24 0 676 KB
b.
βπ=2
1 π πΌπ2 π
1
Ambil π(π₯) =
π₯ πΌπ2 π₯
Untuk π₯ > 2, pada selang [2, ~), karena : ~
~
β« (π₯)ππ₯ = β« 1
1
1 ππ₯ π₯ πΌπ2 π₯
= lim β«
π (πΌπ 1 π π₯) β1 π ππ₯ = lim β« = lim | | πβ~ 1 πβ~ πΌπ π₯ 2 π₯πΌπ2 π₯ πΌπ2 π₯
= lim
1 1 ( β ) =.2 log π πΌπ 2 πΌπ π
π πβ~ 1
πβ~
1
Jadi deret β~ π=2 π πΌπ2 π konvergen E. Deret Tak Hingga Dengan Suku Suku Positif Dan Negatif (Deret Ganti Tanda) Deret Ganti Tanda dinamakan juga deret berayun ( Alternating Series ). Deret berayun dapat di definisikan sebagai berikut : Definisi 3 : Misalkan ππ > 0 βπ ππ΄. Deret yang berbentuk ~
β(β1)π ππ = βπ1 + π2 β π3 + π4 β π5 + β― π=1
atau ~
β(β1)π+1 ππ = βπ1 β π2 + π3 β π4 + β― π=1
Dinamakan deret berayun (Alternating Series)
Selanjutnya konvergen absolut (mutlak) dan konvergen bersyarat dapat didefinisikan sebagai berikut : Definisi 4 : Sebuah deret β~ π=1 ππ dengan suku β suku berayun disebut konvergen mutlak jika deret β~ π=1|ππ | konvergen. Dan disebut konvergen bersyarat jika ~ deret βπ=1|ππ | divergen.
Teorema 19: π+1 Sebuah deret berayun β~ ππ dengan ππ > 0 konvergen jika π=1(β1) dipenuhi :
(i) Suku β sukunapositif yang monoton turun atau ππ+1 β€ ππ βπ β π΄ (ii) lim ππ = 0 πββ
Teorema 20. (Penukaran Tempat) : Suku β suku deret konvergen mutlak dapat diatur kembali tanpa mempengaruhi pada kekonvergenan deretnya.
Untuk pengujian deret kekonvergenan mutlak dapat diuji dengan teorema 21 berikut ini. Teorema 21 (Uji Perbndingan): Jika βπ=1 ππ adalah deret dengan suku β suku tak nol dan lim | πβ~
ππ+1 | ππ
= πΏ maka
deret konvergen mutlak bila 0 β€ πΏ < 1 dan divergen bila πΏ > 1. Dalam kasus πΏ = 1 Uji perbandingan gagal.
Teorema 22 (Uji Akar): π
Jika βπ=1 ππ adalah deret dengan suku β suku tak nol dan lim β|ππ | = πΏ πβ~
maka deret konvergen mutlak bila 0 β€ πΏ < 1 dan divergen bila πΏ > 1. Dalam kasus πΏ = 1 Uji akar gagal.
Contoh 13 Selidiki ke konvergenan deret. a. βπ=1(β1)π+1
1 π
b. βπ=1(β1)π (
π+1 π 2π
)
Jawab a. Deret ganti tanda βπ=1(β1)π+1
1 π
adalah konvergen sebab memenuhi 1
teorema 19, namun deret nilai mutlaknya βπ=1 π divergen. Jadi deret βπ=1(β1)π+1 bersyarat.
1 π
= 1β
1 2
+
1 3
β
1 4
+β―
merupakan
deret
konvergen
b. Deret βπ=1(β1)π (
π+1 π 2π
9
)
8
dinyatakan dalam bentuk βπ=1 ππ , maka : 625
βπ=1 ππ = β1 + β + β β― + (β1)π ( 16 27 4096
2π
)
π
lim β|ππ | = lim
berayun. Dengan uji akar yaitu
merupakan deret
π+1
πβ~ 2π
πβ~
deret ini konvergen. Karena βπ=1 ππ = βπ=1 ( sehingga deret βπ=1(β1)π (
π+1 π
π+1 π 2π
)
1
= 2 < 1 , maka juga konvergen,
π+1 π 2π
) ..... konvergen absolut (mutlak).
Contoh 14 Selidiki kekonvergenandari deret berikut : a. βπ=1(β1)π+1
π2
b. βπ=1
π4 +2
1 6
sin (2πβ1)π π βπ
Jawab π2
a. Periksa dulu deret suku-suku positif dari βπ=1 π4 +2 = ππ ππ =
π2
π2
π4 +2
1
1
< π4 = π2 . Deret βπ=1 π2 konvergen, karena merupakan deret
hiperharmonis denganπ = 2 > 1 (lihat teorema 17). Jadi sesuai teorema π2
14, maka deret βπ=1 π4 +2 βπ=1(β1)π+1
π2 π4 +2
konvergen pula. Karena itu deret
konvergen mutlak (absolut).
b. Kita tulis deret itu dalam bentuk βπ=1 ππ , maka : 1
1
1
1
1
1
βπ=1 ππ = + + 6β3 β 16 β 5β5 β 12β6 + β― terdiri dari suku β suku 2 2β2 positif dan negatif. Periksa kekonvergenan deret βπ=1|ππ | yaitu deret : βπ=1 βπ=1
1 6
|sin (2πβ1)π| π βπ 1 π βπ
Karena
1 6
|sin (2πβ1)π| π βπ
β€
1 π βπ
βπ β π΄ dengan deret
konvergen (Uji Integral) maka deret βπ=1
konvergen. Akibatnya deret βπ=1
1 6
|sin (2πβ1)π| π βπ
1 6
|sin (2πβ1)π| π βπ
juga
konvergen mutlak (abolut).
Contoh 15 (Teorema 20) 1
1
Deret geometri βπ=1(β1)π+1 2πβ1 konvergen mutlak karena βπ=1 2πβ1 yang merupakan deret nilai mutlaknya juga konvergen. Deret geometri ini konvergen karena :
1
1
1
1
1
βπ=1(β1)π+1 πβ1 = 1 β + β + β β― = 2 2 4 8 16
1
1
1 2
1β(β )
2
= 32 = 3
Sesuai teorema 20 bahwa deret ganti tanda tersebut diatur kembali suku β suku deretnya dengan mengubahnya sebagai dua deret yaitu : 1
1
1
1
1
1
βπ=1(β1)π+1 πβ1 = (1 + + + β― ) β ( + + + β― ) 2 4 16 2 8 32 βπ=1(β1)π+1
1 2πβ1
=
1 1β
1 4
β
1 2
1β
4
1 4
2
2
= 3β3=3
Jadi jelas bahwa meskipun dilakukan penukaran tempat namun deret itu tetap konvergen. LATIHAN BAB I A. Barisan Tak Terhingga 1. Selidiki kemonotonan dan keterbatasan dari setiap barisan berikut : a. ππ = 3π2 β 6π
sin ππ
d. ππ =
π
2
b. ππ = π + π
π!
e. ππ = 2ππ
3πβ1
c. ππ = 4π+2
3π
f. ππ = 1+3π
2. Ujilah konvergensi
setiap
deret
geometri
berikut
ini. Jika deret
konvergen, carilah jumlahnya! 1
1
1
a.
1+2+4+8+β―
b.
4 β 1 + 4 β 16 + β―
1
c.
3
9
1+2+4+
27 8
+β―
1
3. Carilah jumlah setiap deret berikut : 1
π!
a. β π(π+4)
c. β (π+1)!
2π+1
1
b. β 3πβ2
d. β (4π+3)(4πβ1)
B. Kekonvergenan Suatu Barisan 4. Selidiki kekonvergenan dari setiap barisan berikut : π!
a. ππ = π(π+4) 1+2.10π
b. ππ = 2+3.10π
e. ππ = f. ππ =
cos ππ 1
π βπ
2π+1
i. ππ = β3πβ2
π2 π!
j. ππ =
c. ππ =
(β1)π +2π
1
g. ππ = 1+
π2
π3 +π2
βπ
π
3π2 +2πβ1
sin π
2π+1
1
h. ππ = βπ4
d. ππ = 2π+1 β1
+1
C. Deret Tak Hingga Dan Kekonvergenannya 5. Selidiki kekonvergenan dari setiap deret berikut ini : π
e. βπ=1
a. βπ=1 2π+3 b. βπ=1 c.
(β1)π+1
6
i. βπ=1 πβ4
3
π βπ
f. βπ=1 π βπ πΌπ π
3π
π
j. βπ=1 2π.3π
1
g. βπ=1 (1 + π2 )
πΌπ π βπ=2 (2π)!
d. βπ=1
cos ππ
3π+1
h. βπ=1 5πβ1
2π βπ2 2π+1
6. Buktikan deret-deret berikut : π
a. lim βππ=1 π2 +π 2 = πβ~
π 4
π
b. βπ=1 π2 +3π+2 konvergen ke
1 2
7. Sebuah bola dijatuhkan tegak lurus pada sebuah tabung tegak dari ketinggian 1 meter. Pada setiap saat bola memantul dari bidang, ketinggiannya selalu 2/3 dari semula. Tentukan jarak total dari lintasan bola itu. D. Uji Kekonvergenan Deret Positif 8. Dengan menggunakan salah satu tes konvergensi yang ada pada teorema 14 sampai dengan 18, selidiki kekonvergenan deret β deret berikut. π
a. βπ=1 π2 +1 b. βπ=1
π2 +3π 3π+1 π3
c. βπ=2 (2π)! d. βπ=1
2π +π π!
π+1
e. βπ=1 πβ3πβ2 π+3
f. βπ=1 π2 g. βπ=1
βπ
πΌπ βπ π2
π!
i. βπ=1 π100 j. βπ=1
4+cos π π π3 1
1 π
k. βπ=1 (2 + π)
2π+1
h. βπ=1 (3π+4)
E. Deret Ganti Tanda 9. Selidiki apakah deret β deret berikut konvergen mutllak, konvergen bersyarat atau divergen!
π+1
a. βπ=1(β1)π
π2 1
b. βπ=1(β1)π+1 c. βπ=1(β1)π
π.3π
ππ π!3π 1
d. βπ=1(β1)π+1
π πΌπ2 π π2
e. βπ=1(β1)π+1 f. βπ=1(β1)π g. βπ=1
1 π βπ
π 2 π2
sin( )π
h. βπ=1(β1)π i. βπ=1
ππ
βπ π(βπ+1)
(β1)π+1 βπ+1+βπ 1.3.5β¦β¦.(2πβ1)
j. βπ=1 1.4.7β¦β¦.(3πβ2)
BAB II DERET PANGKAT A. Pengertian Deret Pangkat Dan Selang Kekonvergenan Deret Pangkat Suatu deret yang suku β sukunya memuat variabel disebut deret pangkat. Deret pangkat dinamakan juga deret Kuasa. Deret geometri dengan suku awal I dan rasio x adalah : βπ=0 π₯ π = 1 + π₯ + π₯ 2 + π₯ 3 + β― , |π₯| < 1
deret ini konvergen ke
1 1βπ₯
Generalisasi dari deret ini , disini akan kita definisikan deret pangkat dimana koefisien dari setiap sukunya tidak tetap sebagai berikut. Defenisi 1 Deret βπ=0 ππ π₯ π = ππ + π1 π₯ + π2 π₯ 2 + β― dinamakan deret pangkat dalam x yang berpusat di O dan konvergen untuk π₯ = 0. (ii) Deret β ππ (π₯ β π)π = ππ + π1 (π₯ β π) + π2 (π₯ β π)2 + β― dinamakan deret pangkat dalam (π₯ β π) yang berpusat di c dan konvergen untuk (π₯ = π) (i)
Untuk setiap harga x pada defenisi diatas kan menjadi deret tak hingga dari suku-suku konstan yang mungki n konvergen atau divergen. Daerah harga β harga x yang memberikan konvergensi pada deret pangkat disebut βselang konvergensiβ. Untuk menentukan selang β selang konvergensi ini dapat digunakan tes banding atau tes akar yang selanjutnya juga masih harus diselidiki konvergensinya pada ujung β ujung interval. Contoh 1 Tentukan interval konvergnsi dari deret berikut. a. βπ=1(β1)πβ1 b. βπ=0 π! π₯
1
π₯π π
c. βπ=0
(π₯β3)π π 3π
π
Jawab a.
1
ππ = (β1)πβ1 π π₯ π
Misalkan π₯ π+1 π
lim | π+1
πβ~
π₯π
π
| = lim |π₯| lim π+1 |π₯|. 1 = |π₯|. πβ~
πβ~
|π₯| < 1 atau β1 < π₯ < 1.
ππ+1
Dengan tes banding lim | πβ
ππ
|=
Deret konvergen absolut jika
1
1
1
Untuk x=1 deret menjadi 1 β 2 + 3 β 4 + β― 1
1
Suatu dere konvergen bersyarat untuk x=-1 , deret menjadi β (1 β 2 + 3 β 1 4
+ β― ) suatu deret yang divergen.sehingga deret diatas konvergen dalam selang
β1 < π₯ < 1 dan divergen pada selang π₯ β€ β1 atau π₯ > 1. b.
Misalkan ππ = π! π₯ π . Dengan tes banding : ππ+1
lim |
πβ~
ππ
(π+1)!π₯ π+1
| = lim |
π! π₯ π
πβ~
={
| = lim |(π + 1)π₯| πβ~
0, ππππ π₯ = 0 π₯~, ππππ π₯ β 0
Jadi deret ini konvergen hanya untuk x=0 dan divergen untuk x lainnya. c.
(π₯β3)π
Misalkan ππ = ππ+1
lim |
πβ~
ππ
π.3π
. dengan tes banding
(π₯β3)π+1
| = lim |(π+1)3π+1 πβ~
π.3π
π₯β3
(π₯β3)π
|=|
3
π
π₯β3
| lim π+1 = | πβ~
3
|
π₯β3
Deret akan konvergen apabila | atau 0 0 Sehingga : |π(π₯, π¦) β πΏ| < π apabila 0 < β(π₯. π₯π )2 + (π¦ β π¦π )2 < πΏ
Atau jika π(π₯, π¦) β πΏ apabila (π₯, π¦) β (π₯0 , π¦0 ). Atau apabila harga mutlak selisih antara π(π₯, π¦) dan πΏ dapat dibuat kecil sekehendak kita dengan mengambil (x,y) cukup dekat ke (π₯0 , π¦0 ) tetapi tidak sama dengan (π₯0 , π¦0 ). Secara geomeri, definisi diatas terlihat pada gambar β 7 yang menunjukkan sebagian permukaan di atas cakaram buka π((π₯0 , π¦0 , π§0 ) βΆ π) dengan persamaan π = π(π₯, π¦).
Tampak pada gambar bahwa nilai π(π₯, π¦) = πΏ. Pada sumbu Z dibatasi oleh πΏ β π dan πΏ + π apabila (π₯0 , π¦0 ) diambil pada cakram buka ((π₯0 , π¦0 ): πΏ) dibidang XOY.