Koordinat Kartesius [PDF]

Citation preview

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Untuk menentukan posisi suatu titik pada suatu bidang datar diperlukan suatu patokan. Patokan ini dapat diambil dua garis lurus yang kedudukannya saling tegak lurus. Dua garis yang saling tegak lurus tersebut salah satunya digambar secara mendatar (horizontal), sedangkan yang lainnya digambar tegak (vertikal). Penggunaan sistem ini akan mempermudah dan menyederhanakan permasalahan atau konsep-konsep dalam aljabar dan geometri. Oleh karena itu, sistem koordinat merupakan suatu cara untuk menentukan letak suatu titik pada bidang dan ruang, sehinga,



penguasaan pada sistem



koordinat ini merupakan dasar untuk mempelajari materi-materi Geometri Analitik berikutnya. Dalam makalah ini pula disajikan pembahasan mengenai bagaimana cara untuk dapat menentukan jarak 2 titik, dapat mencari koordinat suatu titik yang terletak diantara dua titik yang segaris dengan perbandingan M : N, Jarak antara garis dengan titik dan Jarak antara dua titik yang mendasarkan pada sistem koordinat Kartesius tegak lurus. B. Rumusan Masalah a. Apa definisi dari Sistem Koordinat Kartesius? b. Bagaimana menentukan jarak 2 titik? c. Bagaimana mencari koordinat suatu titik yang terletak diantara dua titik yang segaris dengan perbandinga M:N? d. Bagaimana jarak antara garis dengan titik? e. Bagaimana jarak antara dua titik? C. Tujuan dan Manfaat a. Tujuan -



Untuk memahami definisi sistem koordinat kartesius



-



Untuk mengetahui cara menentukan jarak dua titik



SISTEM KOORDINAT KARTESIAN TEGAK LURUS



1



-



Untuk mengetahui cara mencari koordinat suatu titik yang terletak diantara dua titik yang segaris dengan perbandinga M:N



-



Untuk mengetahui jarak antara garis dengan titik



-



Untuk memenuhi tugas matakuliah Geometri Analit Bidang dan Ruang



b. Manfaat -



Menambah wawasan tentang sistem koordinat kartesius



-



Menambah wawasan tentang cara menentukan jarak dua titik



-



Menambah wawasan tentang cara mencari koordinat suatu titik yang terletak diantara dua titik yang segaris dengan perbandinga M:N



-



Menambah wawasan tentang jarak antara garis dengan titik



SISTEM KOORDINAT KARTESIAN TEGAK LURUS



2



BAB II PEMBAHASAN A. Pengertian Sistem Koordinat Kartesius Sistem koordinat cartesius adalah suatu cara atau metode untuk menentukan letak suatu titik pada bidang ( R 2 ) atau ruang ( R 3 ) . Untuk pada bidang,



dimana sumbu-x dan sumbu-y yang saling tegak lurus dan



berpotongan dititik O (0, 0) yang disebut titik asal. Setiap titik pada bidang cartesius dapat dinyatakan sebagai pasangan bilangan (x, y), dan sebaliknya pasangan bilangan (x, y) pada bidang menyatakan titik tertentu pada bidang. Sumbu x disebut absis dan sumbu y disebut ordinat. Untuk menentukan letak atau posisi suatu titik pada sebuah bidang datar diperlukan suatu patokan. Patokan ini dapat ditentukan dari dua garis yang kedudukannya saling tegak lurus seperti yang terlihat pada Gambar 1.1 berikut:



Gambar 1.1 Catatan: Dua garis yang saling tegak lurus tersebut salah satunya digambar secara mendatar (horizontal), sedangkan yang lainnya digambar tegak (vertikal).



SISTEM KOORDINAT KARTESIAN TEGAK LURUS



3



Selanjutnya



coba



Anda



perhatikan Gambar



1.2. berikut,



yang



merupakan keterangan lanjutan dari Gambar 1.1.



Gambar 1.2 Titik potong dua garis yang saling tegak lurus tersebut biasanya diberi



nama



O



dan disebut titik asal (pusat sumbu). Garis yang



digambarkan secara mendatar dinamakan sumbu X. Pada sumbu X ini, dari titik O ke kanan disebut arah positif, sedangkan dari titik O ke kiri disebut arah negatif (sumbu X negatif). Sementara itu, garis yang digambar secara vertikal (tegak) dinamakan sumbu Y. Pada sumbu Y ini, dari titik O ke atas dikatakan arah positif (sumbu Y positif). Sedangkan dari titik O ke bawah dikatakan sebagai arah negatif (sumbu Y negatif). Secara umum, kedudukan dua garis dengan ketentuanketentuan seperti yang telah disebutkan di atas dinamakan Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus. Untuk Anda ketahui bahwa sistem koordinat ini dapat dipergunakan untuk menentukan letak atau posisi suatu titik pada bidang datar. Sekarang perhatikan Gambar 1.3 berikut.



Gambar 1.3 Misalkan P adalah sebuah titik sembarang pada bidang datar yang telah dilengkapi dengan kedua sumbunya (selanjutnya disebut sumbu- sumbu SISTEM KOORDINAT KARTESIAN TEGAK LURUS



4



koordinat). P1



adalah proyeksi titik P pada sumbu X dan P2 adalah



proyeksi titik P pada sumbu Y. Selanjutnya, letak titik P pada bidang datar tersebut dikaitkan dengan dua buah bilangan, yaitu bilangan yang menyatakan jarak dari O dari P1 serta bilangan yang menyatakan jarak dari O ke P2. Bilangan-bilangan ini dilengkapi dengan tanda positif (+) atau negatif (-) sesuai dengan letak P1 dan P2, apakah berada pada sumbu positif atau negatif. Bilangan yang menyatakan jarak dari O ke P1 disebut koordinat X dari titik P (disebut absis titik P), sedangkan bilangan yang menyatakan jarak dari O ke P2 dinamakan koordinat Y dari titik P (disebut ordinat titik P).



Gambar 1.4



Dari sistem koordinat Kartesian Tegak Lurus, pada sumbu-sumbu koordinatnya dilengkapi dengan skala satuan panjang yang sama, baik pada sumbu X Gambar



1.4.



maupun pada sumbu Y seperti yang tampak pada



Tujuan



pencantuman



skala



tersebut



tentunya



untuk



mempermudah penentuan letak suatu titik ataupun jarak suatu titik ke titik yang lainnya jika menggunakan sistem koordinat.



SISTEM KOORDINAT KARTESIAN TEGAK LURUS



5



Gambar 1.5 Perhatikan Gambar 1.5. Pada Gambar tersebut diketahui bahwa titik A terletak pada 5 satuan panjang ke kanan (arah positif) dari sumbu Y dan 3 satuan panjang ke atas (arah positif) dari sumbu X. Kondisi ini dapat ditulis sebagai A(5, 3). Dari posisi A (5, 3) dapat pula dikatakan bahwa absis titik A adalah 5, sedangkan koordinatnya adalah 3. Sementara itu, koordinatkoordinat titik B adalah pasangan terurut (−4, 5) yang menyatakan 4 satuan panjang ke kiri dari sumbu Y dan 5 satuan panjang ke atas dari sumbu X. Sedangkan C (0, −6) adalah suatu titik yang posisinya terletak pada sumbu Y dengan 6 satuan panjang ke bawah dari titik asal. Selanjutnya, jika terdapat suatu titik dengan notasi P (x, y), maka yang dimaksud notasi tersebut adalah suatu titik P yang berkoordinat (x, y). Sedangkan pasangan bilangan (x, y) dengan x sebagai tempat bilangan pertama dan y sebagai tempat bilangan kedua dinamakan “pasangan bilangan terurut”. Seandainya terdapat dua pasangan bilangan terurut, misal (a, b) dan (c, d), dua pasangan bilangan ini dikatakan sama jika dan hanya jika a = c dan b = d. Berarti, jika terdapat dua pasangan titik dengan koordinat (5, 3) dan (3, 5), maka pastilah dua pasangan titik tersebut tidak sama. ((5, 3) ≠ (3, 5)). Apabila pasangan-pasangan yang berbeda tersebut menyatakan koordinat titik pada bidang, tentunya pasangan-pasangan bilangan terurut tersebut menyatakan titik-titik yang berbeda pula. Sebagai keterangan tambahan bahwa sumbu-sumbu koordinat (sumbu X dan sumbu Y) membagi bidang datar



menjadi 4 (empat)



daerah



SISTEM KOORDINAT KARTESIAN TEGAK LURUS



6



yang masing-masing disebut kuadran, yaitu kuadran I (daerah dengan sumbu X positif dan sumbu Y positif, kuadran II (daerah dengan sumbu X negatif dan sumbu Y positif), kuadran III (daerah dengan sumbu X negatif dan sumbu Y negatif), dan kuadran IV (daerah dengan sumbu X positif dan sumbu Y negatif). Untuk lebih jelasnya posisi keempat kuadran tersebut dapat Anda lihat pada Gambar 1.6



Gambar 1.6 Sebagai pengayaan, seandainya R menyatakan himpunan semua bilangan real, maka R2 = R x R = {(x, y)|x ∈ R dan y ∈ R} adalah himpunan semua pasangan terurut dengan tempat bilangan pertama dan tempat bilangan kedua masing-masing bilangan real. Berarti, setiap bilangan real dapat dinyatakan sebagai suatu titik pada garis bilangan, atau dengan kata lain ada pemadanan (korespondensi) satu-satu antara himpunan semua bilangan real dengan himpunan semua titik pada suatu garis lurus. Selanjutnya, apabila sumbu- sumbu koordinat dipandang sebagai garis bilangan, maka setiap titik pada bidang datar dapat dinyatakan sebagai pasangan bilangan real. Ini berarti, setiap titik pada bidang dapat dikaitkan dengan suatu pasangan bilangan real terurut yang menyatakan koordinat titiktitik tersebut. Dengan kata lain dapat dikatakan bahwa suatu sistem koordinat kartesian pada bidang meletakkan pemadanan (korespondensi) satu-satu antara titik pada bidang dengan pasangan-pasangan bilangan real terurut dari R2.



SISTEM KOORDINAT KARTESIAN TEGAK LURUS



7



Dengan suatu cara tertentu, kita dapat menggunakan bilangan-bilangan untuk menunjukan letak suatu titik didalam ruang maka dikatakan bahwa suatu sistem koordinat telah kita terapkan didalam ruang.



B. Jarak Dua Titik Pada Bidang Datar Telah kita kaitkan titik-titik dengan koordinat. Sekarang akan kita pergunakan untuk menyelesaikan masalah geometri. Kita mulai dengan konsep jarak antara dua titik. Misalkan kita pandang jarak dua titik pada koordinat garis. Misalkan P1 dan P2 dua titik pada garis, dan misalkan mempunyai koordinat x1 dan x2. Jika P1 dan P2 keduanya berada di sebelah kanan pusat, dengan P2 lebih kanan daripada P1 (seperti pada gambar di bawah ini.



Gambar 1.7 Maka ̅̅̅̅̅̅ 𝑃1 𝑃2 = ̅̅̅̅̅ 𝑂𝑃2 − ̅̅̅̅̅ 𝑂𝑃1 = 𝑥2 − 𝑥1 Pernyataan jarak antara dua titik akan lebih rumit jika titik pusat berada di kanan salah satu atau kedua titik. Dalam gambar 1.7 (b) berlaku: ̅̅̅̅̅̅ 𝑃1 𝑃2 = ̅̅̅̅̅ 𝑃1 𝑂 − ̅̅̅̅̅ 𝑃2 𝑂 = −𝑥1 − (−𝑥2 ) = 𝑥2 − 𝑥1 Dalam gambar 1.7 (c) ̅̅̅̅̅̅ 𝑃1 𝑃2 = ̅̅̅̅̅ 𝑃1 𝑂 + ̅̅̅̅̅ 𝑂𝑃2 = −𝑥1 + 𝑥2 = 𝑥2 − 𝑥1



SISTEM KOORDINAT KARTESIAN TEGAK LURUS



8



Jadi kita lihat bahwa ̅̅̅̅̅̅ 𝑃1 𝑃2 = 𝑥2 − 𝑥1 dalam semua kasus dalam hal mana 𝑃2 berada di kanan 𝑃1 . Jika 𝑃2 berada di kiri 𝑃1 maka dengan cara yang sama kita peroleh ̅̅̅̅̅̅ 𝑃1 𝑃2 = 𝑥1 − 𝑥2 Jadi ̅̅̅̅̅̅ 𝑃1 𝑃2 dapat selalu dipresentasikan sebagai koordinat terbesar dikurangi koordinat terkecil. Karena 𝑥2 − 𝑥1 dan 𝑥1 − 𝑥2 berbeda hanya salah satu dikurangi lainnya dan karena jarak selalu tidak boleh negatif maka jarak antara 𝑃1 dan 𝑃2 dapat dirumuskan sebagai ̅̅̅̅̅̅ 𝑃1 𝑃2 = |𝑥2 − 𝑥1 | = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 Bentuk ini adalah notasi jarak yang umum tanpa memandang posisi relatif 𝑃1 terhadap 𝑃2 diketahui ataupun tidak. Sekarang kembali kepada perhatian kita permasalahan yang lebih sulit yaitu menemukan jarak antara dua titik di bidang datar. Misalkan kita tertarik pada jarak antara 𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 ) dan 𝑃2 (𝑥2 , 𝑦2 ) (lihat gambar 1.8)



Gambar 1.8 Garis vertikal yang melalui 𝑃1 dan garis horizontal yang melalui 𝑃2 berpotongan pada titik 𝑄(𝑥1 , 𝑦2 ). Asumsikan 𝑃1 dan 𝑃2 tidak berada pada garis vertikal atau horizontal yang sama. 𝑃1 𝑃2 𝑄 membentuk segitiga sikusiku dengan sudut siku-siku pada 𝑄. Sekarang kita pergunakan teorema Pythagoras untuk menghitung panjang 𝑃1 𝑃2 . Dengan penjelasan yang telah dikemukakan di depan diperoleh ̅̅̅̅̅ 𝑄𝑃2 = |𝑥2 − 𝑥1 | dan ̅̅̅̅̅ 𝑃1 𝑄 = |𝑦2 − 𝑦1 | Dengan teorema Pythagoras diperoleh: 2 2 ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ 𝑃1 𝑃2 = ̅̅̅̅̅ 𝑃1 𝑄 2 + ̅̅̅̅̅ 𝑄𝑃2



SISTEM KOORDINAT KARTESIAN TEGAK LURUS



9



2 ̅̅̅̅̅̅ 𝑃1 𝑃2 = √̅̅̅̅̅ 𝑃1 𝑄 2 + ̅̅̅̅̅ 𝑄𝑃2 = √|𝑥2 − 𝑥1 |2 + |𝑦2 − 𝑦1 |2



Karena |𝑥2 − 𝑥1 |2 = (𝑥2 − 𝑥1 )2 = (𝑥1 − 𝑥2 )2 maka nilai mutlak boleh dihilangkan dalam langkah ini kita peroleh ̅̅̅̅̅̅ 𝑃1 𝑃2 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 Pada penurunan rumus diatas, diasumsikan bahwa 𝑃1 dan 𝑃2 tidak berada pada garis horizontal atau vertikal yang sama, akan tetapi rumus jarak di atas akan berlaku pula pada kasus ini. Sebagai contoh misalkan 𝑃1 dan 𝑃2 berada pada garis horizontal yang sama, maka 𝑦1 = 𝑦2 dan 𝑦1 − 𝑦2 = 0. Jadi : ̅̅̅̅̅̅ 𝑃1 𝑃2 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 = |𝑥2 − 𝑥1 | Contoh: Tentukan jarak antara 𝑃1 (1, 4) dan 𝑃2 (−3, 2)! Jawab: ̅̅̅̅̅̅ 𝑃1 𝑃2 = √(−3 − 1)2 + (2 − 4)2 = √(−4)2 + (−2)2 = √20 = 2√5 Selanjutnya, perhatikanlah masalah berikut: Misalkan diketahui dua titik 𝐴(𝑥1 , 𝑦1 ) dan 𝐵(𝑥2 , 𝑦2 ), serta titik C yang terletak pada pertengahan ruas garis penghubung A dan B. Dari kondisi tersebut akan ditentukan koordinatkoordinat titik C. Untuk itu, perhatikanlah Gambar 1.9 berikut:



Gambar 1.9 SISTEM KOORDINAT KARTESIAN TEGAK LURUS



10



Titik 𝐴1 , 𝐶1 , dan 𝐵1 berturut-turut adalah proyeksi titik-titik 𝐴, 𝐶 dan 𝐵 pada sumbu x. Misalkan koordinat titik C adalah (𝑥𝑐 , 𝑦𝑐 ) |OA1 | = absis titik A, yaitu x1 |OB1 | = absis titik B, yaitu x2 |OC1 | = absis titik C, yaitu x3 Karena titik C terletak pada pertengahan AB (diketahui) dan garis 𝐴𝐴1 sejajar dengan garis 𝐶𝐶1, maka titik 𝐶1 terletak pada pertengahan ruas garis 𝐴1 𝐵1 pula |𝐴1 𝐶1 | = |𝐶1 𝐵1 | sehingga: |𝑂𝐴1 | + |𝑂𝐵1 | = |𝑂𝐴1 | + |𝑂𝐶1 | + |𝐶1 𝐵1 | = |𝑂𝐴1 | + |𝐶1 𝐵1 | + |𝑂𝐶1 |, ingat |𝐶1 𝐵1 | = |𝐴1 𝐶1 | = |𝑂𝐴1 | + |𝐴1 𝐶1 | + |𝑂𝐶1 | = |𝑂𝐶1 | + |𝑂𝐶1 | = 2|𝑂𝐶1 | Berarti: 𝑥1 + 𝑥2 = 2𝑥𝑐 1 𝑥𝑐 = (𝑥1 + 𝑥2 ) 2 Selanjutnya, dengan cara yang sama seperti langkah di atas akan diperoleh bahwa 1 𝑦𝑐 = (𝑦1 + 𝑦2 ) 2 Dari uraian di atas, dapatlah disimpulkan bahwa koordinat tengah sebuah ruas garis yang titik ujungnya 𝐴(𝑥1 , 𝑦1 ) dan 𝐵(𝑥2 , 𝑦2 ) adalah: 1 𝑥 = (𝑥1 + 𝑥2 ) 2 1 𝑦 = (𝑦1 + 𝑦2 ) 2 Contoh 1: Apabila D adalah titik tengah ruas garis dengan titik-titik ujung 𝐴(5, 2) dan 1



𝐵(−1, 6), maka absis titik D adalah 𝑥 = 2 (5 + (−1)) = 2 dan ordinat D 1



adalah 𝑦 = 2 (2 + 6) = 4. Jadi, 𝐷(2, 4).



SISTEM KOORDINAT KARTESIAN TEGAK LURUS



11



Contoh 2: Diketahui dua titik 𝑃(4, 7) dan 𝑄(8, 1). Titik T pada ruas garis PQ sedemikian hingga |𝑃𝑇| ∶ |𝑇𝑄| = 1 ∶ 3. Tentukanlah absis dan ordinat dari titik T! Untuk menjawabnya, perhatikan Gambar 1.10 berikut:



Gambar 1.10 Misalkan 𝑇(𝑥𝑡 , 𝑦𝑡 ). Dari gambar di atas dapat ditentukan bahwa 𝑃𝑃1 , 𝑇𝑇1, dan 𝑄𝑄1 masing-masing sejajar dengan sumbu Y. Mengapa? Selanjutnya, karena diketahui bahwa |𝑃𝑇| ∶ |𝑇𝑄| = 1 ∶ 3 maka |𝑃1 𝑇1 | ∶ |𝑇1 𝑄1 | = 1 ∶ 3 pula sehingga |𝑇1 𝑄1 | = 3|𝑃1 𝑇1 |. Perhatikan bahwa |𝑇1 𝑄1 | = |𝑂𝑄1 | − |𝑂𝑇1 | = 8 − 𝑥𝑡 |𝑃1 𝑇1 | = |𝑂𝑇1 | − |𝑂𝑃1 | = 𝑥𝑡 − 4 Karena |𝑇1 𝑄1 | = 3|𝑃1 𝑇1 | , maka: 8 − 𝑥𝑡 = 3(𝑥𝑡 − 4) 8 − 𝑥𝑡 = 3𝑥𝑡 − 12 4𝑥𝑡 = 20 𝑥𝑡 = 5 Dengan cara yang sama seperti langkah di atas (melakukan pemroyeksian 1



semua titik terhadap sumbu Y), akan diperoleh bahwa 𝑦𝑡 = 5 2. Coba silahkan anda periksa kebenarannya. SISTEM KOORDINAT KARTESIAN TEGAK LURUS



12



1



1



Jadi absis dan ordinat dari titik T adalah (5, 5 2) atau 𝑇(5, 5 2). Selanjutnya, dari contoh tersebut akan diperumum untuk 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) dan 𝑄(𝑥2, 𝑦2 ) dengan titik T terletak pada ruas garis PQ sedemikian hingga |𝑃𝑇| ∶ |𝑇𝑄| = 𝑚: 𝑛. Artinya dari kondisi ini, akan dicari atau ditentukan absis dan ordinat (koordinat) dari titik T. Untuk mempermudah proses penurunan bentuk yang akan diperumum, perhatikan gambar 1.11 yang merupakan ilustrasi dari kondisi yang dipermasalahkan.



Gambar 1.11 Misalkan 𝑇(𝑥𝑡 , 𝑦𝑡 ). Proyeksi titik 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ), 𝑄(𝑥2 , 𝑦2 ) dan 𝑇(𝑥𝑡 , 𝑦𝑡 ) pada sumbu X berturut-turut adalah 𝑃1 (𝑥1 , 0), 𝑄1 (𝑥2 , 0) dan 𝑇1 (𝑥𝑡 , 0). Dari kondisi ini dapat ditentukan bahwa |𝑃1 𝑇1 | ∶ |𝑇1 𝑄1 | = |𝑃𝑇| ∶ |𝑇𝑄| = 𝑚 ∶ 𝑛 Mengapa? Perhatikan bahwa |𝑃1 𝑇1 | = 𝑥𝑡 − 𝑥1 dan |𝑇1 𝑄1 | = 𝑥2 − 𝑥𝑡 Karena |𝑃1 𝑇1 | ∶ |𝑇1 𝑄1 | = 𝑚 ∶ 𝑛, maka (𝑥𝑡 − 𝑥1 ) ∶ (𝑥2 − 𝑥𝑡 ) = 𝑚 ∶ 𝑛 𝑚(𝑥2 − 𝑥𝑡 ) = 𝑛(𝑥𝑡 − 𝑥1 ) 𝑚𝑥2 − 𝑚𝑥𝑡 = 𝑛𝑥𝑡 − 𝑛𝑥1 𝑚𝑥𝑡 + 𝑛𝑥𝑡 = 𝑛𝑥1 + 𝑚𝑥2 𝑥𝑡 (𝑚 + 𝑛) = 𝑛𝑥1 + 𝑚𝑥2 𝑥𝑡 =



𝑛𝑥1 + 𝑚𝑥2 𝑚+𝑛 SISTEM KOORDINAT KARTESIAN TEGAK LURUS



13



Selanjutnya dengan melakukan pemroyeksian yang sama titik yang diketahui terhadap sumbu Y dan cara yang sama seperti langkah di atas, akan diperoleh bahwa: 𝑦𝑡 =



𝑛𝑦1 + 𝑚𝑦2 𝑚+𝑛



Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa apabila diketahui titik 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) dan 𝑄(𝑥2 , 𝑦2 ) serta titik Tyang terletak pada ruas garis PQ sedemikian sehingga |𝑃𝑇| ∶ |𝑇𝑄| = 𝑚 ∶ 𝑛, maka absis dan koordinat titik T adalah: 𝑛𝑥1 + 𝑚𝑥2 𝑚+𝑛 𝑛𝑦1 + 𝑚𝑦2 𝑦𝑡 = 𝑚+𝑛 𝑥𝑡 =



Contoh 2: Diketahui dua titik 𝑃(4, 7) dan 𝑄(8, 1). Titik T pada ruas garis PQ sedemikian hingga |𝑃𝑇| ∶ |𝑇𝑄| = 1 ∶ 3. Tentukanlah absis dan ordinat dari titik T! Jawab: 𝑛𝑥1 + 𝑚𝑥2 3.4 + 1.8 20 ⇒ = =5 𝑚+𝑛 3+1 4 𝑛𝑦1 + 𝑚𝑦2 3.7 + 1.1 22 1 𝑦𝑡 = ⇒ = =5 𝑚+𝑛 3+1 4 2 𝑥𝑡 =



1



Jadi, koordinat titik T adalah (5, 5 2).



SISTEM KOORDINAT KARTESIAN TEGAK LURUS



14



C. Koordinat Suatu Titik Yang Terletak di antara Dua Titik Yang Segaris Dengan Perbandingan M : N Diberikan tiga titik P(x1 , y1), Q(x2 , y2), dan T(xT , yT) diantara P dan Q dengan perbandingan |PT| : |TQ| = m : n, seperti gambar berikut,



Perhatikan gambar di atas, dengan memproyeksikan titik-titik P, T, dan Q pada sumbu X yang berturut-turut dinamai titik-titik P1, T1, dan Q1. Karena |PT| : |TQ| = m : n, maka diperoleh, |P1T1| : |T1Q1| = m : n, sehingga (xT – x1) : (x2 – xT) = m : n m(x2 – xT) = n(xT – x1) (m + n)xT = mx2 + nx1 mx 2  nx 1 xT  mn Dengan cara seperti di atas, yaitu memproyeksikan titik-titik P, T, dan Q pada sumbu Y, maka diperoleh: my 2  ny 1 yT  mn Dari uraian di atas, kita dapat menyimpulkan: Apabila diketahui titik-titik P(x1 , y1) dan Q(x2 , y2), dan titik T pada ruas garis PQ sedemikian sehingga |PT| : |TQ| = m : n, maka diperoleh koordinat titik T adalah: Contoh Apabila diketahui titik-titik P(1 , 3) dan Q(-2 , -5), dan titik T pada ruas garis PQ sedemikian sehingga |PT| : |TQ| = 8 : 3, maka koordinat titik T adalah:



SISTEM KOORDINAT KARTESIAN TEGAK LURUS



15



xT 



8 x Q  3x P



83  16  3 xT  , dan 11 2 x T  1 11 2 6  1 ,  3  11  .  11



yT 



8 y Q  3y P



83  40  9 yT  11 6 y T  3 11



D. Jarak Titik ke Garis Jarak titik ke garis adalah jarak terdekat sebuah titik ke garis, jarak terdekat diperoleh dengan menarik garis yang tegak lurus dengan garis yang dimakusud. Jarak titik P ke garis g adalah panjang garis tegak lurus titik P ke garis g atau panjang garis lurus dari titik P ke titik proyeksinya pada garis g. Pada gambar dibawah, jarak titik P ke garis g panjang garis PP’.



Menemukan Rumus Jarak Titik dengan Garis



SISTEM KOORDINAT KARTESIAN TEGAK LURUS



16



Seperti terlihat pada gambar di atas, Vihara Dharma Agung terletak pada koordinat (71, 76) dan Jalan Sungai Kelara berupa garis lurus dengan persamaan 5x – 8y – 280 = 0 (satuan dalam meter). Bagaimana cara mengukur jarak antara vihara dengan jalan tersebut? Salah satunya adalah dengan menggunakan rumus jarak antara titik dengan garis lurus. Misalkan akan ditentukan jarak antara titik A(a, b) dengan garis lurus yang memiliki persamaan px + qy + r = 0. Perhatikan gambar berikut.



Perlu diingat bahwa jarak dua objek adalah panjang lintasan terpendek yang menghubungkan kedua objek tersebut. Karena ruas garis yang tegak lurus dengan garis px + qy + r = 0 dan memiliki ujung di titik A dan ujung satunya di garis tersebut merupakan lintasan terpendek yang menghubungkan titik dan garis tersebut, maka panjang dari ruas garis tersebut, yaitu d, adalah jarak titik A terhadap garis px + qy + r = 0. Karena px + qy + r = 0 ó y = −(p/q)x – (r/q) maka gradien garis yang tegak lurus dengan garis px + qy + r = 0 adalah q/p, karena −(p/q) × q/p = −1. Selain tegak lurus dengan garis px + qy + r = 0, garis tersebut juga melalui titik A(a, b), sehingga



SISTEM KOORDINAT KARTESIAN TEGAK LURUS



17



Diperoleh, persamaan garis yang tegak lurus dengan garis px + qy + r = 0 dan melalui titik A(a, b) adalah



Setelah persamaan garisnya diperoleh, titik potong garis px + qy + r = 0 dan garis tersebut dapat ditentukan. Pertama, tentukan nilai absisnya, x2, terlebih dahulu.



Selanjutnya, kita tentukan nilai dari ordinatnya (y2).



Setelah koordinat (x2, y2) sudah ditemukan, maka selanjutnya kita tentukan jarak antara titik tersebut dengan titik A(a, b), dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik,



SISTEM KOORDINAT KARTESIAN TEGAK LURUS



18



Agar lebih sederhana, kita tentukan x2 – x1 dan y2 – y1 terlebih dahulu, yaitu



dan,



Sehingga jarak antara titik (x2, y2) dan A(a, b) dapat ditentukan sebagai berikut.



SISTEM KOORDINAT KARTESIAN TEGAK LURUS



19



Sehingga kita telah memperoleh rumus untuk menentukan jarak antara suatu titik dengan garis lurus, yang dapat dituliskan seperti berikut. Jarak antara titik yang memiliki koordinat (a, b) dengan garis lurus yang persamaannya px + qy + r = 0, adalah



Setelah kita menentukan rumusnya, sekarang kita akan coba untuk menghitung jarak antara Vihara Dharma Agung dan Jalan Sungan Kelara pada permasalahan di awal.



Jadi, jarak antara Vihara Dharma Agung dan Jalan Sungan Kelara adalah sekitar 56,5 meter. Selanjutnya perhatikan contoh soal berikut. Contoh Soal: Menentukan Jarak antara Titik dan Garis Lurus Tentukan jarak antara titik yang memiliki koordinat (−2, 3) dan garis yang memiliki persamaan 3x – 4y – 7 = 0. Pembahasan Substitusi a = −2, b = 3, p = 3, q = −4, dan r = −7 ke rumus jarak titik dan garis. SISTEM KOORDINAT KARTESIAN TEGAK LURUS



20



Jadi, jarak antara titik yang memiliki koordinat (−2, 3) dan garis yang memiliki persamaan 3x – 4y – 7 = 0 adalah 5 satuan panjang.



SISTEM KOORDINAT KARTESIAN TEGAK LURUS



21



DAFTAR PUSTAKA Sukiman.



2016.



Sistem



Koordinat



Kartesius.



Diambil



dari



http://directory.umm.ac.id/Labkom_ICT/math/sem_3/Geometri%20Analitik/Bab1%20OK.pdf . (11 Maret 2019) Halim, Farida. 2017. Modul 1 Sistem Koordinat Kartesius. Diambil dari https://docplayer.info/31245407-Modul-1-sistem-koordinat-kartesius.html.



(11



Maret 2019). http://djihad07.blogspot.co.id/2011/03/jarak-antara-dua-buah-titik-jarak-titik.html https://khairulfaiq.files.wordpress.com/.../jarak-titik-garis-dan-bidang-dalm-ruang.pdf



http://www.tipsbelajarmatematika.com http://id.m.wikipedia.org/Sistem_Koordinat_Kartesius



SISTEM KOORDINAT KARTESIAN TEGAK LURUS



22