Hanjar 1 [PDF]

Citation preview

1



BAB I PENDAHULUAN 1.



Umum. a. Probabilitas dan Statistik adalah ilmu yang mempelajari tentang teori kemungkinan pada setiap kegiatan yang mungkin akan terjadi, seberapa besar kemungkinan itu terjadi dalam suatu kegiatan. Sedang statistic adalah ilmu yang mempelajari bagaimana proses pengolahan data dan penyajian data sehingga setiap kegiatan akan dapat diketahui dengan mudah. b. Pada proses penelitian kemungkinan kemungkinan untuk mendapat data penelitian harus benar benar diperhitungkan sehingga proses penelitian dapat berjalan sfektif dan efisien. Ditambah dengan pengolahan dan penyajian data yang tepat akan mempermudah untuk menganalisa dan membahas hasil penlitian, sehingga dapat diambil kesimpulan dari hasil penelitian sesuai dengan desain penelitian. c. Hal-hal lain yang berhubungan dengan rencana kegiatan penelitian benar benar harus dapat diprediksi dan di sesuaikan dengan rencana penelitian sehingga tidak mengalami hambatan yang berarti dan dapat diambil kesimpulan dengan hasil yang maksimal.



2.



Maksud dan Tujuan. a. Maksud. Bahan ajaran ini dimaksudkan sebagai bahan pegangan bagi dosen (Gadik) dan para mahasiswa D-4 Teknik Otoranpur Poltekad dalam rangka mendukung kelancaran proses belajar mengajar sehingga diharapkan mendapatkan hasil yang maksimal. b. Tujuan. Tujuannya agar proses belajar mengajar mata Probalitas dan statistik dapat berlangsung dengan baik sehingga para mahasiswa D4 teknik Otoranpur Poltekad dapat mempelajari kapan dan dimanapun dalam lingkunag kampus dan mess..



3.



Ruang lingkup dan Tata urut. \ Ruang lingkup mata kuliah Probalitas dan statistik meliputi pengetian dasar probabilitas, pembuatan table distribusi, teori statistic dalam pengolahan data dan memperlancar dalam pengolahan dan menampilkan data penelitian , dengan tata urut tulisan sebagai berikut : a. Pendahuluan b. Pengantar statistic dan probabilitas c. Ukuran Lokasi dan Variasi d. Analisis Korelasi regresi sederhana e. Peubah acak ( variable random) f. Distribusi Peluang Diskrit. g. Distribusi Peluang kontinyu h. Desain eksperimen i. Hipotesa dan pengujian Hipotesa. j. Penutup



2



BAB II PENGANTAR STATISTIC DAN PROBABILITAS 4.



Statistik dan Statistika Saat menuliskan laporan penelitian atau membuat hasil pengolahan data, kata statistik dan statistika sering dijumpai dan digunakan di dalamnya. Kedua kata ini memang memiliki keterkaitan dan lazim digunakan dalam penyelesaian masalah yang ada kaitannya dengan data. Namun, kedua kata ini memiliki makna yang sedikit berbeda lho, meskipun intinya cukup mirip. Terkadang, masih ada yang belum mengetahui perbedaan statistik dan statistika. Karena sama-sama digunakan dalam konteks pengolahan data, ada saja orang yang sering salah menggunakan kedua istilah ini. Oleh karena itu, agar tidak lagi bingung dan salah menggunakan istilah, simak penjelasan tentang perbedaan statistik dan statistika pada artikel berikut ini.



5.



Pengertian Statistik dan Statistika



 



Jika dilihat dari asal katanya, baik statistik maupun statistika sama-sama berasal dari kata Bahasa Inggris yang relatif mirip. Dimana Statistika diambil dari kata Bahasa Inggris ‘Statistics’ sementara statistik diambil dari kata Bahasa Inggris ‘statistic’. Kedua kata tersebut memang terlihat sama, namun sebenarnya berbeda. Meskipun demikian, dalam konteks penggunaannya, kedua kata tersebut masih saling berhubungan. a. Pengertian Statistika Statistika adalah sebuah ilmu atau metode ilmiah yang mempelajari tentang bagaimana merencanakan, mengumpulkan, mengelola, menginterprestasi kemudian menganalisa data untuk kemudian mempresentasikan hasil data yang diperoleh. Secara singkat, statistika adalah sebuah cabang ilmu yang berkaitan dengan data-data dan bagaimana mengumpulkannya. Jika merunut pengertian dari Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI), statistika didefinisikan sebagai ilmu yang mempelajari tentang cara menabulasi, mengumpulkan, menganalisis serta menemukan keterangan yang berarti dari data. Data yang dikumpulkan dan dianalisis ini adalah berupa angka-angka. Oleh karena itu, dapat kita simpulkan bahwa statistika adalah sebuah ilmu yang mempelajari tentang mengumpulkan, mengelola, dan mengolah data-data yang ada. b. Pengertian Statistik Berbeda dengan statistika, statistik sendiri adalah hasil data yang ditampilkan dalam bentuk grafik, tabel dan lain sebagainya. Ada pula yang mendefinisikan statistik sebagai sebuah kumpulan data berbentuk angka atau bukan angka yang memiliki kaitan dengan masalah tertentu. Data tersebut kemudian disusun dan disajikan dalam bentuk daftar, tabel, diagram atau bentuk lainnya agar mudah dipahami. Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI), statistik didefinisikan sebagai angka-angka atau catatan yang dikumpulkan,



3



dikelompokkan dan ditabulasi sehingga didapatkan informasi berkaitan dengan masalah tertentu. Angka atau data yang ditampilkan dalam statistik ini diperoleh dari hasil pengumpulan data baik berupa wawancara maupun tanpa wawancara. Oleh karena itu, statistik pada dasarnya adalah data-data yang dihasilkan dari pengolahan yang kita pelajari di statistika. Atau, dengan kata lain, statistika adalah ilmunya, sedangkan statistik adalah datanya. c.



d.



e.



6.



Perbedaan Antara Statistik dan Statistika



Dari pengertian yang dijelaskan di atas, sudah dapat sedikit dilihat perbedaan diantara keduanya. Perbedaan berdasarkan pengertian tersebut, yaitu dimana statistika adalah ilmu atau metode ilmiah yang digunakan untuk mengumpulkan data yang berkaitan dengan persoalan atau masalah tertentu. Sementara statistik adalah data hasil penghitungan atau metode ilmiah yang disajikan dalam bentuk tabel, grafik dan lain sebagainya. Namun, kita akan mencoba membahas lebih lanjut terkait perbedaan antara statistik dan statistika secara lebih detail berdasarkan apa yang menjadi perbedaannya. Berdasarkan Pengertian Berdasarkan pengertian saja, sebenarnya sudah bisa dilihat jika keduanya adalah hal yang berbeda, meskipun saling berkaitan. Statistika sendiri adalah sebuah ilmu yang mempelajari data, atau mempelajari statistik. Sedangkan, statistik adalah data-data itu sendiri yang diolah dan dipelajari menggunakan ilmu statistika. Dari pengertian ini saja sudah terlihat dengan cukup jelas bahwa terdapat perbedaan antara statistik dan statistika. Selain dari pengertian, perbedaan statistik dan statistika bisa dilihat dari beberapa aspek lain.  Berdasarkan Tujuannya Perbedaan selanjutnya yang membedakan antara statistik dan statistika adalah tujuannya. Dua hal ini sama-sama berkaitan dengan pengumpulan, pengolahan dan interpretasi data. Namun, antara statistik dan statistika mempunyai tujuan yang berbeda.



Tujuan Statistika Sebagai sebuah ilmu dan metode ilmiah, statistika digunakan untuk mempermudah dalam pengolahan dan menginterpretasikan data yang sudah dikumpulkan sebelumnya. Dengan menggunakan statistika, data dari sebuah masalah yang sebelumnya sudah dikumpulkan, dapat diolah, diinterpretasikan, dan kemudian digunakan untuk tujuan tertentu. Data hasil pengolahan ilmu statistika inilah yang kelak akan disebut sebagai data statistik. Oleh karena itu, secara umum fungsi statistika adalah untuk mengubah data dan informasi acak menjadi sebuah data statistik yang dapat dimengerti.



4



7.



Tujuan Statistik Nah, berbeda dengan statistika, statistik merupakan hasil data yang sebelumnya sudah dikumpulkan melalui proses atau metode ilmiah dan kemudian diolah serta diinterpretasikan untuk kemudian ditampilkan dalam bentuk grafik atau diagram. Data yang sudah diolah dan ditampilkan inilah yang disebut sebagai statistik. Jadi, tujuan atau fungsi dari statistik adalah mendapat gambaran atas data-data yang sudah dikumpulkan dan dikaji sebelumnya. Dengan begitu, dari data-data tersebut kemudian dapat ditarik kesimpulan atas permasalahan atau persoalan yang sedang dipelajari atau dikaji.



 8.



Metode yang Digunakan pada Statistik dan Statistika Aspek perbedaan statistik dan statistika yang terakhir adalah metode yang digunakan pada keduanya. Pada statistika, metode penelitian yang digunakan terdiri dari dua metode, yaitu survei dan eksperimen. Kedua metode ini sama-sama mempelajari perilaku respons yang diakibatkan oleh perubahan penjelas maupun pengaruhnya. Bedanya hanya pada pelaksanaan dari proses kajian tersebut. Intinya, pada proses statistika, metode yang digunakan berfokus pada pengolahan dan pengelolaan data yang dikumpulkan. Data-data ini kemudian akan dikeluarkan menjadi statistik. Sementara itu, pada statistik, metode kajian yang digunakan adalah dengan memperoleh kumpulan data terlebih dahulu yang didapat dan diolah pada proses statistika untuk kemudian dikaji setelahnya. Intinya, pada statistik, metode yang digunakan lebih banyak bersifat interpretatif terhadap ‘statistik’ apa yang sudah dikeluarkan dari pengolahan menggunakan metode statistika. Jadi itu tadi adalah penjelasan tentang perbedaan statistik dan statistika yang harus Anda ketahui. Tak hanya berbeda dari segi pengertian saja, keduanya juga berbeda pada beberapa aspek. Namun, sebenarnya dari pengertian secara umum saja sebenarnya sudah bisa dibedakan antara statistik dan statistika itu sendiri. Dengan mengetahui perbedaan keduanya, kini Anda sudah tidak salah lagi dalam menggunakan kedua istilah ini.



 9.



Contoh Statistik dan Statistika Bagaimana, sudah cukup jelas belum penjelasan mengenai statistik dan statistika diatas? Nah, agar kita bisa sama-sama mengerti lebih jauh, kali ini kita akan coba membahas mengenai contoh-contoh dari statistik dan statistika pada kehidupan sehari hari. Dengan mengetahui contoh penerapannya pada kehidupan, maka kita akan mampu memahami kedua konsep ini dengan lebih mudah. a. Contoh Statistik



Seperti yang sudah kita pelajari diatas, statistik adalah data hasil pengolahan menggunakan metode statistika yang kemudian dapat diinterpretasi.



5



Berikut ini adalah contoh-contoh statistik pada kehidupan kita sehari-hari Data kependudukan dan perekonomian milik Badan Pusat Statistik



 (BPS)  Data kepemilikan kendaraan bermotor di suatu kawasan perkotaan  Data belanja daerah dan anggaran pemerintah daerah milik Kemenkeu (DPJK)  Data kependudukan suatu desa yang didapatkan lewat survei  Data guna lahan suatu kabupaten yang dikeluarkan oleh dinas pertanahan Jika kita perhatikan diatas, semua contoh mengenai statistik berhubungan dengan data dan informasi tertentu yang terkandung oleh data. Oleh karena itu, dapat kita asumsikan, statistik adalah ‘data’ itu sendiri.   b. Contoh Statistika



Berbeda dengan statistik, statistika lebih banyak membahas mengenai proses pengolahan data-data yang ada agar bisa menjadi sebuah informasi, atau bahasa lainnya, sebuah statistik. Berikut ini adalah contoh-contoh statistika yang kerap dimanfaatkan pada kehidupan sehari hari  Pengolahan data kependudukan suatu wilayah untuk menentukan piramida penduduk dengan menggunakan analisis cohort demografi  Pengolahan data kependudukan suatu wilayah untuk menentukan transisi demografi dengan  Prediksi penduduk di masa depan dengan memanfaatkan proyeksi penduduk aritmatik  Menemukan rata-rata dan standar deviasi dari nilai ujian mahasiswa di suatu universitas  Menemukan median umur penduduk di suatu desa Berdasarkan contoh-contoh diatas, kita dapat menarik kesimpulan bahwa statistika adalah sebuah metode untuk mengolah data-data yang banyak, agar nantinya bisa dihasilkan sebuah statistik dari data tersebut. 10.



Perbedaan Statistik dan Statistika Beserta Contohnya



Meski terlihat sama, terdapat perbedaan statistik dan statistika yang perlu diketahui. Kedua kata tersebut sering digunakan saat akan menulis laporan penelitian. Selain itu, statistik dan statistika juga kerap dijumpai kala membuat hasil pengolahan data.



6



Statistik dan statistika memang lazim digunakan untuk menyelesaikan suatu masalah. Terutama yang berkaitan dengan data. Namun yang jarang disadari, keduanya memiliki makna yang sedikit berbeda. Masih ada beberapa orang yang sering salah menyebutkan kedua istilah tersebut. Agar tidak salah lagi, ada baiknya kalian memahami perbedaan statistik dan statistika lebih dalam. Melansir dari laman insanpelajar. 11.



Pengertian Data Statistik Data merupakan bentuk jamak dari datum. Data tersebut sendiri adalah keterangan-keterangan tentang sebuah hal, bisa berupa sesuatu yang diketahui ataupun dianggap. Jadi dapat ditafsirkan bahwa data itu ialah sebagai sesuatu yang diketahui atau yang dirasakan (anggapan). Kata statistik bukan adalah kata dari bahasa Indonesia asli, secara etimologis kata “statistik” berasal dari kata kedudukan (bahasa latin) yang memiliki persamaan makna dengan kata state (bahasa Inggris) atau kata staat (bahasa Belanda), dan yang dalam bahasa Indonesia diterjemahkan menjadi negara. Pada mulanya, kata “statistik” ditafsirkan sebagai “kumpulan bahan penjelasan (data), baik yang berwujud angka (data kuantitatif) maupun yang tidak berwujud angka (data kualitatif), yang mempunyai makna penting dan manfaat yang besar untuk suatu negara. Namun, pada pertumbuhan selanjutnya, makna kata statistik hanya diberi batas pada “kumpulan bahan penjelasan yang berwujud angka (data kuantitatif)” saja; bahan penjelasan yang tidak berwujud angka (data kualitatif) bukan lagi disebut statistik. Seiring berjalannya masa-masa kata statistik tidak lagi diberi batas untuk kepentingan-kepentingan Negara saja namun sudah dipakai dalam sehari-hari untuk memudahkan masyarakat untuk meneliti sesuatu yang sehubungan dengan data-data. Sehingga sesudah masyarakat mengetahui statistic dan mulai mempergunakannya dalam kehidupan sehari munculah sekian banyak macam nama statistik. Statistik yang menyatakan sesuatu hal seringkali diberi nama statistik tentang hal yang terkaitdidalamnya, contohnya kelompok data yang membicarakan tentang tingkat buatan suatu perusahaan disebut statistik produksi. Banyak permasalahan baik tersebut seperti riset ataupun pemantauan yang ditetapkan dalam format bilangan atau angka-angka. Daftar angka- angka dibentuk atau ditata dan disajikan dalam tabel (terkadang dilengkapi dengan gambarbaik berupa iagrm maupun grafik, urusan ini dilaksanakan bertujuan guna mempermudah menyatakan isi dari data) laksana berikut mungkin dapat membantu kamu memahami statistik lebih lanjut. Maka dapat diputuskan bahwa statistik merupakan kelompok data baik berupa bilangan maupun bukan bilangan yang dibentuk dalam table ataupun diagram yang melukiskan atau mencerminkan suatu persoalaaan. Kata statistik dapat juga dipakai untuk mengaku ukuran sebagai wakil dari kelompok data tentang sesuatu hal. Ukuran ini didapat menurut perhitungan menggunakan kelompok sebagian data yang dipungut dari borongan tentang permasalahan tersebut (misal : persen dan rata-rata). a. Pengertian Data Statistik Menurut Para Ahli  Berdasarkan keterangan dari Prof.Drs.Sutrisno Hadi,MA, Statistik ialah cara untu mengubah data dan unik kesimpulan- benang merah yang teliti dan keputusan-keputusan yang logik dari pengolahan data.  Berdasarkan keterangan dari Prof.Dr.H.Agus Irianto, Statistik ialah sekumpulan teknik maupun aturan-aturan yang sehubungan dengan pengumpulan, pengolahan(Analisis), penarikan kesimpulan, atas data-data yang berbentuk angka dengan memakai suatu asumsi-asumsi tertentu.  Berdasarkan keterangan dari Ir.M.Iqbal hasan,MM, Statistik ialah ilmu yang mempelajari mengenai seluk beluk data, yaitu mengenai



7



pengumpulan, pengolahan, penganalisisa, penafsiran, dan penarikan benang merah dari data yang berbentuk angka.  Berdasarkan keterangan dari Stoel dan Torrie Statistik ialah metode yang menyerahkan cara-cara untuk menilai ketidak tentuan dari penarikan benang merah yang mempunyai sifat induktif.  Berdasarkan keterangan dari Anto dajan Statistik ialah metode/asas-asas mengerjakan/memanipulasi data kuantitatif supaya angkaangka itu berbicara. Statistik ditafsirkan sebagai data kuantitatif baik yang masih belum tersusun maupun yang sudah tersusun dalam format table.  Berdasarkan keterangan dari Suntoyo Yitnosumarto, Statistik ialah studi informasi dengan mempergunakan metodologi dan teknik-teknik perhitungan untuk menuntaskan permasalahan-permasalahan praktis yang hadir di sekian banyak bidang.  Sudjana (1996:7) menyatakan : Fase statistika dimana hanya berjuang melukiskan atau mengalisa kumpulan yang diserahkan tanpa menciptakan atau menarik benang merah tentang populasi atau kumpulan yang lebih besar disebut statistika deskriptif  Iqbal Hasan (2001:7) menyatakan : Statistik deskriptif atau statistik deduktif ialah bagian dari statistik mempelajari teknik pengumpulan data dan penyajian data sehingga gampang dipahami. Statistik deskriptif hanya bersangkutan dengan urusan menguraikan atau menyerahkan keteranganpenjelasan mengenai sebuah data atau suasana atau fenomena. Dengan kata lain, statistik deskriptif bermanfaat menerangkan keadaan, gejala, atau persoalan. Penarikan benang merah pada statistik deskriptif (jika ada) melulu ditujukan pada kelompok data yang ada.  Bambang Suryoatmono (2004:18) mengaku Statistika Deskriptif ialah statistika yang memakai data pada suatu kumpulan untuk menyatakan atau menarik benang merah mengenai kelompok tersebut saja  Pangestu Subagyo (2003:1) mengaku : Yang dimaksud sebagai statistika deskriptif ialah bagian statistika tentang pengumpulan data, penyajian, penentuan nilai- nilai statistika, penciptaan diagramatau gambar tentang sesuatu hal, disini data yang disajikan dalam format yang lebih mudah dicerna atau dibaca. b. Ilmu yang Menggunakan Data Statistik Statistik ialah ilmu dan seni pengembangan dan penerapan cara yang sangat efektif untuk bisa jadi salah dalam benang merah dan perkiraan dapat diduga dengan memakai penalaran induktif menurut matematika probabilitas. (sumber: Statistical Theory in Research, Anderson dan Bancrof) Di dalam pengertian ini diperlihatkan peranan matematika dan probabilitas. Probabilitas di samping dipergunakan guna mengukur tingkat bisa jadi terjadi sebuah peristiwa, pun sangat bermanfaat untuk mengukur unsur-unsur ketidakpastian yang dapat menimbul- kan risiko dalam pemungutan keputusan. Statistika secara luas berarti sebuah ilmu yang mempelajari teknik pengumpulan, pengolahan/pengelompokan, penyajian dan analisa data serta teknik pengambilan benang merah secara umum menurut hasil riset yang tidak menyeluruh. Definisi ini lebih ditekankan untuk urutan pekerjaan dalam mendapat data hingga data itu bermanfaat untuk dasar penciptaan keputusan.Jadi bilamana seseorang membutuhkan data guna dasar pemungutan keputusan, maka data itu harus dikumpulkan, diolah, disajikan dan dianalisis, kemudian dipungut kesimpulannya. Statistika tidak sedikit diterapkan dalam sekian banyak disiplin ilmu yakni : 1. Ilmu-ilmu alam (misalnya astronomi dan biologi) 2. lmu-ilmu sosial (termasuk sosiologi dan psikologi) 3. Bidang bisnis, ekonomi, danindustri 4. Pemerintahan untuk berbagai macam tujuan; sensus penduduk



8



5. Jajak pendapat atau poll/’nq (misalnya dilakukan sebelum pemilihan umum) 6. Jajak cepat (perhitungancepathasilpemilu) atau quick count 7. Di bidang komputasi, statistika dapat pula diterapkan dalam pengenalan pola maupun kepintaran buatan. c. Macam Data Statistik Statistik dapat dipisahkan menjadi dua, yakni statistik deskriptif dan statistik inferensial. Selanjutnya statistik inferensial dapat dipisahkan menjadi statistik parametris dan non parametris. Statistik deskriptif ialah statistik yang dipakai untuk menggambarkan atau meneliti suatu statistik hasil riset tetapi tidak dipakai untuk membuat benang merah yang lebih luas (generalisasi/inferensi). Sedangkan statistik inferensial ialah statistik yang dipakai untuk meneliti data sampel dan hasilnya bakal digeneralisasikan guna populasi di mana sampel diambil. Statistik parametris dipakai untuk meneliti data interval atau rasio yang dipungut dari populasi yang berdistribusi normal. Sedangkan statistik non-parametris dipakai untuk meneliti data nominal dan ordinal dari populasi yang bebas distribusi. a. Data Internal Yaitu data yang menggambarkan suasana atau pekerjaan suatu badan yang dikoleksi sendiri dan hasil datanya dipakai oleh badan tersebut sendiri. Contoh:  Data pengeluaran finansial untuk membayar ongkos produksi perusahaan tekstil  Data hasil buatan pabrik mie “sedaap” b.



Data Eksternal Yaitu data yang menggambarkan suasana atau pekerjaan di luar badan dan data itu tidak ada dalam kegiatan intern sebuah badan. Contoh:  Untuk perusahaan “LG”, data daya beli masyarakat terhadap barang produksinya (seperti TV “Turbo Swing”) ialah data eksternal perusahaan tersebut  Data tingkat kepuasan masyarakat terhadap barang buatan menjadi tolok ukur dalam mengembangkan wilayah pemasaran d.



 penduduk 



Berdasarkan dari Cara Memperoleh 1) Data Primer Yaitu data yang dikoleksi dan diubah sendiri oleh sebuah badan secara langsung serta diterbitkan oleh badan tersebut pula. Contoh: Sensus warga oleh BPS, didapatkan data primer langsung dari Data pengeluaran beras di gudang penyimpanan BULOG 2)



Data Sekunder Yaitu data yang diadukan oleh sebuah badan sedang badan ini tidak secara langsung mengoleksi sendiri tapi didapatkan dari pihak beda yang sudah mengumpulkannya. Contoh:  Data eskalasi atau penurunan nilai tukar rupiah terhadap mata duit asing dari BEJ  Pemeriksaan dan pengumpulan ulang barang impor di pelabuhan dari pihak bea cukai



9



e.



 



Berdasarkan dari Sifat 1) Data Kualitatif Yaitu bisa jadi observasi yang tidak ditetapkan dengan angka-angka. Contoh: Nilai rupiah paling kuat Pengangguran dan kemiskinan bertambah tajam 2)



  jiwa



Data Kuantitatif Yaitu serangkaian observasi atau pengajaran yang dapat ditetapkan dengan angka-angka. Contoh: Nilai rupiah Rp 9.250,00 per US$ di akhir tahun 2006 Jumlah pengungsi dampak banjir di Jakarta sejumlah 1423 a)



Data kuantitatif terbagi atas: (1) Data Diskrit Yaitu data yang melulu mempunyai sebanyak terbatas nilai-nilai. Contoh:  Jumlah mahasiswa di suatu universitas  Banyaknya masyarakat yang menggunakan kendaraan roda dua di wilayah Purwokerto (2) Data Kontinu Yaitu data yang secara teoritis bisa menjalani masing-masing nilai. Disebut pun nilai pemantauan kuantitatif kontinyu. Contoh:  Pengukuran debit air di bendungan  Pengukuran tingkat curah hujan di wilayah Bandung f. Berdasarkan dari Waktu Pengumpulannya 1) Data Cross Section Yaitu data yang dikoleksi pada sebuah waktu tertentu yang dapat menggambarkan suasana atau pekerjaan pada masa-masa tersebut. Contoh:  Data jumlah TKI yang meninggal pada tahun 2006 dampak kekerasan mencerminkan kurangnya perlindungan keselamatan TKI di luar negeri  Bencana meluasnya lumpur lapindo menandakan tidak cukup seriusnya pemerintah dalam menangani korban bencana tersebut. 2)



Data Time Series Yaitu data yang dikoleksi dari masa-masa ke waktu sampai-sampai ada perkembangannya (trend) yang mengindikasikan arah secara umum. Garis trend sangat bermanfaat untuk menciptakan ramalan (forecasting) yang dibutuhkan untuk perencanaan. Contoh:  Data persebaran warga di Indonesia diperlukan untuk perencanaan transmigrasi sebagai upaya pemerataan jumlah persebaran di tiap daerah  Data tingkat curah hujan tiap tahunnya diperlukan untuk mengantisipasi datangnya tanah longsor atau banjir 12.



Statistik dengan Bisnis



10



Beberapa peranan statistik dalam menajemen lembaga-lembaga bisnis, yakni sebagai : a. Perumusan perencanaan b. Alat kontrol, dan c. Dasar penilaian hasil kerja Perumusan perencanaan. Data dibutuhkan dalam proses perencanaan supaya apa yang direncanakan cocok dengan keterampilan yang ada. Suatu perencanaan yang tidak cocok dengan keterampilan yang terdapat adalahperencanaan yang sulit dilaksanakan. Data hasil ramalan bakal memberikan cerminan mengenai sesuatu di masa yang bakal datang termasuk cerminan tentang kemampuan. Misalnya, perencanaan buatan harus tidak jarang kali disesuaikan dengan keterampilan menjual yang digambarkan dengan ramalan penjualan, perencanaan wilayah pemasaran mesti dicocokkan dengan daya beli masyarakat setempat yang terlukis dalam ramalan daya beli. Dengan statistik, rencana dan ramalan dapat diciptakan sebaik mungkin. Hal ini diakibatkan karena statistk dengan analisis korelasinya bakal mempertimbangkan seberapa besar hubungan antara setiap variabel yang bakal diramalkan dan faktor- hal yang mempengaruhinya. Disamping itu, dengan statistik evolusi yang bakal terjadi dapat ditanggulangi sedini mungkin. Para manajer pun dapat memungut keputusan yang lebih baik dengan data statistik karena cerminan tentang keterampilan perusahaan dapat diketahui trend-nya. Data statistik dapat dipakai untuk memahami besarnya buatan yang didapatkan oleh perusahaan, jumlah penjualan, persentase barang yang laku dan barang yang tidak laku, lama masa-masa yang dibutuhkan untuk mengerahkan produk, frekuensi pembelimembeli produk, serta tingkat kepuasaan konsumen terhadap produk yang didapatkan oleh sebuah perusahaan. Data statistik itu sangat dibutuhkan oleh pimpinan perusahaan atau semua manajer dalam menciptakan suatu keputusan. Tidak seluruh data dapat dipakai sebagai dasar pemungutan keputusan oleh manajer perusahaan, sebab data tersebut sendiri mempunyai syarat-syarat tertentu guna dapat disebutkan sebagai data yang baik dan pantas untuk dijadikan dasar dalam analisis statistik nantinya. Data yang salah bilamana digunakan sebagai dasar pemungutan keputusan maka keputusan yang dipungut juga akan salah. Berdasarkan keterangan dari J. Suprantoada,lima kriteria yang mesti diisi oleh sebuah data supaya bisa disebutkan sebagai data yang baik, yakni obyektif, representatif (mewakili), kekeliruan baku (standarbaku) kecil, tepat masa-masa (up to date), dan relevan. 13.



Pengumpulan Data. Pengumpulan data dapat dipisahkan atas sejumlah jenis menurut karakteristiknya, yakni : a. Pengamatan (Observasi). Pengamatan atau peneliti lapangan ini ialah cara pendataan data dengan terjun langsung atau menyaksikan langsung ke lapangan(laboratorium) terhadap objek yang diteliti(populasi). b. Penelusuran Litelatur. penelusuran litelatur atau Pengamatan tidak langsung iyalah teknik pengumpulan data dengan memakai sebagaian ataupun seluruh data yang ada(laporan data) dari peneliti sebelumnya. c. Penggunaan Kuesioner(angket). pemakaian Kuesioner iyalah teknik pengumpulan data dengan menggunakan susunan pertanyaan(angket) ataupun susunan isian terhadap objek yang diteliti(Populasi). d. Wawancara(interview). wawancara iyalah teknik pengumpulan data dengan langsung



11



mengadakan tidak sedikit pertanyaan untuk objek yang dianalisis atau pada perantara yang memahami dari objek yang diteliti. Berdasarkan Banyaknya Data Yang Diambil. Dikenal dua teknik pengumpulan data yakni : 1) Sensus. Sensus iyalah teknik pengumpulan data dengan memungut anggota populasi secara keseluruh guna diselidiki, Data yang dipungut melalui pengumbulan data sensus ini ialah data sebenarnya(true value) atau parameter. 2) Sampling. Sampling iyalah teknik pengumpulan data dengan memungut sebagian saja dari anggota populasi guna diselidiki. data yang didapatkan dari pendataan data sampling ini dinamakan dengan “statistic” tanpa(s) atau “perkiraan (estimate value)” e.



Pengoalahan Data Data yang sudah dikumpulkan(data mentah) yang lantas akan diolah, penguolah dimaksud iyalah sebagai sebuah proses untuk mendapat data ringkasan dari data mentah itu dengan memakai rumus tertentu.



f.



Penyajian Data. Agar data yang diubah dapat dibaca serta dimengerti oleh orang beda , maka butuh disajikan kedalam format bentuk tertentu. Penyajian data memiliki faedah antara beda :  Menunjukan pertumbuhan suatu keadaan.  Mengadakan komparasi pada sebuah waktu. Penyajuan data dapat dilaksanakan melalui tabel ataupun Grafik. 1)



Tabel Data. Tabel Data iyalah penyajuan data dalam format kumpulan angka yang dibentuk menurut keterangan dari kategori-kategori tertentu, dalam sebuah daftar. menurut penataan data , tabel dapat dipisahkan atas sejumlah jenis yaitu: 1. Tabel Frekuensi. Tabel Frekuensi iyalah tabel yang menunjukan atau memuat banyaknya kejadian ataupun Frekuensi dari sebuah kejadian. 2. Tabel Klasifikasi. Tabel Klasifikasi iyalah tabel yang menunjukan atau memuat pengelompokan data. 3. Tabel Kontigen. Tabel kontigen iyalah tanel yang menunjukan atau memuat data dengan cocok serta rinciannya. 4. Tabel Kolerasi. Tabel Kolerasi iyalah tabel yang menunjukan atau memuat adanya korelasi (hubungan) antara data yang disajikan. 2)



Grafik Data. Grafik data atau disebut pun dengan diagram , iyalah penyajian data dalam format gambar-gambar. Grafik seringkali berasal dari tabel. Grafik data sebetulnya iyalah penyajian data secara visual dari data bersangkutan. Grafik data dipisahkan atas sejumlah jenis yakni : 1. Piktogram . Iyalah grafik data yang memakai gambar ataupun



12



2.



3.



4.



5.



14.



1. 2. 1. 2. 3. 4. 5.



emblem dari data tersebut sendiri dengan skala tertentu. Grafik Batang atau Balok. iyalah grafik data berbentuk persegi panjang yang lebarnya sama dan dilengkapi dengan skala atau ukuran dengan data yang bersangkutan. Grafik Garis. Iyalah grafik data berupa garis, yang didapatkan dari sejumlah ruas garis yang menghubungkan titik-titik pada bidang bilangan(sistem Salib Sumbu). Grafik Lingkaran. iyalah data yang berupa lingkaran yang telah dipecah menjadi juring-juring cocok dengan data tersebut. Kartogram. atau peta statistik iyalah grafik data yang berupa peta yang menunjukan kepadatan penduduk, curah hujan , hasil pertanian dan lain-lain.



Jenis Data Statistik dan Contohnya Jenis data adalah konsep statistik yang penting, yang perlu dipahami, untuk menerapkan pengukuran statistik dengan benar pada data, sehingga kesimpulan yang dibuat untuk asumsi tertentu tentang data tersebut juga benar. Adapun Secara garis besar data statistik bisa dibedakan menjadi dua, yaitu: a. Kategoris Data kategoris merepresentasikan karakteristik. Oleh karena itu, data dapat mewakili hal-hal seperti jenis kelamin, bahasa, status perkawinan, kota asal, atau jenis film yang mereka sukai, dan lain-lain. Data kategoris juga dapat menggunakan nilai numerik (Contoh: 1 untuk wanita dan 0 untuk pria), tetapi angka tersebut tidak memiliki arti matematis. (Nama lain untuk data kategorikal adalah data kualitatif, atau data Ya / Tidak). Data kategoris bisa dibedakan menjadi dua, yaitu: 1) Data Nominal Nilai nominal mewakili unit diskrit dan digunakan untuk melabeli variabel, yang tidak memiliki nilai kuantitatif. Anggap saja itu sebagai “label”. Perhatikan data nominal yang ada urutannya, jika kita mengubah urutan, nilainya tidak akan berubah. Misalnya Misalnya pada contoh di bawah ini: Apa jenis kelamin Anda? Laki-laki Perempuan Apa warna rambut Anda? Hitam Coklat Pirang Abu-Abu Lain-lain Catatan: sub-jenis skala nominal dengan hanya dua kategori (misalnya pria / wanita) disebut “dikotomis”. Perlu kita ketahui juga ada sub-jenis data nominal lainnya yaitu “nominal dengan urutan” (seperti “dingin, hangat, panas, sangat panas”) dan nominal tanpa urutan (seperti “pria / wanita”). 2) Data Ordinal 



13



1. 2. 3. 4. 5.



b.



Dengan skala ordinal, urutan nilai adalah hal yang penting dan signifikan, tetapi perbedaan antara masingmasing nilai tidak terlalu diketahui. Misalnya pada contoh di bawah ini. Dalam setiap kasus, kita tahu bahwa #4 lebih baik daripada #3 atau #2, tetapi kita tidak tahu dan tidak dapat mengukur terkait seberapa jauh lebih baik itu. Misalnya Bagaimana Perasaan Anda hari ini? Sangat Tidak Bahagia (Very Unhappy) Tidak Bahagia (Unhappy) Oke (OK) Bahagia (Happy) Sangat Bahagia (Very Happy) Apakah perbedaan antara pernyataan “OK” dan “Tidak Bahagia (Unhappy)” sama dengan perbedaan antara “Sangat Bahagia (Very Happy)” dan “Bahagia (Happy)?”. Dalam hal ini tentunya kita sulit bahkan tidak bisa mengatakannya. Skala ordinal biasanya berupa ukuran konsep nonnumerik misalnya kepuasan, kebahagiaan, ketidaknyamanan, dan lain-lain. Kunci yang perlu kita ingat terkait data ordinal adalah berurutan, atau bisa dikatakan bahwa dalam “skala ordinal” urutan adalah hal yang penting. Sebagai catatan tambahan bahwa sara terbaik untuk menentukan tendensi sentral pada sekumpulan data ordinal adalah dengan menggunakan mode atau median; seorang purist akan memberi tahu kita bahwa mean tidak dapat didefinisikan dari himpunan ordinal. Numerik Data ini memiliki arti sebagai ukuran, seperti tinggi badan, berat badan, IQ, atau tekanan darah seseorang; atau itu hitungan, seperti jumlah saham yang dimiliki seseorang, berapa banyak gigi yang dimiliki seekor anjing, atau berapa halaman yang dapat kita baca dari buku favorit kita sebelum kita tertidur. (Ahli statistik juga menyebut data numerik data kuantitatif). Data numerik dapat dibagi lagi menjadi dua jenis. Yaitu; 1) Data Diskrit Beberapa sinonim untuk kata “diskrit” meliputi: terputus, terpisah dan berbeda. Kita mengumpulkan data untuk menemukan hubungan, tren, dan konsep lainnya. Misalnya, jika kita melacak jumlah push-up yang kita lakukan setiap hari selama sebulan, tujuan utamanya adalah untuk mengevaluasi kemajuan kita dan tingkat peningkatannya. Dengan demikian, penghitungan harian kita adalah angka yang terpisah. Tidak ada batasan yang jelas mengenai berapa banyak yang dapat kita lakukan suatu hari, sehingga hubungan tetap tidak ditentukan. Semakin banyak informasi yang kita kumpulkan dari waktu ke waktu, semakin banyak wawasan yang dapat kita simpulkan, seperti jumlah rata-rata push-up yang kita lakukan minggu lalu adalah 15 per hari, yang lebih banyak 5 per hari daripada minggu sebelumnya. Sedangkan pushupnya sendiri adalah bilangan bulat yang tidak bisa dipecah menjadi bagian-bagian yang lebih kecil. Aturan praktisnya adalah, dalam banyak kasus, data diskrit dapat diawali dengan “jumlah”. Beberapa contohnya yaitu: Jumlah pelanggan yang membeli barang berbeda; Jumlah komputer di setiap departemen; Jumlah barang yang kita beli di toko bahan makanan setiap minggu.



14



2)



3)



1. 2. 3. 4. 5. 6.



4)



1. 2. 3.



Data diskrit juga bisa bersifat kualitatif. Sensus nasional terdiri dari data diskrit, baik kualitatif maupun kuantitatif. Menghitung dan mengumpulkan informasi melalui sensus tersebut dapat memperdalam pemahaman kita tentang penduduk. Hal ini membantu dalam memprediksi masa depan sambil mendokumentasikan sejarah. Ini adalah contoh yang bagus tentang kekuatan data diskrit. Data Kontinu Data kontinu merepresentasikan pengukuran; nilai yang mungkin tidak dapat dihitung dan hanya dapat dijelaskan menggunakan interval pada garis bilangan real. Atau dengan kata lain, data kontinu mengacu pada jumlah kemungkinan pengukuran yang tidak tetap antara dua titik realistis. Data kontinu adalah tentang akurasi. Variabel dalam kumpulan data ini sering kali memiliki titik desimal, dengan angka di sebelah kanan direntangkan sejauh mungkin. Tingkat detail ini sangat penting misalnya bagi ilmuwan, dokter, dan produsen. Beberapa contoh data kontinu meliputi: Berat bayi yang baru lahir; Kecepatan angin harian; Suhu freezer. Ketika kita melakukan eksperimen atau studi yang melibatkan pengukuran konstan, ini kemungkinan besar melibatkan variabel kontinu sampai tingkat tertentu. Data Interval Nilai interval mewakili unit terurut yang memiliki perbedaan yang sama. Oleh karena itu, kita berbicara tentang data interval ketika kita memiliki variabel yang berisi nilai numerik yang diurutkan dan di mana kita mengetahui perbedaan yang tepat antara nilai-nilai tersebut. Misalnya Suhu (dalam derajat Celcius) -10 -5 0 +5 +10 +15 Masalah dengan data nilai interval adalah bahwa nilai tersebut tidak memiliki “nol sebenarnya”. Itu berarti sehubungan dengan contoh di atas, bahwa tidak ada yang namanya tidak bersuhu (no temperature). Dengan data interval, kita bisa menambah dan mengurangi, tapi kita tidak bisa mengalikan, membagi atau menghitung rasio. Karena tidak ada nol sebenarnya, banyak statistik deskriptif dan inferensial yang tidak menerapkannya. Data Rasio Skala rasio memberikan banyak kemungkinan dalam hal analisis statistik. Variabel-variabel ini dapat ditambahkan, dikurangi, dikalikan, dibagi (rasio). Tendensi sentral dapat diukur dengan mode, median, atau mean. Dimana ukuran dispersi, seperti deviasi standar dan koefisien variasi juga dapat dihitung dari skala rasio. Skala rasio memiliki definisi nol yang jelas. Adapun untuk contoh variabel rasio yang baik termasuk; Tinggi Berat Durasi.



15



15.



Penyajian Data Penyajian data merupakan salah satu kegiatan dalam pembuatan laporan hasil penelitian yang telah dilakukan agar dapat dipahami dan dianalisis sesuai dengan tujuan yang diinginkan. Data yang disajikan harus sederhana, jelas agar mudah dibaca. Penyajian data juga dimaksudkan agar para pengamat dapat dengan mudah memahami apa yang di sajikan untuk selanjutnya dilakukan penilaian atau perbandingan dan lain lain. Dalam pembuatan laporan penelitian, data termasuk yang harus dilaporkan. Agar dapat memberikan gambaran yang bermakna, data-data itu haruslah disajikan ke dalam tampilan yang sistematis dan untuk keperluan penganalisisan biasanya data itu disusun dalam sebuah tabel. Penyajian data ini bertujuan memudahkan pengolahan data dan pembaca memahami data.



Tahapan Penyajian Data merupakan tahapan ke 3, yaitu Presentation of Data (Pengumuman Data). Data yang sudah dikumpulkan pada tahapan ke 1 (Tahapan Pengumpulan Data) dan telah melalui tahapan ke 2 yaitu Penyusunan Data, maka tahapan selanjutnya adalah tahapan Penyajian Data dengan tujuan agar data yang telah dikumpulkan dan disusun dapat disebarluaskan dan mudah dilihat secara visual dalam bentuk tabel, grafik ataupun diagram. a. Tujuan Penyajian Data : 1) Memberi gambaran yang sistematis tentang peristiwaperistiwa yang merupakan hasil penelitian atau observasi, 2) Data lebih cepat ditangkap dan dimengerti, 3) Memudahkan dalam membuat analisis data, dan 4) Membuat proses pengambilan keputusan dan kesimpulan lebih tepat, cepat, akurat dan tersusun dengan rapi. b. Fungsi Penyajian Data : 1) Menunjukkan perkembangan suatu keadaan 2) Mengadakan perbandingan pada suatu waktu. C. Cara penyajian data ada tiga macam, yaitu : 1) Narasi, yaitu cara penyajian data hasil penelitian yang telah dilakukan dalam bentuk narasi atau kalimat. Misalnya, penyebaran penyakit malaria di daerah pedesaan pantai lebih tinggi bila dibandingkan dengan penduduk pedesaan pedalaman atau misalnya penerapan sistem online dikampus saudara tahun ini lebih buruk dari tahun-tahun sebelumnya. Penyajian data dalam bentuk narasi atau teks merupakan gambaran umum tentang kesimpulan tentang hasil pengamatan. Dalam bidang kesehatan, penyajian dalam bentuk teks hanya digunakan untuk memberi informasi. Penyajian dalam bentuk narasi atau teks banyak digunakan dalam bidang sosial, ekonomi, psikologi, pendidikan dan lainlain, dan berperan sebagai laporan hasil penelitian kualitatif, misalnya untuk mengetahui persepsi masyarakat tentang suatu produk yang telah dipasarkan atau penerimaan



16



2)



Tabel, adalah kumpulan data yang disusun berdasarkan baris dan kolom. Baris dan kolom ini berfungsi untuk menunjukkan data terkait keduanya. Dimana titik temu antara baris dan kolom adalah data yang dimaksud. Atau bisa juga kumpulan angka-angka yang disusun menurut kategorikategori tertentu dengan sistematis. Misalnya berat badan manusia menurut jenis kelamin, jumlah pegawai menurut pendidikan, jumlah penjualan menurut jenis barang dan daerah penjualan, dan lain lain. Sebuah tabel terdiri atas bagian-bagian sebagai berikut :



> Judul Tabel yang mewakili keseluruhan isi tabel, terletak di bagian atas tabel, biasanya memuat nomor tabel dan judul tabel itu senditi. Judul tabel harus dibuat singkat dan jelas. > Judul Kolom, memuat keterangan keterangan (termasuk unit), dibuat ringkas, jika ada penjumlahan data dalam baris dimuat pada kolom terakhir. Bila jumlah kolom banyak dapt diberi nomor. Ditambahkan unit ukuran (Rp, cm, %, dll). > Badan Tabel : memuat data. Data dapat dikelompok-kelompokkan. Penjumlahan data dlm kolom dimuat pd baris paling bawah. > Kolom tabel, yaitu urutan deret tabel yang memanjang dari kiri ke kanan dan memuat infomasi secara vertikal (dari atas ke bawah); > Baris tabel, yaitu urutan lajur tabel yang memanjang dari atas ke bawah dan memuat informasi secara horizontal (dari kanan ke kiri); > Kaki Tabel : keterangan-keterangan tambahan, sumber data yaitu keterangan dari mana data itu dikutip atau diambil. > Keterangan dibawah (foot note) : dapat disertakan untuk memberi penjelasan mengenai judul, kepala kolom, atau angka-angka dalam tabel, jika diperlukan 16



Berbagai bentuk tabel a. Tabel satu arah (one way table) adalah tabel yang memuat keterangan mengenai satu hal, golongan, kelompok atau satu karakteristik saja. Karakteristik yang ditunjukkan bisa berupa jumlah, frekuensi, ukuran, kadar/persentasi, dan lain sebagainya. Ini merupakan bentuk tabel yang paling sederhana dan paling mudah dibuat. Misalnya data indeks prestasi dari 10 mahasiswa, diterangkan dengan hanya menggunakan satu kareteristik data saja yaitu indeks prestasinya.



17



b.



Tabel dua arah (two way table) adalah tabel yang menunjukkan hubungan antara dua hal atau karakteristik. Misalnya data jumlah penduduk menurut umur dan jenis kelamin, asal daerah dan agama, jumlah mahasiswa menurut jurusan dan jenis kelamin, dan lain sebagainya.



c.



Tabel Tiga Arah (Three Way Table) Yaitu tabel yang menunjukkan hubungan dua hal atau dua karakteristik yang berbeda. Misalnya data Produksi kedelai menurut jenis varietas dan daerah panen



d.



Tabel Baris Kolom adalah tabel-tabel yang dibuat selain dari tabel kontingensi dan distribusi frekuensi yaitu tabel yang terdiri dari baris dan kolom yang mempunyai ciri tidak terdiri dari faktor-faktor yang terdiri dari



18



beberapa kategori dan bukan merupakan data kuantitatif yang dibuat menjadi beberapa kelompok



e.



Tabel Kontingensi merupakan bagian dari tabel baris kolom, akan tetapi tabel ini mempunyai ciri khusus, yaitu untuk menyajikan data yang terdiri atas dua faktor atau dua variabel, faktor yang satu terdiri atas b kategori dan lainnya terdiri atas k kategori, dapat dibuat daftar kontingensi berukuran b x k dengan b menyatakan baris dan k menyatakan kolom.



f.



Tabel Silang Tabel silang dapat hanya terdiri dari satu variable tetapi dapat juga terdiri dari dua variable. Tergantung pertanyaan atau keadaan yang ingin dideskripsikan. Dengan demikian, pemilihan penyajian data ke dalam tabel silang satu atau dua variable akan tergantung dari data yang diperoleh. Tabel silang satu variable digunakan untuk menggambarkan data dengan menampillkan satu karakteristiknya saja. Misal jumlah keseluruhan. Sementara tabel silang dua variable digunakan untuk menggambarkan data dengan menampilkan dua karakteristiknya. Selain hal tersebut diatas, penyususnan tabel juga dapat tujuan penelitian tertentu, misalnya berdasarkan waktu, wilayah, keadaan atau frekuensi : > Berdasarkan Waktu (time serie) Menyusun data dengan berdasarkan waktu maka pertimbangan waktu menjadi pokok atau menjadi pertimbangan utamanya



19



>Berdasarkan Wilayah Menyajikan data dengan cara ini, dasar utamanya penyusunannya dalah menggunakan wilayah atau regional atau daerah sebagai acuannya.



>Berdasarkan Keadaan / Frekuensi Menyusun data dengan cara ini dasar pertimbangannya adalah kondisi fisik atau banyaknya kejadian pada suatu tempat dalam waktu tertentu.



f.



Bentuk sebuah tabel yaitu ; 1) Adanya Row data atau data yang mentah yang diperoleh dalam tahapan I statistika (pengumpulan data) 2) organization of data, dimana data mentah yang diperoleh dari penelitian dipilah-pilah berdasarkan klasifikasi tertentu, dimana mudah jika data yang di ambil tidak terlalu besar, tapi jika data yang diperoleh dari hasil penelitian dengan jumlah yang besar dan komplek, maka kita memerlukan metode atau cara pengorganisasian data yang disebut distribusi frekuensi. Yang artinya merupakan alat penyajian data statistik berbentuk kolom dan lajur, yang di



20



dalamnya dimuat angka yang dapat melukiskan atau menggambarkan pencaran atau pembagian frekuensi dari variabel yang sedang menjadi objek penelitian. Ada 2 jenis distribusi frekuensi yaitu : > Distribusi Frekuensi Numerikal Distribusi frekuensi yang pembagian kelas-kelasnya dinyatakan dalam bentuk angka-angka atau secara kuantitatif.



> Distribusi Frekuensi Kategorikal Distribusi frekuensi yang pembagian kelas-kelasnya berdasarkan atas jenis data atau golongan data yng dilakukan secara kualitatif



Penyusunan Distribusi numerical adalah penyusunan data dalam bentuk kelompok mulai dari yang terkecil sampai yang terbesar berdasarkan kelas-kelas interval dan kategori tertentu. Tabel Distribusi Frekuensi disusun bila jumlah data yang akan disajikan cukup banyak, sehingga apabila disajikan dengan menggunakan tabel biasa menjadi tidak efektif dan efisien serta kurang komunikatif. Beberapa bagian yang harus diperhatikan dalam Distribusi Frekuensi antara lain: >Kelas Interval/Jumlah Kelas Interval (Class) Kelas merupakan kelompok-kelompok nilai atau variabel



21



> Batas Kelas (Class Limits). Merupakan nilai-nilai yang membatasi antara kelas yang satu dengan kelas berikutnya. Terdiri atas 2 macam, yaitu: a. Batas Kelas Bawah (Lower Class Limits) Yaitu nilai atau angka yang terdapat pada bagian sebelah kiri dari setiap kelas. b. Kelas Atas (supper Class Limits) Yaitu nilai atau angka yang berada pada bagian sebelah kanan dari setiap kelas



17.



Teknik Menyusun Tabel Distribusi Frekuensi a. Mengurutkan data mulai dari yang terkecil sampai yang terbesar. b. Menghitung Rentang/Range (R), yaitu Data terbesar dikurangi dengan Data terkecil. c. Menentukan jumlah kelas, dengan menggunakan rumus Sturges: K = 1 + 3,3. Log n d. Menghitung Panjang Kelas atau Interval, dengan rumus: Panjang Kelas (P) = Rentang (R) : Jumlah Kelas e. Membuat tabel distribusi frekuensi yang terdiri atas kolom Interval Kelas, Tally, dan Frekuensi. f. Menghitung jumlah Frekuensi dengan Tally atau melidi dalam Kolom Tally sesuai dengan banyaknya data. g. Setelah jumlah keseluruhan Frekuensi ditemukan, kemudian kolom Tally dihilangkan dalam Penyajian Data dalam bentuk Tabel Distribusi Frekuensi h. Grafik atau Diagram, yaitu gambar-gambar yang menunjukkan secara visual data berupa angka atau simbol-simbol yang biasanya dibuat berdasarkan data dari tabel yang telah dibuat. Pembuatan grafikfrekuensi pada hakikatnya merupakan kelanjutan dari pembuatan tabel distribusi frekuensi karena pembuatan grafik itu haruslah didasarkan pada tabel distribusi frekuensi , berikut merupakan grafik untuk penyajian data : 1) Grafik Histogram / Batang Histogram merupakan grafik dari distribusi frekuensi suatu variable. Tampilan histogram berupa petak-petak empat persegi panjang. Sebagai sumbu horizontal boleh memakai tepi-tepi kelas, batas-batas kelas atau nilai variabel yang diobservasi, sedang sumbu vertical menunjukkan frekuensi. Untuk distribusi bergolong atau berkelompok



22



yang menjadi absis adalah nilai tengah dari masingmasing kelas.



2)



3)



4)



Grafik Poligon Poligon merupakan grafik distribusi dari distribusi frekuensi bergolong suatu variable. Tampilan polygon berupa garis-garis patah yang diperoleh dengan cara menghubungkan puncak dari masing-masing nilai tengah kelas. Jadi absisnya adalah nilai tengah dari masing-masing kelas. Grafik Kurve Kurve merupakan perataan atau penghalusan dari garis-garis polygon. Gambar polygon sering tidak rata karena adanya perbedaan frekuensi data skor dan data skor itu sendiri mencerminkan fluktuasi sampel.



Grafik Garis Grafik garis dibuat biasanya untuk menunjukkan perkembangan suatu keadaan. Perkembangan tersebut bisa naik bias turun. Hal ini akan Nampak secara visual melalui garis dalam grafik. Contoh : Perkembangan nilai ujian matematika Adit semester 1 tahun ajaran 2012/2013 sebagai berikut:



23



5)



Diagram Lingkaran Cara lain Penyajian data dapat dilakukan dengan cara menyajikan data dalam bentuk diagaram. Diagram tersebut dapat berupa lingkaran, batang, atau garis. Tujuan dari penyajian data adalah untuk mempermudah pembaca dalam melihat data. Sebelumnya, untuk mempermudah prosesnya, kita buat data di atas ke dalam tabel distribusi frekuensi seperti terlihat pada tabel di bawah ini :



Diagram Lingkaran dalam Derajat (o)



Diagram lingkaran dalam presentase (%)



6)



Diagram Batang



24



Penyajian data ke dalam bentuk diagram batang cukup mudah dilakukan dibanding diagaram lingkaran. hanya perlu menyesuaikan keterangan data dan banyak data pada masing-masing sumbu x dan y. Penyajian data dalam bentuk diagram batang dapat dilihat pada gambar di bawah.



7)



18.



Diagram Garis. Pada diagram batang hasil akhinya adalah menggambar batangnya. Pada diagram garis, hanya perlu menarik garis dari titik-titik yang telah disesuaikan dengan data yang diketahui. Hasil penyajian data dalam bentuk diagram garis dapat dilihat pada gambar di bawah.



 Pengumpulan Data Pengumpulan Data Sebelum pengumpulan data dilakukan, terlebih dahulu harus di ketahui untuk apa data itu dikumpulkan. Apaun tujuan pengumpulan data, telebih dahulu harus diketahui jenis elemen atau objek yang akan diselidiki. Elemen adalah unit terkecil dari objek penelitian, disebut juga "unit analysis" atau "unit sampling" Tujuan pengumpulan data, selain untuk mengetahui jumlah elemen, juga untuk mengetahui karakteristik dari elemen elemen tersebut. Karakteristi kadalah sifat sifat, ciri ciri atau hal hal yang dimiliki oleh elemen, yaitu semua keterangan mengenai elemen. Variabel atau peubah ialah suatu yang nilainya dapat berubah atau berbeda. Nilai karakteristik suatu elemen merupakan nilai variabel, misalnya harga (karakteristik harga suatu barang akan berubah ubah menurut waktu atau berbeda beda menurut tempat), produksi, hasil penjualan, ekspor, pendapatan nasional, umur, tinggi badan, berat badan, tekanan darah, temperature/ suhu, modal perusahaan dan lain lain. Biasanya untuk suatu variabel dipergunakan huruf latin (X,Y,Z) atau Yunani. Contoh 2.1 Diketahu1 3 perusahaan dengan X = model perusahaan dalam jutaan rupiah, dimana X1=5, X2=7,X3=4, berarti perusahaan pertama mempunyai modal Rp7 juta dan perusahaan ketiga Rp4 juta. POPULASI adalah kumpulan dari seluruh elemen sejenis tetapi dapat dibedakan satu sama lain karena karakteristiknya. Perbedaan perbedaan itu di sebabkan karena adanya nilai karakteristik yang berlainan Catatan Karena pengumpulan data akan menghasilkan nilai observasi sebagai nilai karakteristik dari masing masing elemen, maka kumpulan seluruh nilai (data), observasi disebut populasi. Kumpulan seluruh kemungkinan hasil eksperimen jugadisebut populasi. Oleh karena itu,



25



populasi dari sampel di atas di tulis : Populasi : X1,X2,...,X3,...,X4 Sampel : X1,X2,...X3,...,X4 Sampel adalah sebagian dari populasi. a.



Metode Pengumpulan Data 1) Sensus Cara pengumpulan data apabila seluruh elemen populasi diselidiki satu persatu. Data yang di peroleh hasil pengolahan sensus disebut data yang sebenarnya atau sering di sebut parameter. 2) Sampling Sampling adalah cara pengumpulan data apabila yang diselidiki adalah elemen sampel dari suatu populasi. Data yang di peroleh dari hasil samping merupakan data perkiraaan (estimated value). Jadi, jika dari 1000 perusahaan hanya akan diselidiki 100 saja, maka hasil penyelidikannya merupakan suatu perkiraan.



b.



Cara Pengambilan Sample 1) Cara Acak Cara acak adalah suatu cara pemilihan sejumlah elemen dari populasi untuk menjadi anggota sampel, di mana pemilihannya dilakukan sedemikian rupa sehingga setiap elemen populasi mendapat kesempatan yang sama (equel chance) untuk dipilih menjadi anggota sampel. Pemilihan juga dapat dilakukan dengan lotre / undian atau jika jumlah elemennya ribuan perlu kita gunakan tabel angka acak, yaitu suatu daftar angka yang sudah dibuat sedemikian rupa sehingga jika digunakan akan menjamin pemilihan secara acak. Cara ini dianggap objektif karena netral. Samplingnya disebut probability sampling, yaitu setiap elemen populasi mempunyai probabilitas (kemungkinan) yang sama untuk dipilih. Cara acak adalah suatu cara pemilihan sejumlah elemen dari populasi untuk menjadi anggota sampel, di mana pemilihannya dilakukan sedemikian rupa sehingga setiap elemen populasi mendapat kesempatan yang sama (equel chance) untuk dipilih menjadi anggota sampel. Pemilihan juga dapat dilakukan dengan lotre / undian atau jika jumlah elemennya ribuan perlu kita gunakan tabel angka acak, yaitu suatu daftar angka yang sudah dibuat sedemikian rupa sehingga jika digunakan akan menjamin pemilihan secara acak. Cara ini dianggap objektif karena netral. Samplingnya disebut probability sampling, yaitu setiap elemen populasi mempunyai probabilitas (kemungkinan) yang sama untuk dipilih. 2)



Cara Bukan Acak Cara bukan acak adalah suatu cara pemilihan elemenelemen dari populasi untuk menjadi anggota sampel di mana setiap elemen tidak mendapat kesempatan yang sama untuk dipilih. Cara bukan acak lebih bersifat subjektif dan samplingnya disebut nonprobability sampling,artinya, setiap elemen tidak mempunyai probabilitas yang sama utuk dipilih.Cara mana yang akan dipergunakan sepenuhnya tergantung kepada orang yang akan mengumpulkan data. Hal yang perlu ditekankan di sini adalah bahwa hanya dengan probability sampling yang sifatnya acak, kita dapat menggunakan metode analisis statistik, menguji hipotesis, membuat perkiraan interval, serta dapat memperkirakan besarnya kesalahan hipotesis. Dengan demikian, yang terakhir



26



ini memungkinkan kita untuk memperhitungkan besarnya risiko ketidakpastian (uncertainly) c.



19.



Alat Pengumpulan Data Daftar pertanyaan (questionnaire)  Wawancara  Melalui pos, telepon, atau alat komunikasi lainnya  Melalui pos, telepon, atau alat komunikasi lainnya  Obseervasi atau pengamatan langsung Bagian yang sangat penting dalam pengumpulan data adalah merancang kuesioner yang terususun secara sistematis dan standar. Sistematis adalah item item pertanyaan Alat ukur seperti meteran,timbangan, thermometer, altimeter dan lain sebagainnya. disusun menurut logika (logical sequence) sesuai dengan maksud dan tujuan pengumpulan data. Standar adalah item pertanyaan mempunyai pengertian, konsep dan defisiyang sama.Usaha yang membuat kuesioner menjadi suatu survey yang baik harus diarahkan pada dua tujuan utama, yaitu Memperoleh informas / data yang berhubungan dengan maksud dan tujuan survey.  Mengumpulkan informasi dengan kecermatan dan ketelitian yang dapat di pertanggungjawabkan. Rancangan kuesioner harus benar benar sesuai dengan situsai dimana lingkup topik yang diselidiki dapat dibatasi. Informasi yang dikumpulkan harus berupa fakta dan bersifatobjektif sesuai dengan survey. Tingkat ketelitian informasi yang dikumpulkan dapat diperoleh apabila kuesioner disusun secara sederhana. Kuesioner harus mudah dimengerti serta adanya keseragaman keperluan analis menyeluruh tentang karakteristik populasi yang diselidiki. Jenis pertanyaan dalam kuesioner dapat dibedakan menjadi pertanyaan terbuka dan pertanyaan tertutup. peristiwa dan petunjuk pengisiannya. Kuesioner adalah alat yang efektif untuk berbagai cara pengumpulan data seperti wawancara, observasi maupun lewat pos (mailing system).  Keuntungan penggunaan kuesioner daam suatu survey dibandingkan dengan teknik lainnya adalah dapat memperoleh data standar yang dapat dipertanggungjawabnkan untuk Perbedaan kedua jenis pertanyaan tersebut terletak pada tingkat kebebasan responden memberikan jawaban yang dikehendaki dengan kata kata yang dipilihnya sendiri. Sedangkan pertanyaan tertutup membatasi jawaban responden dengan keharusan memilih di antara jawaban jawaban yang sudah tercantum dalam kuesioner.



Pengolahan Data Data mentah adalah hasl pencatatan peristiwa atau karakteristik elemen yang dilakukan pada tahap pengumpulan data. Pengolahan data pada dasarnya kelompok data mentah. Data / angka ringkasan dapat berupa jumlah merupakan suatu proses untuk memperoleh data/angka ringkasan berdasarkan berdasarkan data mentah, seperti total, rata rata, persentase, angka (total), proporsi, persentase, rata rata dan sebagainya. Data statistik pada dasarnya merupakan angka angka ringkasan dari hasil pengolahan Sedangkan sebagai hasil sampling disebut data perkiraan atau serimg juga indeks, simpangan baku (deivsi standar) koefisien korelasi dan koefisien regresi. Data statistic sebagai hasil sensus disebut data sebenarnya. di sebut statistic. atau kelompok, bukan satu per satu secara individu. Tujuan dari pengolahan data adalah mendapatkan data statistic yang dapat dipergunakan untuk melihat atau menjawab persoalan serta agregat mentah adalah hasl pencatatan peristiwa atau karakteristik elemen yang  dilakukan pada tahap pengumpulan data. Pengolahan data



27



pada dasarnya  kelompok data mentah. Data / angka ringkasan dapat berupa jumlah merupakan suatu proses untuk memperoleh data/angka ringkasan berdasarkan berdasarkan data mentah, seperti total, rata rata, persentase, angka  (total), proporsi, persentase, rata rata dan sebagainya. Data statistik  pada dasarnya merupakan angka angka ringkasan dari hasil pengolahan  Sedangkan sebagai hasil sampling disebut data perkiraan atau serimg juga indeks, simpangan baku (deivsi standar) koefisien korelasi dan koefisien regresi. Data statistic sebagai hasil sensus disebut data sebenarnya di sebut statistic.  atau kelompok, bukan satu per satu secara individu.  Tujuan dari pengolahan data adalah mendapatkan data statistic yang dapat dipergunakan untuk melihat atau menjawab persoalan serta agregat atau kelompok, bukan satu per satu secara individu a. Pengolahan Data secara Manual Pengolahan data secara manual umumnya dilakukan untuk jumlah observasi yang tidak terlalu banyak. Pengolahan secara manual biasanya memerlukan observasi. waktu yang sangat lama, karena harus meneliti satu per satu dari Metode pengolahan ini dapat dijumpai pada pemilihan umum yang telah partai di masing masing tempat pemungutan suara, maka setiao suara yang dilaksanakan. Dalam rangka mengetahui jumlah pemilih menurut jenis masuk harus mencoblos gambar tertentu. Objek yang diteliti adalah masing-masing individu pemilih yang mencblos tanda gambar tertentu. pada masing masing tanda gambar partai sesuai dengan tanda gambar yang Untuk mendapatkan informasi berapajumlah pemilihan partai tertentu, panitia pemungutan suara biasanya menghitung dan membuat “tally mark” dipilih di pemungutan suara. Dalam keadaan tertentu seperti pemilu, pengolahan secara manual harus dilakukan meskipun memakan waktu dalam pengolahan data. b.



Pengolahan Data secara Elektronik Perkembangan ilmu pengetahuan di bidang computer sangat membantu kegiatan statistic, khususnya pengolahan data. Dengan bantuan computer, pengolahan data di mana masing masing individu dirinci menurut beberapa karakteristik dapat dilakukan dengan mudah dan cepat. Jika pada pengolahan secara manual kemungkinan terjadinya kesalahan adalah sangat besar, maka dengan pengolahan secara elektronik (komputer) kesalahan tersebut dapat diminimalisasi



Soal 1. Apa yang anda ketahui tentang elemen? Berikan beberapa contoh elemen! Jawab Elemen adalah unit dari mana data yang diperlukan dikumpulkan. Suatu elemen dapat dianalogikan dengan unit analisa. Suatu unit analisa dapat menunjukkan pada suatu organisasi, obyek, benda mati atau individu-individu. Contoh   : Orang seperi Mahasiswa, Pedagang, Pejabat, Pegawai, Guru, dsb. Organisasi seperti Universitas, Departemen, Perusahaan, dsb. Barang seperti Bangunan, Kendaraan, tempat umum, senjata dsb. 2. Apa yang anda ketahui tentang karakteristik? Berikan contohnya! Jawab Karakteristik adalah sifat-sifat, cirri-ciri, atau hal-hal yang dimiliki oleh elemen. Yaitu semua keterangan mengenai elemen.



28



Contoh   : Elemen pegawai, karakteristik yang perlu diketahui adalah jenis kelamin, pendidikan, agama, umur, masa kerja, golongan, dan gaji. Elemen perusahaan, karakteristik yang perlu diketahui adalah jumlah karyawan jumlah kekayaan, hasil produksi, hasil penjualan, dsb. 3. Berikan lima contoh populasi! Jawab Seluruh penduduk Indonesia, Seluruh Pegawai Negri Sipil Sumatera Barat, Seluruh perusahaan industry Indonesia, Seluruh Kendraan bermotor di kota Jakarta, Seluruh Pedagang di Pasar Raya Padang. 4. Apa yang anda ketahui tentang sampel? Dari contoh pada soal nomor 3, berikan contoh sampelnya! Jawab Sampel adalah sebagian dari populasi yang merupakan sub dari seperangkat elemen yang dipilih untuk dipelajari. Contoh : Dari populasi Seluruh pedangang di Pasar Raya Padang dipilih 20% secara acak untuk dipelajari. Maka 20% pedangang Pasar Raya tersebut merupakan sample. 5. Jelaskan perbedaan antara sensus dan sampling! Dari hasil pengukuran berdasarkan kedua metode tersebut, dimana letak perbedaan kedua hasil pengukuran tersebut? Jawab Sensus merupakan cara pengumpulan data apabila seluruh elemen populasi diselidiki satu per satu. Sedangkan sampling adalah cara pengumpulan data apabila yang diselidiki adalah elemen sampel dari suatu populasi. Sensus memiliki akurasi yang lebih baik daripada sampling, namun butuh biaya yang besar untuk melakukan sensus. Hasil pengukuran dengan kedua metode tersebut berbeda, hasil pengukuran dengan cara sensus dissebut data yang sebenarnya (true value), atau sering disebut parameter. Sedangkan data hasil sampling merupakan data perkiraan (estimated value), dan data yang dihitung berdasarkan sampel disebut statistik. 6. Apa keuntungan menggunakan metode sampling dibandingkan dengan metode sensus? Jawab Metode sampling lebih hemat penggunaan biaya dibandingkan dengan metode sensus, waktu yang lebih cepat, tenaga yang tidak terlalu banyak, dan dapat menghasilkan cakupan data yang lebih luas serta terperinci. 7. Jelaskan dua macam cara pengambilan sampel! Jawab i.   Probability Sampling (Random Sample) Pada pengambilan sampel secara random, setiap unit populasi mempunyai kesempatan yang  sama untuk diambil sebagai sampel. Faktor pemilihan sampel yang akan diambil semata-mata atas pertimbangan peneliti dihindarkan. Bila tidak, akan terjadi bias. Dengan cara random, bias pemilihan dapat diperkecil sekecil mungkin. Keuntungan pengambilan sampel dengan probability sampling Derajat kepercayaan terhadap sampel dapat ditentukan. Beda penaksiran parameter populasi dengan statistik sampel,dapat diperkirakan. Besar sampel yang akan diambil dapat dihitung secara statistik. Dari hasil pengukuran terhadap unit-unit dalam sampel diperoleh nilai-nilai statistik.



29



Nilai statistik ini tidak akan persis sama dengan nilai parameternya. Perbedaan inilah yang disebut sebagai Penyimpangan (Sampling Error). Sedangkan pada non probability sampel, penyimpangan nilai sampel terhadap populasinya tidak mungkin diukur. Pengukuran penyimpangan ini merupakan salah satu bentuk pengujian statistik. Penyimpangan yang terjadi pada perancangan kuesioner, kesalahan petugas pengumpul data dan pengolah data disebut Non Sampling Error. ii.      Non Probability Sampling (Non Random Sample) Pemilihan sampel dengan cara ini tidak menghiraukan prinsip-prinsip probability. Pemilihan sampel tidak secara random. Hasil yang diharapkan hanya merupakan gambaran kasar tentang suatu keadaan. Cara ini dipergunakan : Bila biaya sangat sedikit        Hasilnya diminta segera Tidak memerlukan ketepatan yanq tinggi, karena hanya sekedar gambaran umum saja.  8. Sebutkan alat-alat atau device dalam mengumpulkan data! Jawab          Daftar pertanyaan (quitionnaire)          Wawancara          Observasi dan pengamatan lansung          Melalui POS, telepon, atau alat komunikasi lainnya Alat ukur seperti meteran, timbangan, thermometer, altimeter, dsb. 9. Apa syarat kuisioner yang baik? Jelaskan! Jawab          Ada petunjuk jelas mengenai maksud diberikannya kuesioner          Ada petunjuk jelas mengenai cara pengisian kuesioner          Menggunakan kalimat yang mudah dimengerti Menhindari pertanyaan yang tidak jelas, tidak perlu dan tidak relevan Menghindari pertanyaan yang bernada menekan / mengancam dll          Menggunakan urutan pertanyaan yang logis dan sistematis Merahasiakan identitas responden agar responden obyektif dalammenjawab 10. Jelaskan perbedaan antara pertanyaan terbuka dan pertanyaan tertutup! Jawab Perbedaan antara pertanyaan terbuka dengan pertanyaan tertutup adalah pada tingkat kebebasan responden dalam menjawab pertanyaanpertanyaan pada kuesioner. Pertanyaan terbuka memungkinkan responden memberikan jawaban yang dikehendaki dengan kata-kata nya sendiri. Sedangkan pertanyaan tertuttup membatasi jawaban responden dengan keharusan memilih diantara jawaban-jawaban yang sudah tercantum dalam kuesioner. 11. Jelaskan dua macam metode metode pengolahan data! Apakah kelemahan dan kelebihannya! Jawab 1. Pengolahan data secara manual Cara manual umumnya dilakukan untuk jumlah observasi yang tidak terlalu banyak. Pengelolaan data secara secara manual memerlukan waktu yang cukup lama, karna harus meneliti satu per satu dari setiap observasi. Cara manual ini memiliki kelebihan dalam masalah biaya yang lebih irit. Namun membutuhkan waktu yang lama dalam pengerjaannya. 2. Pengolahan data secara elektronik



30



12.



Cara ini membutuhkan bantuan alat elektronik, yaitu computer. Penggunaan komputer membuat pengolahan data lebih cepat, rinci, efektif dan efisien.Cara elektronik jauh lebih mudah, efektif, efidien, dan dapat dihandalkan. Namun butuh biaya yang cukup banyak untuk menyediakan alat yang dibutuhkan seperti computer. Berikut adalah data mengenai sampel 10 perusahaan dati total 500 perusahan :



Perusahaa n



Nilai Keuntungan Kode Penjualan ($ ($ juta) Industri juta) Coca – cola 10.136 115,1 18 data Coastal 6.738 454,0 8 di IBM 1.555 188,0 8 Unisys 1.238 29,7 7 Berapa CPC 645 84,7 19 Indofood 7.250 96,0 1 Vetco 783 25,7 10 Ivax 7.734 565,4 6 Huber 2.330 104,3 9 CNI 1.429 174,3 8 karakteristik dari data tersebut?



a.       Berapa jumlah elemen pada tabel atas? b.       jumlah



Jawab a.       10 elemen, yaitu nama nama perusahaan yang ada pada tabel di atas b.       3 karakteristik, yaitu Nilai Penjualan ($ juta), Keuntungan ($ juta), Kode Industri 13.



Berdasarkan soal no 12, hitunglah : a.       Berapa jumlah populasi data tersebut? b.       Berapa ukuran sampelnya? c.       Apa yang dapat Anda olah dari data tersebut?



Jawab a.       Satu populasi, populasi perusahan industri dunia, yaitu 500 perusahaan b.       10 perusahaan c.       Statistik rata-rata penghasilan perusahaan industri dunia dan Statistik rata-rata keuntungan perusahaan industri dunia 14. Sebuah survei yang dilakukan oleh usaha penyewaan CD terhadap para pelanggannya, mengajukan beberapa pertanyaan berikut: 1.     Berapa jumlah album CD yang Anda pinjam selama setahun yang lalu ? 2.     Apakah Anda anggota tetap ? (ya atau tidak). 3.     Berapa umur Anda ? 4.     Berapa jumlah anggota rumah tangga Anda termasuk Anda ?



31



5.     Jenis musik apa yang paling menarik enurut Anda ? (ada 5 kategori pilihan) Dari 5 pertanyaan diatas, mana yang termasuk jenis pertanyaan terbuka dan pertanyaan tertutup? Jawab Pertanyaan terbuka terdapat pada nomor 1,3, dan 4. Sedangkan pertanyaan terturup terdapat pada nomor 2 dan 5. 15. Berdasarkan soal nomor 14, bagaimana sebaiknya uang yang anda lakukan untuk mengolah data yang di kumpulkan tersebut jika pelanggannya lebih dari 500 orang? Jawab Dilakukan secara elektronik 16.



Berdasarkan soal nomor 14, jika diketahui jumlah total pelanggan adalah 1.500 orang, metode pemilihan sampel mana yang dapat Anda lakukan agar hasil penelitian terhadap sampel terpilih dapat digunakan untuk memperkirakan populasinya ? Jawab Menggunakan Simple Random Sampling, karena populasi homogen atau relatif homogen, sehingga setiap pelanggan mempunyai kesempatan yang sama untuk terpilih. 17.



Sebuah supermarket di Jakarta meneliti umur pengunjung selama seminggu. Hasil pencatatan umur dari 100 pengunjung dalam seminggu adalah sebagai berikut : 20        22        23        30        35        40        31        20        15        45 16        32        15        41        33        25        26        24        28        55 51        60        30        17        28        31        42        30        46        48 70        61        25        26        28        29        30        33        16        17 18        19        22        18        18        17        16        15        20        27 41        37       35        36        35        34        64        30        40        42 31        15        14        12        19        24        26        29        33        46 60        62        33        41        47        29        28        30        31        28 13        17        39        35        42        55        56        57        43        41 19        20        21        28        38        33        42        32        34        21 Buatlah pengolahan hasil observasi tersebut, dengan membuat “tally mark” untuk mengelompokkan pengunjung ke dalam kelompok-kelompok umur: 10-19, 20-29, 30-39, 40-49, 5059, dan lebih dari 60 tahun. Jawab



18. Dari sebanyak 200 supermarket di propinsi A dipilih sampel 10 supermarket secara acak untuk diteliti. Hasil penelitian dapat dilihat pada table berikut:



32



    



20.



a. Berapa jumlah elemen data pada label tersebut ? b. Berapa jumlah karakteristik dari data tersebut ? Jawab a.  10 elemen, yaitu 10 supermarket dalam tabel b.  Tiga karakteristik, Jumlah karyawan, Asset, dan Keuntungan Rumus Statistika Matematika Pengertian Statistika ialah ilmu yang mempelajari tentang bagaimana merencanakan, menganalisis, menginterpretasi, mengumpulkan dan mempresentasikan data sehingga bisa dikatakan bahwa Statistika merupakan ilmu yang berkenaan dengan data. Tetapi Statistika dan Statistik merupakan dua hal yang berbeda karena Statistik adalah data, sedangkan Statistika adalah ilmu yg berkenaan dengan data yang dapat digunakan untuk mendeskripsikan atau menyimpulkan data dengan sebagian besar konsep dasarnya mengasumsikan Teori Probabilitas. Adapun didalam Matematika bahwa Rumus Statistika Dasar ini akan hadir ditingkat Sekolah Menengah Atas (SMA) dan pelajaran Statistika Matematika tersebut meliputi Mean, Median, Modus, Jangkauan, Ragam dan Simpangan sehingga kalian sebagai Siswa dan Siswi tingkat Sekolah Menengah Atas harus benar – benar mengetahui tentang Statistika Matematika Dasar ini atau paling tidak mengenal tentang Mean, Modus dan Median didalam Statistika Dasar. Hal tersebut dikarenakan Soal – Soal Ujian Akhir Sekolah ataupun Ujian Nasional (UN) Pelajaran Matematika SMA akan ada atau keluar tentang Rumus Matematika Statistika Dasar ini, seperti contohnya menghitung dan mencari Nilai Mean, Modus, Jangkauan, Median ataupun Simpangan. Oleh sebab itu dibawah ini saya sudah memberikan ulasan dan penjelasan tentang Statistika Dasar Matematika seperti Rumus Mencari Mean, Rumus Mencari Modus, Rumus Mencari Median dan lain lain secara lebih lengkap agar kalian dapat memahami tentang Statistika Matematika Dasar. a. Rumus Statistika Mencari Mean (Nilai Rataan) Pengertian dari Mean sendiri adalah nilai rata – rata hitung dan didalam Rumus Mean (Rumus Rataan Hitung) bisa dilakukan dengan cara membagi Jumlah Nilai data dg banyaknya data tersebut. Lalu Rumus Statistika Mencari Rataan Hitung tersebut memiliki tiga rumus yang terbagi antara lain 1) Rumus Rataan Hitung dari Data Tunggal



2)



Rumus Mean Dari Data Dalam Distribusi Frekuensi



33



3)



Rumus Mencari Rataan Hitung Gabungan



b.



Rumus Statistika Dasar Mencari Modus Rumus Menghitung dan Mencari Modus terbagi menjadi dua, antara lain pertama Rumus Modus dari Data yang belum dikelompokan yang memiliki artian ukuran yg mempunyai frekuensi tertinggi yang dilambangkan dengan mo. Rumus Modus yang kedua ialah Rumus Mencari Modus dari Data yg sudah dikelompokkan yang dihitung dengan rumus dibawah ini.



c.



Rumus Statistika Mencari Median Rumus Mencari Nilai Tengah (Median) dibagi menjadi dua antara lain pertama Rumus Nilai Tengah dari Data yang blm dikelompokkan dengan mencari nilai data yang harus dikelompokan terlebih dahulu dari yg terkecil hingga yg terbesar.



34



Kedua Rumus Median dari data yang telah dikelompokkan.



d.



Rumus Jangkauan Statistika Dasar



e.



Rumus Simpangan Quartil Statistika Matematika



f.



Rumus Simpangan Baku Statistika Dasar



g.



Rumus Simpangan Rata – Rata Statistika



h.



Rumus Ragam Statistika Matematika



Contoh Soal Statistika Matematika Dasar



35



36



i.



21.



Rumus Statistika Dasar Matematika secara lengkap dan semoga apa yang sudah saya tulis diatas dapat dicerna dan bisa memberikan manfaat untuk kalian para pembaca yang notabenya para pelajar atau Siswa Siswi baik itu tingkat Sekolah Menengah Pertama (SMP) maupun tingkat Sekolah Menengah Atas (SMA) diseluruh dunia karena sudah tugas kami untuk memberikan informasi – informasi yang bermanfaat bagi setiap elegan masyarakat dan kami harapkan Siswa Siswi di Indonesia semua sudah semakin cerdas. Hal tersebut dikarenakan dijaman yang sudah Modern dan Maju seperti sekarang ini kita sebagai Manusia berbagai elemen Masyarakat sudah dimudahkan dengan perkembangan teknologi yang sudah semakin maju dan disini khususnya untuk para Pelajar, Siswa Siswi dan Mahasiswa Mahasiswi sudah dapat belajar di dunia maya (internet), hal ini tentunya menjadi pendukung para pelajar ketika di Sekolah belum bisa memahami secara lebih jelas apa yang sudah dijelaskan oleh para Guru – Guru mereka



Jenis-Jenis Fungsi dan Sifat-Sifat Fungsi Berbicara masalah fungsi, tentu erat kaitannya dengan relasi. Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B. Sedangkan, suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi dari A ke B jika setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B. Dalam fungsi dikenal beberapa istilah, seperti Domain, Kodomain, dan Range. Jika f adalah suatu fungsi dari A ke B, maka himpunan A disebut domain (daerah asal), himpunan B disebut kodomain (daerah kawan), dan himpunan anggota B yang pasangan (himpunan C) disebut range (hasil) fungsi f. Dalam memasangkan suatu himpunan terdapat aturan yang tertentu yang digunakan. Aturan tersebut disebut aturan fungsi. Fungsi dibedakan kedalam beberapa jenis dan memiliki beberapa sifat, yang penting untuk diketahui. Berikut adalah jenis-jenis dan sifat-sifat fungsi.



37



a.



Jenis-Jenis Fungsi 1) Fungsi konstan (fungsi tetap) Suatu fungsi f : A → B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstan apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, di mana C bilangan konstan. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini. Diketahui f : R → R dengan rumus f(x) = 3 dengan daerah domain: {x | –3 ≤ x < 2}. Sehingga, gambar grafiknya.



2)



3)



Fungsi linear Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax + b, di mana a ≠ 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus. Perhatikan contoh berikut. Diketahui f(x) = 2x + 3, gambar grafiknya



Fungsi kuadrat Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax2 + bx + c, di mana a ≠ 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola. Perhatikan contoh fungsi kuadrat  berikut. Fungsi f ditentukan oleh f(x) = x2 + 2x – 3, gambar grafiknya.



38



4)



Fungsi identitas Suatu fungsi f(x) disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi berlaku f(x) = x atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri. Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik absis maupun ordinatnya sama. Fungsi identitas ditentukan oleh f(x) = x. Agar lebih memahami tentang fungsi identitas, pelajarilah contoh berikut ini. Fungsi pada R didefinisikan sebagai f(x) = x untuk setiap x. a. Carilah f(–2), f(0), f(1), f(3). b. Gambarlah grafiknya. Penyelesaian: a. Nilai f(–2), f(0), f(1), dan f(3). f(x) = x f(–2) = –2 f(0) = 0 f(1) = – 1 f(3) = 3 b. Gambar grafik.



5)



Fungsi tangga (bertingkat) Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk interval-interval yang sejajar. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini. Diketahui fungsi:



Tentukan interval dari:



39



a. b. c. d. e.



f(–2)  f(0) e. gambar grafiknya. f(3) f(5) gambar grafiknya.



Penyelesaian: a. f(–2) = –1  b. f(0) = 0 c. f(3) = 2 d. f(5) = 3 e. Gambar grafik



6)



Fungsi modulus Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya. Untuk lebih memahaminya, pelajarilah fungsi berikut berikut. f : x → | x | atau f : x → | ax + b | f(x) = | x | artinya:



Gambar grafiknya



7)



Fungsi ganjil dan fungsi genap Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(– x) = –f(x) dan disebut fungsi genap apabila berlaku f(–x) = f(x). Jika f(–x) ≠ –f(x) maka fungsi ini tidak genap dan tidak ganjil. Untuk memahami fungsi ganjil dan fungsi genap, perhatikan contoh soal berikut ini. Tentukan fungsi f di bawah ini termasuk fungsi genap, fungsi ganjil, atau tidak genap dan tidak ganjil. 1. f(x) = 2x3 + x 2. f(x) = 3 cos x – 5



40



b.



22.



3. f(x) = x2 – 8x Penyelesaian 1. f(x) = 2x3 + x     f(–x) = 2(–x)3 + (–x)              = –2x3 – x = –(2x3 + x)         = –f(x) Jadi, fungsi f(x) merupakan fungsi ganjil. 2. f(x) = 3 cos x – 5   f(–x) = 3 cos (–x) – 5        = 3 cos x – 5 Jadi, fungsi f(x) merupakan fungsi genap. 3. f(x) = x2 – 8x   f(–x) = (–x)2 – 8 (–x)        = x2 + 8x Fungsi f(–x) ≠ f(x) dan f(–x) ≠ –f(x). Jadi, fungsi f(x) adalah tidak genap dan tidak ganjil. Sifat-sifat Fungsi 1) Fungsi injektif (satu-satu) Jika fungsi f : A → B, setiap b ∈ B hanya mempunyai satu kawan saja di A, maka fungsi itu disebut fungsi satu-satu atau injektif.



2)



Fungsi surjektif (onto) Pada fungsi f : A → B, setiap b ∈ B mempunyai kawan di A, maka f disebut fungsi surjektif atau onto.



3)



Fungsi bijektif (korespondensi satu-satu) Suatu fungsi yang bersifat injektif sekaligus surjektif disebut fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu.



Distribusi Frekuensi



41



a. Pengertian Distribusi Frekuensi Salah satu cara untuk mengatur, menyusun, atau meringkas data ialah dengan cara membuat distribusi frekuensi. Kata ditribusi berasal dari kata distribution (bahasa inggris), yang berarti penyaluran, pembagian, atau pancaran. Jadi, secara mendasar, distribusi frekuensi dapat diartikan sebagai penyaluran frekuensi, pembagian frekuensi, atau pancaran frekuensi. Sedangkan, frekuensi sendiri juga berasal dari bahasa Inggris, frequency, yang berarti kekerapan, keseringan, atau jarang-kerapnya. Dalam statistika, frekuensi berarti seberapa kali suatu variabel yang dilambangkan dengan angka (bilangan) berulang kali dalam deretan data angka tersebut. Dengan demikian, distribusi frekuensi merupakan suatu keadaan yang menggambarkan bagaimana frekuensi dari gejala atau variabel yang dilambangkan dengan angka itu telah tersalur, terbagi, tersebar, dan terpancar. Penggambaran angka (bilangan) atau penyajian data angka tersebut dapat disajikan dalam bentuk tabel atau grafik/gambar, yang kemudian dikenal dengan istilah tabel distribusi frekuensi dan grafik distribusi frekuensi. Data yang telah diperoleh dari suatu penelitian yang masih berupa data acak yang dapat dibuat menjadi data yang berkelompok, yaitu data yang telah disusun ke dalam kelas-kelas tertentu. Daftar yang memuat data berkelompok disebut distribusi frekuensi atau tabel frekuensi. Distribusi frekuensi adalah susunan data menurut kelas interval tertentu atau menurut kategori tertentu dalam sebuah daftar (Hasan, 2001). Sebuah distribusi frekuensi akan memiliki bagian-bagian yang akan dipakai dalam membuat sebuah daftar distribusi frekuensi. Bagianbagian tersebut akan dijelaskan sebagai berikut (Hasan, 2001): Kelas-kelas (class) adalah kelompok nilai data atau variable dari suatu data acak. Batas kelas (class limits) adalah nilai-nilai yang membatasi kelas yang satu dengan kelas yang lain. Batas kelas merupakan batas semu dari setiap kelas, karena di antara kelas yang satu dengan kelas yang lain masih terdapat lubang tempat angka-angka tertentu. Terdapat dua batas kelas untuk data-data yang telah diurutkan, yaitu: batas kelas bawah (lower class limits) dan batas kelas atas (upper class limits). Tepi kelas disebut juga batas nyata kelas, yaitu batas kelas yang tidak memiliki lubang untuk angka tertentu antara kelas yang satu dengan kelas yang lain. Terdapat dua tepi kelas yang berbeda dalam pengertiannya dari data, yaitu: tepi bawah kelas dan tepi atas kelas. Titik tengah kelas atau tanda kelas adalah angka atau nilai data yang tepat terletak di tengah suatu kelas. Titik tengah kelas merupakan nilai yang mewakili kelasnya dalam data. Titik tengah kelas = ½ (batas atas + batas bawah) kelas.



42



   b.



Interval kelas adalah selang yang memisahkan kelas yang satu dengan kelas yang lain. Panjang interval kelas atau luas kelas adalah jarak antara tepi atas kelas dan tepi bawah kelas. Frekuensi kelas adalah banyaknya data yang termasuk ke dalam kelas tertentu dari data acak.



Macam Distribusi Frekuensi Distribusi frekuensi terdiri dari dua yaitu: Distribusi Frekuensi Kategori dan Distribusi Frekuensi Numeric. 1) Distribusi Frekuensi Kategori Adalah distribusi frekuensi yang mengelompokkan datanya disusun berbentuk kata-kata (kualitatif). Contoh: Tabel Perbandingan Jumlah Perokok (Data Fiktif) No Negara Frekuensi ( Juta ) 1 Cina 350 2 Amerika Serikat 100 3 Rusia 90 4 Indonesia 80 5 Brazil 70 6 Meksiko 40 2)



Distribusi Frekuensi Numeric Adalah distribusi penyatuan kelas-kelasnya (disusun secara interval) didasarkan pada angka-angka. Contoh: Tabel Distribusi Frekuensi Nilai Statistik (Data Fiktif) Interval Kelas frekuensi 50 – 54 5 55 – 59 8 60 – 64 15 65 – 69 40 70 – 74 17 75 – 79 9 80 – 84 10 3)



Teknik Distribusi Frekuensi Numeric Langkah-langkah pembuatan distribusi frekuensi adalah sebagai berikut:  Urutan data dari yang terkecil sampai yang terbesar.  Hitung jarak atau rentangan (R). Rumus: R = data tertinggi – data terkecil.  Hitung jumlah kelas (K). Rumus: K = 1 + 3,3 log n. Di mana: n = jumlah data.  Hitung panjang kelas interval (P). Rumus P = Rentangan (R) / jumlah kelas (K).  Tentukan batas data terendah, dilanjutkan dengan enghitung kelas interval, dengan cara menjumlah tepi bawah kelas ditambah dengan panjang kelas (P) dan hasilnya dikurangi 1 sampai pada data terakhir.  Buatlah tabel sementara (tabulasi dengan cara menghitung satudemi satu sesuai dengan urutan interval kelas). Contoh Soal dan Jawaban: Nilai ujian statistika 65 orang mahasiswa adalah sebagai berikut: 30, 25, 90, 42, 50, 45, 26, 80, 70, 70, 60, 45, 46, 50, 40, 78, 55, 43, 56, 58, 42, 52, 53, 68, 50, 40, 78, 36, 42, 35, 60, 85, 30, 68, 82, 27,



43



25, 75, 76, 74, 71, 72, 63, 63, 62, 65, 61, 50, 50, 51, 56, 58, 57, 64, 60, 65, 74, 70, 72, 90, 88, 88, 90, 75, 75. Ditanya: Buatlah distribusi frekuensi dari data di atas? Jawab: Langkah-langkah pembuatan distribusi frekuensi adalah sebagai berikut: 1. Urutkan data dari yang terkecil sampai yang terbesar 25, 25, 26, 27, 30, 30, 35, 36, 40, 40, 42, 42, 42, 43, 45, 45, 46, 50, 50, 50, 50, 50, 51, 52, 53, 55, 56, 56, 57, 58, 58, 60, 60, 60, 61, 62, 63, 63, 64, 65, 65, 68, 68, 70, 70, 70, 71, 72, 72, 74, 74, 75, 75, 75, 76, 78, 8, 80, 82, 85, 88, 88, 90, 90, 94. 2. Menghitung jarak atau rentangan (R). Rumus: R = data tertinggi – data terkecil. R = 94 – 25 = 69 3. Menghiting jumlah kelas. K = 1 + 3,3 log n = 1 = 3,3 log (65) = 1 + 3,3 (1,8192) = 6,98 =7 4. Hitung panjang kelas (P). P=R/K = 69 / 7 = 9,8 = 10 5. Hitung batas panjang interval kelas (P) 25 + ( 10 -1 ) = 34 35 + ( 10 -1 ) = 44 45 + ( 10 -1 ) = 54 55 + ( 10 -1 ) = 64 65 + ( 10 -1 ) = 74 75 + ( 10 -1 ) = 84 85 + ( 10 -1 ) = 94 6. Membuat tabel distribusi frekuensi dengan cara memindahkan hasil langkah ke-5 ke dalam kolom interval kelas dan isi kolom frekuensi dengan jumlah frekuensi setiap interval kelas diambil dari langkah ke-1. Tabel Distribusi Frekuensi Nilai Statistik Kelas Interval Kelas frekuensi 1 25 – 34 6 2 35 – 44 8 3 45 – 54 11 4 55 – 64 14 5 65 – 74 12 6 75 – 84 8 7 85 – 94 6 Jumlah 65 c.



Jenis Jenis Distribusi Frekuensi Distribusi frekuensi memiliki jenis-jenis yang berbeda untuk setiap kriterianya. Berdasarkan kriteria tersebut, distribusi frekuensi dapat dibedakan tiga jenis 1) Distribusi frekuensi biasa Distribusi frekuensi yang berisikan jumlah frekuensi dari setiap kelompok data. Distribusi frekuensi ada dua jenis yaitu distribusi frekuensi numerik dan distribusi frekuensi peristiwa atau kategori. 2) Distribusi frekuensi relatif Distribusi frekuensi yang berisikan nilai-nilai hasil bagi antara



44



frekuensi kelas dan jumlah pengamatan. Distribusi frekuensi relatif menyatakan proporsi data yang berada pada suatu kelas interval, distribusi frekuensi relatif pada suatu kelas didapatkan dengan cara membagi frekuensi dengan total data yang ada dari pengamatan atau observasi. 3) Distribusi frekuensi kumulatif Distribusi frekuensi yang berisikan frekuensi kumulatif (frekuensi yang dijumlahkan). Distribusi frekuensi kumulatif memiliki kurva yang disebut ogif. Ada dua macam distribusi frekuensi kumulatif yaitu distribusi frekuensi kumulatih kurang dari dan distribusi frekuensi lebih dari. c. Tabel Distribusi Frekuensi Tabel distribusi frekuensi merupakan alat penyajian data statistika yang berbentuk kolom dan lajur (baris), yang di dalamnya termuat angka-angka yang dapat melukiskan atau menggambarkan pancaran atau pembagian frekuensi dari variabel yang sedang menjadi objek penelitian. Sebelum menggunakan tabel, ada tiga tahapan yang perlu dilakukan pada data, yaitu penyusunan, penyederhanaan, dan pengelompokan. Contoh: Diketahui data berikut: 60, 50, 75, 60, 80, 40, 60, 70, 100, 75. 1) Tahap penyusunan: 40, 50, 60, 60, 60, 70, 75, 75, 80, 100. 2) Tahap penyederhanaan. Nilai ( X )



d.



Banyaknya Orang ( Frekuensi ) 1 1 2 1 3 1 1 10



100 80 75 70 60 50 40 Jumlah ( N ) 3) Tahap pengelompokan: Jika data yang diperoleh banyak/besar (data kelompok), jumlah lebih besar dari 30 (N > 30), sebaiknya data itu disusun dalam bentuk tabel distribusi frekuensi data kelompok. Penyajian Data dalam Tabel Distribusi Frekuensi 1) Tabel Distribusi Frekuensi Data Tunggal Tabel distribusi frekuensi data tunggal adalah salah satu jenis tabel statistik yang di dalamnya disajikan frekuensi dari data angka. Angka yang ada tersebut tidak dikelompokkelompokkan. Contoh: Berikut distribusi frekuensi nilai mata kuliah statistik pendidikan semester IV dari 40 orang mahasiswa. Nilai ( X ) Frekuensi ( f ) 4,0 6 3,5 9 3,0 19 2,5 6 Jumlah ( N ) 40 2)



Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompok Tabel distribusi frekuensi data kelompok adalah salah satu jenis tabel statistik yang di dalamnya disajikan pencaran atau distribusi frekuensi dari data angka. Angka-angka



45



tersebut dikelompokkan (dalam setiap unit terdapat sekelompok angka). Adapun langkah-langkah membuat tabel distribusi frekuensi data kelompok adalah sebagai berikut: 1. Mencari range (R) = penyebaran/jangkauan, dengan rumus: R = Xt – Xr + 1 R=H–L+1 Keterangan: R = range Xt (H) = nilai tertinggi Xr (L) = nilai terendah 2. Menentukan kelas/kelompok. Ada dua cara untuk menentukan kelas ini, yaitu dengan rumus dan dengan serampangan. a) Dengan rumus tetap yang diusulkan Sturgess. K = 1 + 3,3 log N Dengan serampangan/sembarangan, yaitu dengan menambah satu kelas lagi, jika masih terdapat salah satu nilai (skor) yang belum masuk dalam distribusi. Bisa juga dengan membulatkan ke atas setiap hasil dari penghitungan penentuan kelompok/kelas. 3. Menghitung lebar kelas (interval kelas) yang disimbolkan dengan i dan dirumuskan sebagai berikut: i = R/K 4. Menentukan batas kelas (batas bawah nyata dan batas atas nyata) dengan rumus berikut: batas bawah = ujung bawah – 0,5 batas atas = ujung atas + 0,5 5. Menentukan titik tengah kelas (X1) dengan tiga macam cara sebagai berikut: a) Titik tengah kelas = 0,5 x (batas bawah + batas atas) b) Titik tengah kelas = 0,5 x (ujung bawah relatif + ujung atas relatif) c) Titik tengah kelas =(ujung bawah relatif+ujung ATAS RELATIF)/2 6. Membuat tabel distribusi frekuensi berdasarkan hasil R, K, dan i. Cara pengisian tabel tersebut: a) Pada kolom interval kelas, mulailah dari angka yang paling kecil dari data mentah, kemudian diurut sampai empat belas angka sesuai hasil interval, begitu seterusnya ke atas sampai kelas tertentu sesuai hasil K. b) Data mentah dari masing-masing angka ditabulasikan untuk menentukan frekuensi. c) Dilakukan perhitungan fk (frekuensi komulatif). Nilai fk ini merupakan akumulasi penjumlahan frekuensi dari bawah ke atas atau sebaliknya, akumulasi frekuensi dari atas ke bawah. Hal ini dilakukan untuk memastikan bahwa jumlah frekuensi sesuai dengan jumlah N, sekaligus untuk kepentingan membuat grafik ogive. e. Menentukan titik tengah (X1) dari masing-masing data. Contoh: Terdapat data hasil ulangan bidang studi fiqh sebagai berikut: 65 54 44 32 28 82 29 15



46



78 64 43 20 96 21 43 52 27 36 35 43 33 37 28 68 36 55 1)



2)



3) 4)



5)



6)



41 29



28 53



76 52 37



35 N



= 16



50 40 55



Mencari range. Dari data tersebut, range-nya (R) adalah sebagai berikut: R = 96 – 15 + 1 = 81 + 1 = 82 Menentukan kelas/kelompok dengan rumus Sturgess. Dari data tersebut, nilai K dapat dicari sebagai berikut: K = 1 + 3,3 . 1,6 = 1 + 5,28 = 6,28 =6 Menghitung lebar kelas (interval kelas). Dari data tersebut, i dapat dicari sebagai berikut: i =R/K = 82/613,7 = 14 Menentukan batas kelas. Dari data tersebut diperoleh: Ujung bawah = 15 Ujung atas = 28 Batas bawah = 15 – 0,5 = 14,5 Batas atas = 28 + 0,5 = 28,5 Menentukan titik tengah kelas (X1). Dari data tersebut, diperoleh: (X) = 0,5 (batas bawah + batas atas) = 0,5 (14,5 + 28,5) = 0,5 . 43 = 21,5 Mambuat tabel distribusi frekuensi berdasarkan hasil R, K, dan i. Dari data tersebut, tabel distribusi frekuensi yang terbentuk sebagai berikut:



Interval Kelas / Kelompok 85 – 98 71 – 84 57 – 70 43 – 56 29 – 42 15 – 28



f.



17 46 46



Tallys / F Tabulasi



fk



X1



I II III IIII IIII III IIII IIII I IIII IIII



40 = N 39 36 33 20 9



91,5 77,5 63,5 49,5 35,5 21,5



1 3 3 13 11 9 N = 40



Bentuk Distribusi frekuensi Distribusi frekuensi sendiri terdiri dari beberapa bentuk, antara lain : 1) Distribusi Frekuensi Relatif Distribusi frekuensi relatif adalah distribusi frekuensi yang nilai frekuensinya tidak dinyatakan dalam bentuk angka mutlak, akan tetapi setiap kelasnya dinyatakan dalam bentuk persentase ( % ). Rumus : F relatif kelas ke-i = Di mana n = jumlah data Contoh soal : Tabel 2.1Distribusi Nilai Statistik Kelas Interval Kelas Frekuensi 1 22-34 6



47



2 3 4 5 6 7 Jumlah



35-44 45-54 55-64 65-74 75-84 85-94



8 11 14 12 8 6 65



Carilah distribusi frekuensi relatif untuk soal di atas ! Frelatif = 6/65 x 100% = 9,2% Frelatif = 8/65 x 100% = 12,3% Frelatif = 11/65 x 100% = 17% Frelatif = 14/65 x 100% = 22% Frelatif = 12/65 x 100% = 18% Tabel 2.2 Distribusi frekuensi relatif Persentase Kelas Interval Kelas Frekuensi (%) 1 25-34 6 9,2 2 35-44 8 12,3 3 45-54 11 17 4 55-64 14 22 5 65-74 12 18 6 75-84 8 12,3 7 85-94 6 9,2 Jumlah 65 100 2)



Distribusi Frekuensi Kumulatif Distribusi frekuensi kumulatif adalah distribusi yang nilai frekuensinya (f) diperoleh dengan cara menjumlahkan frekuensi demi frekuensi. Distribusi frekuensi kumulatif ( f kum ) dibagi dua, yaitu distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan distribusi frekuensi kumulatif lebih dari. Contoh : Carilah distribusi frekuensi kumulatif dari tabel 2.1 Tabel 2.3 Distribusi frekuensi kumulatif kurang dan lebih dari Kurang dari Lebih dari No Nilai fkum Nilai fkum 1 < 25 0 ≥ 25 65 2 ≤ 34 6 > 34 59 3 ≤ 44 14 > 44 51 4 ≤ 54 25 > 54 40 5 ≤ 64 39 > 64 26 6 ≤ 74 51 > 74 14 7 ≤ 84 59 > 84 6 8 ≤ 94 65 > 94 0 3) Distribusi Frekuensi Relatif Kumulatif Distribusi frekuensi relatif kumulatif adalah distribusi frekuensi yang mana nilai frekuensi kumulatif diubah menjadi nilai frekuensi relatif atau dalam bentuk persentase (%). Rumus : F kum (%) kelas ke-i = Contoh : Carilah distribusi frekuensi relatif kumulatif dari tabel 2.3 1. Distribusi frekuensi relatif kumulatif ( f kum (%) ) kurang dari  f kum (%) ke-1 = 0/65 x 100% = 0%



48



No 1 2 3 4 5 6 7 8 g.



 f kum (%) ke-2 = 6/65 x 100% = 9,2%  f kum (%) ke-3 = 14/65 x 100% = 22%  f kum (%) ke-4 = 25/65 x 100% = 38%  f kum (%) ke-5 = 39/65 x 100% = 60%  f kum (%) ke-6 = 51/65 x 100% = 78%  f kum (%) ke-7 = 59/65 x 100% = 91%  f kum (%) ke-8 = 65/65 x 100% = 100% 2. Distribusi frekuensi relatif kumulatif ( f kum (%) ) lebih dari  f kum (%) ke-1 = 65/65 x 100% = 100%  f kum (%) ke-2 = 59/65 x 100% = 91%  f kum (%) ke-3 = 51/65 x 100% = 78%  f kum (%) ke-4 = 39/65 x 100% = 60%  f kum (%) ke-5 = 25/65 x 100% = 38%  f kum (%) ke-6 = 14/65 x 100% = 22%  f kum (%) ke-7 = 6/65 x 100% = 9,2%  f kum (%) ke-8= 0/65 x 100% = 0% Tabel 2.4 Distribusi frekuensi relatif kumulatif kurang dan lebih dari Kurang dari Lebih dari Nilai fkum(%) Nilai fkum(%) < 25 0 ≥ 25 100 < 34 9,2 ≥ 34 91 < 44 22 ≥ 44 78 < 54 38 ≥ 54 60 < 64 60 ≥ 64 38 < 74 78 ≥ 74 22 < 84 91 ≥ 84 9,2 ≤ 94 100 > 94 0 Penyajian Grafik Seringkali untuk keperluan alnalisis, selain dibuat tabel distribusi frekuensi relatif dan kumulatif, data disajikan dalam bentuk grafik. Grafik yang berupa gambar pada umumnya lebih mudah ditangkap dan di ambil kesimpulan secara cepat dari pada tabel. 1) Histogram Grafik histogram atau histogram frequency merupakan suatu grafik segi empat yang dibentuk di atas absis dengan menggunakan batas bawah nyata dan batas atas nyata yang berhimpit – himpit. ( Rachman utsman,Fathor, 2013 : 53) Diagram batang digunakan untuk lebih memahami persoalan secara visual. Dalam diagram batang, lebar batang diambil dari selang kelasdistribusi frekuensinya, sedangkan frekuensi masing – masing kelas ditunjukan oleh tinggi batang. Diagram batang memungkinkan kita mudah memahaminya, akan tetapi akan lebih menarik bila sajian gambar erat kaitannya dengan apa yang disebut histogram. Sajian histogram berbeda dengan diagram batang dalam hal lebar, yaitu batang digunakannya batas kelas dan bukan limit kelasnya. Ini dimaksudkan untuk menghilangkan jeda atau ruang antar batang, sehingga dapat memberikan kesan padat. Langkah – langkah membuat histogram : 1. Buatlah absis (sumbu mendatar X menyatakan nilai) dan ordinat ( sumbu tegak Y menyatakan frekuensi )



49



2. Buatlah skala absis dan ordinat 3. Buatlah batas kelas dengan cara setiap tepi bawah kelas dikurangi 0,5 4. Membuat tabel distribusi frekuensi untuk membuat grafik histogram



2)



Poligon Poligon Frekuensi adalah grafik garis yang menghubungkan nilai tengah dari setiap interval kelas. Agar ujung kiri dan kanan tertutup maka perlu ditambah satu kelas pada kelas pertama dan satu kelas lagi sesudah  kelas terakhir dengan frekuensi masing-masing nol. a) Menentukan nilai tengah Nilai tengah dapat dicari dengan cara menjumlahkan tepi bawah kelas dengan tepi atas kelas dari setiap interval kelas, kemudian dibagi 2. Contoh:  Kelas – ke 1 = (25 + 34)/2 = 29,5  Kelas – ke 2 = (35 + 44)/2 = 38,5 Untuk interval kelas lain dapat dicari dengan cara yang sama dan hasilnya ada di Tabel 2.10



50



3)



Diagram Lingkar (Pie Chart) Diagram lingkar merupakan suatu lingkaran yang dibagi menjadi beberapa bagian lingkaran. Di mana besar setiap bagian lingkaran tergantung drai besar kecil variabel. Perhitungan nilai bagian lingkaran dihitung berdasarkan persentase. Langkah-langkah membuat diagram pie antara lain: Rumus PC =  K/TFi x 100% Di mana: PC = Persentase bagian lingkaran Frekuensi kelas ke i TF      =  Total frekuensi Contoh: Kelas –  = 6 orang TF         = 65 PC =  )/TFi x 100% PC = (6/65) x 100% PC = 9,2% Untuk kelas yang lain dapat dicari dengan cara yang sama dan perhitungannya ada pada Tabel 2.11



51



4)



Ogive Untuk membuat grafik ogive terlebih dahulu mencari nilai frekuensi kumulatif, sedangkan distribusi frekuensi kumulatif itu sendiri adalah distribusi frekuensi yang nilai frekuensinya (f) diperoleh dengan cara menjumlahkan frekuensi demi frekuensi. Distribusi frekuensi kumulatif () dibagi dua, yaitu:  Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari (negatif)  Distribusi frekuensi kumulatif lebih dari (positif) Langkah-langkah membuat grafik ogive antara lain: 1) Menentukan Nilai Frekuensi Kumulatif Rumus: f_kum= f_(ke-1) + f_(ke-2)+⋯+ f_(ke-n) Di mana: f_kum= frekuensi kumulatif f_(ke-n)= frekuensi setiap kelas 2) Menghitung Frekuensi Kumulatif Positif dan Negatif



52



Contoh Soal Pak Budi, guru matematika SMA Jaya Selalu, sedang mendata nilai ujian 100 siswa-siswi kelas XII. Nilai yang didapat aadalah sebagai berikut: 97 97 23 100 87 90 90 90 90 63 47 47 50 33 53 60 60 63 63 65 80 83 73 73 75 65 65 65 65 73 85 85 77 77 77 65 70 70 73 75 93 93 83 83 83 73 75 75 75 83 43 73 87 87 87 77 80 80 80 57 40 75 93 95 95 43 43 45 45 63 57 57 60 83 83 55 55 55 55 65 63 65 65 97 97 97 80 80 57 73 67 67 67 55 55 57 85 85 63 77 Buatlah daftar distribusi frekuensinya ? Jawaban Step 1: Menentukan banyak kelas K = 1 + 3.32 log n Banyak data = n = 100 k = 1 + 3.32 log 100 = 1 + 6.64 = 7.64 Banyak kelas –> dibulatkan ke atas = 8 kelas Step 2: Menentukan panjang kelas Xmaks = 100 Xmin = 23 R = Xmaks – Xmin = 100 – 23 = 77 Panjang kelas = 77/8 = 9.6 Panjang kelas –> dibulatkan ke atas = 10 Agar perhitungan menjadi mudah, kelas interval pertama yang diambil adalah 21 – 30



53



54



BAB III UKURAN LOKASI DAN VARIASI 23.



Pengertian Rata rata. Istilah “rata-rata” dalam kehidupan kita sehari-hari sebenarnya merupakan istilah yang acapkali kita jumpai dan bahkan sering kita gunakan; karena itu istilah tersebut kiranya bukanSeperti telah kita maklumi bersama, apabila kita berhadapan dengan sekumpulan data yang berupa angka, misalnya Nilai Hasil Tes Seleksi, Nilai Ebtanas Murni (NEM), Nilai Rapor, Nilai Ijazah atau Nilai STTB dan lain sebagainya, maka pada umumnya kita menjadi tertarik untuk mengetahui satu buah nilai yang dapat kita anggap mewakili kumpulan nilai yang ada di hadapan kita itu, yaitu satu nilai yang kita pandang representatif dapat mencerminkan gambaran secara umum mengenai keadaan nilai tersebut. Satu buah nilai dengan fungsi seperti yang telah dikemukakan di atas itulah yang dalam dunia statistik kita kenal dengan istilah Rata-rata atau Nilai Rata-rata atau Harga Rata-rata atau Ukuran Rata-rata. Nilai Rata-rata dari sekumpulan data yang berupa angka impedaumumnya mempunnui kecenderungan untuk berada di sekitar titik pusat penyebaran data angka tersebut; karena itulah Nilai Rata-rata atau Ukuran Rata-rata itu dikenal pula dengan nama Ukuran Tendensi Pusat (Measure of Central Tendency). Nilai Rata-rata juga dikenal dengan istilah Ukuran Nilai Pertengahan (Measure of Central Value), sebab Nilai Rata-rata itu pada umumnya merupakan nilai pertengahan dari nilai-nilai yang ada. Selain itu, karena Nilai Rata-rata itu biasanya berposisi pada sekitar sentral penyebaran nilai yang ada, maka Nilai Rata-rata itu pun yang dikenal dengan nama Ukuran Posisi. Dari uraian di atas secara singkat dapat dikemukakan bahwa apa yang dimaksud dengan Rata-rata itu tidak lain adalah: Tiap bilangan yang dapat dipakai sebagai wakil dari rentetan nilai Rata-rata itu wujudnya hanyalah satu bilangan saia; namun dengan satu bilangan itu akan dapat tercermin gambaran secara umum mengenai kumpulan atau deretan bahan keterangan yang berupa angka atau bilangan itu. a. Cara Menghitung Nilai Rata-rata dalam Statistika dan Contohnya. Cara menghitung nilai rata-rata suatu kelompok data dan cara menghitung rata-rata data berkelompok. Cara mencari nilai ratarata dari suatu kelompok data dibagi menjadi cara manual dan cara menggunakan software seperti Microsoft Excel. Cara manual akan saya jelaskan dengan menggunakan penjabaran rumus secara lengkap dan cara menentukan rata-rata menggunakan Microsoft Excel akan saya berikan menggunakan gambar di bagian akhir beserta langkah-langkahnya. Menentukan nilai rata-rata suatu kelompok menjadi sangat penting untuk menggambarkan kondisi suatu kelompok atau suatu data secara umum dengan satu angka yang dapat mewakili keseluruhan data dalam kelompok. b. Pengertian Nilai Rata-rata Nilai rata-rata adalah angka representasi atau biasa juga disebut sebagai mean dari suatu kelompok data yang mewakili data secara keseluruhan. c. Kegunaan Nilai Rata-rata  Dapat digunakan untuk membandingkan kualitas suatu kelompok dengan kelompok lain  Mewakili kondisi suatu kelompok dengan 1 angka  Mendeskripsikan suatu kelompok dengan singkat d. Rumus nilai rata-rata x¯=∑ki=1xin Keterangan:  x¯ : merupakan lambang nilai rata-rata



55







e.



f.



g.



24.



∑ki=1xi : lambang Sigma menunjukkan penjumlahan Dari sekelompok data. Di bawah lambang Sigma i=1 menunjukkan bahwa penjumlahan bergerak dari data pertama, sedangkan di atas lambang Sigma terdapat k yang menunjukkan data terakhir atau data ke k. Sehingga arti dari notasi ini adalah kita diminta untuk menjumlahkan seluruh data dari data yang pertama sampai ke data terakhir atau data ke k. Sehingga formula ini dapat dituliskan menjadi x₁+x₂+x₃+ … +xₖ  n : menunjukkan banyaknya data dari i = 1 sampai k Contoh cara menghitung nilai rata-rata Misalkan kita ingin melihat nilai rata-rata dari 10 siswa yang mengikuti ujian matematika di kelas 11. Datanya tersedia pada tabel dibawah ini (hanya data fiktif). 80 90 95 100 90 95 80 70 90 90 Contoh satu set data Langkah-langkah menghitung nilai rata-rata 1) Tentukan nilai n Dengan menghitung seluruh observasi yang dalam kasus diatas merupakan banyaknya siswa maka dapat diketahui nilai n sebanyak 10, sehingga n = 10. 2) Tentukan nilai ∑ki=1xi Seperti petunjuk sebelumnya diatas bahwa ∑ki=1xi Artinya kita perlu menjumlahkan seluruh data dari data yang pertama hingga data yang terakhir, maka: ∑ki=1xi=80+90+95+100+90+95+80+70+90+90sumki=1xi=880 Selesaikan rumus nilai rata-ratanya Karena seluruh komponen yang sudah ditemukan, maka kita tinggal memasukkan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus nilai ratarata. x¯=∑ki=1xin x¯=88010=88 Sehingga nilai rata-rata  ujian matematika dari 10 siswa dari kelas 11 adalah 88. Cara Menghitung Nilai Rata-rata Data Berkelompok Cara menghitung nilai rata-rata data berkelompok hampir sama dengan rumus rata-rata sebelumnya, namun pada data berkelompok jumlah nilai masing-masing kelompok juga dijumlahkan. Rumus nilai rata-rata data berkelompok x¯=∑ki=1xi.fi∑ki=1fi  xi : data hasil pengamatan dari i sampai k  fi : frekuensi amatan (banyaknya per kelompok) dari i ke k  ∑ki=1fi : jumlah frekuensi amatan Langkah menghitung rata-rata data berkelompok No. Tinggi Badan Banyaknya 1 150 10 2 155 15 3 160 20 4 165 10 Tabel data berkelompok Maka penghitungannya dapat dilakukan sebagai berikut: x¯=150×10+155×15+160×20+165×1010+15+20+10  =8.67555= 157,727 Artinya rata-rata tinggi anak dari keseluruhan kelas adalah 157,727 cm.



Rata rata Hitung a. Rata-rata atau Mean



56



Rata-rata disebut juga mean dengan lambang x (dibaca x bar). Kita bisa menghitung nilai rata-rata atau mean dari data tunggal dan data tunggal berkelompok atau berfrekuensi.  Apa ya bedanya data tunggal dan data tunggal berkelompok? Jadi kalo data tunggal, kita mengumpulkan atau memperoleh data apa adanya (bisa berurutan atau acak) dan tidak mengelompokkannya ke tabel frekuensi. Contoh data tunggal : Nilai Ujian Matematika kelas VIII-A 5 9 7 8 6 5 6 8 9 5 7 8 7 9 8 6 6 5 8 8 6 5 7 5 7 8 6 5 5 7 5,6,7,8,9 dari data diatas disebut datum atau bisa dibilang kalo datum itu masing-masing angka yang ada pada suatu data. Untuk memperoleh nilai rata-rata kita bisa membagi jumlah semua nilai atau datum-nya dengan banyaknya data. Nah, ini dia rumusnya :



Kebayang nggak sih gimana ribet dan panjangnya tulisan, kalo misalnya kamu harus ngumpulin nilai dari 200 orang? nggak efisien banget dong. Solusinya kita bisa mengelompokkan data atau nilainya dengan tabel frekuensi atau bisa juga dibilang data tunggal berkelompok. Misalnya : Nilai



5



6



7



8



9



Frekuensi



14



25



31



20



10



Untuk rumus data tunggal berkelompok, bisa ditulis seperti ini :



Kita coba yuk latihan soal pakai rumus-rumus itu! Contoh soal rata-rata: Data nilai ulangan harian IPA kelas VIII-1. Berapa banyak siswa di kelas itu yang nilainya lebih dari rata-rata?



Penyelesaian: Cari dulu nilai rata-rata pakai rumus data tunggal berkelompok



57



b.



Maka, nilai di atas 6,625 adalah 7 sampai 10 sebanyak 21 siswa. Median (Me) Median adalah datum yang letaknya di tengah dari suatu data, tapi dengan syarat datanya sudah diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar. Nah, pada bahasan median ini kamu bisa perhatikan jumlah data yang ada, misal datanya itu ganjil atau genap. 



Pada materi median, tiap rumus ada perbedaannya. 



Untuk data berjumlah ganjil kamu bisa langsung ambil angka tengahnya, tapi untuk data berjumlah genap akan ada 2 angka yang ditengah. Jadi supaya kamu bisa peroleh nilai mediannya, harus pakai rumus yang berbeda. Tapi kalo kamu masih bingung dan nggak kebayang pakai rumusnya, mendingan kita langsung bahas soal yuk! Contoh Soal Median:  Soal 1 Median dari data: 7, 8, 8, 9, 4, 3, 7, 9, 5, 7, 6, 5, 6 Penyelesaian: Ingat ! urutkan nilainya dari terkecil sampai terbesar 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9 (n =13 termasuk data ganjil)



Maka diperoleh hasilnya adalah 7. Soal 2 Median dari data berikut adalah ..



58



Penyelesaian: Hitung banyaknya data yang ada 



Jadi diperoleh nilai mediannya yaitu 7.  c.



Modus (Mo) Nah untuk topik yang ketiga ini pasti udah nggak asing lagi kan? Yap, modus atau nilai yang sering muncul, biasanya dilambangkan dengan Mo. Kalau data yang kamu peroleh merupakan data tunggal berkelompok atau data yang dikelompokkan ke dalam tabel maka kamu bisa langsung lihat datum atau nilai dengan frekuensi paling tinggi. Tapi kalo data tunggal biasa kamu bisa tabel turus/ tally. Biar kamu paham kita ke contoh soal ya! Contoh soal Modus Modus dari data berikut adalah : 102, 108, 106, 107, 108 105, 107, 105, 108, 106 106, 106, 107, 102, 105 105, 102, 106, 105, 106 107, 106, 105, 106, 102 105, 107, 107, 106, 105 106, 106, 105, 107, 102 Penyelesaian : Agar lebih mudah, buat dalam bentuk tabel turus seperti ini:



Lihat dari frekuensi yang paling tinggi 11, jadi modus dari data itu adalah 106. Nah kita udah bahas 3 ukuran pemusatan data nih, tapi sesuai janji diawal, kita bakal bahas cara mencari nilai salah satu siswa. Caranya itu mirip banget sama soal di bawah ini, jadi pahami ya!



59



25.



Rata-rata Hitung Harmonik (Harmonic Average) Rata-rata harmonik (Harmonic Average) adalah rata-rata yang dihitung dengan cara mengubah semua data menjadi pecahan, dimana nilai data dijadikan sebagai penyebut dan pembilangnya adalah satu, kemudian semua pecahan tersebut dijumlahkan dan selanjutnya dijadikan sebagai pembagi jumlah data. Rata-rata harmonik ini sering disebut juga dengan kebalikan dari rata-rata hitung (Aritmatik). Secara matematis rata-rata harmonik dirumuskan sebagai : 



Keterangan : H    = Rata-rata harmonik n     = Jumlah data sampel Xi   = nilai data ke-i Agar dapat menjumlahkan bagian penyebut pada rumus 1.7 yaitu 1/𝑋1+1/𝑋2+1/𝑋3+ ⋯+1/𝑋𝑛, maka kita harus menentukan faktor persekutuan terbesar atau FPB dari x1, x2, x3, ..., xn.   Contoh : Tentukan rata – rata harmonik dari data tunggal yaitu 2, 4, 5, 6, dan 8 !  Jawab :  Karena banyaknya data ada 5 maka n = 5 dan FPB dari 2, 4, 5, 6 dan 8 adalah 120, maka rata – rata harmoniknya adalah 



60



karena pembagi merupakan pecahan maka dijadikan perkalian tetapi pecahannya dibalik.



Jadi rata – rata harmonik dari data 2, 4, 5, 6 dan 8  adalah 4,02 a.



Rata-rata harmonic untuk data tunggal Contoh 1: Si A bepergian pulang pergi. Waktu pergi ia mengendarai kendaraan dengan kecepatan 10 km/jam, sedangkan waktu kembalinya 20 km/jam. Berapakah rata-rata kecepatan pulang pergi? Jawab: Apabila kita menghitungnya dengan menggunakan rumus jarak dan kecepatan, tentu hasilnya 13.5 km/jam! Apabila kita gunakan perhitungan rata-rata hitung, hasilnya tidak tepat! Pada kasus ini, lebih tepat menggunakan rata-rata harmonik:



b.



Rata-rata Harmonik untuk Distribusi Frekuensi:



Contoh 2: Berapa rata-rata Harmonik dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 pada Tendensi Sentral: Mean! Jawab: Kelas Nilai Ujian fi xi fi/xi ke1 31 – 40 2 35.5 0.0563 2 41 – 50 3 45.5 0.0659 3 51 – 60 5 55.5 0.0901 4 61 – 70 13 65.5 0.1985 5 71 – 80 24 75.5 0.3179 6 81 – 90 21 85.5 0.2456



61



7 8



91 – 100 Jumlah



12 95.5 0.1257 80 1.1000



Perbandingan Ketiga Rata-rata (Mean):



26.



Kuartil, Desil dan Persentil a. Pengertian Kuartil Kuartil adalah ukuran letak yang membagi data yang telah diukur atau data yang berkelompok menjadi empat bagian yang sama besar. Istilah kuartil dalam kehidupan kita sehari-hari lebih dikenal dengan istilah kuartal. Dalam dunia statistik, yang dimaksud dengan kuartil ialah titik atau skor atau nilai yang membagi seluruh distribusi frekuensi ke dalam empat bagian yang sama besar, yaitu masing masing sebesar ¼ N. Jadi disini akan kita jumpai tiga buah kuartil, yaitu kuartil pertama (Q1), kuartil kedua (Q2), dan kuartil ketiga (Q3). Ketiga kuartil inilah yang membagi seluruh distribusi frekuensi dari data yang kita selidiki menjadi empat bagian yang sama besar, masing-masing sebesar ¼ N, seperti terlihat dibawah ini. Jalan pikiran serta metode yang digunakan adalah sebagaimana yang telah kita lakukan pada saat kita menghitung median. Hanya saja,kalau median membagi seluruh distribusi data menjadi dua bagian yang sama besar, maka kuartil membagiseluruh distribusi data menjadi empat bagian yang sama besar. Cara menentukan kuartil dibagi menjadi 2 tipe, antara lain sebagai berikut: 1) Kuartil Data Tunggal Rumus Kuartil Data Tunggal



             



Contoh Soal Kuartil Data Tunggal Tentukan Q1, Q2 dan Q3 dari data:3, 4, 7, 8, 7, 4, 8, 4, 9, 10, 8, 3, 7, 12 Jawaban: Data yang telah di urutkan: 3, 3, 4, 4, 4, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 12 Letak Q1 adalah 1 (14+1)/4 = 15/4 = 3 ¾ Q1 =X3 + ¾ (X4 – X3) = 4 + ¾ (4-4) = 4 Letak Q2 adalah 2 (14+1)/4 = 15/2 = 7 ½ Q2 =X7 + ½  (X7 – X6)   = 7 + ½ (7-7) = 7 Letak Q3 adalah 3 (14+1)/4 = 45/4 = 11 ¼ Q3 =X11 + ¼  (X12 – X11) = 8 + ¼ (9-8) = 8 + ¼ (9-8)  = 8 ¼ atau 8,25 2) Kuartil Data Kelompok Rumus Kuartil Data Kelompok



62



Keterangan: Q = Kuartil L = Titik bawah N = Banyak data i = Kuartil 1, 2, 3 Cf = Frekuensi komulatif – sebelum kelas f = Frekuensi kelas kuartil I = Panjang kelas Contoh Soal Kuartil Data Kelompok Tentukan kuartil 1 dan 3 dari data table berikut: Interval f 87-108 2 109-130 6 131-152 10 153-174 4 175-196 3 25



                                                          



                       



b.



Jawaban: Q1 (kuartil 1) N    = 25 1/4N    = ¼ x 25 = 6.25 L     = 109 – 0.5 = 108.5 Cf   = 2 F     = 6 I      = 22 Q1  = L + ((1/4N – Cf) x I) : f   = 108.5 + ((6.25 – 2) x 22) : 6 = 108.5 + (4.25 x 22) : 6 = 108.5 + 93.5 : 6 = 108.5 + 15.58 = 124.08 Jawaban: Q3 (kuartil 3) N    = 25 3/4N    = 3/4 x 25 = 18.75 L     = 153 – 0.5 = 152.5 Cf   = 2 + 6 + 10 = 18 F     = 4 I      = 22 Q3  = L + ((3/4N – Cf) x I) : f = 152.5 + ((18.75 – 18) x 22) : 4 = 152.5 + (0.75 x 22) : 4 = 152.5 + 16.5 : 4 = 152.5 + 4.125 = 156.625 Pengertian Desil Desil adalah titik atau skor atau nilai yang membagi seluruh distribusi frekuensi dari data yang kita selidiki ke dalam 10 bagian yang sama besar, yang masing-masing sebesar 1/10 N.Jadi disini kita jumpai sebanyak 9 buah titik desil, dimana kesembilan buah titik desil itu membagi seluruh distribusi frekuensi ke dalam 10 bagian yang sama besar. Kegunaan desil adalah untuk menggolongkan-golongkan suatu distribusi data ke dalam sepuluh bagian yang sama besar,



63



kemudian menempatkan subjek-subjek penelitian ke dalam sepuluh golongan tersebut. Cara menentukan desil dibagi menjadi 2 tipe, antara lain sebagai berikut: 1) Desil Data Tunggal Rumus Desil Data Tunggal



            



                  



Contoh Soal Desil Data Tunggal Diketahui data: 9,10, 11, 6, 8, 7, 7, 8, 9, 10, 11. Tentukanlah: 1. Desil ke -2 2. Desil ke- 4 Jawaban: Data di urutkan: 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10 Letak desil ke- 2 diurutan data ke- 2(10+1)/10 = 22/10 = 2,2 D2 terletak pada urutan ke- 2,2 sehingga D2  =  X2 + 0,2 (X3-X2) D2  =  5 + 0,2 (5-5)  =5+0 =5 Letak desil ke- 2 diurutan data ke- 4(10+1)/10 = 44/10 = 4,4 D4 terletak pada urutan ke- 4,4 sehingga D4  =  X4 + 0,4 (X5-X4) D4  =  6 + 0,4 (7-6) = 6 + 0,4 = 6,4 2) Desil Data Kelompok Rumus Desil Data Kelompok



Keterangan: D  = Desil L  = Titik bawah N  = Banyak data I = Desil 1, 2, 3 … 10 Cf = Frekuensi komulatif – sebelum kelas Fd = Frekuensi kelas desil I = Panjang kelas Contoh Soal Desil Data Kelompok Tentukan Desil 7 dari data table berikut: Interval f 87-108 2 109-130 6 131-152 10 153-174 4 175-196 3 25 Jawaban: Ds 7 (desil 7) N           = 25 7/10N    = 7/10 x 25 = 17.5 L            = 131 – 0.5 = 130.5 Cf          = 2 + 6 = 8 Fd          = 10 I             = 22 Ds 7       = L + ((7/10N – Cf) x I) : fd



64



                                                                   c.



= 130.5 + ((17.5 – 8) x 22) : 10 = 130.5 + (9.5 x 22) : 10   = 130.5 + 209 : 10 = 130.5 + 20.9 = 151.4 Pengertian Persentil (Ps) Presentil adalah titik atau skor atau nilai yang membagi seluruh distribusi frekuensi dari data yang kita selidiki ke dalam 100 bagian yang sama besar,  karena itu presentil sering disebut ukuran perseratusan. Persentil yang biasa dilambangkan P, adalah titik atau nilai yang membagi suatu distribusi data menjadi seratus bagian yang sama besar. Karena itu persentil sering disebut ukuran perseratusan. Titik yang membagi distribusi data ke dalam seratus bagian yang sama besar itu ialah titik-titik: P1, P2, P3, P4, P5, P6, … dan seterusnya, sampai dengan P99. Jadi disini kita dapati sebanyak 99 titik persentil yang membagi seluruh distribusi data ke dalam seratus bagian yang sama besar, masing-masing sebesar 1/ 100N atau 1%. Cara menentukan presentil dibagi menjadi 2 tipe, antara lain sebagai berikut: 1) Persentil Data Tunggal Rumus Persentil Data Tunggal



Contoh Soal Persentil Data Tunggal Tentukan letak P20 serta nilainya dari data berikut ini: 35, 40, 70, 80, 91, 50, 61, 25, 95. Jawaban: Data diurutkan dari data terkecil hingga terbesar ; 15, 35, 40, 50, 61, 70, 80, 91, Letak persentil 20 (P20) adalah + =2. Jadi persentil ke 20 terletak pada data ke-2, yaitu 35. 2) Persentil Data Kelompok Rumus Persentil Data Kelompok



Keterangan: D = Presentil L = Titik bawah N = Banyak data I = Persentil 1, 2, 3 … 100 Cf = Frekuensi komulatif – sebelum kelas Fd = Frekuensi kelas presentil I = Panjang kelas Contoh Soal Persentil Data Kelompok Tentukan presentil 94 dari data table berikut: Interval f 87-108 2 109-130 6 131-152 10 153-174 4 175-196 3 25 Jawaban: Ps 94



65



                                                                               



27.



N              = 25 94/100N   = 94/100 x 25 = 23.5 L              = 175 – 0.5 = 174.5 Cf            = 2 + 6 + 8 + 10 + 4 = 22 Fps           = 3 I               = 22 Ps94         = L + ((94/100N – Cf) x I) : fd = 174.5 + ((23.5 – 22) x 22) : 3 = 174.5 + (1.5 x 22) : 3 = 174.5 + 33 : 3 = 174.5 + 11 = 185.5 3) Kegunaan persentil dalam dunia pendidikan adalah: 1. Persentil dapat digunakan untuk menentukan kedudukan seorang anak didik, yaitu: pada persentil keberapakah anak didik itu memperoleh kedudukan ditengah-tengah kelompoknya. 2. Persentil juga dapat digunakan sebagai alat untuk menetapkan nilai batas lulus pada tes atau seleksi.



Ukuran Variansi Dan Simpangan Baku a. Pengertian Ukuran Variasi atau Dispersi adalah ukuran yang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari nilainilai pusatnya atau Ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data yang berbeda dengan nilai-nilai pusatnya. Pengukuran penyimpangan adalah suatu ukuran yang menunjukkan tinggi rendahnya perbedaan data yang diperoleh dari rata-ratanya. Ukuran penyimpangan digunakan untuk mengetahui luas penyimpangan data atau homogenitas data. Dua variabel data yang memiliki mean sama belum tentu memiliki kualitas yang sama, tergantung dari besar atau kecil ukuran penyebaran datanya. Macam-macam pengukuran penyimpangan yang sering digunakan adalah rentangan (range), rentangan antar kuartil, rentangan semi antar kuartil, simpangan rata-rata, simpangan baku, varians, koefisien varians, dan angka baku, namun yang umum digunakan adalah standar deviasi. b. Ukuran Variansi Ukuran pemusatan (mean, median, modus) yang telah kita pelajari hanya menitikberatkan pada pusat data, tapi tidak memberikan informasi mengenai sebaran nilai pada data tersebut, apakah nilai-nilai data bervariasi ataukah tidak. Terdapat 3 kondisi variasi data, yaitu data yang homogen (tidak bervariasi), data heterogen (sangat bervariasi), dan data yang relatif homogen (tidak begitu bervariasi). Ilustrasinya sebagai berikut: Data homogen: 50 50 50  50  50 -> rata-rata hitung=50 Data relatif homogen: 50 40 30 60 70 -> rata-rata hitung=50 Data heterogen: 100 40 80  20  10 -> rata-rata hitung=50 Bila kita perhatikan, ketiga kondisi di atas memberikan nilai rata-rata hitung yang sama, yaitu sebesar 50. Namun, kenyataannya rata-rata hitung pada data yang homogen dapat dengan baik mewakili himpunan data keseluruhan. Rata-rata hitung pada data yang relatif homogen cukup baik mewakili himpunan datanya. Sedangkan, rata-rata hitung pada data yang heterogen tidak dapat mewakili dengan baik himpunan data secara keseluruhan. Terdapat beberapa macam ukuran variasi atau dispersi, misalnya nilai jarak (range), rata-rata simpangan (mean deviation), varians, simpangan baku (standard deviation), dan koefisien variasi (coefficient of variation).



66



  c.



d.



Pengukuran Dispersi Data Tidak Dikelompokkan 1) Nilai Jarak (Range) Diantara ukuran variasi yang paling sederhana dan paling mudah dihitung adalah nilai jarak (range). Jika suatu himpunan data sudah disusun menurut urutan yang terkecil (Xmin) sampai dengan yang terbesar (Xmax), maka untuk menghitung range digunakan rumus berikut: Range = Xmax – Xmin Range adalah perbedaan antara data terbesar dengan data terkecil yang terdapat pada sekelompok data. Range adalah salah satu ukuran statistik yang menunjukan jarak penyebaran data antara nilai terendah (Xmin) dengan nilai tertinggi (Xmax). Ukuran ini sudah digunakan pada pembahasan daftar distribusi frekuensi. Jarak atau kisaran nilai (range) merupakan ukuran paling sederhana dari ukuran penyebaran. Jarak merupakan perbedaan antara nilai terbesar dan nilai terkecil dalam suatu kelompok data baik data populasi atau sampel. Semakin kecil ukuran jarak menunjukkan karakter yang lebih baik, karena berarti data mendekati nilai pusat dan kompak. 2) Rata-rata Simpangan (Mean Deviation) Rata-rata simpangan (RS) adalah rata-rata hitung dari nilai absolut simpangan yang dirumuskan:



3)



Variansi Variansi merupakan rata-rata hitung dari kuadrat simpangan setiap pengamatan terhadap rata-rata hitungnya. Varians terbagi dua berdasarkan data yang digunakan, apakah data populasi ataukah data sampel. Berikut contoh rumusnya :



4)



Simpangan Baku Simpangan baku digunakan untuk mengukur penyimpangan atau deviasi masing-masing nilai individu dari suatu himpunan data terhadap rata-rata hitungnya. Satuan simpangan baku mengikuti data aslinya. Adapun rumusnya yaitu sebagai berikut :



Pengukuran Dispersi Data Dikelompokkan 1) Nilai Jarak (Range) Untuk data berkelompok, range dapat dihitung dengan dua cara yaitu: Range = Nilai Tengah Kelas Akhir – Nilai Tengah Kelas Pertama Atau Range = Tepi Atas Kelas Akhir – Tepi Bawah Kelas Pertama Atau Range = Batas Atas Kelas Akhir – Bawas Atas Kelas Pertama Atau Range = Batas Bawah Kelas Akhir – Batas Bawah Kelas Pertama



67



2)



Kedua cara tersebut akan memberikan hasil yang berbeda. Cara pertama cenderung menghilangkan kasuskasus ekstrim. Rata-rata Simpangan (Mean Deviation) Adapun rumusnya yaitu sebagai berikut :



3)



Variansi Adapun rumusnya yaitu sebagai berikut :



4)



Koefisien Variasi (Coefficient of Variation) Perbandingan antara simpangan baku dengan rata-rata suatu data dan dinyatakan dalam %. Rumusnya adalah:  Populasi







           



           



Sampel



Soal 1. Jangkauan  Kelompok data I 30, 30, 30, 30, 30 Maka R = 30 – 30 = 0  Kelompok data II 20, 30, 40, 50, 60 Maka R = 60 – 20 = 40  Kelompok data III 10, 20, 30, 40, 50, 60 Maka R = 60 – 10 = 50 2. Simpangan Rata-Rata Data : 20, 30, 50, 70, 80 n=5



3. Variansi Data : 2, 7, 5, 8 n=4



68



4. Simpangan Baku



5. Jangkauan Kuartil Data : 20, 30, 50, 70 n=4



6. Jangkauan Persentil Data : 20, 30, 50, 70 n=4



e.



Simpangan Rata Rata – Pengertian, Rumus dan Cara Menentukannya 1) Simpangan Rata Rata Kebanyakan orang belajar menghitung rata-rata dengan cara menjumlahkan seluruh nilai data dan membaginya dengan banyaknya data dalam satu set sekaligus. Terdapat perhitungan tingkat lanjut yakni simpangan rata-rata. Perhitungan ini mengukur seberapa dekat nilai-nilai



69



2)



3)



data yang kita miliki dengan nilai rata-rata kumpulan data tersebut. Caranya, yuk kita simak lebih dalam dibawah berikut: Pengertian Simpangan Rata-Rata Pengertian Simpangan rata-rata atau (deviasi mean) ialah rata-rata jarak antara nilai-nilai data menuju rataratanya. Simpangan rata-rata meripakan termasuk ke dalam ukuran penyebaran data seperti halnya Varian dan Standar Deviasi. Kegunaannya ialah untuk mengetahui seberapa jauh nilai data yang telah menyimpang dari rata-rata yang sebenarnya. Rumus Simpangan Rata-Rata Sekumpulan data kuantitatif yang tidak dikelompokkan serta dinyatakan oleh x1, x2, …, xn. Dari data tersebut dapat ditentukanlah simpangan rata-rata (S R) dengan menggunakan sebuah rumus sebagai berikut:



Contoh Soal 1: Hitunglah simpangan rata-rata dari data kuantitatif berikut : 12, 3, 11, 3, 4, 7, 5, 11 Pembahasan: Maka, simpangan rata-ratanya ialah 3,25. Untuk sekumpulan data yang dinyatakan oleh x1, x2, …, xn dan masing-masing nilai data tersebut mempunyai frekuensi f1 , f2 , …, fn  maka diperolehlah nilai simpangan rata-rata (SR) dengan menggunakan rumus:



Contoh Soal 2: Hitunglah simpangan rata-rata nilai ulangan Matematika siswa Kelas XI MAN 2 Merdeka seperti Tabel 1 dibawah berikut: Tabel 1. Nilai ulangan Matematika siswa Kelas XI MAN 2 Merdeka Interval Kelas Frekuensi 40 – 44 3 45 – 49 4 50 – 54 6 55 – 59 8 60 – 64 10 65 – 69 11 70 – 74 15 75 – 79 6 80 – 84 4 85 – 89 2 90 – 94 2 Penyelesaian: Dari tabel diatas, diperoleh  = 65,7 (dibulatkan). Kelas Nilai        fi      |x–x|         fi  |x–x| Interval Tengah  (xi) 40 – 44 42 3 23,7 71,1 45 – 49 47 4 18,7 74,8 50 – 54 52 6 13,7 82,2



70



55 60 65 70 75 80 85 90



– – – – – – – –



59 64 69 74 79 84 89 94



57 62 67 72 77 82 87 92



8 8,7 69,6 10 3,7 37 11 1,3 14,3 15 6,3 94,5 6 11,3 67,8 4 16,3 65,2 2 21,3 42,6 2 26,3 52,6 Σfi = Σfi |x – x| = 71 671,7 Maka, simpangan rata-rata (SR) = 671,7 / 71 = 9,46. Perlu diingat: Simpangan rataan hitung tersebut menunjukkan rataan hitung jauhnya datum dari rataan hitung. Untuk menghitung simpangan baku dari data kuantitatif: 2, 5, 7, 4, 3, 11, 3 dengan kalkulator ilmiah (fx–3600Pv) ialah sebagai berikut:



  1) 2) 3)



Kalkulator “ON” MODE 3 → Program SD Masukkan data 2 data 5 data … … … 3 data 4) Tekan tombol x  αn-1 α = 2,878491669 = 2,88   Selanjutnya yaitu membahas Simpangan rata- rata yang dibagi menjadi dua: 1. Simpangan rata – rata dengan data tunggal 2. Simpangan rata – rata data berkelompok a) Simpangan Rata – Rata Dengan Data Tunggal Rumus Variasi   dari Data Tunggal Rumus variasi/ragam dari data tunggal ialah yang dinyatakan melalui persamaan di bawah berikut:



Keterangan: X i  = nilai data ke-i 2  S = rata-rata n = jumlah seluruh frekuensi b) Rumus Standar Deviasi/Simpangan Bakunya Data Tunggal ialah: Rumus simpangan baku data tunggal dinyatakan melalui sebuah persamaan di bawah berikut:



71



Keterangan: X i  = nilai data ke-i 2  S = rata-rata n = jumlah seluruh frekuensi c)  Simpangan rata – rata data berkelompok Rumus Simpangan Rata-rata (SR) Data Berkelompok ialah sebagai berikut:



f.



Keterangan: X i  = nilai data ke-i 2  S = rata-rata n = jumlah seluruh frekuensi k = banyaknya kelas interval Variasi (Ragam) Persamaan untuk ragam atau variasi diberkan melalui rumus di bawah berikut:



1)



Keterangan: X i  = nilai data ke-i 2  S = rata-rata n = jumlah seluruh frekuensi k = banyaknya kelas interval Pengertian dan Rumus Koefisien Variasi Koefisiesn Variasi sendiri adalah perbandingan antara simpangan baku dengan rata-rata suatu data yang dinyatakan dalam bentuk %. Biasanya sistem ini untuk mencari nilai rata-rata dalam sebuah data, di mana rumusnya adalah sebagai berikut ini:



72



2)



Dengan keterangan KV: Koefisien Variasi S: Simpangan Baku X: Nilai Rata-rata Koefisien variasi memiliki tujuan sebagai pengamat variasi dalam sebuah data atau sebuah distribusi data dari rata-rata nilai yang akan dihitung. Cara Koefisien Variasi dengan Contoh Soal Untuk cara simpangan baku dalam koefisien Variasi sendiri akan sangat efektif jika Anda melihat contoh soal yang ada beserta penjabaran untuk menyelesaikannya. Berikut ini adalah beberapa contoh soal yang dapat Anda jadikan contoh untuk mencari simpangan baku dalam koefisien variasi. 1. Contoh Soal 1 Di rumah A lampu digunakan sebanyak 3.800 jam, sedangkan simpangan bakunya 800 jam. Sedangkan di rumah B lampu dipakai sebanyak 4.500 jam, sedangkan simpangan baku 1.200 jam. Dari data tersebut rumah mana yang memiliki lampu yang lebih baik? Jawaban: Koefisien lampu di rumah A adalah



Lalu koefisien lampu di rumah B adalah



Dari perhitungan kedua lampu antara rumah A dan B, dapat terlihat bahwa rumah A memiliki lampu yang lebih baik dari pada rumah B. Di mana kembali pada teori awal bahwa koefisien variasi yang baik adalah yang mempunyai hasil presentasi yang lebih kecil nilainya. 2. Contoh Soal 2 Listrik pada sekolah A biasanya menghabiskan sebanyak 800 jam, sedangkan simpangan bakunya 300 jam. Sedangkan lampu di sekolah B biasanya rata-rata digunakan 1.200 jam dengan simpangan baku 400 jam. Lalu di sekolah C untuk listriknya rata-rata digunakan sebanyak 2000 jam, sedangkan simpangan bakunya 1000 jam. Dari sekolah tersebut, mana yang mempunyai lampu yang lebih baik? Jawaban: Koefisiensi Variasi lampu sekolah A



Sedangkan Koefisiensi Variasi lampu sekolah B adalah



Untuk Koefisiensi Variasi lampu sekolah C



73



g.



Dari hasil di atas, Anda mendapatkan jawaban bahwa Koefisiensi Variasi lampu antar sekolah A, B dan C yang memiliki lampu paling baik adalah Sekolah B. Hal ini terlihat dari hasil perhitungan Koefisiensi Variasi lampu dari sekolah B memiliki hasil yang lebih kecil dibandingan lampu dari sekolah lainnya. 3. Contoh Soal 3 Nilai rata-rata pada ujian Matematika kelas 11 IPA 2 adalah 80, 00. Sedangkan simpangan bakunya sebesar 4, 2. Maka carilah nilai koefisiensi variasi dari data tersebut. Jawaban: KV = S/χ x 100% KV = 4,2/80 x 100% KV = 5,25% Dari hasil di atas, terlihat bahwa nilai koefisiensi variasi dari nilai rata-rata ujian Matematika adalah 5,25%. 4. Contoh Soal 4 Kelas 11 yang mempunyai 2 kelas sendiri memiliki nilai rata-rata Bahasa Inggris. Untuk rata-rata nilai Bahasa Inggris pada kelas 12-A adalah 80 dengan simpangan 4,5. Sedangkan untuk nilai Bahasa Inggris di kelas 12-B adalah 70 dengan simpangan 5,2. Carilah nilai Koefisiensi Variasi dari kedua kelas tersebut akan nilai rata-rata pelajaran Bahasa Inggris. Jawaban: - Nilai Bahasa Inggris Kelas 12-A KV = S / χ x 100% KV = 4,5/80 x 100% KV = 5,6% Sehingga nilai KV Bahasa Inggris pada Kelas 12-A adalah 5, 6% - Nilai Bahasa Inggris Kelas 12-B KV = S / χ x 100% KV = 5,2 / 70 x 100% KV = 7,4% Dapat terlihat untuk nilai KV Bahasa Inggris di kelas 12-B adalah 7,4% Kesimpulan dari hasil kedua kelas tersebut, yang mempunyai nilai Bahasa Inggris lebih baik adalah 12-A yang memiliki persentase hasil KV lebih kecil dari kelas 12-B. Cara Mencari Simpangan Baku dalam Koefisiensi Variasi yang Mudah Soal Carilah Simpangan baku dalam koefisiensi variasi dari data di bawah ini a. 6, 7, 8, 9, 10, 14 b. 10, 15, 30, 35, 40 Apabila sudah memperoleh soal ini, maka untuk pertama kalinya yang wajib dilakukan mencari nilai rata-ratanya. Lalu selanjutnya mengikuti langkah mencari simpangan baku, kemudian pada langkah terakhir dapat mencari koefisiensi variasinya. Berikut ini adalah penjelasannya. Langkah Pertama



74



Maka, koefisiensi variasi adalah



Langkah Kedua



Sehingga koefisiensi variasinya adalah



28.



Ukuran Kemencengan dan Keruncingan Kurva. a. Kemencengan. Kemencengan atau kecondongan (skewness) adalah tingkat ketidaksimetrisan atau kejauhan simetri dari sebuah distribusi. Sebuah distribusi yang tidak simetris akan memiliki rata-rata, median, dan modus yang tidak sama besarnya (X¯≠ Me ≠ Mo), sehingga distribusi akan terkonsentrasi pada salah satu sisi dan kurvanya akan menceng. Jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kanan daripada yang ke kiri maka distribusi disebut menceng ke kanan atau memiliki kemencengan positif. Sebaliknya, jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kiri daripada yang ke kanan maka distribusi disebut menceng ke kiri atau memiliki kemencengan negatif. Berikut ini gambar kurva dari distribusi yang menceng ke kanan (menceng positif) dan menceng ke kiri (menceng negatif).



MoX¯ Gambar a



X¯ Mo Gambar b Gambar 1



75



Kemencengan Distribusi (a) Menceng ke kanan (b) Menceng ke kiri Untuk mengetahui bahwa konsentrasi distribusi menceng ke kanan atau menceng ke kiri, dapat digunakan metode-metode berikut : 1) Koefisien Kemencengan Pearson Koefisien Kemencengan Pearson merupakan nilai selisih rata-rata dengan modus dibagi simpangan baku. Koefisien Kemencengan Pearson dirumuskan sebagai berikut:



Keterangan : sk = koefisien kemencengan Pearson Apabila secara empiris didapatkan hubungan antar nilai pusat sebagai : X¯ − Mo = 3(X¯ − Me) Maka rumus kemencengan di atas dapat diubah menjadi : sk = 3(X¯ − Me)/s Jika nilai sk dihubungkan dengan keadaan kurva maka : 1) sk = 0 kurva memiliki bentuk simetris; 2) sk> 0 nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah kanan (X¯ terletak di sebelah kanan Mo), sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kanan, kurva menceng ke kanan atau menceng positif; 3) sk< 0 nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah kiri (X¯ terletak di sebelah kiri Mo), sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kiri, kurva menceng ke kiri atau menceng negatif. Contoh soal : Berikut ini adalah data nilai ujian statistik dari 40 mahasiswa sebuah universitas. Nilai Ujian Statistika pada Semester 2, 2010 Nilai Ujian Frekuensi 31 – 40 41 – 50



4 3



51 – 60



5



61 – 70



8



71 – 80



11



81 – 90



7



91 – 100



2



Jumlah



40



• Tentukan nilai sk dan ujilah arah kemencengannya (gunakan kedua rumus tersebut) ! • Gambarlah kurvanya ! Penyelesaian: Nilai X f u fu fu2 u2 31 – 40 41 – 50



35,5 45,5



4 3



-4 -3



16 9



-16 -9



64 27



51 – 60



55,5



5



-2



4



-10



20



76



61 – 70



65,5



8



-1



1



-8



8



71 – 80



75,5



11



0



0



0



0



81 – 90



85,5



7



1



1



7



7



91 – 100



95,5



2



2



4



4



8



-32



134



Jumlah



40



Oleh karena nilai sk-nya negatif (-0,46) maka kurvanya menceng ke kiri atau menceng negatif. Kurva nilai ujian statistik 1 2 1 0



3 5



4 5



5 6



6 6



7 6



8 6



9 6



Koefisien Kemencengan Bowley Koefisien kemencengan Bowley berdasarkan pada hubungan kuartil-kuartil (Q1, Q2 dan Q3) dari sebuah distribusi. Koefisien kemencengan Bowley dirumuskan :



Koefisien kemencengan Bowley seringjuga disebut Kuartil Koefisien Kemencengan.Apabila nilai skB dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan : 1) Jika Q3 – Q2 > Q2 – Q1 maka distribusi akan menceng ke kanan atau menceng secara positif. 2) Jika Q3 – Q2 < Q2 – Q1 maka distribusi akan menceng ke kiri atau menceng secara negatif. 3) skB positif, berarti distribusi mencengke kanan. 4) skB negatif, nerarti distribusi menceng ke kiri. 5) skB = ± 0,10 menggambarkan distribusi yang menceng



77



tidak berarti dan skB> 0,30 menggambarkan kurva yang menceng berarti. Contoh soal : Tentukan kemencengan kurva dari distribusi frekuensi berikut : Nilai Ujian Matematika Dasar I dari 111 mahasiswa, 1997 Nilai Ujian Frekuensi 20,00 – 29,99 30,00 – 39,99



4 9



40,00 – 49,99



25



50,00 – 59,99



40



60,00 – 69,99



28



70,00 – 79,99



5



Jumlah



111



Karena skB negatif (=−0,06) maka kurva menceng ke kiri dengan kemencengan yang berarti. 3)



Koefisien Kemencengan Persentil Koefisien Kemencengan Persentil didasarkan atas hubungan antar persentil (P90, P50 dan P10) dari sebuah distribusi. Koefisien Kemencengan Persentil dirumuskan :



skP = koefisien kemecengan persentil , P = persentil 4)



Keofisien Kemencengan Momen Koefisien Kemencengan Momen didasarkan pada perbandingan momen ke-3 dengan pangkat tiga simpang baku. Koefisien menencengan momen dilambangkan dengan α3. Koefisien kemencengan momen disebut juga kemencengan relatif. Apabila nilai α3dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan : 1) Untuk distribusi simetris (normal), nilai α 3= 0, 2) Untuk distribusi menceng ke kanan, nilai α3 = positif, 3) Untuk distribusi menceng ke kiri, nilai α3= negatif, 4) Menurut Karl Pearson, distribusi yang memiliki nilai α 3> ±0,50 adalah distribusi yang sangat menceng



78



5)



Menurut Kenney dan Keeping, nilai α3 bervariasi antara ± 2 bagi distribusi yang menceng. Untuk mencari nilaiα3, dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok. a) Untuk data tunggal Koefisien Kemencengan Momen untuk data tunggal dirumuskan :



b)



b.



α3 = koefisien kemencengan momen Untuk data berkelompok Koefisien kemencengan momen berkelompok dirumuskan :



untuk



data



dalam pemakaiannya, rumus kedua lebih praktis dan lebih mudah perhitungannya. Keruncingan Atau Kurtosis Keruncingan atau kurrtosis adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi yang biasanya diambil secararelatif terhadap suatu distribusi normal. Berdasarkan keruncingannya, kurva distribusi dapat dibedakan atas tiga macam, yaitu sebagai berikut : 1) Leptokurtik Merupakan distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi. 2) Platikurtik Merupakan distribusi yang memiliki puncak hampir mendatar 3) Mesokurtik Merupakan distribusi yang memiliki puncak tidak tinggi dan tidak mendatar Bila distribusi merupakan distribusi simetris maka distribusi mesokurtik dianggap sebagai distribusi normal. leptokurtik



mesokurtik



platikurtik



Gambar ,Keruncingan Kurva



c.



Untuk mengetahui keruncingan suatu distribusi, ukuran yang sering digunakan adalah koefisien kurtosis persentil. Koefisien keruncingan Koefisien keruncingan atau koefisien kurtosis dilambangkan dengan4 (alpha 4). Jika hasil perhitungan koefisien keruncingan diperoleh : 1) Nilai lebih kecil dari 3, maka distribusinya adalah distribusi pletikurtik 2) Nilai lebih besar dari 3, maka distibusinya adalah distribusi leptokurtik



79



3)



Nilai yang sama dengan 3, maka distribusinya adalah distribusi mesokurtik Untuk mencari nilai koefisien keruncingan, dibedakan antara data tunggal dan data kelompok. 1) Untuk data tunggal



Contoh soal : Tentukan keruncingan kurva dari data 2, 3, 6, 8, 11 ! Penyelesaian : X¯ = 6; s = 3,67 X¯



X - X¯



(X − X¯ )4



2 3



-4 -3



256 81



6



0



0



8



2



16



11



5



625



Jumlah



0



978



Karena nilainya 1,08 (lebih kecil dari 3) maka distribusinya adalah distribusi platikurtik. 2) Untuk data kelompok



atau



d.



Koefisien Kurtosis Persentil Koefisien Kurtosis Persentil dilambangkan dengan K (kappa). Untuk distribusi normal, nilai K = 0,263. Koefisien Kurtosis Persentil, dirumuskan :



Contoh soal : Berikut ini disajikan tabel distribusi frekuensi dari tinggi 100 mahasiswa universitas XYZ. a. Tentukan koefisien kurtosis persentil (K) ! b. Apakah distribusinya termasuk distribusi normal ! Tinggi Mahasiswa Universitas XYZ Tinggi (inci) frekuensi (f) 60 – 62 63 – 65



5 18



66 – 68



42



80



69 – 71



27



72 - 74



8



Jumlah



100



Penyelesaian



Karena nilai K = 0,25 (K