FD M5 KB2 Asti LKPD Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat [PDF]

Citation preview

KELAS : KELOMPOK: ANGGOTA KELOMPOK: 1.. 2. 3. 4. 5.



SMA KELAS XI PEMINATAN Alokasi Waktu: 2 x 45 Menit



LKPD



LEMBAR KEGIATAN PESERTA DIDIK



PERSAMAAN TRIGONOMETRI (BENTUK KUADRAT)



KOMPETENSI DASAR 3.1 Menjelaskan dan menentukan penyelesaian persamaan trigonometri 4.1 Memodelkan dan Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan trigonometri



INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI



3.1.4. Menentukan penyelesaian persamaan trigonometri bentuk kuadrat 4.1.2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan trigonometri bentuk kuadrat



PERSAMAAN TRIGONOMETRI (BENTUK KUADRAT) Mengamati



Waktu : 5 Menit



Ingat Kembali



Amati persamaan trigonometri pada tabel berikut ini. 1 𝑎 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑏 sin 𝑥 + 𝑐 = 0 Misalkan : sin 𝑥 = 𝑝 Maka, 𝑎 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑏 sin 𝑥 + 𝑐 = 0 𝑎 𝑝2 + 𝑏 𝑝 + 𝑐 = 0 ........................(persamaan 1) 2 𝑎 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑏 cos 𝑥 + 𝑐 = 0 Misalkan : cos 𝑥 = 𝑞 Maka, 𝑎 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑏 cos 𝑥 + 𝑐 = 0 𝑎 𝑞 2 + 𝑏 𝑞 + 𝑐 = 0 ........................(persamaan 2) 3 𝑎 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 𝑏 tan 𝑥 + 𝑐 = 0 Misalkan : tan 𝑥 = 𝑟 Maka, 𝑎 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 𝑏 tan 𝑥 + 𝑐 = 0 𝑎 𝑟 2 + 𝑏 𝑟 + 𝑐 = 0 ........................(persamaan 3)



Rumus- Rumus Trigonometri 1



csc 𝑥 = sin 𝑥 1



sec 𝑥 = cos 𝑥 tan 𝑥 =



sin 𝑥 cos 𝑥



𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 + 1 = 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 sin 2𝑥 = 2 sin 𝑥 cos 𝑥 cos 2𝑥 = 1 − 2 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 cos 2𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 1 cos 2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 2 tan 𝑥



tan 2𝑥 = 1−𝑡𝑎𝑛2 𝑥 sin 3𝑥 = 3 sin 𝑥 − 4𝑠𝑖𝑛3 𝑥



Perhatikan bahwa persamaan 1, 2, dan 3, adalah persamaan kuadrat. Dapatkah kalian menentukan nilai sudut yang memenuhi persamaan-



cos 3𝑥 = 4𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 − 3 cos 𝑥 (sin 𝑥 − cos 𝑥)2 = 1 − 2 sin 𝑥 cos 𝑥



persamaan tersebut? Bagaimanakah cara menentukan sudut yang memenuhi persamaan tersebut?



Menanya



Waktu : 5 Menit



Coba kalian buat pertanyaan-pertanyaan yang bisa kalian temukan pada kegiatan mengamati tersebut ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................



Mengumpulkan Informasi



Waktu : 5 Menit



Carilah berbagai informasi yang kalian butuhkan untuk menemukan jawaban dari pertanyaan yang kalian buat dari berbagai sumber. ......................................................................................... ......................................................................................... ......................................................................................... ......................................................................................... ......................................................................................... ......................................................................................... ......................................................................................... ......................................................................................... ......................................................................................... ......................................................................................... ......................................................................................... ......................................................................................... ..........................



Mengasosiasikan Kegiatan 1 : Menentukan penyelesaian persamaan trigonometri bentuk kuadrat



Waktu : 20 Menit



1. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 5 cos 𝑥 + 2 = 0 untuk 0° ≤ 𝑥 ≤ 360° Penyelesaian : Misalkan : cos 𝑥 = ⋯, maka : 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 5 cos 𝑥 + 2 = 0 2 (… )2 − 5(… ) + 2 = 0 (… … … )(… … … ) = 0



Karena : … = cos 𝑥, maka : cos 𝑥 = ⋯ atau



cos 𝑥 = ⋯



𝑥 = ⋯ + 𝑘. 360° Atau 𝑥 = − ⋯ ° + 𝑘. 360°



𝑥3 = ⋯



Untuk k = ..., maka : (… … … ) = 0 atau … = ⋯ atau



(… … … ) = 0 …=⋯



𝑥1 = ⋯ ° + (0). 360° = ⋯ ° 𝑥2 = ⋯ ° + (… ). 360° … °



Maka, himpunan penyelesaian yang memenuhi persamaan 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 5 cos 𝑥 + 2 = 0 untuk 0° ≤ 𝑥 ≤ 360° adalah {… °, … °}



2. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan sin 𝑥 − 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 = 0 untuk 0° ≤ 𝑥 ≤ 720° Untuk k = 0 Penyelesaian : 𝑥1 = ⋯ … … … … … … … … … … Misalkan : sin 𝑥 = ⋯, maka : ................................................................................................................ 𝑥2 = ⋯ … … … … … … … … … … ................................................................................................................ 𝑥3 = ⋯ … … … … … … … … … … ................................................................................................................ 𝑥4 = ⋯ … … … … … … … … … … Untuk k = 1 ................................................................................................................ 𝑥5 = ⋯ … … … … … … … … … … ................................................................................................................ 𝑥 = ⋯ … … … … … … … … … … 6 ................................................................................................................ 𝑥 = ⋯ … … … … … … … … … … 7 ................................................................................................................ 𝑥8 = ⋯ … … … … … … … … … … ................................................................................................................ Untuk k = 2 ................................................................................................................ 𝑥9 = ⋯ … … … … … … … … … … ° ................................................................................................................ ................................................................................................................ Maka, himpunan penyelesaian yang memenuhi persamaan 2 ................................................................................................................ sin 𝑥 − 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 0 untuk 0° ≤ 𝑥 ≤ 720°adalah ................................................................................................................ {… … … … … … … … … … … … … … … … … … … . . } ................................................................................................................ 3. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan 𝑡𝑎𝑛 2 𝜃 − 2 tan 𝜃 = −1 untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 6𝜋



Penyelesaian :



Kegiatan 2 : Menentukan penyelesaian persamaan trigonometri bentuk kuadrat (Lanjutan)



Waktu : 20 Menit



4. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝛼 = 0 untuk 0° ≤ 𝑥 ≤ 360° Penyelesaian : 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝛼 = 0 (… … … … ) − 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝛼 = 0 ……………… = 0 Misalkan : … … = ⋯ ……………… = 0 ………… = 0 … …2 = … …



… = ±√… … = ±⋯



Karena : … = ⋯ … ……… = ⋯ atau ……… = ⋯ (𝐺𝑢𝑛𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚𝑒𝑛𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 .... yang bernilai … … … ) ……… = ⋯ 𝛼 = ⋯ ° …′ + 𝑘. 360°



atau



……… = ⋯ 𝛼 = (… ° + ⋯ ° …′ ) + 𝑘. 360° = ⋯ ° …′ + 𝑘. 360° 𝛼 = (… ° − ⋯ ° … ′) + 𝑘. 360° = ⋯ ° … ′ + 𝑘. 360°



Untuk k = 0



𝛼1 = 35°16′ + (0). 360° = 35°16′ 𝛼2 = 215°16′ + (0). 360 = 215°16′ 𝛼3 = 324°44′ + (0). 360° = 324°44′



Maka, himpunan penyelesaian yang memenuhi persamaan 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝛼 = 0 untuk 0° ≤ 𝑥 ≤ 360° adalah {35°16′ , 215°16′ , 324°44′}



5. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan 3 + cos 2𝑥 = 8 cos 𝑥 untuk 0° ≤ 𝑥 ≤ 180° Penyelesaian : 3 + cos 2𝑥 = 8 cos 𝑥 … + (… … … … … … ) = ⋯ ……………………… = 0 Misalkan : cos 𝑥 = ⋯ , maka : 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 8 cos 𝑥 + 2 = 0 …………………………… = 0 𝑝1,2 =



−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎



𝑝1,2 =



…………………………………….. ……………..



𝑝1,2 =



………………………. ………..



𝑝1,2 = ⋯ … … … … .. 𝑝1,2 = ⋯ … … … … .. 𝑝1 = ⋯ … … … … .. 𝑝2 = ⋯ … … … … ..



Karena : 𝑝 = cos 𝑥 atau



cos 𝑥 = ⋯



cos 𝑥 = ⋯ 𝑥 = ⋯……………………………



(𝐺𝑢𝑛𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚𝑒𝑛𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 cos x yang bernilai .........) cos … ° …′ = ⋯ (𝑛1 ) cos … ° …′ = ⋯ (𝑛2 ) 𝑑1 = (… … … ) − (… … … ) = (… … … ) (Selisih 𝑝1 dan 𝑛1 ) 𝑑2 = (… … … ) − (… … … ) = (… … … ) (Selisih 𝑛2 dan 𝑛1 ) 𝑑=



60×𝑑1 𝑑2



=



60×……… ……… ′



= ⋯ ′′



𝑐𝑜𝑠 𝑥 = cos … ° … … ′′ 𝑥 = ⋯ ° …′ … ′′ + 𝑘. 360° Untuk k = 0 𝑥1 = ⋯ ° …′ …′′ + (… ). 360° = ⋯ ° …′ … ′′



Maka, himpunan penyelesaian yang memenuhi persamaan 3 + cos 2𝑥 = 8 cos 𝑥 untuk 0° ≤ 𝑥 ≤ 180°adalah {… ° …′ … ′′}



KESIMPULAN Langkah dalam menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk kuadrat yakni : ...................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................... ........................................................