Tugas Matdis Homomorfisma [PDF]

Citation preview

Tugas Matematika Diskrit Oleh: Kelompok 5 1. Amalia Fitri (RSA1C213006) 2. Novrike Mulyawati (RSA1C213016) 3. Reza Putra Wardana (RSA1C213028) 4. Yolanda Fitria (RSA1C213003) Program Studi: Pendidikan Matematika PGMIPA-U



Homomorfisma Letis dan Letis Khusus



Homomorfisma Letis Definisi : Misalkan



( L, ,1 1 ,)1



dan



( M ,  2 ,2 ,) 2



→



adalah letis. Fungsi f: L



M



(a, b)  L



dinamakan homomorfisma letis jika



f (a 1 b)  f (a )  2 f (b)



berlaku:



dan



f (a 1 b)  f (a )  2 f (b) Khususnya jika f 1-1 dan pada, maka f dikatakan isomorfisma letis, sedangkan L dan M disebut isomorfik. Teorema 6 : Misalkan f : L



→



M adalah homomorfisma letis. Jika



a 1 b, maka f ( a )  2 f (b)



Jika f homomorfisma letis, maka f “mengawetkan urutan”. Dapat terjadi suatu fungsi f : L → M yang 1-1 pada dan mengawetkan urutan, tapi f -1 tidak.



Contoh



( L,  )



Dik: Misalkan



letis dengan L = {1, 2, 3, 4, 6,12} didefinisikan:



a 1 b 



b habis dibagi a dan



a 2 b  a  b



Dit: Periksa apakah



6



12



→







f:L



2



f mengawetkan urutan atau tidak −1 f mengawetkan urutan atau tidak



3



L dengan f(x) = x ,



x



∈



1



L homomofisma letis atau bukan



Penyelesaian:



3



L1



1



Diagram Hasse a 1 b  b habis dibagi a



4



Diagram Hasse a 2 b  a  b



L2



12



2



6



1 4 3 2 1



(1, 2)  L



Ambil







akan diperiksa apakah berlaku f (a 1 b)  f (a )  2 f (b) f ( a  1 b )  f ( a )  2 f (b ) dan f (a 1 b)  f (a )  2 f (b)



L1 Lihat diagram



f (1 1 2)







L2 



f (1)







1







Lihat diagram



f (1)  2 f (2)



1 *2 2 1



f (a 1 b)  f (a)  2 f (b)



f ( x)  x maka f (1)  1



,



L1 Lihat diagram



L2 Lihat diagram



f (1 1 2)







f (1)  2 f (2)



f ( 4)







12 2



4







(a,b)  L



Karena 2



terdapat



3



f ( a  1 b )  f ( a )  2 f (b )



maka L bukan homomorfisma letis.



a  1 b  f ( a )  2 f (b ) (1, 2)  L



Ambil 1 1 2  f (1)  2 f (2)



1 1 2  1  2 2 (1, 3)  L



Ambil



Ambil



( 2, 4)  L 1 1 3  f (1)  2 f (3)



2  1 4  f ( 2)  2 f ( 4) 1 1 3  1  2 3



2 1 4  2  2 4 a, b  L



Dengan cara yang sama dapat dibuktikan  f mengawetkan urutan. 3



( 2,1)  L Ambil a  1 b  f ( a )  2 f (b )



2 1 1  f (2)  2 f (1)



2 1 1  2  2 1 



f -1 tidak mengawetkan urutan.



Letis Khusus Definisi :



berlaku



a  1 b  f ( a )  2 f (b )



Misalkan L letis. L disebut terbatas dibawah jika ada elemen L yang dilambangkan 0 sehingga



0 ≤ a,



∀ a ∈ L . Sebaliknya L disebut terbatas diatas jika terdapat elemen di L



yang dilambangkan l sehingga a ≤ 1, ∀ a ∈ L . L dikatakan terbatas jika L terbatas dibawah dan L terbatas diatas. Catatan penting berkenaan dengan 0 dan 1 dalam sebuah letis terbatas, yaitu: a b



Sebagai akibat langsung dari sifat antisimetris, elemen 0 dan 1 (jika ada) adalah tunggal. ∀ a ∈ L berlaku: 0 * a = a l*a=a 0⨁a=0



c



l⨁a=1



Definisi : Misalkan L adalah letis terbatas dan a



L, b



L disebut komplemen dari a jika a * b



b a0



= 0 dan d



a⨁b=1



Pernyataan “b komplemen dari a” dilambangkan dengan b = a'



e 1



Jika setiap elemen dari L mempunyai komplemen, maka L disebut berkomplemen. Contoh Dik: Diagram letis L adalah sebagai berikut:



Dit: Periksalah a b



Apakah letis L terbatas Apakah letis L adalah letis yang mempunyai komplemen



Penyelesaian: a



Akan diperiksa apakah letis L terbatas, berarti letis L terbatas dibawah dan diatas. Syarat: 



Letis L terbatas dibawah: ∀ a ∈ L berlaku 0 ≤ a b, c, d dimisalkan a



a *b  a  0



(0  b )



a *c  a  0



(0  c )



a * d  a  0 (0  d ) Karena ∀ a ∈ L berlaku 0 ≤ a maka L terbatas dibawah. 



Letis L terbatas diatas: ∀ a ∈ L berlaku a ≤ 1 b, c, d dimisalkan a b  e  e  1 (b  1)



c  e  e  1 (c  1)



d  e  e  1 (d  1) Karena ∀ a ∈ L berlaku a ≤ 1 maka L terbatas diatas. 



b



L adalah letis terbatas.



Akan diperiksa bahwa L adalah letis yang mempunyai komplemen. Syarat : a * b = 0 dan



a⨁b=1



a *b  a  0



a b  e 1



a *c  a  0



a c  e 1



a*d  a  0



ad  e 1



b*c  a  0



bc  e 1



b*d  a  0



b d  e 1



c*d  a  0



cd  e 1



b*e  a  0



be  e 1



c *e  a  0



ce  e 1



d *e  a  0



d e  e 1



a, b  L



Karena



terdapat



a *b  0



dan



a b 1



maka L adalah letis yang berkomplemen.



Letis Distributif



c



Definisi : Letis L disebut distributif jika



a, b, c



∈L



berlaku:



b a0



i d a * (b ⨁ c) = (a * b) ⨁ (a * c) dan ii a ⨁ (b * c) = (a ⨁ b) * (a ⨁ c) e 1



Contoh Dik: Letis L = {a,b,c,d,e} dengan diagram hassenya sebagai berikut:



Dit: Teliti apakah L distributif atau tidak? Penyelesaian: Ambil a, b, c ∈ L akan diperiksa apakah berlaku i a * (b ⨁ c) = (a * b) ⨁ (a * c) dan ii a ⨁ (b * c) = (a ⨁ b) * (a ⨁ c) Bukti:



z



i



a * (b ⨁ c) = (a * b) ⨁ (a * c) a*e = a ⨁ a tidak ada = a



Karena a * (b ⨁ c) ≠ (a * b) ⨁ (a * c), maka L tidak distributif.



y



x



Contoh Dik: Misalkan L adalah letis dengan diagram hasse berikut:



Dit: Periksa apakah L distributif atau tidak? Penyelesaian: x, y , z  L



Ambil



akan diperiksa apakah berlaku:



i a * (b ⨁ c) = (a * b) ⨁ (a * c) dan ii a ⨁ (b * c) = (a ⨁ b) * (a ⨁ c) Bukti: x * ( y  z)  ( x * y)  ( x * z )



i x*z



 x x 



x



x



x * ( y  z)  ( x * y)  ( x * z)



Maka x  ( y * z)  ( x  y) * ( x  z)



ii



x y y



 y*z 



y



x  ( y * z)  ( x  y) * ( x  z)



Maka x, y , z  L x * ( y  z)  ( x * y)  ( x * z) x  ( y * z )  ( x  y) * ( x  z) Karena berlaku dan  L adalah letis distributif.



Teorema 7 Setiap rantai adalah letis distributif. Teorema 8 Hasil kali cartes dua letis distributif adalah letis distributif. Teorema 9  a, b, c  L



Misalkan L adalah letis distributif maka



berlaku:



( a * b  a * c )  (a  b  a  c)  b  c



.