Iterasi Gauss Seidel [PDF]

Citation preview

Iterasi Gauss Seidel A. Pengertian Eliminasi Gauss-Seidel adalah metode yang menggunakan proses iterasi hingga diperoleh nilai-nilai yang berubah. Bila diketahui persamaan linier simultan: a11 x1  a12 x 2    a1n x n  b1 a 21 x1  a 22 x 2    a 2 n x n  b2  a n1 x1  a n 2 x 2    a nn x n  bn Berikan nilai awal dari setiap xi (i  1 n) kemudian sistem persamaan linier tersebut akan menjadi :



x1 



1 b1  a12 x2  a13 x3    a1n xn  a11



x2 



1 b2  a21 x2  a23 x3    a2 n xn  a22 



xn 



1 bn  an1 x1  an 2 x2    ann 1 xn 1  a nn



B. Teknik Penyelesaian :  Hitung nilai-nilai xi (i  1 n) dari persamaan-persamaan di atas.  Lakukan sehingga nilai-nilai xi tersebut mendekati nilai xi pada iterasi sebelumnya, dengan batas toleransi tertentu.  Proses iterasi akan berhenti ketika selisih dari xi dengan xi 1 kurang dari nilai toleransi error yang ditentukan. C. Contoh Soal : 1. Tentukan solusi SPL 4x  y  z  7 4 x  8 y  z  21  2 x  y  5 z  15



Jawab : Berikan nilai awal x0  0, y 0  0, z 0  0 Susun persamaan menjadi :



7 yz 4 21  4 x  z y 8 15  2 x  y z 5 x



Lakukan Proses Iterasi Iterasi 1 : x1 



700  1.75 4



y1 



21  4(1.75)  0  3 .5 8



z1 



15  2(1.75)  3.5 3 5



Iterasi 2 : x2 



7  3 .5  3  1.875 4



y2 



21  4(1.875)  3  3.9375 8



z2 



15  2(1.875)  3.9375  2.9625 5



Iterasi 3: x3 



7  3.9375  2.9625  1.99375 4



y3 



21  4(1.99375)  2.9625  3.992188 8



z3 



15  2(1.99375)  3.992188  2.999063 5



⋯



x8  2 y8  4 z8  3 Terlihat bahwa selisih nilai x, y, z pada iterasi ke-7 dan ke-8 semakin kecil Sehingga x =2, y=4 dan z=3 k



xk 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



0 1.75 1.875 1.99375 1.998281 1.999879 1.999975 1.999998 2 2 2



yk 0 3.5 3.9375 3.992188 3.999023 3.999878 3.999985 3.999998 4 4 4



zk 0 3 2.9625 2.999063 2.999508 2.999976 2.999993 3 3 3 3



7 yz 4 21  4 x  z y  8 15  2 x  y z  5 x 