Laporan Praktikum IV [PDF]

Citation preview

LAPORAN PRAKTIKUM IV PRAKTIKUM METODE NUMERIK “Menyelesaikan Akar Persamaan Polynomial”



Oleh Nama



:Mu’ammar rizky ramadhan



Nim



: 1657301058



Kelas



: TI 1.2



Program Studi



: Teknik Informatika



No. Praktikum



:IV/ PMN/ TI/ 2017



Dosen Pembimbing



: Nazaruddin, S. T., M. T



KEMENTRIAN RISET TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI POLITEKNIK NEGERI LHOKSEUMAWE 2017



LEMBAR PENGESAHAN



No. Praktikum



: IV/ PMN/ TI/ 2017



Judul Praktikum



: Menyelesaikan Akar Persamaan Polynomial



Nama



: Muammar rizky ramadhan



NIM



: 1657301058



Jurusan



: TIK



Program Studi



: Teknik Informatika



Tanggal Percobaan



: 4 April 2017



Tanggal Penyerahan



: 11 April 2017



Nilai



:



Keterangan



:



Dosen Pembimbing



: Nazaruddin, S. T., M. T



Buket Rata, 11 april 2017 Mahasiswa



Dosen pembimbing



Muammar rizky ramadhan



Nazaruddin. S. T., M. T



NIM. 1657301058



NIP. 19700911 199903 1 003



i



Daftar Isi Lembaran Pengesahan...................................................i Daftar Isi........................................................................ ii A. TUJUAN......................................................................1 B. DASAR TEORI............................................................1 C. ALAT dan BAHAN PRAKTIKUM....................................6 D. LANGKAH PERCOBAAN..............................................6 E. DATA HASIL PERCOBAAN...........................................7 F. ANALISA DATA..........................................................10 G. KESIMPULAN...........................................................11 Daftar Pustaka.............................................................12



ii



PRAKTIKUM IV MENYELESAIKAN AKAR PERSAMAAN POLYNOMIAL A. TUJUAN Mempelajari bagaimana cara menyelesaikan akar dari polynomial. B. DASAR TEORI Polinomial Matlab menyediakan fungsi operasi standar dari polinom, seperti akar polynomial, evaluasi, dan turunan. Sebagai tambahan, fungsi-fungsi berikut diberikan untuk aplikasi lebih lanjut, seperti pencocokan kurva dan ekspansi fraksi parsial.



Fungsi Conv Deconv Poly Polyder Polyfit Polyval Polyvalm Residue Roots



Deskripsi Perkalian polynomial Pembagian polynomial Polynomial dengan akar-akar tertentu Turunan polynomial Pencocokan kurva polynomial Evaluasi polynomial Evaluasi matrik polynomial Ekspansi fraksi parsial Mencari akar-akar polynomial



1. Representasi MATLAB Penggambaran polynomial sebagai vector baris yang terdiri atas koefisien-koefisien polinomnya. Sebagai contoh, persamaan berikut: 3 p(x) = x - 2x - 5 Kita masukan kedalam MATLAB sebagai berikut: >>P=[1 0 -2 5];



2. Akar Polinomial 1



Fungsi roots menghitung akar-akar dari polynomial: >>r=roots(p); r= 2.0964 -1.0473+1.1359i -1.0473-1.1359i



Yang disimpan dalam bentuk vector kolom. Fungsi poly mengembalikan ke koefisien polinomnya: >>p2=poly(r); p2= 1 8.8818e-16 -2 -5



3. Evaluasi polinomial Fungsi polyval mengevaluasi polynomial pada suatu nilai tertentu. Untuk menevaluasi p pada s= 5, maka digunakan : >>polyval (p,5) Ans = 110



Fungsi ini njuga memungkinkan untuk mengevaluasi polynomial dalam bentuk matrik. Dalam kasus p(x) = x3 – 2x – 5 menjadi p(x) = x3 – 2x – 5I, dimana X adalah matriks square, dan I adalah matriks identitas. Misalkan , dibuat matrik square X dan evaluasi polynomial p pada X : >>X = [2



4



5;-1



0



3;7



1



3];



>>Y = polynomial (p,x) Y = 377



179



439



111



81



136



490



253



639



4. Perkalian dan Pembagian Polinomial Perkalian polinom dan pembagiannya berhubungan dengan operasi konvolusi dan dekonvolusi. Fungsi conv dan deconv digunakan untuk menjalankan



2



2



operasi ini. Misalkan ada dua buah polynomial, a(s)  s  2s  3 dan b(s)  2



4s  5s  6 . Untuk menghitung hasil kalinya kita gunakan: >>a=[1 2 3]; b=[4 5 6]; >>c=conv(a,b) c= 4 13 28 27 18



Gunakan dekovolusi untuk membagi a(s) kembali kepada pengalinya: >>[q,r]=deconv(c,a) q= 4 5 6 r= 0 0 0 0 0



5. Turunan polinom Fungsi polyder digunakan untuk menghitung turunan (derivasi) setiap polynomial. Untuk mendapatkan turunan polynomial p(x)x 3 2x , maka: >>p=[1 0 ­2 5]; >>q=polyder(p) q= 3 0 ­2



Polyder juga menghitung turunan perkalian atau pembagian dua polynomial. Sebagai contoh, kita buat dua polynomial a dan b: >>a=[1 3 5]; b=[2 4 6];



Turunan perkalian a*b dengan fungsi polyder menggunakan satu argument keluaran: >>c=polyder(a,b)   c=     8 30 56 38



Turunan dari pembagian a/b dengan memanggil polider menggunakan dua argument keluaran: >>[q,d]=polyder(a,b)



3



  q=       ­2 ­8 ­2   d=       4 16 40 48 36



6. Ekspansi fraksi parsial Fungsi residu digunakan untuk mencari rasio ekspasi parsial dari dua polynomial. Sangat berguna untuk menggambarkan system dalam bentuk fungsi transfer. Untuk polynomial a dan b, dirumuskan sebagai fungsi transfer berikut ini:



Dimana r adalah vector kolom residu, p adalah lokasi kutub (pole) vector kolom



dan k adalah vector baris. Misalkan



diperoleh fungsi transfer berikut ini:



Digunakan fungsi residu untuk mencari nilai r, p dan k:  >>b=[­4 8]; a=[1 6 8];  >>[r,p,k]=residue(b,a) r = -12 8 p = -4 -2 k = []



Untuk mengembalikan ke bentuk aslinya, kita gunakan fungsi yang sama tetapi argument keluarannya berbeda. >>[b2, a2] = residue (r, p, k) b2 = -4



8



a2 =



4



1



6



8



Contoh lain: Diberikan fungsi transfer sebagai berikut:



Untuk mencari r, p dan k digunakan cara seperti contoh sebelumnya:  >>num=[2 5 3 6];  >>den=[1 6 11 6];  >>[r,p,k]=residue(num,den)   r =       ­6.0000       ­4.0000        3.0000   p =        ­3.0000        ­2.0000        ­1.0000   k =        2



Hasil di atas memperlihatkan fraksi parsial dari fungsi transfer di atas:



Untuk mengembalikan ke bentuk semua:  >>[num,den]=residue(r,p,k)     num =        2.0000 5.0000 3.0000 6.0000  den =        1.0000 6.0000 11.0000 6.0000



5



C. ALAT dan BAHAN PRAKTIKUM - Komputer / Laptop - Software Matlab - Printer - Kertas HVS A4 - Pulpen



D. LANGKAH PERCOBAAN 1. Instal matlab pada PC/Laptop 2. Buka matlab yang sudah terinstal dengan baik 3. Kemudian lakukan praktikum sesuai prosedurnya



6



E. DATA HASIL PERCOBAAN - Latihan Soal 1. Selesaikan polynomial berikut : a. x2 - 9x + 18 = 0 b. 2x3 - 11x2 + 18x - 8 = 0 c. 4x4 - 19x3 + 24x2 + x – 10 = 0 d. 2x4 - 4x3 – 23x2 – 11x +6 = 0 e. 5x3 + 14x2 + 7x – 2 = 0 Hasil program a. x2 - 9x + 18 = 0



b. 2x3 - 11x2 + 18x - 8 = 0



c. 4x4 - 19x3 + 24x2 + x – 10 = 0



7



d. 2x4 - 4x3 – 23x2 – 11x +6 = 0



e. 5x3 + 14x2 + 7x – 2 = 0



8



9



Daftar Pustaka http://dir.yahoo.com/science/mathematics/software/matlab/ http://www.eece.maine.edu/mm http://www.mathworks.com/ news://saluki/news.siu.edu/comp.soft-sys.matlab/ http://www.cse.uiuc.edu/cse301/matlab.html



12