TR PERTEMUAN 9 - Cyonita Evi Debora - 4202411014 - PSPM 20 A [PDF]

Citation preview

Tugas Rutin Pertemuan 9 Nama



: Cyonita Evi Debora



NIM



: 4202411014



Kelas



: PSPM 2020 A



Mata Kuliah



: Teori Peluang



Dosen Pengampu



: Prof. Dr. Pargaulan Siagian, M.Pd.



1. Pemahaman uraian di atas akan diperjelas pada contoh yang berikut ini: 𝑘𝑥 ; untuk 0 ≤ 𝑥 < 1 𝑘 ; untuk 1 ≤ 𝑥 < 2 g(x) = {−𝑘𝑥 + 3𝑘 ; untuk 2 ≤ x < 3 0; untuk 𝑥 yang lainnya a. Hitunglah nilai k. b. Gambarkanlah grafik dari g(x). Jawab : ∞



a. ∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1 0



1



3



2



∞



∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 1 −∞



0



0



1



1



2



2 3



3 ∞



∫ 0 𝑑𝑥 + ∫ 𝑘𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑘 𝑑𝑥 + ∫ −𝑘𝑥 + 3𝑘 𝑑𝑥 + ∫ 0 𝑑𝑥 = 1 −∞



0



1



2



1



3 2



𝑘𝑥 2 −𝑘𝑥 2 2 0+ ] + 𝑘𝑥]1 + ( + 3𝑘𝑥)] + 0 = 1 2 0 2 3 1 5 𝑘 + 𝑘 − 𝑘 + 3𝑘 = 1 2 2 2𝑘 = 1 𝑘=



1 2 𝟏



Jadi, nilai k adalah 𝟐 Jadi, fungsi densitas dari bentuk X :



1 2 1



x; untuk 0 ≤ 𝑥 < 1



2 1



g(x) =



; untuk 1 ≤ 𝑥 < 2 3



− 2 + 2 ; untuk 2 ≤ x < 3 { 0; untuk 𝑥 yang lainnya b. Gambar grafik dari fungsi g(x)



2. Formula fungsi distribusi variabel random X adalah: 0; untuk 𝑥 < 0 𝑥 2 ; untuk 0 ≤ 𝑥 < 1 2 1



F(x) =



1 2



{



(𝑥 − 2)2 ; untuk 1 ≤ x ≤ 2 1; untuk 𝑥 > 2



Tentukanlah fungsi kerapatan probablitas dengan mendeferensialkan F(x), dan hitunglah 1



𝐹 (2) , 𝐹(2), dan 𝐹 (3) Jawab : Kerapatan probabilitas dicari dengan mendeferensialkan F(x). •



Untuk 𝑥 < 0, F(x) = 0, 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) =



•



𝑑𝑥



𝑑𝑥



=0 1



Untuk 0  x  , 𝐹(𝑥) = 2 𝑥 2 , 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) =



•



𝑑𝐹(𝑥)



𝑑𝐹(𝑥)



𝑑𝐹(𝑥) 𝑑𝑥



=



1 2



𝑑 𝑥2 𝑑𝑥



𝑑𝐹(𝑥) 𝑑𝑥



=𝑥



1



Untuk 1  x ≤ , 𝐹(𝑥) = 2 (𝑥 − 2)2 + 1 , 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) =



𝑑𝐹(𝑥) 𝑑𝑥



=



1 2



𝑑 (𝑥−2)2 +1 𝑑𝑥



=𝑥−2



𝑑𝐹(𝑥) 𝑑𝑥



•



Untuk x  , 𝐹(𝑥) = 1 , 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) =



𝑑𝐹(𝑥) 𝑑𝑥



𝑑𝐹(𝑥) 𝑑𝑥



𝑑1



= 𝑑𝑥 = 0



Jadi, fungsi densitasnya adalah 0; untuk 𝑥 < 0 x; untuk 0 ≤ 𝑥 < 1 f(x) = { − ; 2 x untuk 1 ≤ x ≤ 2 0; untuk 𝑥 > 2 Maka nilai dari : 1



1



𝐹 (2) = 2 𝑥 2 = 𝐹(2) =



1 2



1 1 1 ( ) (2) 2 2



1



1



= 8 , karena 𝐹(𝑥) = 2 𝑥 2 , untuk 0  x  



1



1



(𝑥 − 2)2 = 2 (2−2)2 = 0, karena 𝐹(𝑥) = 2 (𝑥 − 2)2, untuk 1  x  



𝐹(3) = 1, karena 𝐹(𝑥) = 1, untuk x  



−2𝑥  Bila fungsi densiti (kerapatan) adalah f(x) ={2𝑒 , untuk 𝑥 ≥ 0 0, untuk 𝑥 yang lain



Tentukanlah fungsi distribusi F(x), dan hitunglah F(0), F(1), F(2), dan F(7). Jawab : •



Untuk x < , 𝑓(𝑥) = 0 𝑥



𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∫ 0 𝑑𝑡 = 0 −∞ 𝑥



𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥 < 0) = ∫ 0 𝑑𝑡 = 0 −∞



•



Untuk x ≥ , 𝑓(𝑥) = 2𝑒 −2𝑥 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥 < 0) + 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥) 𝑥 −2𝑡 = 0 + ∫0 2𝑒 𝑑𝑡 1



= 2(− 2 𝑒 −2𝑡 )] = −𝑒 −2𝑡 ]0𝑥 = −𝑒 −2𝑥 + 1 = 1 − 𝑒 −2𝑥



𝑥 0



Penyajian untuk F(x) adalah F(x) ={



1 − 𝑒 −2𝑥 , untuk 𝑥 ≥ 0 0, untuk 𝑥 yang lain



Maka nilai dari : 1



𝐹(0) = 1 − 𝑒



−2𝑥



= 1 − (2,7183)0 = 0, karena 𝐹(𝑥) = 1 − 𝑒 −2𝑥 , untuk x ≥ 0



𝐹(1) = 1 − 𝑒



−2𝑥



= 1 − (2,7183)2 = 0,8647; karena 𝐹(𝑥) = 1 − 𝑒 −2𝑥 , untuk 𝑥 ≥ 0



𝐹(2) = 1 − 𝑒



−2𝑥



= 1 − (2,7183)4 = 0,9817; karena 𝐹(𝑥) = 1 − 𝑒 −2𝑥 , untuk x ≥ 0



𝐹(7) = 1 − 𝑒



−2𝑥



= 1 − (2,7183)14 = 0,9999; karena 𝐹(𝑥) = 1 − 𝑒 −2𝑥 , untuk x ≥ 0



1



1



1



 Misalnya fungsi distribusi dari perubah acak x berbentuk : 0, untuk 𝑥 ≤ 0 F(x) = {𝑥 , untuk 0 < 𝑥 ≤ 1 1, untuk 𝑥 > 1 2



Tentukan fungsi densitasnya. Jawab : Kerapatan probabilitas dicari dengan mendeferensialkan F(x). •



Untuk 𝑥 ≤ 0, F(x) = 0, 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) =



•



𝑑𝑥



𝑑𝑥



=0



Untuk 0  x ≤ , 𝐹(𝑥) = 𝑥 2 , 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) =



•



𝑑𝐹(𝑥)



𝑑𝐹(𝑥)



𝑑𝐹(𝑥) 𝑑𝑥



=



𝑑𝑥 2 𝑑𝑥



= 2𝑥



Untuk x  , 𝐹(𝑥) = 1 , 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) =



𝑑𝐹(𝑥) 𝑑𝑥



𝑑1



= 𝑑𝑥 = 0



Jadi, fungsi densitasnya adalah 0, untuk 𝑥 ≤ 0 2𝑥 f(x) = { , untuk 0 < 𝑥 ≤ 1 0, untuk 𝑥 > 1



𝑑𝐹(𝑥)



𝑑𝐹(𝑥) 𝑑𝑥



𝑑𝑥



0, untuk 𝑥 < 0 2 3 5. Buatlah grafik fungsi distribusi kumulatif : F(x) = {4 𝑥 − 4 𝑥 , untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 1, untuk 𝑥 > 2 3



1



Jawab :



1



1



 Tentukanlah 𝐹 ( ) , 𝐹 (− ) , dan 𝐹(2), bila f(x) ={ 2 2



1 − 𝑒 −𝑥 , untuk 𝑥 > 0 0, untuk 𝑥 yang lain



Jawab : •



Untuk x ≤ , 𝑓(𝑥) = 0 𝑥



𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥 ≤ 0) = ∫ 0 𝑑𝑡 = 0 −∞



•



Untuk x > , 𝑓(𝑥) = 1 − 𝑒 −𝑥 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥 ≤ 0) + 𝑃(0 < 𝑋 < 𝑥) 𝑥 −𝑡 = 0 + ∫0 1 − 𝑒 𝑑𝑡 1



= (𝑥 + 𝑒 𝑡 )]



𝑥 0



1



1



= (𝑥 + 𝑒 𝑥 ) − (0 + 𝑒 0 ) 1



= 𝑥 + 𝑒𝑥 − 1 =



𝑥𝑒 𝑥 + 1 − 𝑒 𝑥 𝑒𝑥 𝑥𝑒 𝑥 +1−𝑒 𝑥



Penyajian untuk F(x) adalah F(x) ={



𝑒𝑥



, untuk 𝑥 > 0



0, untuk 𝑥 yang lain



Maka nilai dari : 1



𝐹 (2) =



1/2𝑒 1/2 +1−𝑒 1/2 𝑒 1/2



= 0,1065; karena 𝐹(𝑥) = 𝑥𝑒



𝑥 +1−𝑒 𝑥



𝑒𝑥



, untuk 𝑥 > 0



1



𝐹 (− 2) = 0; karena 𝐹(𝑥) = 0 untuk x ≤ 0 2𝑒 2 +1−𝑒 2



𝐹(2) =



= 1,1353; karena 𝐹(𝑥) = 𝑥𝑒



𝑒2



𝑥 +1−𝑒 𝑥



𝑒𝑥



, untuk x > 0



 Tentukanlah F(x), dan F(10) , bila 10



f(x) ={



𝑥2



, untuk 𝑥 > 10



0, untuk 𝑥 yang lain



Jawab : •



Untuk x ≤ , 𝑓(𝑥) = 0 𝑥



𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥 ≤ 10) = ∫ 0 𝑑𝑡 = 0 −∞



•



10



Untuk x > , 𝑓(𝑥) = 𝑥 2



𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥 ≤ 10) + 𝑃(0 < 𝑋 < 𝑥) 𝑥 10



= 0 + ∫10 𝑡 2 𝑑𝑡 =



−10 𝑥



=( = =



]



𝑡



10



−10 𝑥



−10 𝑥



−10



) − ( 10 )



+1



𝑥 − 10 𝑥 𝑥−10



Penyajian untuk F(x) adalah F(x) ={



𝑥



, untuk 𝑥 > 10



0, untuk 𝑥 yang lain



Maka nilai dari : 𝐹(10) = 0; karena 𝐹(𝑥) = 0, untuk 𝑥 ≤ 10



8. f(x) kerapatan probabilitas variabel random kontinu X. Tentukan F(x) dan F(a), F(b), serta F(c) jika ; 1



𝑥, untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 a. f(x) ={2 0, untuk 𝑥 yang lain 1 , 2 Jawab : 𝑎=



•



𝑏 = 2,



𝑐=3



Untuk x < , 𝑓(𝑥) = 0 𝑥



𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥 ≤ 0) = ∫ 0 𝑑𝑡 = 0 −∞



•



1



Untuk 0 ≤ x ≤ , 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥 < 0) + 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥) 𝑥1



= 0 + ∫0 2 𝑡 𝑑𝑡 1



= 4 𝑡2]



𝑥 0



1



1



= (4 𝑥 2 ) − 0 = 4 𝑥 2 •



Untuk x > , 𝑓(𝑥) = 0 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥 < 0) + 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 2) + 𝑃(2 < 𝑋 < 𝑥) 21



𝑥



= 0 + ∫0 2 𝑡 𝑑𝑡 + ∫2 0 𝑑𝑡 1



= 4 𝑡2]



2 0



1



4



= (4 (2)2 ) − 0 = 4 = 1 0, untuk 𝑥 < 0 1 Penyajian untuk F(x) adalah F(x) ={4 𝑥 2 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 1, untuk 𝑥 > 2 Maka nilai dari : 1



1 𝐹 (2) = 𝑥 2 = 4



1 1



1



1



1



( ) (2) = 16 ; karena 𝐹(𝑥) = 4 𝑥 2 , untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 4 2



1 1 1 𝐹(2) = 𝑥 2 = (2)(2) = 1; karena 𝐹(𝑥) = 𝑥 2 , untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 4 4 4 𝐹(3) = 1 = ; karena 𝐹(𝑥) = 1, untuk 𝑥 > 2



b. f(x) ={



2𝑒 −2𝑥 , untuk 𝑥 ≥ 0 0, untuk 𝑥 yang lain



𝑎 = 0,



𝑏 = 1,



𝑐=2



Jawab : •



Untuk x < , 𝑓(𝑥) = 0 𝑥



𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥 < 0) = ∫ 0 𝑑𝑡 = 0 −∞



•



Untuk x ≥ , 𝑓(𝑥) = 2𝑒 −2𝑥 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥 < 0) + 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥) 𝑥 −2𝑡 = 0 + ∫0 2𝑒 𝑑𝑡 1



𝑥



= 2(− 2 𝑒 −2𝑡 )] = −𝑒 −2𝑡 ]0𝑥 0



= −𝑒 −2𝑥 + 1 = 1 − 𝑒 −2𝑥 Penyajian untuk F(x) adalah F(x) ={



1 − 𝑒 −2𝑥 , untuk 𝑥 ≥ 0 0, untuk 𝑥 yang lain



Maka nilai dari : 1



𝐹(0) = 1 − 𝑒



−2𝑥



= 1 − (2,7183)0 = 0, karena 𝐹(𝑥) = 1 − 𝑒 −2𝑥 , untuk x ≥ 0



𝐹(1) = 1 − 𝑒



−2𝑥



= 1 − (2,7183)2 = 0,8647; karena 𝐹(𝑥) = 1 − 𝑒 −2𝑥 , untuk 𝑥 ≥ 0



−2𝑥



= 1 − (2,7183)4 = 0,9817; karena 𝐹(𝑥) = 1 − 𝑒 −2𝑥 , untuk x ≥ 0



𝐹(2) = 1 − 𝑒



1



1



1



, untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 8 c. f(x) ={ 8 0, untuk 𝑥 yang lain 𝑎 = −2,



𝑏 = 4,



𝑐=9



Jawab : •



Untuk x < , 𝑓(𝑥) = 0 𝑥



𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥 ≤ 0) = ∫ 0 𝑑𝑡 = 0 −∞



•



1



Untuk 0 ≤ x ≤ , 𝑓(𝑥) = 8 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥 < 0) + 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥) 𝑥1



= 0 + ∫0 1



= 8 𝑡]



8



𝑑𝑡



𝑥 0



1



1



= (8 𝑥) − 0 = 8 𝑥 •



Untuk x > , 𝑓(𝑥) = 0 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥 < 0) + 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 8) + 𝑃(8 < 𝑋 < 𝑥) 81



= 0 + ∫0 1



= 8 𝑡]



8



𝑥



𝑑𝑡 + ∫8 0 𝑑𝑡



8 0



1



8



= (8 (8)) − 0 = 8 = 1 0, untuk 𝑥 < 0 1 Penyajian untuk F(x) adalah F(x) ={ 8 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 8 1, untuk 𝑥 > 8 Maka nilai dari : 𝐹(−2) = 0; karena 𝐹(𝑥) = 0, untuk 𝑥 < 0 1 1 1 1 𝐹(4) = 𝑥 = (4) = ; karena 𝐹(𝑥) = 𝑥, untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 8 8 8 2 8 𝐹(9) = 1 = ; karena 𝐹(𝑥) = 1, untuk 𝑥 > 8



6



d. f(x) ={



𝑥2



, untuk 𝑥 > 0



0, untuk 𝑥 yang lain



𝑎 = 0,



𝑏 = 4,



𝑐=7



Jawab : •



Untuk x ≤ 0, 𝑓(𝑥) = 0 𝑥



𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥 < 0) = ∫ 0 𝑑𝑡 = 0 −∞



•



6



Untuk x > , 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥 ≤ 0) + 𝑃(0 < 𝑋 < 𝑥) 𝑥 6



= 0 + ∫0



𝑡2



𝑑𝑡



6 𝑥



= − 𝑡] −6



0 −10



=(𝑥)−(



0



6



) = −𝑥



6



Penyajian untuk F(x) adalah F(x) ={



− 𝑥 , untuk 𝑥 > 0 0, untuk 𝑥 yang lain



Maka nilai dari : 𝐹(0) = 0; karena 𝐹(𝑥) = 0, untuk 𝑥 ≤ 0 𝐹(4) = −



6 6 3 6 = − = − ; karena 𝐹(𝑥) = − , untuk 𝑥 > 0 𝑥 4 2 𝑥



𝐹(7) = −



6 6 6 = − ; karena 𝐹(𝑥) = − , untuk 𝑥 > 0 𝑥 7 𝑥