GAUUS MAJU DAN MUNDUR Edit [PDF]

Citation preview

MAKALAH METODE NUMERIK “INTERPOLASI GAUSS MAJU DAN MUNDUR” Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Metode Numerik Dosen Pengampu : Dr. Sutini, M.Si.



Disusun Oleh : 



Asrori



(D74218037)







Firdausi Nuzula



(D74219026)







Fitriana Salsabila



(D74219027)







Putri Rahmawati



(D04219012)







Maulida Firdausi



(D04219006)



PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS TARBIYAH DAN KEGURUAN UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN AMPEL SURABAYA 2020/202



HALAMAN JUDUL MAKALAH METODE NUMERIK “INTERPOLASI GAUSS MAJU DAN MUNDUR”



Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Metode Numerik Yang diampuh oleh ibu Dr. Sutini, M.Si.



Disusun Oleh : 



Asrori



(D74218037)







Firdausi Nuzula



(D74219026)







Fitriana Salsabila



(D74219027)







Putri Rahmawati



(D04219012)







Maulida Firdausi



(D04219006)



PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS TARBIYAH DAN KEGURUAN UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN AMPEL SURABAYA 2020/2021



i



KATA PENGANTAR Assalamu’alaikum warahmatullahi wabarakatuh Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberikan nikmat serta hidayah-Nya terutama nikmat kesempatan dan kesehatan sehingga kami bisa menyelesaikan makalah mata kuliah “Metode Numerik”. Shalawat serta salam kita sampaikan kepada Nabi besar kita Muhammad SAW yang memberikan teladan dalam kehidupan dan menjadi rahmat bagi seluruh alam. Kami berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat serta memberikan pengaruh yang baik bagi para pembaca. Kami menyadari sepenuhnya jika makalah ini masih ada kekurangan dan kelemahan baik dari segi susunan maupun tata bahasanya.Tentunya kami memohon maaf atas kekurangan dalam penulisan makalah ini. Oleh karena itu kami mengharapkan kritik serta saran maupun masukan yang membangun dari berbagai pihak demi kemajuan penerbitan makalah. Wassalamu’alaikum warahmatullahi wabarakatuh



Surabaya, 07 April 2021



Penulis



DAFTAR ISI



HALAMAN JUDUL........................................................................................................................i KATA PENGANTAR.....................................................................................................................ii DAFTAR ISI..................................................................................................................................iii BAB I PENDAHULUAN................................................................................................................1 1.1



Latar Belakang..................................................................................................................1



1.2



Rumusan Masalah.............................................................................................................1



1.3



Tujuan...............................................................................................................................1



BAB II PEMBAHASAN.................................................................................................................3 2.1



Interpolasi gauss maju.......................................................................................................3



2.2



Contoh Interpolasi gauss maju..........................................................................................4



2.3



Interpolasi gauss mundur..................................................................................................6



2.4



Contoh Interpolasi gauss mundur.....................................................................................8



BAB III PENUTUP.......................................................................................................................10 3.1



Simpulan.........................................................................................................................10



3.2



Saran................................................................................................................................11



DAFTAR PUSTAKA....................................................................................................................12



BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Kalimat y = f(x), x0 ≤ x ≤ xn adalah kalimat yang mengkorespodensikan setiap nilai x di dalam x0 ≤ x ≤ xn dengan satu atau lebih nilai-nilai dari y. Anggaplah bahwa f(x) bernilai tunggal, kontinu dan diketahui dalam bentuk eksplisit maka nilai-nilai f(x) berkorespodensi dengan tepat dari nilai-nilai x yang diberikan sebutlah x0, x1, x2, …xn yang didapat dihitung dan ditabulasi dengan mudah. Pusat permasalahan dari analisis numerik adalah pernyataan konversi berikut : diketahui set dari daftar nilai-nilai (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2), …(xn, yn) yang memenuhi relasi y = f(x) dengan bentuk eksplisit f(x) tak diketahui dari kondisi seperti itu akan dicari fungsi yang sederhana, sebutlah ∅(x) , sedemikian hingga f(x) dan ∅(x) bersesuaian pada set dari daftar titik-titik tersebut. Proses seperti ini disebut interpolasi. Bila ∅ (x) suatu polinom maka proses demikian disebut interpolasi polinom. Interpolasi berarti mengestimasi nilai fungsi yang tidak diketahui dengan menggunakan nilai-nilai fungsi dititik-titik sekitarnya.



1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang tersebut, maka muncul permasalahan yaitu : 1. Apa definisi dari interpolasi GAUSS MAJU? 2. Bagiamana cara menyelesaikan permasalahan dengan interpolasi gauss maju? 3. Apa definisi dari interpolasi gauss mundur? 4. Bagaimana cara menyelesaikan permasalahan dengan interpolasi gauss mundur? 1.3 Tujuan Dengan rumusan masalah diatas, makalah ini dibentuk bertujuan untuk : 1. Mengetahui definisi dari interpolasi gauss maju



1



2. Mengetahui cara menyelesaikan permasalahan dengan interpolasi gauss maju 3. Mengetahui definisi dari interpolasi gauss mundur 4. Mengetahui cara menyelesaikan permasalahan dengan interpolasi gauss mundur



BAB II PEMBAHASAN A. Interpolasi Gauss Mundur Sebagaimana interpolasi Gauss maju, interpolasi Gauss mundur juga digunakan jika data yang ingin dicari adalah mendekati nilai tengah. Sehingga perhitungan interpolasi dilakukan dengan nilai bagian tengah dari tabel. Berbeda dengan Interpolasi Gauss Maju yang dimulai dari nilai positif (∆ U 0), Interpolasi Gauss Mundur dimulai dari negative terlebih dahulu (∆ U -1), ∆2U x



∆3U x



∆4 Ux



∆5U x



∆ U -2



∆ 2 U -3



∆ 3 U -3



U-1



∆ U -1



∆ 2 U -2



∆ 3 U -2



∆ 4 U -3



∆ 5 U -3



0



U0



∆U0



∆ 2 U -1



∆ 3 U -1



∆ 4 U -2



∆ 5 U -2



1



U1



∆U1



∆2U 0



∆3U 0



∆ 4 U -1



2



U2



∆U2



∆2U 1



3



U3



x



Ux



∆Ux



-3



U-3



∆ U -3



-2



U-2



-1



∆6U x



∆ 6 U -3



Sel yang diarsir pada tabel diatas merupakan nilai yang digunakan untuk perhitungan interpolasi Newton Mundur, ∆ U 0 ¿ ∆ U -1+ ∆2 U -1 ∆ 3 U -1¿ ∆ 3 U -2+ ∆4 U -2 ∆ 5 U -2 ¿ ∆ 5 U -3 + ∆6 U -3 Lalu substitusikan ke dalam persamaan U0 +x ∆ U0



+ x2 2 + x3 3 + x 4 4 ∆ U0 ∆ U0 ∆ U 0 +… 2! 3! 4!



Dan akan menghasilkan rumus Interpolasi Gauss Mundur



Ux ¿ U 0 + x ∆ U -1



+(x +1)(2) 2 +(x +1)(3) 3 +(x +1)(4) 4 ∆ U -1 ∆ U -2 ∆ U -2 +… 2! 3! 4!



Atau lebih rincinya f( x)=a0 +a 1¿0¿ ¿1¿ → a1 ¿ y 0 ¿ U 0 ¿0, x 1¿ → a1 ¿



y 1− y 0 x 1−x 0



∇2 U−1 ¿ ¿0¿ h ¿



∇2 U−1 ph h



¿ p ∇ 2 U -1 ∴ a1¿ p ∇ 2 U -1 ¿-1, x 0, x 1¿ y 0− y−1 y 1− y 0 ∆ U−1 ∆ U 0 − − h ∆2 U −1 0¿ ¿1¿ → a2 ¿ x 0−x −1 x 1−x 0 = h = ¿ 2h 2h 2 h2 ¿



∇2 U−1 ( )( ph p+1 ) h 2!



∴ a2¿=



∇2 U−1 ( ) ( ph p +1 ) 2!



Dari penjelasan di atas maka akan dihasilkan rumus umum dari Interpolasi Gauss Mundur



Ux = U0 + p ∆ U 0 +



p (p +1) 2 p (p +1)(P−1) 3 ∆ U-1 + ∆ U-2 + 2! 3!



p (p +1)(P−1)( p+ 2) 3 ∆ U-2 + … 4! Hitunglah nilai f (0,8) dan tentukan nilai x (0,8) apabila di berikan tabel diferensi berikut ini Contoh



(pendekatan hingga ∆ 3)



Penyelesaian : Diket : h = 0,4 x = 0,8 𝑥0 = 0,9 P = 𝑥/ℎ− 𝑥0/ℎ = 0,8/0,4− 0,9/0,4 = -0,25 Dit : f(0,8)…? Jawab = U0 + p ∆ U 0 +



p (p +1) 2 p (p +1)(P−1) 3 ∆ U-1 + ∆ U-1 2! 3!



= 0,783333 + (-0,25)(0,30390) +



(−0,25)(−0,25+ 1) (-0,12367) + 2!



(−0,25)(−0,25+ 1) (-0,04797) 3! = 0,783333 + (-0,25)(0,30390) +



(−0,25)(−0,75) (-0,12367) + 2



(−0,25)(−0,25+ 1) (-0,04797) 6 = 0,78333 – 0,07598 + 0,01159 – 0,00187 f(0,8) = 0,71707 Dengan menggunakan Interpolasi Gauss Mundur didapatkan hasil bahwa jika x = 0,8 maka 𝑼𝒙/𝒇(𝟎,𝟖) = 𝟎,𝟕𝟏𝟕𝟎𝟕



BAB III PENUTUP 3.1 Simpulan 3.2 Saran



DAFTAR PUSTAKA Purcell, Edwin J. dan Verberg, Dale, Kalkulus dan Geometri Analitis (terjemahan), Penerbit Erlangga, 1989



Fuad, Yusuf. 2014. Metode Numerik 1. Surabaya : Jurusan Matematika FMIPA Unesa. https://www.researchgate.net/publication/343547085 (Diakses pada tanggal 27 Maret 2021) https://www.youtube.com/watch?v=fxsAjaTwm0I (Diakses pada tanggal 01 april 2021)