LK 1 Modul 6 Matematika [PDF]

Citation preview

LK 1: Lembar Kerja Belajar Mandiri Judul Modul Judul Kegiatan Belajar (KB)



No 1



Butir Refleksi Daftar peta konsep (istilah dan definisi) di modul ini



Modul 6 Logika Matematika 1. Kalimat, Pernyataan dan Tabel Kebenaran 2. Tautologi dan Kontradiksi 3. Aljabar Proposisi dan Argumen 4. Aturan Bukti Bersyarat dan Bukti Tak Langsung Respon/Jawaban KB 1. Kalimat, Pernyataan dan Tabel Kebenaran



Kalimat, Pernyataan, & Tabel Kebenaran



Kalimat & Pernyataan



Pengertian Kalimat



Kalimat Terbuka



Pengertian Pernyataan



Pernyataan Majemuk



Negasi



Konjungsi



Disjungsi



Implikasi



Biimplikasi



1.



Kalimat dan Pernyataan  Kalimat adalah rangkaian kata yang disusun menurut tata bahasa dan mengandung arti.  Dalam logika matematika hanya dibicarakan kalimat-kalimat yang berarti menerangkan (kalimat deklaratif), yang disebut pernyataan.  Benar atau salahnya sebuah pernyataan disebut nilai kebenaran pernyataan itu, dan ditentukan oleh realitas yang dinyatakannya atau kesepakatan terdahulu.  Pernyataan yang hanya menyatakan pikiran tunggal dan tidak mengandung kata hubung kalimat disebut pernyataan sederhana/pernyataan primer.  Sedangkan pernyataan yang terdiri atas dua atau lebih pernyataan sederhana dengan bermacam-macam kata hubung kalimat disebut pernyataan majemuk/pernyataan komposit. 2. Kalimat Terbuka  Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum/tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya.  Dalam matematika, kalimat terbuka bisa berbentuk persamaan (kalimat terbuka yang menggunakan tanda “=”) atau berbentuk pertidaksamaan (kalimat terbuka yang menggunakan tanda “≠”, “”, “≤”, atau “≥”). 3. Pernyataan Majemuk a. Negasi Negasi suatu pernyataan adalah pernyataan yang bernilai salah jika pernyataan semula benar, dan sebaliknya. Negasi pernyataan 𝑝 disimbolkan sebagai: 𝑝̅, −𝑝 , ¬𝑝, atau ~𝑝.



LK 1.1 MODUL 6 | Euis Suwangsih



b.



c.



d.



e.



Konjungsi Konjungsi merupakan pernyataan majemuk dengan kata penghubung “dan”, “tetapi”, “meskipun”, atau “walaupun”. Dua pernyataan 𝑝 dan 𝑞 yang dinyatakan dalam bentuk 𝑝 ∧ 𝑞 disebut konjungsi dan dibaca “𝑝 dan 𝑞”. Disjungsi Disjungsi merupakan pernyataan majemuk dengan kata penghubung “atau”. Dua pernyataan 𝑝 dan 𝑞 yang dinyatakan dalam bentuk 𝑝 ∨ 𝑞 disebut disjungsi dan dibaca “𝑝 atau 𝑞”. Disjungsi yang mempunyai nilai kebenaran tersebut disebut disjungsi inklusif. Pernyataan disjungsi tidak akan bernilai benar jika kedua pernyataan tunggalnya bernilai benar. Kondisi ini dinamakan disjungsi ekslusif, dilambangkan dengan 𝑝 . Implikasi Implikasi merupakan pernyataan yang dibuat dari 2 pernyataan tunggal 𝑝 dan 𝑞 yang dinyatakan dalam bentuk kalimat “jika 𝑝 maka 𝑞”. Implikasi dilambangkan dengan 𝑝 ⇒ 𝑞. Biimplikasi Biimplikasi merupakan pernyataan yang dibuat dari 2 pernyataan tunggal 𝑝 dan 𝑞 yang dinyatakan dalam bentuk kalimat “𝑝 jika dan hanya jika 𝑞”. Biimplikasi dilambangkan dengan 𝑝 ⇔ 𝑞.



KB 2. Tautologi dan Kontradiksi



Tautologi dan Kontradiksi



Kuantor Universal



Kuantor



Tautologi



Kuantor Eksistensial



Negasi Pernyataan Kuantor



Kontradiksi



1. Kuantor a. Kuantor Universal Kata-kata yang biasa digunakan dalam kuantor universal adalah “semua”, “setiap”, “untuk semua” atau “untuk setiap”. Kuantor universal dilambangkan dengan ∀. b. Kuantor Eksistensial Pernyataan matematika yang dilengkapi dengan kata-kata “terdapat”, “ada”, “sekurang-kurangnya satu”, atau “beberapa” merupakan pernyataan



LK 1.1 MODUL 6 | Euis Suwangsih



c.



berkuantor eksistensial. Kuantor eksistensial dilambangkan dengan ∃. Negasi Pernyataan Kuantor Dua buah pernyataan (proposisi) dikatakan ekivalen (berekivalensi logis) jika kedua pernyataan itu memiliki nilai kebenaran yang sama.



2. Tautologi Pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar untuk setiap substitusi pernyataan tunggalnya dinamakan tautologi. 3. Kontradiksi Jika tautologi adalah pernyataan yang selalu bernilai benar, maka sebaliknya kontradiksi adalah pernyataan yang selalu bernilai salah untuk setiap substitusi nilai kebenaran pernyataan tunggalnya. KB 3. Aljabar Proposisi dan Argumen Aljabar Proposisi



Pengertian Premis



Argumen & Inferensi



Pengertian Argumen Pengertian Inferensi Modus Ponen



Aljabar Proposisi & Argumen



Modus Tolen



Silogisme Hipotesis



Sisogisme Disjungtif



Simplikasi Metode Inferensi Penambahan Disjungtif Konjungsi



Dilema



Dilema Konstruktif



Dilema Destruktif



1. Aljabar Proposisi a. Hukum Idempoten • 𝑝∨𝑝≡𝑝 • 𝑝∧𝑝≡𝑝 b. Hukum Asosiatif • • c. Hukum Komutatif • •𝑝∨𝑞≡𝑞∨𝑝 • •𝑝∧𝑞≡𝑞∧𝑝 d. Hukum Distributif • 𝑝 • 𝑝 e. Hukum Identitas • 𝑝 𝐹 𝑝 • 𝑝 𝑇 𝑝 f. Hukum null/ Dominasi



LK 1.1 MODUL 6 | Euis Suwangsih



• 𝑝 𝐹 𝐹 • 𝑝 𝑇 𝑇 g. Hukum Komplemen (Negasi) • 𝑝 𝑇 • 𝑝 𝐹 • 𝐹 • 𝑇 h. Hukum Involusi (Negasi Ganda) 𝑝 i. Hukum Penyerapan (Absorpsi) • 𝑝 𝑝 • 𝑝 𝑝 j. Hukum Transposisi 𝑝⇒𝑞 𝑝 k. Hukum Implikasi 𝑝⇒𝑞 𝑞 l. Hukum Ekivalensi • 𝑝 ⟺ 𝑞 ≡ (𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑝) • 𝑝 ⟺ 𝑞 ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (∼ 𝑞 ∧ ∼ 𝑝) m. Hukum Eksportasi (𝑝 ∧ 𝑞) ⇒ 𝑟 ≡ 𝑝 ⇒ (𝑞 ⇒ 𝑟) n. Hukum De Morgan • ∼ (𝑝 ∨ 𝑞) ≡∼ 𝑝 ∧ ∼ 𝑞 • ∼ (𝑝 ∧ 𝑞) ≡ ∼ 𝑝 ∨ ∼ 𝑞 Beberapa hukum tersebut mirip dengan hukum-hukum aljabar pada sistem bilangan riil sehingga sering disebut sebagai hukum aljabar proposisi. 2. Argumen dan Inferensi Argumen adalah kumpulan kalimat yang terdiri atas satu atau lebih premis yang mengandung bukti-bukti (evidence) dan suatu (satu) konklusi. Proses atau cara untuk menarik atau menurunkan kesimpulan dalam suatu argumen dari beberapa proposisi (premis) disebut inferensi. 3. Metode Inferensi a. Modus Ponen (Penalaran Langsung) Bentuk argumen modus ponen adalah bentuk yang paling umum dalam penalaran sehari-hari. Dalam modus ponen, jika diketahui 𝑝 menyebabkan 𝑞, dan 𝑝 adalah benar, maka jelas 𝑞 bernilai benar. Baris pertama pada tabel kebenaran implikasi menjadi bukti validitas argumen yang berbentuk modus ponen. b. Modus Tolen (Penalaran Tak Langsung) Bentuk argumen modus tolen adalah kebalikan dari bentuk modus ponen. Dalam modus tolen, jika diketahui 𝑝 menyebabkan 𝑞, dan 𝑞 adalah salah, maka jelas 𝑝 bernilai salah. Baris terakhir pada tabel kebenaran implikasi menjadi bukti validitas argumen yang berbentuk modus tolen. c. Silogisme Hipotesis Bentuk argumen silogisme hipotesis didasarkan pada sifat transitif pada implikasi. d. Silogisme Disjungtif Berdasarkan bentuk silogisme disjungtif, 1) Simplifikasi (Penyederhanaan Konjungtif) 2) Penambahan Disjungtif



LK 1.1 MODUL 6 | Euis Suwangsih



3) 4) 5) 6)



Konjungsi Dilema (Pembagian Kasus) Dilema Konstruktif Dilema Destruktif



KB 4. Aturan Bukti Bersyarat dan Bukti Tak Langsung



Menulis premis-premis yang diketahui.



Bukti Bersyarat



Menarik anteseden dari konklusi menjadi premis baru (premis tambahan) & konsekuennya merupakan konklusi dari argument (konklusi baru) Menggunakan aturan penyirnpulan dan hukum penggantian untuk menemukan konlusi sesuai dengan konklusi baru.



Aturan Bukti Bersyarat & Bukti Tak Langsung



Menulis premis-premis yang diketahui.



Bukti Tak Langsung



Menarik ingkaran dari konklusi menjadi premis baru (premis tambahan) Dengan menggunakan aturan penyirnpulan dan hukum penggantian ditunjukkan adanya kontradiksi.



prinsip Adisi dan Silogisme Disjungtif



1.



Aturan Bukti Bersyarat Adapun langkah-langkah pembuktian Aturan Bukti Bersyarat yaitu sebagai berikut. a. Menulis premis-premis yang diketahui.



LK 1.1 MODUL 6 | Euis Suwangsih



b. c.



2.



2



3



Daftar materi yang sulit dipahami di modul ini Daftar materi yang sering mengalami miskonsepsi



Menarik anteseden dari konklusi menjadi premis baru (premis tambahan) dan konsekuennya merupakan konklusi dari argument (konklusi baru). Menggunakan aturan penyirnpulan dan hukum penggantian untuk menemukan konlusi sesuai dengan konklusi baru.



Bukti Tak Langsung Untuk melakukan pembuktian argumen dengan bukti tak langsung, langkahlangkahnya adalah sebagai berikut. a. Menulis premis-premis yang diketahui. b. Menarik ingkaran dari konklusi menjadi premis baru (premis tambahan). c. Dengan menggunakan aturan penyirnpulan dan hukum penggantian ditunjukkan adanya kontradiksi. d. Setelah ditemukan kontradiksi kita tinggal menggunakan prinsip Adisi dan Silogisme Disjungtif .



1. Membuktikan suatu pernyataan dengan bukti bersyarat 2. Membuktikan suatu pernyataan dengan bukti tak langsung



1) Membedakan hukum identitas dan hukum null. 2) Menganalis Tabel kebenaran



LK 1.1 MODUL 6 | Euis Suwangsih