Tugas Matematika Diskrit [PDF]

Citation preview

Matematika Diskrit Teori Graph



Dosen Pengampuh : Prof. Dr. Wahyu Widada, M.Pd



Oleh : Ani Agustina (A2C016021)



PROGRAM STUDI PASCASARJANA PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS BENGKULU 2018



SEJARAH TEORI GRAPH



Teori graph lahir pada Tahun 1736 melalui tulisan Euler yang beris i tentang upaya pemecahan masalah jembatan Konigsberg yang sangat terkenal di Eropa. Ia menggunakan teori graf untuk menyelesaikan masalah jembatan Königsberg (sekarang, bernama Kaliningrad). Berikut adalah ilustrasi masalah tersebut :



Gambar 1. Masalah Jembatan Königsberg (Rossen, 2003) Masalah yang dikemukakan Euler : Dapatkah melewati setiap jembatan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat semula? Berikut adalah sketsa yang merepresentasikan ilustrasi jembatan Königsberg yang pada gambar diatas. Himpunan titik yaitu {A, B, C, D} merepresentasikan sebagai daratan, dan garis yang menghubungkan titik-titik tersebut adalah sebagai jembatan.



Gambar 2. Representasi graf masalah jembatan Königsberg Jawaban pertanyaan Euler adalah tidak mungkin. Agar bisa melalui setiap jembatan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat semula maka jumlah jembatan yang menghubungkan setiap daratan harus genap. Kurang lebih seratus tahun setelah lahirnya tulisan Euler tersebut tidak ada perkembangan yang berarti berkenaan dengan teori graph. Tahun 1847, G.R. Kirchoff (1824 – 1887) berhasil mengembangkan teori pohon (Theory of trees) yang digunakan dalam persoalan jaringan listrik. Sepuluh tahun kemudian, A. Coyley (1821 – 1895) juga menggunakan konsep pohon untuk menjelaskan permasalahan kimia yaitu hidrokarbon.



Pada masa Kirchoff dan Coyley juga telah lahir dua hal penting dalam teori graph. Salah satunya berkenaan dengan konjektur empat warna, yang menyatakan bahwa untuk mewarnai sebuah atlas cukup dengan menggunakan empat macam warna sedemikian hingga tiap negara yang berbatasan akan memiliki warna yang berbeda. Para ahli teori graph berkeyakinan bahwa orang yang pertama kali mengemukakan masalah empat warna adalah A.F. Mobius (1790 – 1868) dalam salah satu kuliahnya di Tahun 1840. Sepuluh tahun kemudian, A. De Morgan (1806 – 1871) kembali membahas masalah ini bersama ahli-ahli matematika lainnya di kota London. Dengan demikian tulisan De Morgan dianggap sebagai referensi pertama berkenaan dengan masalah empat warna. Masalah empat warna ini menjadi sangat terkenal setelah Coyley mempublikasikannya Tahun 1879 dalam Proceedings of the Royal Geographic Society volume pertama. Hal lain yang penting untuk dibicarakan sehubungan dengan perkembangan teori graph adalah apa yang dikemukakan oleh Sir W.R. Hamilton (1805 – 1865). Pada Tahun 1859 dia berhasil menemukan suatu permainan yang kemudian dijualnya ke sebuah pabrik mainan di Dublin. Permainan tersebut terbuat dari kayu berbentuk dodecahedron beraturan yakni berupa sebuah polihedron dengan 12 muka dan 20 pojok. Tiap muka berbentuk sebuah pentagon beraturan dan tiap pojoknya dibentuk oleh tiga sisi berbeda. Tiap pojok dari dodecahedron tersebut dipasangkan dengan sebuah kota terkenal seperti London, New York, Paris, dan lain-lain. Masalah dalam permainan ini adalah, kita diminta untuk mencari suatu rute melalui sisi-sisi dari dodecahedron sehingga tiap kota dari 20 kota yang ada dapat dilalui tepat satu kali. Walaupun saat ini masalah tersebut dapat dikategorikan mudah, akan tetapi pada saat itu tidak ada seorang pun yang bisa menemukan syarat perlu dan cukup dari eksistensi rute yang dicari. Kurang lebih setengah abad setelah masa Hamilton, aktivitas dalam bidang teori graph dapat dikatakan relatif kecil. Pada Tahun 1920-an kegiatan tersebut muncul kembali yang dipelopori oleh D. Konig. Konig berupaya mengumpulkan hasil-hasil pemikiran para ahli matematika tentang teori graph termasuk hasil pemikirannya sendiri, kemudian dikemasnya dalam bentuk buku yang diterbitkan pada Tahun 1936. Buku tersebut dianggap sebagai buku pertama tentang teori graph. Tiga puluh tahun terakhir ini merupakan periode yang sangat intensif dalam aktivitas pengembangan teori graph baik murni maupun terapan. Sejumlah besar penelitian telah dilakukan, ribuan artikel telah diterbitkan dan lusinan buku telah banyak ditulis. Di antara orang terkenal yang banyak berkecimpung dalam bidang ini adalah Claude Berge, Oysten Ore, Paul Erdos, William Tutte, dan Frank Harary.



GRAPH



Definisi Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E), ditulis dengan notasi G = (V, E), yang dalam hal ini V adalah himpunan tak kosong dari simpul-simpul (vertices), dan E adalah himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan sepasang simpul. Himpunan simpul dari graf G ditulis dengan V(G), sedangkan himpunan sisi dari graf G dinyatakan dengan E(G). Simpul pada graf dapat dinomori dengan huruf, seperti A, B, C, D, ..., dengan bilangan asli 1, 2, 3, .... Sisi yang menghubungkan simpul u dengan simpul v dinyatakan dengan pasangan (u,v) atau dengan lambang e1, e2, e3, .... Definisi 1 Sebuah busur dikatakan berinsidensi (insident), jika simpul tersebut terdapat busur yang menghubungkannya dengan simpul yang lain. Sebuah busur yang memiliki ujung yang sama dikatakan loop. Misalkan busur berarah (a) berinsidensi dari simpul a dan berinsidensi ke simpul a, maka dikatakan loop. Dengan kata lain loop merupakan sebuah busur yang berinsidensi dari dan ke simpul yang sama. Pada Gambar 3 diberikan sebuah contoh graf G dengan V(G) = {v1, v2, ..., v5} dan E(G) = {e1, e2, ..., e8}. Busur e8 merupakan loop. Gambar lain dari Graf G digambarkan pada Gambar 4:



Gambar 3



Gambar 4



Definisi 2 Dua simpul dikatakan berdampingan (adjacent), jika kedua simpul tersebut dihubungkan oleh sebuah busur. Pada busur berarah (a,b), simpul a dikatakan berdampingan (adjacent) ke simpul b, dan simpul b dikatakan berdampingan (adjacent) dari simpul a.



Definisi 3 Sebuah simpul dikatakan simpul terasing atau terisolasi jika tidak terdapat busur yang berinsidensi dengannya. Sebuah busur dari suatu graf dikatakan insidensi jika busur tersebut memiliki satu simpul persekutuan. Dua simpul dikatakan berdampingan jika simpul-simpul tersebut berada pada ujung garis yang sama. Sebuah simpul dikatakan terasing jika tidak ada busur yang menghubungkannya dengan simpul yang lain.



Gambar 5. Graf dengan 6 simpul dan 6 busur Perhatikan Gambar 5 di atas :    



v6 merupakan simpul terasing, karena tidak ada busur yang menghubungkan simpul v6 dengan simpul lainnya. Busur e1 merupakan loop, karena menghubungkan v2 dengan dirinya sendiri. Busur e2, e5 dan e6 insidensi pada v4. v1 dan v2 berdampingan, karena berada pada satu garis yaitu e3. Secara umum, bentuk graf tidak unique atau tunggal.



Definisi 4 Suatu graf dikatakan multiple edges jika terdapat lebih dari 1 busur yang menghubungkan pasangan titik yang sama. Pada Gambar 4 didapatkan bahwa busur e3 dan e4 multiple edges. Simpul v2 dan v3 samasama dihubungkan e3 dan e4.



Definisi 5 Suatu graf dikatakan simpel atau sederhana jika tidak memiliki loop dan multiple edges. Contoh 1 :



Gambar 6 Graf Simpel Gambar 3 dan Gambar 4 merupakan graf tidak simpel



Definisi 6 Suatu graf dikatakan graf complete atau graf lengkap jika graf tersebut simpel dan setiap pasangan simpul yang berbeda dihubungkan oleh satu busur. Graf complete yang mempunyai n titik dinotasikan Kn.



Definisi 7 Graf yang memiliki himpunan simpul yang dapat dipartisi menjadi 2 himpunan X dan Y, di mana ujung satunya di X dan ujung yang lain di Y, dinamakan graf Bipartite.



Definisi 8 Graf Bipartite Complete adalah graf Bipartite dengan bipartisi (X,Y) di mana setiap simpul X dihubungkan dengan setiap simpul Y. Graf Bipartite Complete dinotasikan dengan Km,n , di mana |X| = m dan |Y| = n.



Contoh 2 :



Gambar 7 Catatan : Graf Bipartite tidak mungkin punya loop, tidak harus simpel tetapi punya multiple edges. Sebuah graf G adalah k-colourable jika simpul-simpulnya dapat diwarnai, tidak lebih dari k-warna, di mana tidak ada dua simpul yang berdampingan diwarnai yang sama. Jika graf G 2-colourable, maka graf ini memiliki bipartisi (X,Y) dengan simpul dari X diberi 1 warna dan simpul di Y diberi warna lainnya. Kesimpulannya, jika G merupakan graf Bipartite maka G merupakan 2- colourable. Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa graf G bipartite jika dan hanya jika 2-colourable.Jika G merupakan graf Bipartite akan mempunyai 2 warna atau yang lebih dikenal dengan istilah 2-colourable. Contoh 3: Mana dari graf di bawah ini yang merupakan graf Bipartite ?



Gambar 8 Jawaban : G1 tidak 2-colourable, karena graf ini berbentuk segitiga dengan simpul u1u2u3. Jadi G1 bukan merupakan graf Bipartite. Selain itu, G2 adalah 2- colourable seperti yang ditunjukkan pada Gambar 8 di bawah ini :



Gambar 8 Kita mendapatkan bahwa graf di atas 2-colourable. Pertama, simpul v1 diwarnai hitam. Kemudian simpul v2, v3 dan v4 yang berdampingan dengan v1 diberi warna putih. Simpul v5, v6, dan v7 yang berdampingan ke satu atau lebih dari simpul v2, v3 dan v4 diwarnai hitam. Terakhir, simpul v8 yang berdampingan dengan simpul v5, v6, dan v7 diberi warna putih. Jadi G2 adalah sebuah graf Bipartite dengan bipartisi (X,Y) di mana X = {v1, v5, v6, v7} dan Y = {v2, v3, v4, v8}. Gambar alternatif dari G2 digambarkan sebagai berikut :



Gambar 9 Catatan : Contoh di atas merupakan cara sederhana untuk menentukan apakah graf yang diberikan Bipartite atau tidak.



Definisi 9 Sub graf dari graf G adalah graf H dengan sifat : 1. V ( H ) ⊆ V (G) 2. E (H ) ⊆ E(G) 3. Jika e adalah busur H yang menghubungkan simpul u dan v maka e adalah busur G yang menghubungkan u dan v.



Definisi 10 Jika sub graf H dari G tidak identik atau tidak sama terhadap G maka H dikatakan proper sub graf dari G.



Definisi 11 Jika jumlah simpul di H sama dengan jumlah simpul di G (V(H) = V(G)) maka H dikatakan spanning subgraf dari G. Contoh 4 :



Gambar 10 Derajat d(v) dari simpul v di G adalah jumlah busur di G yang insiden dengan v. Jika loop dihitung 2 busur. Contoh 5 : Dari graf G, buktikan bahwa :



Bukti : Ketika menjumlahkan derajat simpul-simpul dari G, kita menghitung masing-masing busur di G dua kali, satu kali untuk setiap dua simpul yang insiden dengan busur (loop dihitung sebagai dua busur). Jadi, jumlah derajat dari simpul- simpul di G sama dengan dua kali jumlah busur di G.



Definisi 12 Graf G dikatakan k-regular, jika setiap simpul di G punya derajat k. Graf complete Kn= (n-1)-regular, di mana n menunjukkan jumlah simpul. Graf complete bipartite Kn,n= n regular. Contoh 6 : Sebuah perusahaan membutuhkan 6 pekerja W1, W2, ..., W6 untuk 6 pekerjaan J1, J2, ..., J6 dengan permintaan keahlian yang berbeda. Setiap pekerja dikualifikasi utnuk satu atau lebih pekerjaan, seperti yang ditunjukkan di bawah ini :



Dapatkah semua pekerja ditugaskan sehingga tiap orang untuk 1 pekerjaan yang dikualifikasikan ? Penyelesaian : Kita dapat membentuk graf Bipartite G dengan bipartisi (X,Y) dimana misal X = pekerja = {W1, W2, ..., W6} Y = pekerjaannya = { J1, J2, ..., J6 } W1 dihubungkan dengan Jk jika dan hanya jika W1 dikualifikasikan untuk pekerjaan Jk. Graf hasil digambarkan pada Gambar 11.



Gambar 11 Penugasan mungkin jika dan hanya jika G memuat 1 regular spanning graf (sub graf yang memiliki 1 faktor). Graf di atas hanya latihan untuk menentukan apakah sub graf ada. Salah satu dari sub graf ditunjukkan oleh Gambar 3.12 di bawah ini, dengan busur-busur dari sub graf diberi garis tebal.



Gambar 3.12 Jadi penugasan pekerja untuk tiap jenis pekerjaan yang dikualifikasikan mungkin. Penugasan yang dilakukan seperti di bawah ini :



Tabel 3.1 Catatan : 1. Diberikan graf Bipartite G dengan bipartisi (X,Y) maka G mempunyai 1- regular spanning subgraf, jika dan hanya jika (i) |X| = |Y| {jumlah bipartisi X=Y} (ii) untuk himpunan bagian S dari simpul X sedikitnya S dari Y yang berdampingan ke satu atau lebih S. Contoh :



2. Ada sebuah algoritma yang disebut Metode Hungarian, menugaskan n orang untuk n pekerjaan sehingga tiap orang punya tugas sesuai dengan yang dikualifikasikan.



Definisi 3.13 Walk dalam graf G merupakan barisan non-null berhingga w = v0 e1 v1 e2 v2 ... ek vk dimana menunjukkan titik dan busur sehingga untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘, ujung ei = vi-1 dan vi. W dikatakan walk dari v0 (asal) ke vk (tepat berhenti) atau (v0-vk)-walk. Panjang walk merupakan jumlah busur dari w. Jika simpul v0, v1, ..., vk dari walk w berbeda maka disebut lintasan atau path. Jika panjangnya positif dan asal serta simpul berhentinya sama maka dikatakan walk tertutup. Cycle merupakan walk tertutup yang memiliki asal dan simpul-simpul di dalamnya berbeda. Jadi dapat disimpulkan bahwa sebuah lintasan pasti merupakan walk tetapi walk belum tentu merupakan lintasan. Gambar 13 mempunyai banyak cycle, contohnya v0e1v1e2v2e10v5e7v0 adalah cycle dengan panjangnya 4.



Gambar 13 Cycle : v0 e1 v1 e8 v5 e7 v0 dengan panjang atau length 3 Length atau panjang merupakan jumlah dari busurnya. Contoh 7: Tunjukkan jika G merupakan graf bipartite dan tidak punya cycle dari length ganjil ! Bukti : Misal C = v0 e1 v1 e2 v2 ... ek-1 vk -1 ek v0 adalah cycle di G. G bipartite jika 2- colourable. Jadi simpul C dapat diwarnai dengan 2 warna berbeda, jika dan hanya jika simpul lainnya berbeda warna. Simpul v0, v2, v4, ..., vk-2 diberi satu warna dan v1, v3, v5, ..., vk-1 diberi warna lainnya. Satu kemungkinannya, k bilangan bulat genap dan c sebuah cycle dengan length genap. Catatan : Graf yang tidak punya cycle dari length ganjil adalah bipartite. Dengan kata lain graf dikatakan bipartite jika dan hanya jika tidak punya length cycle ganjil. Dua simpul u dan v dari graf G dikatakan terhubung jika ada lintasan (u,v) di G. Graf G terhubung jika setiap pasangan titik G terhubung, selainnya dari G tidak terhubung. Maksimal sub graf terhubung dari G disebut komponen G. Gambar 14 mengilustrasikan definisi ini.



Gambar 14 Graf tidak terhubung dengan 5 komponen Dari Gambar 14, diperoleh sub graf yang terhubung maksimal 5 komponen. Dengan kata lain dari gambar di atas berarti ada 5 komponen, 9 simpul dan 8 busur. Sebuah graf terhubung tanpa cycle disebut tree atau pohon. Dalam pohon ada 2 simpul terhubung oleh lintasan yang tunggal. Pemindahan sembarang busur dari pohon



menghasilkan graf tak terhubung. Dengan kata lain sebuah pohon adalah minimal graf terhubung (dalam arti memiliki jumlah busur paling sedikit). Contoh 8 : Tunjukkan bahwa setiap graf terhubung memiliki pohon perentang ! Jawab : Misal G graf terhubung dan T adalah minimal sub graf perentang terhubung. Akan ditunjukkan bahwa T adalah pohon dan T tidak punya cycle. Ambil busur e yang menghubungkan x dan y di T. Selama T adalah minimal penghapusan e dari hasil T pada graf tak terhubung. Jadi ada simpul u dan v di T, yang tak terhubung di sub graf T-e dengan menghapus busur e. P menyatakan lintasan (u-v) di T, lintasan ini ada selama T terhubung. Jelas bahwa e terdapat di P. x mendahului y di P (lihat Gambar 15).



Gambar 15 Jika e ada di cycle C di T, maka x dan y akan terhubung di T-e oleh lintasan C-e (lihat Gambar 16). Tetapi, kemudian u dan v akan dihubungkan ke T-e, selama di T-e, u dihubungkan dengan x dan v dihubungkan dengan y. e tidak dapat masuk ke cycle T. Jadi T adalah pohon. Gambar 16 mengilustrasikan hasil pembuktian di atas.



Gambar 16 Jika dua simpul u dan v terhubung di graf G, jarak d(u,v) antara u dan v merupakan panjang lintasan (u,v) yang paling pendek di G. Jika tidak ada lintasan yang menghubungkan u dan v di G, kita definisikan d(u,v) tak terbatas.



Diameter dari graf G dinyatakan sebagai Diam (G), yang didefinisikan sebagai berikut.



Distance merupakan jarak terpendek dan Diam merupakan maksimum dari distance graf G. Contoh 9 : Cari diameter dari graf berikut !



Gambar 17 Dalam rancangan jaringan, diameter dari sebuah graf merupakan sebuah parameter penting yang menghubungkan jumlah maksimum dari jaringan termasuk pesan antara dua pusat dalam jaringan harus dilalui. Jadi, diameter merupakan ukuran keefisienan dan keefektifan yang penting dalam jaringan di mana waktu ditunda atau signal diturunkan secara proporsional terhadap panjang lintasan yang akan digunakan. Contohnya jaringan komunikasi. Kegunaan penting dari parameter untuk mengukur kehandalan jaringan adalah konektivitas. Tujuan kita adalah mengembangkan algoritma yang dapat diimplementasikan ke dalam komputer sehingga kita dapat menspesifikasikan graf ke dalam program komputer.



Representasi Graf pada Matriks Di dalam suatu graf seringkali perhitungan-perhitungan yang dikerjakan akan lebih sederhana bila graf yang dihadapi dinyatakan dalam bentuk matriks. Dalam pembahasan ini, ada tiga bentuk representasi matriks dari suatu graf, yaitu: 1. Matriks Adjasensi Matriks Adjasensi dari G dengan m m matriks A = [aij] menunjukkan jumlah busur yang menghubungkan vi dan vj. Xij bernilai 1 jika busur (i. j) ∈ E mempunyai arah dari simpul i ∈ V ke simpul j ∈ V, dan bernilai 0 jika tidak ada hubungan sama sekali. Jika loop diberi nilai 2.



Jika graf G merupakan graf tak berarah, setiap busur (i, j) dapat dinyatakan sebagai suatu busur dengan dua arah. Dalam hal ini matriks Adjasensi X merupakan matriks simetris. Contoh 10 :



Gambar 18 Matriks Adjasensi X dari graf berarah pada Gambar 18 adalah :



Gambar 19 Matriks Adjasensi X dari graf tak berarah pada Gambar 19 adalah :



Beberapa sifat penting dapat diturunkan dari representasi matriks suatu graf berarah maupun graf tak berarah. Dengan melihat contoh di atas, dapat diturunkan sifat bahwa :



Matriks Adjasensi X dari graf berarah :   







Suatu kolom yang seluruh elemennya bernilai 0 menyatakan suatu sumber. Suatu baris yang seluruh elemennya bernilai 0 menyatakan suatu muara. Jika seluruh elemen diagonal utamanya bernilai 0, maka menyatakan tidak terdapat loop dalam graf tersebut. Sebaliknya, suatu elemen yang tidak bernilai 0 pada diagonal menyatakan suatu loop. Matriks X tidak simetri.



Matriks Adjasensi X dari graf tak berarah :   



Jika pada graf ditambahkan suatu simpul yang tidak terhubung, maka pada matriks X akan ditambahkan pula baris dan kolom yang seluruh elemennya bernilai 0. Matriks X simetris. Elemen yang tidak bernilai 0 pada diagonal menyatakan suatu loop.



2. Matriks Insidensi Secara khusus, jika V(G) = {v1,v2, ..., vm} dan E(G) = {e1, e2, ..., en} kita definisikan sebagai matriks Insidensi dari G dengan ordo m x n. Matriks Insidensi Z dari graf berarah merupakan matriks [zij] di mana zij bernilai 1 jika simpul i merupakan simpul awal busur, zij bernilai -1 jika simpul i merupakan simpul akhir busur, dan bernilai 0 jika lainnya. Berdasarkan Gambar 18, matriks Insidensi Z dari graf berarah tersebut adalah :



Matriks Insidensi Z dari graf tak berarah adalah matriks [zij] di mana zij bernilai 1 jika simpul i dihubungkan dengan busur dan bernilai 0 jika lainnya. Matriks Insidensi dari graf tak berarah Gambar 19 adalah :



Dari representasi matriks Insidensi Z pada contoh di atas dapat dilihat bahwa : Pada graf tak berarah :   



Jumlah elemen tidak nol pada suatu baris menunjukkan derajat dari simpul. Setiap kolom mempunyai tepat dua elemen yang tidak nol. Suatu kolom yang hanya mempunyai satu elemen tidak nol menunjukkan suatu gelung.



Pada graf berarah :    



Pada suatu baris yang semua elemen-elemen tidak nolnya adalah 1 menunjukkan bahwa barisan (simpul) merupakan suatu sumber. Suatu baris yang semua elemen-elemen tidak nolnya adalah -1 menunjukkan bahwa baris (simpul) merupakan muara. Jumlah elemen 1 pada suatu baris menunjukkan derajat keluar dari baris (simpul). Jumlah elemen -1 pada suatu baris menunjukkan derajat masuk dari simpul. Setiap kolom mempunyai satu elemen -1 dan satu elemen 1. Hal ini sebagai akibat bahwa setiap busur selalu mempunyai satu simpul awal dan satu simpul akhir.



3. Matriks Biaya Diberikan jaringan G(V, E, W) matriks biaya C dari jaringan G merupakan matriks [Cij] di mana Cij menyatakan biaya (pengangkutan satu satuan barang) pada busur (i, j). Pada representasi di atas, Cij menyatakan bobot w(i, j). Matriks biaya C tersebut merupakan matriks bujur sangkar n x n. Bilamana G merupakan jaringan tak berarah maka matriks C merupakan matriks yang simetri. Graf terboboti merupakan graf G di mana setiap busur e dan G memiliki bilangan real w(e) yang disebut bobot. Jika H merupakan sub graf terboboti dari G, maka bobot w(H) didefinisikan sebagai



Contoh 11 : Jaringan komunikasi dapat dinyatakan dalam graf terboboti. Titik G adalah pusat T1, T2, ..., Tn. Kita menghubungkan dua titik dengan sebuah busur jika link komunikasi dapat diinstal antara pusat yang berhubungan, biaya untuk menginstal dinyatakan sebagai bobot suatu busur. Bobotnya tidak negatif, selama bobot tersebut menyatakan biaya. Graf berarah adalah suatu graf G di mana setiap busur mempunyai arah. Sebuah digraf D terdiri dari himpunan simpul V(D), himpunan busur berarah dan sebuah relasi insidensi yang menghubungkan setiap busur D yang merupakan pasangan berurut di D. Jika a adalah sebuah busur dari D yang menunjukkan pasangan terurut (u,v), maka a dikatakan yang menghubungkan u (ekornya a) ke v (kepalanya a).



Sebuah digraf dikatakan simpel jika tidak punya loop dan tidak ada dua busur yang memiliki pangkal dan ujung yang sama. Seperti halnya graf, digraf dapat dilambangkan di mana verteks dilambangkan dengan titik, busur oleh garis dan panah diletakkan di atas busur untuk menunjukkan arah. Diberikan graf G, kita dapat memperoleh digraf D dari G dengan: (i) menentukan arah untuk setiap busur G (ii) mengubah setiap busur G dengan suatu pasangan yang memiliki arah busur yang berbeda.



Gambar 20 Graf yang diperoleh dengan cara (i) disebut Orientasi Graf G. Diberikan sebuah digraf D, kita dapat memperoleh graf G dengan mengubah setiap busur di D dengan suatu busur yang menghubungkan ujung yang sama. Graf G yang diperoleh dengan cara (ii) disebut Underlying Graf G. Sebuah jalan berarah di D merupakan barisan tak kosong berhingga W = v0 a1 v1 a2 ... ak vk di mana menunjukkan simpul dan busur, dan untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 busur ai menghubungkan vi-1 ke vi. Jumlah busur di W disebut panjang W. Jika titik v0, v1, ..., vk berbeda dan jalan berarah yang merupakan lintasan, maka disebut lintasan berarah / Dipath . Contoh 13 : Tentukan graf berarah terboboti D, di mana busur terboboti menunjukkan rata-rata alur maksimum, dan alur maksimum di antara pasangan titik tertentu dalam jaringan. Solusi : Solusi dari permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan mengembangkan algoritma yang tepat. Penggunaan suatu algoritma biasanya didasarkan pada waktu prosesnya. Hal inilah yang mendasari kita untuk membicarakan algoritma kompleksitas waktu. Algoritma dikelompokkan berdasarkan waktu proses dari implementasi dalam komputer, tergantung ukuran masukan (input). Dalam algoritma teori graf, masukan yang dimaksud berupa jumlah simpul dan busur. Biasanya pernyataan di atas digunakan untuk



memperkirakan jumlah operasi dasar komputer (penjumlahan, perkalian, dan perbandingan) yang dibutuhkan dalam proses algoritma. Jika algoritma memproses masukan waktu cn2 untuk beberapa konstanta c, maka waktu kompleksitas T(n) dari algoritma dapat ditulis O(n2) (dibaca “order n2”). Secara umum, T(n) disebut O(f(n)), jika ada a konstanta real c>0 sehingga T(n) ≤ cf(n) untuk semua bilangan n. Waktu kompleksitas dari sebuah algoritma menunujukkan ukuran masalah yang dapat diselesaikan. Tabel 2 dan 3 di bawah memberikan ilustrasi tentang hal di atas. Kita asumsikan bahwa komputer mempunyai kecepatan 106 per detik.



Tabel 2. Waktu Proses Untuk Berbagai Algoritma



Tabel 3. Ukuran Maksimum Pemecahan Masalah Dalam Satu Jam Waktu Komputer Tabel 3. memberikan masalah besar yang dapat diselesaikan dalam 1 jam oleh komputer dengan kecepatan berbeda. Untuk algoritma A4 dan A5, sebuah komputer yang cepat tidak dapat menyelesaikannya. Sebuah algoritma di mana T(n) adalah polinomial terbanyak dalam n disebut sebagai algoritma polinomial. Sebuah algoritma dikatakan eksponensial jika ada sebuah aplikasi di mana T(n) eksponensial di n. Algoritma A1 dan A3 adalah polinomial selama algoritma A4 dan A5 adalah eksponensial. Algoritma eksponensial tidak efisien dan biasanya merupakan variasi dari penelusuran ekshaustive. Tujuan kita adalah mengembangkan algoritma polinomial. Algoritma polinomial menentukan sebuah algoritma di mana T(n) eksponensial di n. Jika n2, n3, n5 maka polinomial (nk), k = 1,2,3, ...



Jika 2n, 3n maka eksponen (kn), k = 1,2, ...