Makalah Dinamika Elektron Bebas [PDF]

Citation preview

PENDAHULUAN FISIKA ZAT PADAT



DINAMIKA ELEKTRON BEBAS (VIBRASI KRISTAL)



DOSEN PEBIMBING Prof.MOTLAN,M.Sc., P.hD DISUSUN OLEH : KELOMPOK 1 1.



AULIA FITRI MUNAWARAH



(4173121003)



2.



CINDI ALVIONITA LESTARI



(4173321008)



3.



ENDANG KUSUMA PASARIBU



(4173321012)



4.



FAHRUR ROZI RASYIDI LUBIS



(4171121010)



5.



FETTI FERAYANTI TINAMBUNAN (4172121006)



6.



SRI RAHMA ADHAYANA KELAS



(4173321052)



: FISIKA DIK A 2017



FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2020



KATA PENGANTAR Puji syukur saya panjatkan kehadirat Tuhan yang Maha Esa, atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga makalah ini dapat terselesaikan tepat waktu. Makalah ini diajukan guna memenuhi tugas mata kuliah Pendahuluan Fisika Zat Padat. Penulis menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, kritik dan saran yang sifatnya membangun sangat penulis harapkan. Khususnya kepada Bapak dosen mata kuliah Pendahuluan Fisika Zat Padat dan kepada teman-teman semua yang telah memberikan masukan-masukan demi kesempurnaan makalah ini. Ucapan terima kasih kami sampaikan kepada semua pihak yang telah membantu dalam menyelesaikan makalah ini, baik berupa materi maupun ide dan sehingga makalah ini dapat mencakup semua pokok pembahasan. Akhir kata, kami ucapkan terima kasih dan semoga makalah ini bermanfaat bagi kita semua.



Medan,6 April 2020



Penulis



BAB I PENDAHULUAN



A.Latar Belakang Kristal tersusun oleh atom-atom yang “diam” pada posisinya di titik kisi. Sesungguhnya,



atom-atom



tersebut



tidaklah



diam,



tetapi



bergetar



pada



posisi



kesetimbangannya. Getaran atom-atom pada suhu ruang adalah sebagai akibat dari energi termal, yaitu energi panas yang dimiliki atom-atom pada suhu tersebut. Jika suatu kisi berada dalam ekuilibrium, masing-masing atom persis berada pada titik kisinya. Akan tetapi jika kisi mengalami getaran maka masing-masing atom mengalami sedikit perpindahan. Getaran atom dapat pula disebabkan oleh gelombang yang merambat pada kristal. Ditinjau dari panjang gelombang yang digunakan dan dibandingkan dengan jarak antar atom dalam kristal, dapat dibedakan pendekatan gelombang pendek dan pendekatan gelombang panjang. Disebut pendekatan gelombang pendek apabila gelombang yang digunakan memiliki panjang gelombang yang lebih kecil dari pada jarak antar atom. Dalam keadaan ini, gelombang akan “melihat” kristal sebagai tersusun oleh atom-atom yang diskrit, sehingga pendekatan ini sering disebut pendekatan kisi diskrit. Sebaliknya, bila dipakai gelombang yang panjang gelombangnya lebih besar dari jarak antar atom, kisi akan “nampak” malar (kontinyu) sebagai suatu media perambatan gelombang. Teori Kerapatan Fungsional (TKF) untuk system kuantum adalah teori atau gagasan eksak tentang masalah banyak partikel, untuk mempelajari perilaku-perilaku keadaan dasar sistem-sistem elektron melalui prinsip variasi. Walaupun secara formal eksak, fungsional tersebut secara umum tidak diketahui. Namun demikian, terdapat berbagai teknik pendekatan yang bekerja dengan baik untuk berbagai sistem elektronik. TKF pada awalnya dikembangkan untuk sistem-sistem kuantum. Pada tahun 1964, teori ini pertama kali digagas dan dibuktikan eksistensinya oleh P. Hohenberg dan Walter Kohn [1], yang mempelajari struktur elektron. Hasil karya ini dikenal sebagai teorema Hohenberg-Kohn (HK). Namun, yang dihasilkan sebatas konsep, belum berada pada tataran terapan. Selanjutnya skema KohnSham diperkenalkan 1965. Skema ini sudah dilengkapi dengan Local Density Approximation (LDA) [2]. Hasil ini selanjutnya dikembangkan untuk sistem-sistem kuantum pada suhu berhingga [3]. Metode terdahulu dalam perhitungan struktur electron seperti teori Hartree-



Fock didasarkan pada fungsi gelombang banyak elektron yang rumit. TKF menggantikan fungsi gelombang yang rumit ini dengan kerapatan electron sebagai besaran dasarnya.Tiga puluh tahun belakangan ini, TKF telah menjadi metode yang dominan digunakan untuk simulasi mekanika kuantum sistem periodik. TKF juga digunakandalam kimia kuantum dan sekarang banyak digunakan untuk simulasi energi permukaan di dalam molekul [4]. B.Tujuan 1.



Mengetahui pergeseran pada kisi kristal



2.



Mengetahui kecepatan kelompok untuk suatu gelombang



C.Rumusan Masalah 1.



Apa yang dimaksud dengan pergeseran pada kristal?



2.



Bagaimana menentukan kecepatan kelompok pada suatu gelombang?



BAB II PEMBAHASAN A. Gelombang Elastik dan Fonon Dalam pendekatan gelombang panjang, tinjau sebuah batang berpenampang A dengan rapat massa ρ, yang dirambati gelombang mekanik ke arah memanjang batang x. Pada setiap titik x dalam batang terjadi perubahan panjang u (x) sebagai akibat adanya tegangan σ(x) dari gelombang.



∈=



du ............ (1) dx



Karena tegangan σ yang memenuhi hukum Hooke sebagai berikut : σ = E ∈........ (2) Dengan E menyatakan modulus elastik atau modulus Young. Selanjutnya menurut hukum kedua Newton, tegangan yang bekerja pada elemen batang dx menghasilkan gaya sebesar : F = A {σ (x+dx) – σ (x)}........... (3) akan menyebabkan massa elemen batang tersebut (ρAdx) mendapatkan percepatan sebesar ( 2



∂u ) sehingga : ∂ t2 ∂2 u ρAdx 2 = A {σ (x+dx) – σ (x)}............ (4) ∂t Perhatikan lagi persamaan 2 dan 4, dapat dijabarkan : ¿



∂σ dx ∂x



=E



∂ε dx dx



=E



∂ du ( ).............. (5) ∂ x dx = E(



d ²u ) dx ²



Masukkan kembali hasil persamaan (5) ke persamaan semula (4) sehingga memberikan : ρAdx



∂2 u ∂2 u = E dx.A ∂ t2 ∂ x2



Yang dapat disederhanakan menjadi : ρ ∂2 u ∂2 u = ( ) 2 ................ (6) E ∂t ∂x ² Yaitu persamaan gelombang elastik. Dan bila dibandingkan dengan persamaan gelombang umum : 1 ∂2 u ∂2 u = 2 ∂ x ² v s ∂ t2 akan diperoleh ungkapan bagi kecepatan gelombang elastik : E vs = ( ¿1/2............. (7) ρ Jelas bahwa kecepatan gelombang mekanik dalam batang (secara umum pada zat padat) bergantung pada “besaran elastik” bahan tersebut, yakni modulus Young. Karena perambatan gelombang tersebut bergantung pada besaran elastik maka gelombang yang bersangkutan disebut gelombang elastik. Ditinjau dari panjang gelombang yang digunakan dan dibandingkan dengan jarak antar atom dalam kristal,dapat dibedakan menjadi : 



pendekatan gelombang pendek







pendekatan gelombang panjang



Disebut pendekatan gelombang pendek apabila : 



Apabila panjang gelombang yang digunakan memiliki panjang gelombang yang lebih



kecil dari jarak antar atom. 



Dalam keadaan ini gelombang akan “melihat” bahwa kristal merupakan susunan atom



atom diskret, sehingga pendekatan ini sering disebut pendekatan kisi diskret.



Bila dipakai gelombang yang panjang, gelombangnya lebih besar dari jarak antar atom, kisi akan “nampak” malar (kontinue) sebagai suatu media perambatan gelombang. Oleh karena itu, pendekatan ini sering disebut sebagai pendekatan kisi malar. ω = vs2……………………………………….(13)



Gambar 3. Hubungan dispersi linier untuk kisi malar (pendekatan gelombang panjang) dengan vs adalah kecepatan gelombang pada medium yang bersangkutan. Melalui hubungan ini g(ω) dapat ditentukan :



Angka 2 pada persamaan tersebut muncul karena ragam gelombang meliputi 2 daerah(positif dan negatif), yaitu berhubungan dengan gelombang yang merambat ke arah kanan dan kiri. Lebih lanjut, perubahan gelombang di atas dapat diperluas untuk kasus tiga-dimensi.Dalam ruang tiga-dimensi, fungsi gelombang dengan mengabaikan faktor waktu ditulis :



Syarat batas periodik menghasilkan :



Hal ini dapat dipenuhi oleh :



Setiap titik dalam ruang - q dinyatakan oleh :



yang merupakan satu ragam gelombang. Pada gambar 4. dilukiskan ruang - k tigadimensi, proyeksi pada bidang ky-kz dan besarnya volume yang ditempati oleh satu titik (kx, ky, kz) dalam ruang - k tersebut.



Rapat keadaan g(ω) dalam ruang tiga-dimensi dari rambatan gelombang dapat ditentukan berdasarkan gambar 4. Jumlah ragam gelombang (dalam bola berjejari q) adalah perbandingan antara volume bola dan volume yang ditempati oleh satu titik dalam ruang - k, jadi :



Turunkan (diferensiasi) N terhadap q akan memberikan g(ω) dω :



V = L3 yaitu volume medium apabila berbentuk kubus. Dengan hasil rumusan terakhir, dapat diperluas hubungan antara jumlah ragam gelombang yang dinyatakan oleh titiktitik dalam ruang - k. Dalam pengertian ini, satu titik (kx, ky, kz) setara dengan 3 (tiga) ragam gelombang dalam ruang (koordinat) tiga-dimensi. Anggap, misalnya, gelombang merambat ke arah - x, maka ragam ke arah x ini menjadi gelombang longitudinal (1 ragam) sedangkan ragam ke arah y dan z menjadi gelombang tronsversal (2 ragam), sehingga : (kx, ky, kz)→ - 1 ragam longitudinal - 2 ragam transversal Dalam kasus gelombang merambat ke arah sumbu x, maka ungkapan rapat keadaan dapat dituliskan kembali berbentuk :



dengan vs,L dan vs,L adalah kecepatan gelombang longitudinal dan kecepatan gelombang transversal.Sampai sejauh ini, kita telah membahas rambatan gelombang elastik pada bahan padat.Gelombang elastik pada zat padat ini dapat disebabkan baik oleh gelombang mekanik (bunyi/ultrasonik) maupun oleh gelombang termal (inframerah). Kedua gelombang tersebut dapat menyebabkan getaran kisi. Untuk selanjutnya, paket-paket energi getaran kisi disebut fonon. Fonon dapat dipandang sebagai “kuasi partikel” seperti halnya foton pada gelombang cahaya/elektromagnet. Melalui konsep yang mirip “dualisme partikel gelombang” ini, rambatan getaran kisi dalam zat padat dapat dianggap sebagai aliran fonon. Beberapa konsep dualisme gelombang-pertikel ditunjukkan pada tabel 1



Tabel 1. Beberapa eksitasi elementer pada zat padat. Gelombang



Partikel



Gel. Elektromagnet Gel. Elastik/getaran Kisi Gel. Elektron Kolektif Gel. Magnetisasi Gel. Elektron + deformasi elastik Gel. Polarisasi



Foton Fonon Plasmon Magnon Polaron Eksiton



Vibrasi fonon adalah vibrasi atom secara kolektif pada suatu struktur kristal. Vibrasi ini memiliki frekuensi karakteristik dan arah rambat getaran ini bergantung pada struktur kristal yang ditinjau. Fonon dapat ditemui dalam sistem kristal. Jadi, Fonon adalah partikel yang terdapat dalam gelombang elastik. Contoh : nitrogen vacancy center (NV Center) in diamond, konfigurasi elektron nya membentuk energi level 'ground state' dan 'excited state' yang perbedaan energinya sebesar 637 Nm.



B. Getaran Krstal Yang Berbasis Satu (MONOATOMIK) Kita mulai dengan kasus yang sederhana. Yaitu kasus yang melibatkan getaran kristal akibat adanya gelombang elastis yang merambat dalam arah [1 0 0] ; [1 1 0] ; [1 1 1].



Untuk setiap vektor gelombang (k ) terdapat 3 model getaran yaitu : 1 buah longitudinal dan 2 buah transversal.



Kita anggap bahwa kristal akan merespon



Gelombang elastik secara linier terhadap gaya. Artinya : gaya yang bekerja pada bidang kristal yang ke : s adalah sebanding dengan selisih simpangannya. Jadi: Fs = c (Us+1 - Us) + c (Us-1 - Us) Fs = c (Us+1 + Us-1 – 2Us)..................................(1) Dengan : Fs = gaya yang bekerja pada bidang kristal yang ke : s C = tetapan elastisitas Us = simpangan bidang kristal yang ke s Us+1 = simpangan bidang kristal yang ke s+1 Us-1 = simpangan bidang kristal yang ke s-1



Persamaan gerak bidang kristal ke s adalah F



= m. a = c. Δx



m. a



= hukum newton



c. Δx = hukum hooke



m = massa atom. Solusi dari persamaan gerak ini tergantung pada waktu (t) yang dinyatakan oleh :Us = e-it Karena pers (2) merupakan turunan hanya terhadap waktu, maka :



Karena itu pers (2) dapat ditulis : -ω2 Us m = c (Us+1 + Us-1 – 2Us).......................................(3) Solusi: Us = e- i ω t dapat ditulis sebagai berikut : Us = e- i ω t ≈ e- i 2 π v t = e- i 2 π v t λ/λ Us = e- i k x = e- i k s a Secara lengkap Us dapat ditulis sebagai berikut: Us =U. e- i k s a.............................................................(4) U = amplitudo Karena itu: =U. e- i k (s+1) a =U. e- i k s a. e+ i k a Us+1 Us+1 = Us ei k a.........................................................(5) Pers (5) → (3) didapat : -ω2 Us m = c (Us ei k a + Us e- i k a – 2 Us) -ω2 m = c (ei k a + e- i k a – 2)..........................................(6) Karena e+ i θ = cos θ + i sin θ maka ei k a + e- i k a = 2 cos ka Sehingga persamaan (6) menjadi: ω 2 m = -c (2 cos ka – 2)



Persamaan (8) merupakan Persamaan Dispersi. Persamaan (8) menyatakan hubungan antara frekuensi sudut (ω) terhadap vektor gelombang (k). ω = f(k) Bila dinyatakan dengan grafik



Daerah Brillovin I



C. Vibrasi Kristal Diatomik



Persamaan gerak : F = m.a = c. Δx Untuk



Persamaan (3) dimasukkan ke persamaan (1) diperoleh Us = U. ei (ksa – ωt)



-m1.Uω2 =c{U+ Ve-ika-2 U}.............................(4) Dengan cara yang sama bila persamaan (3) dimasukkan ke persamaan (2) didapat :



-m2.Vω2 =cU(1+ eika)-2 cV}.............................(5)



Yang terjadi adalah tidak ada celah terlarang yang artinya untuk setiap energi selalu menghasilkan getaran D. Zona Brillouin Pertama Kisaran K hanya berlaku untuk gelombang elastis yang ada di zona Brillouin pertama. Rasio perpindahan dua bidang berurutan diberikan oleh : us +1 u exp[i ( s+1 ) Ka] = = exp(iKa) us u exp (isKa) Kisaran dari –π ke +π untuk fase Ka mencakup semua nilai independen dari eksponensial. Nilai-nilai positif dan negatif K diperlukan karena gelombang dapat merambat ke kanan atau kiri. Kisaran nilai independen K ditentukan oleh : -π < Ka ≤ π



atau



-



π π M 2



Untuk cabang optik pada K=0 kita memperoleh pada subtitusi persamaan (16) dan (12): ............................... (16)



u −M 2 = v M1



Gambar : Gelombang optik transversak dan gelombang akustik transversal dalam kisi linear diatomik, diilustrasikan oleh perpindahan partikel untuk dua model pada panjang gelombang yang sama.



BAB V PENUTUP



KESIMPULAN Vibrasi kristal dibagi menjadi beberapa bagian, diantaranya dalam vibrasi kristal terdapat Gelombang Elastik dan Fonon. Vibrasi fonon adalah vibrasi atom secara kolektif pada suatu struktur kristal. Vibrasi ini memiliki frekuensi karakteristik dan arah rambat getaran ini bergantung pada struktur kristal yang ditinjau. Fonon dapat ditemui dalam sistem kristal. Tidak semua kristal dibentuk sempurna. Ketidaksempurnaanitu disebabkan cacatnya susunan atom dalam kristal. Cacat dapat terjadi karena adanya solidifikasi ataupun akibat dari luar. Kristal biasanya mengandung ketidaksempurnaan, yang kebanyakan terjadi pada kisikisi kristalnya. Cacat kristal diantaranya adalah, cacat titik, cacat garis, cacat bidang dan cacat ruang.



DAFTAR PUSTAKA Sirait, Motlan. 2017. Pendahuluan Fisika Zat Padat. Medan : UNIMED PRESS Rinto Agustino, M. Farchani Rosyid.2013. Bentuk Fungsional Energi Elektron Bloch pada Potensial Periodik Semikonduktor. Jurnal Fisika Indonesia. No: 51, Vol XVII, Diktat Pendahuluan Fisika Zat Padat oleh Dra.Wiendartun, M.Si Kittel, Charles. Introduction to Solid State Physics. 1986: Unitet States of America http://myblogcobacoba.blogspot.co.id/2015/04/makalah-ilmu-logam-cacat-pada-kristal.html https://ciripo.wordpress.com/2011/11/11/cacat-kristal/ http://kimia08yeahriderx.blogspot.co.id/2013/04/cacat-kristal.html