Tugas Manajemen Sains [PDF]

Citation preview

Soal Linear Programming Metode Grafik Minimisasi : 1) Seorang petani sedang membeli pupuk yang mengandung tiga nutrien A, B, dan C. Kebutuhan minimum adalah 160 satuan A, 200 satuan B, dan 80 satuan C. Ada dua pupuk terkenal yang tersedia di pasar. Tumbuh Cepat, harga Rp 4.000,00 per kantong; mengandung tiga satuan A, lima satuan B, dan satu satuan C. Tumbuh Mudah, harga Rp 3.000,00 per kantong, mengandung 2 satuan tiap nutrien. Jika petani ingin meminimalkan biaya dan kebutuhan nutrien tetap terjaga, maka berapa banyak kantong dari tiap merk yang harus dibeli ? Pembahasan :



Variabel  



x1 = Tumbuh Cepat x2 = Tumbuh Mudah



Kendala   



3×1 + 2×2 ≥ 160 5×1 + 2×2 ≥ 200 1×1 + 2×2 ≥ 80



Fungsi Tujuan 



Zmin = 4000×1 + 3000×2



Penyelesaian : Membuat Grafik 



3×1 + 2×2 ≥ 160



3×1 = 0 ; 2×2 = 160/2 | x2 = 80 2×2 = 0 ; 3×1 = 160/3 | x1 = 53,3 



5×1 + 2×2 ≥ 200



5×1 = 0 ; 2×2 = 200/2 | x2 = 100 2×2 = 0 ; 5×1 = 200/5 | x1 = 40 



1×1 + 2×2 ≥ 80



1×1 = 0 ; 2×2 = 80/2 | x2 = 40 2×2 = 0 ; 1×1 = 80/1 | x1 = 80



Gambar Grafik



Penyelesaian titik : 



Titik A



x1 = 80 x2 = 0 Memasukan Nilai x1 dan x2 ke Zmin Zmin = 4000×1 + 3000×2 Zmin = 4000 * 80 + 3000 * 0 Zmin = 320000 + 0 Zmin = 320000 Maka, titik A adalah Rp320.000,00 



Titik B



( Pertemuan garis 3×1 + 2×2 ≥ 160 dan 1×1 + 2×2 ≥ 80 ) Maka garis 3×1 + 2×2 = 160 – garis 1×1 + 2×2 = 80 (Kedua garis dikurang) = =====> 2×1 = 80 | x1 = 80/2 | x1 = 40 garis 1×1 + 2×2 = 80 | 40 + 2×2 = 80 – 40 | 2×2 = 40 | x2 = 40/2 | x2 = 20 x1 = 40 x2 = 20 Memasukan Nilai x1 dan x2 ke Zmin Zmin = 4000×1 + 3000×2 Zmin = 4000 * 40 + 3000 * 20 Zmin = 160000 + 60000 Zmin = 220000 Maka, titik B adalah Rp220.000,00 



Titik C



( Pertemuan garis 5×1 + 2×2 ≥ 200 dan 3×1 + 2×2 ≥ 160 ) Maka garis 5×1 + 2×2 = 200 – garis 3×1 + 2×2 = 160 (Kedua garis dikurang ) =====> 2×1 = 40 | x1 = 40/2 | x1 = 20 garis 3×1 + 2×2 = 160 | 3*20+ 2×2 = 160 | 60 + 2×2 = 160 – 60 | 2×2 = 100 | x2 = 100/2 | x2 = 50 x1 = 20 x2 = 50



Memasukan Nilai x1 dan x2 ke Zmin Zmin = 4000×1 + 3000×2 Zmin = 4000 * 20 + 3000 * 50 Zmin = 80000 + 150000 Zmin = 230000 Maka, titik C adalah Rp230.000,00 



Titik D



x1 = 0 x2 = 100 Memasukan Nilai x1 dan x2 ke Zmin Zmin = 4000×1 + 3000×2 Zmin = 4000 * 0 + 3000 * 100 Zmin = 0 + 300000 Zmin = 300000 Maka, titik D adalah Rp300.000,00 Dari hasil perhitungan di atas tampak bahwa titik minimum adalah titik B yaitu x1 = 40, x2 = 20 dengan biaya pembelian pupuk minimum adalah Rp 220.000,00. Adapun penyelesaian dengan aplikasi QM for Windows berikut ini :



2)



Soal Linear Programming Metode Grafik Maksimisasi : 1) Di Toko Anugerah, seorang karyawati menyediakan jasa membungkus kado. Sebuah kado jenis A membutuhkan 3 lembar kertas pembungkus dan 1 meter pita, sebuah kado jenis B membutuhkan 2 lembar kertas pembungkus dan 2 meter pita. Tersedia kertas pembungkus 60 lembar dan pita 40 meter. Jika upah untuk membungkus kado jenis A Rp. 3.500/buah dan kado jenis B seharga Rp. 3.000/buah. Berapa upah maksimum yang dapat diperoleh karyawati?



Kado



Jenis A



Jenis B



Max penyedia



Kertas



3



2



60



Pita



1



2



40



Variabel 



X1 = Jenis A







X2 = Jenis B



Kendala 



3X1+2X2 C (kertas)







X1+2X2 ≤ 40 (pita)



Fungsi tujuan 



Zmax = 3.500.X1 + 3.000.X2



Penyelesaian : Membuat grafik 



3X1 + 2X2 ≤ 60



X1=0 ,X2=60/2=30 X2=0 ,X1=60/3=20 



X1 + 2X2 ≤ 40



X1=0 ,X2=40/2=20 X2=0 ,X1=40 Gambar Grafik



Zmax=3.500X1 + 3.000X2 



Titik A (X1=0 ,X2=0) Zmax=3500.0 + 3000.0=0







Titik B (X1=20, X2=0) Zmax=3.500.20 + 3000.0=70.000







Titik C



3X1+2X2=60 X1+2X2=40 2X1=20 X1≤20/2=10 3X1+2X2=60 3.10+2X2=60 30+2X2=60 2X2=60-30=30 X2=30/2=15



Zmax=3.500.10+3.000.15 35.000+45.000=80.000 



Titik D (X1=0, X2=20) Zmax=3.500.0+3000.20=60.000 Dari grafik yang dihasilkan, terlihat bahwa titik maksimum berada dititik koordinat



(10,15) yang berarti karyawati akan memperoleh upah maksimum sebesar Rp. 80.000 jika melakukan jasa membungkus 10 kado Jenis A dan 15 kado Jenis B. Adapun penyelesaian dengan aplikasi QM for Windows berikut ini :



2) PT Maju Mundur menghasilkan 2 macam barang. Setiap unit barang I memerlukan bahan baku A = 2 kg dan bahan baku B = 2 kg. Setiap unit II memerlukan bahan baku A= 1 kg dan B= 3 kg. Jumlah bahan baku A yang disediakan perusahaan 6000 kg dan bahan baku B = 9000 kg. Sumbangan terhadap laba untuk produk I adalah Rp 3000,- dan setiap unit produk II adalah Rp 4000,-. Tentukan Keuntungan Maksimum ? Penyelesaian :



2X1 +X2  6000 2X1 + 3X2  9000 X1  0 , X2  0 Z = 3000 X1 + 4000 X2



Koordinat titik pojok A(3000,0), B( 2250,1500 ), C(0,3000) Titik B : 2X1 + X2 = 6000 2X1 + 3X2= 9000 – -2X2=-3000  X2 = 1500 2X1 + 1500= 6000 2X1 = 6000 – 1500 = 4500  X1 = 2250 Titik Pojok A(3000,0) B(2250,1500) C(0,3000)



Z = 3000 X1 + 4000 X2 9.000.000 6.750.000+6.000.000=12.750.000 12.000.000



Produk pertama dihasilkan 2250 unit Produk kedua dihasilkan 1500 unit Dan Keuntungan maksimum adalah Rp 12.750.000,Adapun penyelesaian dengan aplikasi QM for Windows berikut ini :



Soal Linear Programming Metode Simpleks Maksimisasi : 1) Maksimum z = 8 X1 + 9 X2+ 4 X3 Fungsi Kendala :         X1+ X2 + 2 X3 ≤ 2 2 X1 + 3 X2 + 4 X3 ≤ 3 7 X1+ 6 X2 + 2 X3≤ 8 X1, X2, X3  ≥ 0



Penyelesaian : Untuk menyelesaikan masalah di atas dilakukan langkah-langkah dibawah ini : 1.      Mengubah fungsi tujuan z = 8 X1 + 9 X2+ 4 X3+ 0S1 + 0S2 + 0S3     atau    z - 8 X1 - 9 X2 - 4 X3 - 0S1 - 0S2 - 0S3 = 0 2.      Mengubah fungsi batasan X1+ X2 + 2 X3 + S1  = 2 2X1 + 3 X2 + 4 X3  + S2 = 3 7X1+ 6 X2 + 2 X3 + S3    = 8 X1, X2, X3, S1, S2, S3 ≥ 0 3.      Masukkan setiap koefisien variabel ke dalam tabel simpleks. Sehingga :



4. Pada contoh di atas nilai negatif yang tebesar adalah -9 pada kolom X2 jadi, kolom  X2  adalah kolom kunci/Pivot, sehingga :



5. Menentukan Baris Kunci/Pivot Baris kunci diketahui dari nilai indeks (Rasio) yang terkecil. Rasio = NK/Kolom Pivot



Jadi nilai rasio terkecil adalah 1 (selain Z), sehingga baris kuncinya / baris pivot ada pada S2. 6.      Mencari angka Kunci/ Elemen Pivot



Angka kunci diperoleh dari perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci. Jadi angka kunci diperoleh adalah 3.



7. Membuat Baris Baru Kunci (BBK) Karena nilai kunci berada pada kolom X2, maka baris S2 kita ubah namanya menjadi X2, dan nilainilai pada baris S2 kita ubah pula dengan cara membagi nilai baris dengan angka kunci. Maka kita mendapat nilai baris kunci yang baru (baris x1) :



8. Mencari baris baru selain baris kunci/pivot. Baris baru : baris lama – (angka kolom kunci X nilai baru baris kunci) Baris Z : -8         -9         -4        0          0          0          0 -9     (   2/3        1         4/3      0        1/3         0           1    ) -2         0          8         0          3          0           9 Baris S1 : 1          1         2          1         0         0         2 1      (  2/3        1        4/3        0         1/3      0         1    ) 1/3        0        2/3        1         -1/3      0         1



Baris S3: 7          6          2         0          0          1         8 6       ( 2/3        1          4/3      0          1/3       0          1   ) 3          0          -6        0          -2          1          2 9. Masukkan nilai-nilai tersebut ke dalam tabel simpleks yang baru (iterasi 1)



10. Perhatikan kembali tabel di atas, bila pada baris Z masih ada variabel yang bernilai negatif, maka fungsi tujuan belum maksimal. Sehingga untuk menghilangkan nilai negatif kita ulangi lagi langkahlangkah sebelumnya. Ini kita lakukan terus-menerus hingga tiada variabel Z yang negatif.



Variabel masuk dengan demikian adalah X1, variabel keluar adalah S3   serta elemen pivot yaitu 3 . Hasil perhitungan iterasi ke 2 adalah sebagai berikut :



Tabel sudah optimal, sehingga perhitungan iterasi dihentikan ! Sehingga dapat kita simpulkan bahwa untuk memperoleh hasil maksimum, S1 =  2/3 X2= 7/9            S3 = 5/9 Z = 31/3



Soal Linear Programming Metode Simpleks Minimisasi : 2) Perusahaan Maju Terus merencanakan untuk menginvestasikan uang paling banyak $ 1.200.000.uang ini akan ditanamkan pada 2 buah cabang usaha yaitu P dan Q. setiap unit P memerlukanuang sebesar $50 dan dapat memberikan rate of return per unitnya per tahun sebesar 10%sedangkan untuk setiap unit Q memerlukan uang sebesar $100, namun memberikan rate of returnper unit per tahunnya sebesar 4%. Perusahaan tersebut telah mempertimbangkan bahwa targetrate of return dari kedua usaha tersebut paling sedikit adalah $60.000 per tahunnya.Kemudian hasil analisis perusahaan memperoleh data bahwa setiap unit P dan Q mempunyai index risiko masing-masing 8 dan 3. Padahal perusahana ini tidak mau menanggung resiko yangterlalu besar. Kebijakan lainnya yang diinginkan oleh pemimpin khususnya



untuk



cabang



usahaP



ditargetkan



paling



sedikit



jumlah



investasinya



adalah



$3.0000.Bagaimana penyelesaian persoalan diatas apabila perusahaan bermaksud untuk tetap melakukaninvestasi tetapi dengan menekan atau meminimasi resiko sekecil mungkin. Berapa unit masing-masing usaha dapat diinvestasikan ?



Penyelesaian: Fungsi Tujuan : z = 8x + 3y Fungsi Pembatas : 50x + 100y ≤ 1.200.000 50x ≥ 3.000 5x + 4y ≥ 60.000 Bentuk baku diperoleh dengan menambahkan



variabel



slack pada kendala pertama,



mengurangkan variabel surplus pada kendala kedua. Sehingga diperoleh : Minimumkan : Z = 8x + 3y + 0S1 + 0S2 + 0S3 +MA1 + MA2 50x + 100y + S1 = 1.200.000 50x - S2 + A1 = 3.000 5x + 4y – S3 + A2 = 60.000



Tabel Simpleks Awal



Basi



S1



S2



S3



A1



NK



A2



Rasio



X1



X2



Z



55M-8



4M-3



0



-M



-M



0



0



63.000M



S1



50



100



1



0



0



0



0



1.200.000 1.200.000:50=24.0



s



00 A1



50



0



0



-1



0



1



0



3.000



3.000:50 = 60



A2



5



4



0



0



-1



0



1



60.000



60.000 : 5 = 12.000



Iterasi Pertama



X1



Basis



X2



S1



S2



S3



A1



A2



NK



Z



0



4M-3



0



0,1M-0,16



0



-1,1M+0,16



0



59.700M+480



S1



0



100



1



1



0



-1



0



1.197.000



Rasio



11.970



X1



1



0



0



-0,02



0



0,02



0



60



A2



0



4



0



0,1



-1



-0,1



1



5700



1.425



Iterasi Kedua



X1



Basis



X2



S1



S2



S3



A1



A2



NK



Z



0



0



0



-0,085



M-0,75



-M+0,085



-M+0,75



54.000M+4755



S1



0



0



1



-1,5



25



1,5



-25



1.054.500



X1



1



0



0



-0.02



0



0.02



0



60



X2



0



1



0



0,025



-0,25



-0,025



0,25



1425



Iterasi



kedua adalah optimal karena



koefisien



pada



persamaan Z



semuanya non positif, dengan X1= 60, X2 = 1425 dan Z = 54.000M+4755