LK 1 Modul 3 Matematika [PDF]

Citation preview

EUIS SUWANGSIH LK 1.1: Lembar Kerja Belajar Mandiri Judul Modul Judul Kegiatan Belajar (KB)



o 1



Butir Refleksi Daftar



KB 1. Fungsi Trigonometri



peta



Definisi Dasar Nilai Fungsi Trigonometri



konsep (istilah dan



FUNGSI TRIGONOMETRI



N



Modul 3. Kalkulus dan Trigonometri 1. Fungsi Trigonometri 2. Fungsi, Jenis Fungsi, dan Limit Fungsi 3. Turunan dan Aplikasi Turunan 4. Antiturunan, Integral, dan Aplikasi Integral Respon/Jawaban



definisi) di modul ini



1.



Identitas Fungsi Trigonometri



Aturan Sinus dan Cosinus



Periode dan Amplitudo Fungsi Trigonometri



Invers fungsi sinus



Invers Fungsi Cosinus Invers Fungsi Trigonometri Invers Fungsi Tan Rumus Jumlah dan Selisih Fungsi Trigonometri



Identitas Invers Fungsi Trigonometri



Identitas Fungsi Trigonometri a. Definisi Dasar Nilai Fungsi Trigonometri



Sin θ adalah perbandingan Panjang sisi di depan sudut dengan Panjang sisi miring Cos θ adalah perbandingan Panjang sisi di samping sudut dengan Panjang sisi miring Tan θ adalah perbandingan Panjang sisi di depan sudut dengan Panjang sisi samping



LK-1 MODUL 3 | Euis Suwangsih



EUIS SUWANGSIH



b. Aturan sinus dan cosinus 1) Aturan Sinus Pada suatu segitiga 𝐴𝐵𝐶 berlaku :



sin A sin B sin C = = =atau a b c a b c = = sin A sin B sin C



dengan 𝑎 panjang sisi di depan sudut 𝐴, 𝑏 panjang sisi di depan sudut 𝐵, dan 𝑐 panjang sisi di depan sudut 𝐶. 2) Aturan Cosinus Pada suatu segitiga 𝐴𝐵𝐶 berlaku : 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 cos 𝐵 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos C c.



Periode dan amplitudo fungsi trigonometri



2. Invers Fungsi Trigonometri Suatu fungsi mempunyai invers adalah fungsi tersebut injektif (satu-satu) a. Invers fungsi sinus 𝑓-1 ada dengan 𝑓-1(𝑥) = sin-1 𝑥. Jelas 𝐷𝑓 =



dan 𝑅𝑓 = [−1,1];



sedangkan 𝐷𝑓-1 = [−1,1] dan 𝑅𝑓-1 = b. Invers fungsi cosinus 𝑓-1 ada dengan 𝑓-1 (𝑥) = cos-1 𝑥. Jelas 𝐷𝑓 = [0,𝜋] dan 𝑅𝑓 = [−1,1]; sedangkan 𝐷𝑓-1 = [−1,1] dan 𝑅𝑓-1 = [0,𝜋]. c. Invers fungsi tan 𝑓-1 ada dengan 𝑓-1 (𝑥) = tan-1 𝑥. Jelas 𝐷𝑓 =



dan 𝑅𝑓 = ℝ; sedangkan



𝐷𝑓-1 = ℝ dan 𝑅𝑓-1 = d. Identitas invers fungsi trigonometri 𝑓-1 ada dengan 𝑓-1(𝑥) = tan-1 𝑥. Jelas 𝐷𝑓 =



dan 𝑅𝑓 = ℝ; sedangkan 𝐷𝑓-1 = ℝ dan 𝑅𝑓-1 =



LK-1 MODUL 3 | Euis Suwangsih



EUIS SUWANGSIH 3. Rumus Jumlah dan Selisih Fungsi Trigonometri



KB 2. Fungsi, Jenis Fungsi, dan Limit Fungsi



LK-1 MODUL 3 | Euis Suwangsih



EUIS SUWANGSIH



Pengertian Fungsi Menurut Sifatnya



Fungsi, Jenis Fungsi dan Operasi pada Fungsi



Jenis Fungsi



Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers



Operasi pada Fungsi



Menurut Kemonotonannya



Barisan dan Limit Barisan



Fungsi, Jenis Fungsi dan Limit Fungsi



Limit Fungsi



Limit Fungsi



Limit Sepihak



Limit Fungsi Trigonometri



Limit Tak Hingga



Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga



Limit di Tak Hingga



Kekontinuan Fungsi



1.



2.



Fungsi, Jenis Fungsi dan Operasi pada Fungsi a. Pengertian Fungsi Suatu fungsi f dari himpunan A ke B merupakan pasangan terurut 𝑓 ⊂ 𝐴 × 𝐵 sedemikian sehingga memenuhi dua hal: (1) ∀𝑥 ∈ 𝐴∃𝑦 ∈ 𝐵 ∋ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 dan (2) (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 dan (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑓 ⇒ 𝑦 = 𝑧. b. Jenis Fungsi Jenis fungsi yang diklasifikasikan menurut sifatnya ada tiga yaitu: fungsi satu-satu (injektif), (b) fungsi pada (surjektif), dan (c) fungsi bijektif. Jenis fungsi yang diklasifikasikan menurut kemonotonannya ada dua, yaitu (a) fungsi naik dan (b) fungsi turun. Fungsi-fungsi yang tergolong jenis fungsi aljabar di antaranya (a) fungsi linier, fungsi kuadrat, fungsi kubik, dan seterusnya yang dikenal sebagai fungsi polinomial, (b) fungsi rasional, (c) fungsi irrasional. Fungsi-fungsi yang tergolong jenis fungsi transenden di antaranya: (a) fungsi trigonometri, (b) fungsi inverstrigonometri (siklometri), (c) fungsi logaritma asli, (d) fungsi eksponensial, (e) fungsi hiperboliks. Terdapat juga jenis fungsi khusus seperti (a) fungsi dengan nilai mutlak (modulus), (b) fungsi ganjil/genap. (c) fungsi periodik, (d) fungsi tangga, dan lainnya. c. Operasi pada Fungsi Suatu cara untuk membangun suatu fungsi baru adalah dengan menjumlah, mengurangi, mengalikan, atau membagi fungsi-fungsi yang diketahui. Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers Operasi fungsi meliputi: penjumlahan, pengurangan, perkalian dengan skalar, perkalian dua fungsi, dan pembagian dua fungsi dengan definisi: Misalkan f dan g adalah fungsi-fungsi dan k suatu konstanta. Fungsi-fungsi 𝑓 + 𝑔, 𝑓 − 𝑔, 𝑘𝑔, 𝑓. 𝑔, dan



f didefinisikan pada daerah definisinya sebagai berikut : g



LK-1 MODUL 3 | Euis Suwangsih



EUIS SUWANGSIH



3.



Limit Fungsi 1) Barisan dan limit barisan Barisan adalah suatu fungsi yang domainnya adalah himpunan bilangan bulat positif atau bilangan asli (𝑁) atau himpunan bagiannya. 2) Limit Fungsi Nilai lim x →c



f ( x )=Lmaksudnya adalah jika 𝑥 mendekati tetapi tidak sama dengan



𝑐, maka 𝑓(𝑥) mendekati 𝐿. 3) Limit fungsi trigonometri



4.



Limit Sepihak Limit kiri atau limit kanan suatu fungsi di suatu titik dinamakan limit sepihak. 1) Definisi limit kanan. Dipunyai fungsi 𝑓: (𝑎, 𝑏) → 𝑅, dan 𝑐 di selang (𝑎, 𝑏). Limit fungsi 𝑓 untuk 𝑥 mendekati 𝑐 dari kanan adalah 𝐿, ditulis dengan lim𝑥→𝑐+ 𝑓(𝑥) = 𝐿 jika dan hanya jika untuk setiap 𝜀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 apabila 𝑐 < 𝑥 < 𝑐 + 𝛿. 2) Definisi limit kiri. Limit fungsi 𝑓 untuk 𝑥 mendekati 𝑐 dari kiri adalah 𝐿, ditulis dengan lim𝑥→𝑐− 𝑓(𝑥) = 𝐿 jika dan hanya jika untuk setiap 𝜀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 apabila 𝑐 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑐. 5. Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga 1) Limit tak hingga



LK-1 MODUL 3 | Euis Suwangsih



EUIS SUWANGSIH



2)



Limit di tak hingga



6. Kekontinuan Fungsi Definisi kekontinuan fungsi diberikan sebagai berikut. Dipunyai fungsi 𝑓:𝐼 → ℝ, dan 𝑐 ∈ 𝐼. Fungsi 𝑓 dikatakn kontinu di titik 𝑐 jika dan hanya jika lim𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐).



KB 3. Turunan dan Aplikasi Turunan



LK-1 MODUL 3 | Euis Suwangsih



EUIS SUWANGSIH



Definisi Turunan



Definisi dan Rumusrumus Turunan Fungsi TURUNAN DAN APLIKASI TURUNAN



Turunan Fungsi Implisit dan Fungsi Invers



Teorema-teorema Turunan Aturan Rantai Turunan Fungsi Implisit Turunan Fungsi Invers Nilai Ekstrim



Aplikasi Turunan



Kemonotonan Grafik Fungsi Kecekungan Grafik Fungsi



1.



Definisi dan Rumus-rumus Turunan Fungsi a. Definisi Turunan Berdasarkan definisi turunan, suatu fungsi mempunyai turunan pada suatu titik apabila turunan dari pihak kiri sama dengan turunan dari pihak kanan pada titik tersebut atau 𝑓 ′ (𝑐) ada apabila 𝑓− ′ (𝑐) = 𝑓+ ′ (𝑐). b. Teorema-teorema turunan Jika 𝑓, 𝑔 merupakan fungsi-fungsi yang mempunyai turunan maka berlaku:  (𝑓 + 𝑔) ′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) + 𝑔 ′ (𝑥)  (𝑘. 𝑓) ′ (𝑥) = 𝑘. 𝑓 ′ (𝑥) dengan k sembarang bilangan real  (𝑓. 𝑔) ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥). 𝑔 ′ (𝑥) + 𝑓 ′ (𝑥). 𝑔(𝑥) c. Aturan rantai Aturan rantai didasari dari turunan fungsi komposisi yaitu :



dengan syarat 𝑓 dan 𝑔 mempunyai turunan pada Domainnya. 2.



Turunan Fungsi Implisit dan Fungsi Invers a. Turunan fungsi implisit Untuk mencari turunan fungsi implisit dilakukan melakukan proses penurunan pada kedua ruas dengan menggunakan teorema turunan yang sesuai. b. Turunan Fungsi Invers Syarat suatu fungsi mempunyai invers adalah fungsi tersebut adalah fungsi injektif dan domain dari fungsi inversnya adalah Range dari fungsi semula.



3. Aplikasi Turunan a. Nilai ekstrim Suatu nilai disebut nilai ekstrim mutlak dari suatu fungsi jika nilai tersebut merupakan nilai ekstrim fungsi pada domain fungsi tersebut; Sedangkan suatu nilai disebut nilai ekstrim relatif dari



LK-1 MODUL 3 | Euis Suwangsih



EUIS SUWANGSIH suatu fungsi jika nilai tersebut merupakan nilai ekstrim fungsi pada suatu selang yang merupakan himpunan bagian dari domain fungsi tersebut. Nilai ekstrim mutlak suatu fungsi juga merupakan nilai ekstrim relatif. b. Kemonotonan grafik fungsi Kemonotonan grafik fungsi dapat dilihat dari nilai turunan pertama fungsi tersebut yaitu jika 𝑓 ′ (𝑥) > 0 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼 yang bukan di titik ujung maka grafik 𝑓 naik pada 𝐼 dan jika 𝑓 ′ (𝑥) < 0 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼 yang bukan di titik ujung maka grafik 𝑓 turun pada 𝐼. c. Kecekungan grafik fungsi Kecekungan grafik fungsi dapat diperiksa menggunakan turunan kedua dari fungsi tersebut. Kriterianya adalah grafik 𝑓 cekung ke atas pada 𝐼 apabila 𝑓 ′′(𝑥) > 0 ∀𝑥 ∈ 𝐼 yang bukan titik ujung 𝐼 dan grafik 𝑓 cekung ke bawah pada 𝐼 apabila 𝑓 ′′(𝑥) < 0 ∀𝑥 ∈ 𝐼 yang bukan titik ujung 𝐼.  Masalah maksimum minimum Penentuan nilai ekstrim juga dapat dilakukan dengan uji turunan kedua dengan syarat 𝑓 ′ (𝑥) dan 𝑓 ′′(𝑥) ada pada 𝐼. Kriteria yang digunakan yaitu: 𝑓 ′′(𝑥) < 0 ⇒ 𝑓(𝑎) suatu maksimum relatif 𝑓, 𝑓 ′′ (𝑥) > 0 ⇒ 𝑓(𝑎) suatu minimum relatif 𝑓, dan 𝑓 ′′(𝑥) = 0 ⇒ tidak ada kesimpulan.



KB 4. Antiturunan, Integral, dan Aplikasi Integral



LK-1 MODUL 3 | Euis Suwangsih



EUIS SUWANGSIH Anti Turunan, Integral, dan Aplikasi Integral Anti Turunan



Notasi Sigma & Jumlah Riemann



Integral Tertentu



Aplikasi Integral



Konsep Anti Turunan



Deret & Notasi Sigma



Integral Tertentu



Luas Daerah pada Bidang Datar



Teorema Penggantian & Integral Parsial



Jumlah Riemann



Teoremateorema IT



Volume Benda Putar



Teknik Pengintegralan



Panjang Busur suatu Grafik Fungsi Luas Daerah Benda Putar



1. Antiturunan a. Konsep Antiturunan Antiturunan atau integral tak tentu merupakan balikan dari turunan. Jika 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼 maka F disebut suatu antiturunan f pada selang I. Keberadaan antiturunan tidak tunggal, untuk menunjukkan semua antiturunan 𝑓, dapat dituliskan dengan 𝐹(𝑥) = 𝑥 2 + 𝐶, dengan 𝐶 sebarang konstanta. b. Teorema Penggantian dan Integral Parsial 1) Penggantian: dipunyai 𝑔 mempunyai turunan pada 𝐷𝑔 dan 𝑅𝑔 ⊂ 𝐼 dengan I adalah suatu selang. Jika 𝑓 terdefinisi pada selang 𝐼 sehingga 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥), maka ∫ 𝑓[𝑔(𝑥)]𝑔 ′ (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹[𝑔(𝑥)] + 𝐶. f. 2) Integral Parsial: Jika U dan V adalah fungsi-fungsi yang mempunyai turunan pada selang buka I, maka ∫𝑈. 𝑑𝑉 = 𝑈. 𝑉 − ∫ 𝑉. 𝑑𝑈. c. Teknik Pengintegralan 1) Teknik pengintegralan yang diperoleh dari turunan maupun integral. 2) Integral Fungsi Trigonometri 3) Integral Fungsi Rasional Untuk mengintegralkan fungsi rasional (𝑥) = (𝑥)/(𝑥) dicek dulu derajat 𝑝(𝑥) dan 𝑞(𝑥), 𝑞(𝑥) difaktorkan menjadi faktor linear atau kuadrat, kombinasikan semua suku dalam pecahan bagian dengan menyamakan penyebut, hitung semua koefisien yang ada, dan diintegralkan.



2. Notasi Sigma dan Jumlah Riemann a. Deret dan Notasi Sigma Deret dan notasi sigma diperlukan dalam pembahasan tentang jumlah Riemann hingga integral tertentu. Teorema yang sering digunakan, khususnya dalam perhitungan integral tertentu melalui limit jumlah Riemann.



LK-1 MODUL 3 | Euis Suwangsih



EUIS SUWANGSIH b. Jumlah Riemann Definisi Jumlah Riemann: dipunyai 𝑓:[𝑎, 𝑏] → ℝ. suatu fungsi, 𝑃𝑛 suatu partisi untuk selang [a,b], dan 𝑡𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖 ]. Bangun 𝑅𝑛 = ∑ 𝑓(𝑡𝑖 ). ∆𝑖𝑥. Bangun 𝑅𝑛 disebut Jumlah Riemann untuk 𝑓 pada selang [𝑎, 𝑏]. 3. Integral Tertentu a. Integral Tertentu Definisi integral tertentu sebagai limit jumlah Riemann: Dipunyai fungsi 𝑓:[𝑎, 𝑏] → ℝ, jika ada, maka dikatakan fungsi 𝑓 terintegralkan secara Riemann pada selang [𝑎, 𝑏]. Selanjutnya ditulis disebut integral tertentu (integral Riemann) fungsi 𝑓 dari 𝑎 ke 𝑏. b. Teorema-teorema Integral Tertentu



4. Aplikasi Integral a. Luas Daerah pada Bidang Datar Luas daerah pada bidang datar, daerah D yang dibatasi oleh grafik fungsi f, x = a, x = b, dan sumbu X. L adalah luas daerah D. b. Volume Benda Putar 1) Metode Cakram



2) Metode Cincin



3) Metode Sel Silinder (Kulit Tabung)



LK-1 MODUL 3 | Euis Suwangsih



EUIS SUWANGSIH c.



Panjang Busur Suatu Grafik Fungsi Panjang busur grafik 𝑓 dari titik 𝑃0(𝑎, 𝑓(𝑎)) sampai titik 𝑃𝑛(𝑏, 𝑓(𝑏)) adalah



d. Luas Permukaan Benda Putar Luas permukaan benda putar dengan 𝐷 adalah daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi kontinu 𝑓 pada selang [𝑎, 𝑏] diputar mengelilingi sumbu 𝑋.



2



Daftar materi yang sulit dipahami di modul ini



3



Daftar



1.



KB 3. Antiturunan, Integral, dan Aplikasi Integral a. Turunan Fungsi Implisit dan Fungsi Invers b. Aplikasi Turunan 2. KB 4. Turunan dan Aplikasi Turunan : a. Integral Tertentu b. Aplikasi Integral - Turunan dan integral



materi yang sering mengalami miskonseps i



LK-1 MODUL 3 | Euis Suwangsih