ringan atau lebih berat?



3



Penyelesaian : Jika Hasil “Lebih ringan” adalah peristiwa A. Hasil “Lebih Berta” adalah peristiwa C. Dengan menggunakan Rumus Khusus penjumlahan maka : P(A atau C)



= P(A) + P(C) = 0.025 + 0.075



(1.4)



= 0.10 Bila di perhatikan dengan seksama Peristiwa-peristiwa tersebut adalah saling lepas, Artinya kantung yang berisi campuran sayuran tidak dapat lebih ringan, tepat, dan lebih berat pada waktu yang sama, Demikian pula halnya jika P(A atau B atau C) = 1000



2.2 Peluang/Probabilitas Bersyarat Probabilitas Bersyarat yang sering dijumpai dalam kehidupan sehari hari dimna sebagian informasi telah diketahui dan kita ingin menentukan probabilitasnya berdasarkan kejadian tersebut. Probabilitas bersyarat suatu kejadian E, bila diketahui kejadian F telah terjadi, ditulis dengan P(E/F) dan dibrikan oleh : P



E P ( EF ) = F P(F)



( )



(1.5)



Dengan pengandaian P(F) > 0. Dari definisi diatas bisa kita lihat terdapat tiga catatan penting menurut urutan nya yang pertama, jika P(F)=0 maka P(EF) juga 0 dan ruas kana persamaan diatas menjadi 0/0, suaru besaran yang nilainya tidak terdefinisikan, secara praktis, jika P(F)=0, kejadian F tidak pernah terjadi dan kita tidak ingin membahas P(E/F). kedua, harus diingat bahwa E/F tidak berakibat bahwa E terjadi setelah kejadian F terjadi. Akibatnya, tidak ada urutan kronologis dari kejadian tersebut. Probabilitas E , bila kejadian F terjadi di masa mendatang, juga diberikan oleh Persamaan diatas. Ketiga, Persamaan diatas dapat ditulis sebagai berikut : P ( EF )=P



( EF ) P ( F )



Persamaas diatas valid jika P(F) = 0 Sebagai contoh, Permainan kartu terdiri atas 52 kartu yang dibagi atas empat kelompok:Spades, Clubs, Diamonds dan Hearts. Spades dan Clubs adalah berwarna hitam, Diamond dan Hearts berwarna merah. Pertanyaan: Andaikan dua kartu diambil secara random satu persatu tanpa menempatkan kembali. Jika kedua kartu yang terambil warnanya hitam maka hitung probabilitas paling sedikit satu di antaranya adalah Spades. Jawab:



4



Misal E adalah event kedua kartu hitam, dan ambil E1 adalah kejadian kartu ke-I adalah Spade. Ingin dihitung ( E1 ∪ E2 / E) . Diperoleh: P ( E )=



26 25 . 52 51



P ( E1 E 2 )=



13 25 . =P ( E 2 E1 ) 52 51



P ( E 1 E 2 E )=



13 12 . 52 51



Karena itu :



P(E1 ∪ E2 / E) = P( E1 / E ¿+ P( E 2 /E)−P ( E1 E 2 /E) =



P ( E¿¿ 1 E) P( E¿¿ 2 E) P( E1 E2 E) + − ¿¿ P ( E) P ( E) P ( E)



13.25 13.25 13.12 = 26.25 + 26.25 − 26.25 = 0.75



2.3 Aturan Perkalian Secara umum dirumuskan sebagai berikut: “Jika suatu prosedur dapat dipecah menjadi dua tahap dan jika tahap pertama menghasilkan 𝑚 keluaran yang mungkin dan masing-masing keluaran dilanjutkan ke tahap kedua dengan 𝑛 keluaran yang mungkin, maka prosedur tersebut akan menghasilkan 𝑚 × 𝑛 keluaran yang mungkin”. Kaidah perkalian sebagaimana dikemukakan di atas dapat pula dipahami sebagai kaidah pengisian tempat yang tersedia yang diilustrasikan sebagai berikut. Berapa banyak password (kata kunci) dengan panjang 5 angka yang dapat dibentuk dari angka-angka 1, 2, 3, 4,dan 5 jika tidak boleh ada angka berulang. Beberapa Contoh password itu adalah 12345, 23415, 54231, dan seterusnya. Perhatikan bahwa 22341, 1234, atau 522341 bukan contoh password dimaksud. Mengapa? Untuk dapat menentukan banyaknya cara dimaksud, dapat dilakukan secara sistematis sebagai berikut. Kita sediakan 5 tempat yang dapat ditempati 5 angka yang disediakan. Tempat Banyak Cara



1 5



2 4



3 3



1) Tempat pertama dapat diisi dengan 5 cara, yakni angka 1, 2, 3, 4, 5 5



4 2



5



2) Tempat kedua dapat diisi dengan 4 cara 3) Demikian seterusnya hingga tempat kelima dapat diisi dengan1 cara 4) Dengan demikian, total banyaknya cara adalah ... cara Ketika kita menghitung banyaknya cara menyusun password di atas, kita telah menggunakan kaidah pengisian yang tersedia, yang secara umum dijelaskan sebagai berikut : 1) Banyaknya cara mengisi tempat pertama 2) Banyaknya cara mengisi tempat kedua setelah tempat pertama terisi 3) Banyaknyacara mengisi tempat ke-𝑘 setelah (𝑘 − 1) tempat sebelumnya terisi. Contoh : Berapa banyak bit string dengan panjang 8 bit yang bisa dimulai dengan “1” atau berakhir dengan “00”? 1) Pekerjaan 1 Bentuk suatu string dengan panjang 8 yang dimulai dari 1. 1. Ada satu cara untuk mengambil bit pertama (1), 2. Ada dua cara untuk mengambil bit kedua (0 atau 1), 3. Ada dua cara untuk mengambil bit ketiga (0 atau 1), 4. ... 5. Ada dua cara untuk mengambil bit kedelapan (0 atau 1) Maka berdasaran aturan perkalian, pekerjaan 1 dapat dilakukan dengan 1 × 27 = 128 cara. 2) Pekerjaan 2 Bentuk suatu string dengan panjang 8 yang berakhir dengan 00. 1. Ada dua cara untuk mengambil bit pertama (0 atau1), 2. Ada dua cara untuk mengambil bit kedua (0 atau1), 3. ... 4. Ada dua cara untuk mengambil bit keenam (0 atau1), 5. Ada satu cara untuk mengambil bit ketujuh (0), 6. Ada satu cara untuk mengambil bit kedelapan (0). Maka berdasarkan aturan perkalian, pekerjaan 2 dapat dilakukan dengan 26 × 1 × 1 = 64 cara. Karena ada 128 cara untuk melakukan pekerjaan 1 dan 64 cara untuk melakukan pekerjaan 2, apakah ini berarti ada 192 buah bit string 8 bit yang berawalan dengan 1 dan berakhir dengan 6



00? Pekerjaan 1 dan pekerjaan 2 dapat dilakukan pada waktu yang sama, dimana ketika kita melakukan pekerjaan 1 dan membuat string yang diawali dengan 1, beberapa dari string ini berakhiran 00. Karena kadangkala kita bisa melakukan pekerjaan 1 dan 2 pada saat bersamaan, maka aturan penjumlahan tidak berlaku. Jika ingin menggunakan aturan penjumlahan dalam kasus ini, maka harus mengurangkan kasus-kasus dimana pekerjaan 1 dan 2 dilakukan secara bersamaan dari total kemungkinan. Ada berapa banyak kasus yang demikian, yaitu berapa banyak string yangberawalan dengan 1 dan berakhiran dengan 00? 1. Ada satu cara untuk mengambil bit pertama (1), 2. Ada dua cara untuk mengambil bit kedua ( 0 atau 1), 3. ... 4. Ada dua cara untuk mengambil bit keenam (0 atau 1), 5. Ada satu cara untuk mengambil bit ketujuh (0), 6. Ada satu cara untuk mengambil bit kedelapan (0). Berdasarkan aturan perkalian, maka 25 = 32 buah kasus, dimana pekerjaan 1 dan 2 dapat dikerjakan bersama. Karena terdapat 128 cara untuk melakukan pekerjaan 1 dan 64 cara untuk melakukan pekerjaan 2, dan 32 diantara kedua pekerjaan tersebut dilakukan pada saat yang bersamaan, maka sebenarnya adalah pada 128 + 64 − 32 = 160 cara untuk melakukan pekerjaan 1 dan pekerjaan 2 (tak bersamaan). Di dalam teori himpunan 𝐴1 dan 𝐴2 yang tidak beririsan. Maka kita memiliki prinsip inklusi-eksklusi. Teori peluang berkaitan dengan perhitungan peluang atau kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Suatu kejadian yang merupakan bagian dari suatu kejadian yang lebih besar disebut ruang sampel. Untuk memperoleh penghitungan yang benar tentang suatu peluang kejadian, maka perlu diketahui seberapa banyak kejadian itu dapat terjadi dan seberapa banyak ruang sampelnya dapat terjadi. Oleh sebab itu, sebelum kita membicarakan tentang peluang, kita perlu mengetahui cara menghitung atau mencacah banyak terjadinya suatu kejadian atau banyak anggota suatu kejadian. Banyak anggota kejadiankejadian sederhana dapat dengan mudah kita cacah dengan mendaftar atau mendata terlebih dahulu seluruh anggota dari ruang sampelnya.



2.4 Aturan Teorema Bayes Dalam teori probabilitas dan statistika, Pengertian Teorema Bayes adalah teorema yang digunakan untuk menghitung peluang dalam suatu hipotesis, Teorema bayes dikenalkan oleh ilmuan yang bernama Bayes yang ingin memastikan keberadaan Tuhan dengan mencari 7



fakta di dunia yang menunjukan keberadaan Tuhan. Bayes mencari fakta keberadaan tuhan didunia kemudian mengubahnya dengan nilai Probabilitas yang akan dibandingkan dengan nilai Probabilitas. Teorema ini juga merupakan dasar dari statistika Bayes yang memiliki penerapan dalam ilmu ekonomi mikro, sains, teori permain, hukum dan kedokteran. Teorema Bayes akhirnya dikembangkan dengan berbagai ilmu termasuk untuk penyelesaian masalah sistem pakar dengan menetukan nilai probabilitas dari hipotesa pakar dan nilai evidence yang didapatkan fakta yang didapat dari objek yang diagnosa. Teorama Bayes ini membutuhkan biaya komputasi yang mahal karena kebutuhan untuk menghitung nilai probabilitas untuk tiap nilai dari perkalian kartesius. penerapan Teorema Bayes untuk mencari penerapan dinamakan inferens Bayes Thomas Bayes, menggambarkan hubungan antara peluang bersyarat dari dua kejadian A dan B sebagai berikut:



P( A∨B)=



P(B ∩ A) P( B∨ A) xP( A) = P(B) P(B∨A )P ( A ) + P ( B ⋮ A ) P( Ā)



Contoh: Di sebuah negara, diketahui bahwa 2% dari penduduknya menderita sebuah penyakit langka. 97% dari hasil tes klinik adalah positif bahwa seseorang menderita penyakit itu. Ketika seseorang yang tidak menderita penyakit itu dites dengan tes yang sama, 9% dari hasil tes memberikan hasil positif yang salah.Jika sembarang orang dari negara itu mengambil test dan mendapat hasil positif, berapakah peluang bahwa dia benar-benar menderita penyakit langka itu? Jawab: Diketahui: P (A) = 2% P (Ā) = 98% P (B | A) = 97% P



(B



|



Ā)



P (B ∩ A) = P (A) × P (B | A) = 2% × 97% = 0,0194 P (B ∩ Ā) = P ( Ā) × P (B | Ā) = 98% × 9% = 0,0882 P (Ƀ ∩ A) = P (A) × P (Ƀ | A) = 2% × 3% = 0,0006 8



=



9%



P(Ƀ ∩Ā ) = P (Ā) × P (Ƀ | Ā) = 98% × 91% = 0,8918 Jawab :



P(A | B) = P(B ∩ A) / P(B)



=



=



´ B∨A ) xP( A) P( P (B∨ A)P( A)+ P(B∨A )P( Ā)



97 % x 2 % (97 %x2 %)+(9 %x98 % )



= 0.0194 / 0.0194 + 0.0882 = 0.0194 / 0.1076 P(A | B)



= 0.1803



9



BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan



DAFTAR PUSTAKA Buku : Teknik Statistika Untuk Bisnis Dan Ekonomi, https://www.google.co.id/books/edition/Teknik_Statistika_untuk_Bisnis_Ekonomi_e/eCWP BpRGP9YC? hl=en&gbpv=1&dq=Hukum+dasar+Probabilitas&pg=PA191&printsec=frontcover Drs. Haryono, M.Sc. Probabilitas. https://www.pustaka.ut.ac.id/lib/wp-content/uploads/pdfmk/SATS4322-M1.pdf Statistik Induktif : Teori dan Aplikasi http://repository.upi-yai.ac.id/1663/1/ST%26Bahan%20Ajar%20STATISTIKA%20II %20BKD%20Ge%202015-16_ok.pdf Buku Probabilitas 10



Risma Uly, S.Kom., MMSI 2019 http://repository.uki.ac.id/1304/1/Buku%20Probalitas.pdf



11