Fungsi Ganjil Dan Fungsi Genap [PDF]

Citation preview

Fungsi ganjil dan fungsi genap dalam matematika adalah fungsi yang memenuhi hubungan simetris tertentu, terhadap invers aditifnya. Penting dalam banyak bidang analisis matematika, terutama teori deret pangkat dan deret Fourier. Fungsi-fungsi ini dinamai menurut parity pangkat dari fungsi pangkat yang memenuhi setiap kondisi tertentu: fungsi f(x) = xn adalah suatu fungsi genap jika n adalah sebuah interger genap. fungsi f(x) = xn adalah suatu fungsi ganjil jika n adalah sebuah interger ganjil. A. Menguji fungsi dengan aljabar 1. Cari lawan dari variabel. Di dalam aljabar, lawan dari sebuah variabel adalah nilai negatifnya. Hal ini berlaku entah variabel dalam fungsi adalah {\displaystyle x} atau apa pun. Jika variabel dalam fungsi asal sudah bertanda negatif (atau dalam bentuk pengurangan), lawannya adalah positif (atau penjumlahan). Di bawah ini ada beberapa contoh variabel dan lawannya: lawan dari x adalah -x lawan dari -y adalah y 2. Ganti masing-masing variabel pada fungsi dengan lawannya. Jangan ubah fungsi asal kecuali tanda variabelnya. Misalnya: f(x)=4x²-7 menjadi f(-x)=4(-x)²-7 g(x)=5x^{5}-2x menjadi g(-x)=5(-x)^{5}-2(-x) h(x)=7x²+5x+3 menjadi h(-x)=7(-x)²+5(-x)+3 3. Sederhanakan fungsi yang baru. Pada tahap ini, kita tidak perlu memperhatikan solusi angka dari fungsi ini. Kita hanya ingin menyederhanakan variabel untuk membandingkan fungsi yang baru, f(-x), dengan fungsi semula, f(x). Ingat aturan dasar pemangkatan bahwa jika sebuah angka negatif dipangkatkan dengan angka genap, hasilnya akan positif, dan jika angka negatif dipangkatkan dengan angka ganjil, hasilnya akan negatif. f(-x)=4(-x)^{2}-7 f(-x)=4x^{2}-7 g(-x)=5(-x)^{5}-2(-x) g(-x)=5(-x^{5})+2x g(-x)=-5x^{5}+2x h(-x)=7(-x)^{2}+5(-x)+3 h(-x)=7x^{2}-5x+3}



4. Bandingkan kedua fungsi. Pada setiap contoh yang kita uji, bandingkan fungsi f(-x) yang sudah disederhanakan dengan fungsi awal f(x). Sejajarkan suku yang sama supaya mudah dibandingkan dan bandingkan tanda dari semua suku. Jika keduanya sama, f(x)=f(-x), dan fungsi yang kita uji adalah sebuah fungsi genap. Contohnya: f(x)=4x^{2}-7 dan f(-x)=4x^{2}-7 Kedua fungsi ini sama, maka fungsinya adalah fungsi genap. Jika setiap suku pada fungsi yang baru berlawanan dengan suku yang berseberangan pada fungsi semula, f(x)=-f(-x), dan fungsinya adalah sebuah fungsi ganjil. Contoh: g(x)=5x^{5}-2x tetapi g(-x)=-5x^{5}+2x Perhatikan bahwa setiap kali Anda mengalikan setiap suku pada fungsi pertama dengan -1, hasilnya adalah fungsi kedua. Oleh karena itu, fungsi pertama g(x) adalah fungsi ganjil. Jika fungsi baru tidak memenuhi salah satu dari kriteria di atas, fungsinya bukanlah fungsi genap maupun ganjil. Contoh: h(x)=7x^{2}+5x+3 tetapi h(-x)=7x^{2}-5x+3. Suku pertama sama pada kedua fungsi, tetapi suku keduanya merupakan lawan. Oleh karena itu, fungsi ini tidak genap maupun ganjil.



Contoh dari fungsi genap adalah f(x) = x²+1 , sebab untuk setiap bilangan riil x berlaku f(-x) = (-x)²+1= x²+1= f(x) Perhatikan juga grafik dari fungsi y=f(x)=x²+1 sebagai berikut:



Grafik tersebut terlihat seperti pencerminan terhadap sumbu-y.