Makalah Matematika Dasar [PDF]

Citation preview

MAKALAH MATEMATIKA DASAR



DISUSUN OLEH: HERIA UTAMI 210204500016



PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR 2021



1



KATA PENGANTAR Dengan menyebut nama Allah SWT. yang maha pengasih lagi maha penyayang. Kami panjatkan puji syukur kehadirat-Nya yang telah melimpahkan rahmat, hidayah, serta inayah-Nya kepada kami sehingga kami bisa menyelesaikan makalah ini. Makalah ini sudah saya susun dengan semaksimal mungkin dan mendapat bantuan dari berbagai sumber baik dari internet maupun dari referensi-referensi lainnya.Terlepas dari segala hal tersebut, saya sadar sepenuhnya bahwa masih ada kekurangan baik dari segi susunan kalimat maupun tata bahasanya. Oleh karenanya saya dengan lapang dada menerima segala saran dan kritik dari pembaca agar saya dapat memperbaiki makalah ini. Akhir kata saya berharap semoga makalah ini dapat memberikan manfaat maupun inspirasi bagi pembaca.



Bone, 14 Oktober 2021



Penulis



2



DAFTAR ISI



KATA PENGANTAR..............................................................................................................................................2 DAFTAR ISI............................................................................................................................................................3 BAB I.......................................................................................................................................................................4 PENDAHULUAN....................................................................................................................................................4 A. Latar Belakang..................................................................................................................................................4 B. Rumusan Masalah............................................................................................................................................4 C. Tujuan..............................................................................................................................................................6 BAB II...................................................................................................................................................................... 8 PEMBAHASAN......................................................................................................................................................8 A. Bilangan Real....................................................................................................................................................8 1. Pengertian Bilangan Real.............................................................................................................................8 2. Macam-Macam Bilangan Real.....................................................................................................................9 3. Sifat-Sifat Bilangan Real............................................................................................................................10 4. Operasi Bilangan Real................................................................................................................................11 5. Konversi Bilangan Biner, Oktal, Desimal, Hexadesimal............................................................................12 6. Penerapan Bilangan Real dalam Kehidupan Sehari-Hari............................................................................19 B. Himpunan.......................................................................................................................................................20 1. Pengertian Himpunan dan Notasinya..........................................................................................................20 2. Jenis-Jenis Himpunan.................................................................................................................................21 3. Cara Menyatakan Himpunan......................................................................................................................24 4. Operasi pada Himpunan.............................................................................................................................26 5. Sifat-Sifat Operasi Himpunan.....................................................................................................................28 6. Hukum De Morgan.....................................................................................................................................29 7. Diagram Venn............................................................................................................................................30 8. Penerapan Himpunan dalam Kehidupan Sehari-Hari..................................................................................31 C. Persamaan dan Pertidaksamaan....................................................................................................................35 1. Pengertian Persamaan dan Pertidaksamaan................................................................................................35 2. Jenis-Jenis Persamaan dan Pertidaksamaan................................................................................................35 3. Cara Penyelesaian Persamaan dan Pertidaksamaan....................................................................................37 4. Penerapan Persamaan dan Pertidaksamaan dalam Kehidupan Sehari-Hari.................................................49 3



D. Fungsi.............................................................................................................................................................55 1. Pengertian Fungsi.......................................................................................................................................55 2. Cara Menyatakan Fungsi............................................................................................................................56 3. Sifat-Sifat Fungsi........................................................................................................................................57 4. Jenis-Jenis Fungsi.......................................................................................................................................58 5. Penerapan Fungsi dalam Kehidupan Sehari-Hari.......................................................................................67 E. Limit................................................................................................................................................................71 1. Pengertian Limit.........................................................................................................................................71 2. Limit Fungsi Aljabar..................................................................................................................................71 c.Merasionalkan Penyebut.................................................................................................................................73 Contoh :..............................................................................................................................................................74 3. Teorema Limit............................................................................................................................................77 4. Limit Fungsi Trigonometri.........................................................................................................................79 5. Penerapan Limit dalam Kehidupan Sehari-Hari.........................................................................................80 BAB III.................................................................................................................................................................. 84 PENUTUP..............................................................................................................................................................84 A. Kesimpulan.....................................................................................................................................................84 B. Saran..............................................................................................................................................................84 DAFTAR PUSTAKA.............................................................................................................................................85



4



BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Matematika merupakan



suatu



ilmu



yang



mempunyai



obyek



kajian abstrak,



universal, mendasari perkembangan teknologi modern, dan mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin, serta dapat mengembangkan daya pikir manusia. Matematika memuat variabel–variabel yang bermanfaat bagi disiplin ilmu lain. Sehingga memacu pengguna matematika lebih berwawasan luas karena tidak dibatasi oleh suatu konsep tertentu. Pola pikir matematika bersifat deduktif yaitu dari obyek yang umum menuju pengambilan kesimpulan, sehingga dapat menjembatani menuju langkah selanjutnya. Materi matematika dasar yang akan penulis jelaskan pada makalah ini yaitu tentang bilangan real, himpunan, persamaan dan pertidaksamaan, fungsi, dan limit. B. Rumusan Masalah A. Bilangan Real: 1. Apa itu bilangan real? 2. Apa saja macam-macam bilangan real? 3. Bagaimana sifat-sifat bilangan real? 4. Bagaimana operasi bilangan real? 5. Bagaimana konversi bilangan biner, oktal, desimal, hexadesimal? 6. Bagaimana penerapan bilangan real dalam kehidupan sehari-hari? B. Himpunan: 1. Apa itu himpunan? 2. Apa saja jenis-jenis himpunan? 3. Bagaimana cara menyatakan himpunan? 4. Apa saja operasi-operasi pada himpunan? 5. Apa saja sifat-sifat operasi himpunan? 5



6.Apa itu hukum de morgan? 7. Apa itu diagram venn? 8. Bagaimana penerapan himpunan dalam kehidupan sehari-hari? C. Persamaan dan Pertidaksamaan: 1. Apa itu persamaan dan pertidaksamaan? 2. Apa saja jenis-jenis persamaan dan pertidaksamaan? 3. Bagaimana cara menyelesaikan setiap jenis persamaan dan pertidaksamaan? 4. Bagaimana penerapan dari persamaan dan pertidaksamaan dalam kehidupan sehari-hari? D. Fungsi: 1. Apa itu fungsi? 2. Bagaimana cara menyatakan fungsi? 3. Apa saja sifat-sifat fungsi? 4. Apa saja jenis-jenis fungsi? 5. Bagaimana penerapan fungsi dalam kehidupan sehari-hari? E. Limit: 1. Apa itu limit? 2. Apakah yang dimaksud dengan limit fungsi aljabar bila variabelnya mendekati nilai tertentu dan bila variabelnya mendekati tak terhingga ? 3. Bagaimana teorema limit? 4. Apa itu limit fungsi trigonometri? 5. Bagaimana penerapan limit dalam kehidupan sehari-hari?



6



C. Tujuan A. Bilangan Real: 1. Untuk mengetahui apa itu bilangan real. 2. Untuk mengetahui macam-macam bilangan real. 3. Untuk mengetahui sifat-sifat bilangan real. 4. Untuk mengetahui bagaimana operasi pada bilangan real. 5. Untuk mengetahui konversi bilangan biner, oktal, desimal, hexadesimal. 6. Untuk mengetahui bagaimana penerapan bilangan real dalam kehidupan sehari-hari. B. Himpunan: 1. Untuk mengetahui apa itu himpunan. 2. Untuk mengetahui jenis-jenis himpunan. 3. Untuk mengetahui bagaimana cara menyatakan himpunan. 4. Untuk mengetahui operasi pada himpunan. 5. Untuk mengetahui sifat-sifat pada himpunan. 6. Untuk mengetahui hukum de morgan. 7. Untuk mengetahui diagram venn. 8. Untuk mengetahui penerapan himpunan dalam kehidupan sehari-hari. C. Persamaan dan Pertidaksamaan: 1. Untuk mengetahui apa itu persamaan dan pertidaksamaan. 2. Untuk mengetahui jenis-jenis persamaan dan pertidaksamaan. 3. Untuk mengetahui cara penyelesaian setiap jenis persamaan dan pertidaksamaan. 4. Untuk mengetahui penerapan persamaan dan pertidaksamaan dalam kehidupan sehari-hari.



7



D. Fungsi: 1. Untuk mengetahui apa itu fungsi. 2. Untuk mengetahui cara menyatakan fungsi. 3. Untuk mengetahui sifat-sifat fungsi. 4. Untuk mengetahui jenis-jenis fungsi. 5. Untuk mengetahui penerapan fungsi dalam kehidupan sehari-hari. E. Limit: 1. Untuk mengetahui apa itu limit. 2. Untuk mengetahui dan memahami limit fungsi aljabar bila variabelnya mendekati nilai tertentu dan bila variabelnya mendekati tak terhingga. 3. Untuk mengetahui dan memahami teorema limit. 4. Untuk mengetahui apa itu limit fungsi trigonometri 5. Untuk mengetahui penerapan limit dalam kehidupan sehari-hari.



8



BAB II PEMBAHASAN A. Bilangan Real 1. Pengertian Bilangan Real Bilangan riil atau bilangan real adalah sistem bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk desimal. Angka desimal adalah angka berbasis 10 yang dibentuk dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ahli matematika mendefinisikan notasi bilangan real sebagai simbol ℝ. Berikut Contoh Bilangan Real :  -2,123 dibaca minus dua koma satu dua tiga  -23,13 dibaca minus dua puluh tiga koma satu tiga  -1 dibaca minus satu 0 1  23  12,6  ½ = 0,5  √2 = 1,4142 ...  e = 2,718281 ... disebut konstanta euler  π = 3,141592 ... disebut konstanta phi  76% = 0,76  sin 60º = 0,866 .. Terlihat semua angka tersebut dibentuk dari angka berbasis 10 (desimal).



9



Bilangan real berasal dari bahasa inggris "real" yang berarti nyata, karena bilangan real dapat ditemukan pada garis bilangan. Setiap bilangan real dapat diidentifikasi sebagai suatu titik pada garis bilangan.



Misalnya angka-angka pada penggaris merupakan bilangan real, karena angka tersebut dapat diidentifikasi sebagai titik-titik pada penggaris yang merupakan sebuah garis bilangan. 2. Macam-Macam Bilangan Real Dalam sistem bilangan pada ilmu matematika, bilangan real terdiri dari 2 sistem bilangan yaitu: 1.Bilangan Rasional Seperti penjelasan di atas, bilangan rasional adalah sistem bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b dengan a dan b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0. Misalnya: - Bilangan Bulat ; 2,-4,7 - Pecahan ; 3/4, -7/3 - Bilangan desimal terbatas ; 0,45; 0,213467 - Bilangan desimal berulang ; 0,454545… ; 0,123123 - 1,25; 0; 23; 1,25; dan lain-lain. 2. Bilangan Irasional Bilangan irasional adalah sistem bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b namun dapat ditulis dalam bentuk desimal. Misalnya: - π (phi) = 3,14159 26535 89793 … - √2 - 0,3124612069315 10



- e (euler) = 2,7182818…. 3. Sifat-Sifat Bilangan Real Jika a, b, dan c merupakan elemen dari himpunan bilangan real, maka berlaku sifat-sifat berikut :



Keterangan : 1.Komutatif: pertukaran letak angka pada penjumlahan dan perkalian bilangan real mempunyai hasil sama. 2.Asosiatif: penjumlahan atau perkalian tiga buah bilangan real yang dikelompokkan secara berbeda mempunyai hasil yang sama. 3.Sifat Distributif: penyebaran 2 operasi hitung yang berbeda, salah satu operasi hitung berfungsi sebagai operasi penyebaran dan operasi lainnya digunakan untuk menyebarkan bilangan yang dikelompokan dalam tanda kurung. 4.Unsur identitas: operasi perkalian dan penjumlahan setiap bilangan real dengan identitasnya dapat menghasilkan bilangan real itu sendiri. a.Identitas penjumlahan termasuk bilangan real yaitu 0 b.Identitas perkalian termasuk bilangan real yaitu 1



11



5.Mempunyai Invers: setiap bilangan real mempunyai nilai invers real terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, suatu bilangan real yang dioperasikan dengan invers menghasilkan unsur identitasnya. 4. Operasi Bilangan Real 1. Penjumlahan Jika a, b, maka jumlah dari a dan b dinyatakan sebagai “a + b”. a dan b masing masing disebut istilah. Sifat operasi penjumlahan : a. Pesanan tertutup, jika a, b hanya ada satu bilangan bulat yaitu c, maka a + b = c. b. Pertukaran (Exchange), jika a, b, maka a + b = b + a. c. Association (pengelompokkan), jika a, b, c, maka a + (b + c) = (a + b) + c. d. Penambahan distribusi (spread), jika a, b, c, maka a × (b + c) = ab + ac. e. Memiliki rasa identitas, 0 adalah elemen yang diidentifikasi dengan penjumlahan, yang berarti a + 0 = 0 + a = a f. Kebalikan dari penjumlahan, untuk setiap a, ada (-a), dan menambahkannya Bersamasama akan menghasilkan elemen identitas, yaitu nol (0). Yaitu a + (-a) = (-a) + a = 0. 2. Pengurangan Jika a, b, pengurangan a dan b dinyatakan sebagai “a-b”. Aturan pengurangan : a. Pesanan tertutup, Jika a, b hanya ada satu bilangan bulat yaitu c, maka a-b = c. b. Untuk bilangan bulat a dan b, terapkan: a-b = a + (-b) Dengan kata lain, mengurangi b dari a sama dengan menjumlakan invers dari b ke a. c. Pertukaran (pertukaran) tidak cocok untuk operasi pengurangan, jika a, b, maka a-b ≠ b-a. d. Atribut terkait (pengelompokan) tidak cocok untuk operasi pengurangan. Jika a, b, c, maka a-(b-c) ≠ (a-b) -c. e. Penurunan distribusi (difusi), jika a, b, c, maka a × (b-c) = ab-ac. f. Atribut pengurangan adalah nol (0) a-0 = a



0-0 = 0



0-a = -a



3. Perkalian Jika a, b, perkalian a dan b dinyatakan sebagai “a × b”. a dan b masing-masing disebut factor. Sifat perkalian adalah sebagai berikut : a. Pesanan tertutup, jika a, b hanya ada satu bilangan bulat yaitu c, maka a × b = c. b. Pertukaran (Exchange), jika a, b, maka a × b = b × a. 12



c. Association (pengelompokkan), jika a, b, c maka a × (b × c) = (a × b) × c. d. Distribusi perkalian dan penjumlahan (dispersi), jika a, b, c maka a × (b + c) = ab + ac. e. Memiliki rasa identitas, Ada angka 1 yang merupakan elemen identitas perkalian, yang artinya a × 1 = 1 × a = a. 4. Pembagian Jika a, b, bagian a dan b dinyatakan sebagai “a:b” dengan b ≠ 0. Aturan pembagiannya adalah : a. a × (b : c) = (a × b) : c, misalnya: 2 × (4 : 2) = (2 × 4): 2 = 4 b. (a × b): (c × d) = (a : c) × (b : d), Contoh: (4 × 8): (2 × 4) = (4 : 2) × (8 : 4) = 2 × 2 = 4. c. a : (b : c) = a × (b : c), Contoh: 8: (10: 5) = 8 × (10: 5) = 8 ×2 = 16. 5. Konversi Bilangan Biner, Oktal, Desimal, Hexadesimal Konversi bilangan adalah proses mengubah bentuk bilangan satu ke bentuk bilangan lain yang memiliki nilai yang sama. Misal: nilai bilangan desimal 12 memiliki nilai yang sama dengan bilangan octal 15; Nilai bilangan biner 10100 memiliki nilai yang sama dengan 24 dalam octal dan seterusnya. Bilangan Biner Sistem Bilangan Biner atau system bilangan basis dua adalah sebuah system penulisan angka dengan menggunakan dua symbol yaitu 0 dan 1. Sistem Bilangan Biner modern ditemukan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz pada abad ke-17. Sistem bilangan ini merupakan dasar dari semua system bilangan berbasis digital. Bilangan Oktal Oktal atau system bilangan basis delapan adalah sebuah system bilangan berbasis delapan. Simbol yang digunakan pada system ini adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Konversi system Bilangan Oktal berasal dari Sistem bilangan biner yang dikelompokkan tiap tiga bit biner dari ujung paling kanan (LSB atau Least Significant Bit). Bilangan Desimal Sistem bilangan desimal/persepuluhan adalah system bilangan yang menggunakan 10 macam angka dari 0, 1, sampai 9. Setelah angka 9, angka berikutnya adalah 11, 12, dan seterusnya. Sistem bilangan decimal ditemukan oleh Al-Kashi, Ilmuwan Persia. Bilangan Hexadesimal Sistem bilangan yang menggunakan radix atau basis 16 disebut HexaDesimal. Kata hexa berasal dari akar kata Yunani hex (enam) dan latin decem (sepuluh). Bilangan Hexadesimal Terdiri dari 16 angka H = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E, dan F}. Konvensi penulisan yang umum adalah 1A16, 1Ahex, 1AH. a. Konversi bilangan biner, octal atau hexadesimal menjadi bilangan desimal. 13



Konversi dari bilangan biner, octal atau hexa menjadi bilangan desimal memiliki konsep yang sama.Konsepnya adalah bilangan tersebut dikalikan basis bilangannya yang dipangkatkan 0,1,2 dst dimulai dari kanan. Untuk lebih jelasnya silakan lihat contoh konversi bilangan di bawah ini: Konversi bilangan octal ke desimal Cara mengkonversi bilangan octal ke desimal adalah dengan mengalikan satu-satu bilangan dengan 8 (basis octal) pangkat 0 atau 1 atau 2 dst dimulai dari bilangan paling kanan. Kemudian hasilnya dijumlahkan. Misal, 137(octal) = (7x80) + (3x81) + (1x82) = 7+24+64 = 95(desimal). Lihat gambar: Soal: 137(8)=...(10)



Konversi bilangan biner ke desimal Cara mengkonversi bilangan biner ke desimal adalah dengan mengalikan satu-satu bilangan dengan 2 (basis biner) pangkat 0 atau 1 atau 2 dst dimulai dari bilangan paling kanan. Kemudian hasilnya dijumlahkan. Misal, 11001(biner) = (1x20) + (0x21) + (0x22) + (1x2) + (1x22) = 1+0+0+8+16 =25(desimal). Soal: 11001(2)=...(10)



Konversi bilangan hexadesimal ke desimal. Cara mengkonversi bilangan biner ke desimal adalah dengan mengalikan satu-satu bilangan dengan 16 (basis hexa) pangkat 0 atau 1 atau 2 dst dimulai dari bilangan paling kanan. Kemudian hasilnya dijumlahkan. Misal, 79AF(hexa) = (Fx20) + (9x21) + (Ax22) = 15+144+2560+28672 = 31391(desimal). Soal: 7A9F(16)=...(10)



14



b. Konversi bilangan desimal menjadi bilangan biner, octal atau hexadesimal Konversi dari bilangan desimal menjadi biner, octal atau hexadesimal juga memiliki konse yang sama. Konsepnya bilangan desimal harus dibagi dengan basis bilangan tujuan, hasilnya dibulatkan kebawah dan sisa hasil baginya (remainder) disimpan. Ini dilakukan terus menerus hingga hasil bagi < basis bilangan tujuan. Sisa bagi ini kemudian diurutkan dari yang paling akhir hingga yang paling awal dan inilah yang merupakan hasil konversi bilangan tersebut. Untuk lebih jelasnya lihat pada contoh berikut: Konversi bilagan desimal ke biner Cara konversi bilangan desimal ke biner adalah dengan membagi bilangan desimal dengan 2 dan menyimpan sisa bagi per seitap pembagian terus hingga hasil baginya < 2. Hasil konversi adalah urutan sisa bagi dari yang paling akhir hingga paling awal. Contoh:125(desimal) = …. (biner) 125/2 = 62 sisa bagi 1 62/2= 31 sisa bagi 0 31/2=15 sisa bagi 1 15/2=7 sisa bagi 1 7/2=3 sisa bagi 1 3/2=1 sisa bagi 1 hasil konversi: 1111101



15



Lihat gambar:



Konfersi bilangan desimal ke octal Cara konversi bilangan desimal ke octal adalah dengan membagi bilangan desimal dengan 8 dan menyimpan sisa bagi per seitap pembagian terus hingga hasil baginya < 8. Hasil konversi adalah urutan sisa bagi dari yang paling akhir hingga paling awal. Contoh lihat gambar:



16



Konversi bilangan desimal ke hexadesimal Cara konversi bilangan desimal ke octal adalah dengan membagi bilangan desimal dengan 16 dan menyimpan sisa bagi per seitap pembagian terus hingga hasil baginya < 16. Hasil konversi adalah urutan sisa bagi dari yang paling akhir hingga paling awal. Apabila sisa bagi diatas 9 maka angkanya diubah, untuk nilai 10 angkanya A, nilai 11 angkanya B, nilai 12 angkanya C, nilai 13 angkanya D, nilai 14 angkanya E, nilai 15 angkanya F. Contoh lihat gambar:



c. Konversi bilangan octal ke biner dan sebaliknya Konversi bilangan octal ke biner Konversi bilangan octal ke biner caranya dengan memecah bilangan octal tersebut persatuan bilangan kemudian masing-masing diubah kebentuk biner tiga angka. Maksudnya misalkan kita mengkonversi nilai 2 binernya bukan 10 melainkan 010. Setelah itu hasil seluruhnya diurutkan kembali. Contoh:



17



Konversi bilangan biner ke octal Konversi bilangan biner ke octal sebaliknya yakni dengan mengelompokkan angka biner menjadi tiga-tiga dimulai dari sebelah kanan kemudian masingmasing kelompok dikonversikan kedalam angka desimal dan hasilnya diurutkan. Contoh lihat gambar:



d. Konversi bilangan hexadesimal ke biner dan sebaliknya Konversi bilangan hexadesimal ke biner Sama dengan cara konversi bilanga octal ke biner, bedanya kalau bilangan octal binernya harus 3 buah, bilangan desimal binernya 4 buah. Misal kita konversi 2 hexa menjadi biner hasilnya bukan 10 melainkan 0010. Contoh lihat gambar:



18



Konversi bilangan biner ke hexadesimal Teknik yang sama pada konversi biner ke octal. Hanya saja pengelompokan binernya bukan tiga-tiga sebagaimana pada bilangan octal melainkan harus empat-empat. Contoh lihat gambar:



d. Konversi bilangan hexadesimal ke octal dan sebaliknya Konversi bilangan octal ke hexadesimal Teknik mengonversi bilangan octal ke hexa desimal adalah dengan mengubah bilangan octal menjadi biner kemudian mengubah binernya menjadi hexa. Ringkasnya octal->biner->hexa. Lihat contoh:



Konversi bilangan hexadesimal ke octal Begitu juga dengan konversi hexa desimal ke octal yakni dengan mengubah bilangan hexa ke biner kemudian diubah menjadi bilangan octal. Ringkasnya hexa->biner->octal. Lihat contoh:



19



6. Penerapan Bilangan Real dalam Kehidupan Sehari-Hari Bilangan Real banyak diterapkan dalam beberapa bidang. Beberapa contoh penerapan bilangan real yaitu bilangan real digunakan untuk melakukan perhitungan dan operasi bilangan untuk menyelesaikan permasalahan seharihari. Dalam bidang matematika, fisika, dan kimia, bilangan real digunakan dalam melakukan perhitungan menggunakan formula atau rumus yang telah ada sehingga diperoleh solusinya. Berikut ini beberapa contoh aplikasi bilangan real dalam kehidupan sehari-hari misalnya : 1.Plat Motor, semuanya bilangan bulat dan tidak ada plat motor yang berangka pecahan. 2. Nomor telepon, nomor handphone 3. Nomor rekening bank 4. Nomor Induk Siswa 5. Nomor Urut 6. Nominal mata uang, akuntansi/pembukuan 7. Menuliskan hasil pengukuran 8. Menghitung banyak benda dan sebagainya. Semua contoh-contoh di atas merupakan bilangan real. Bilangan real merupakan bilangan nyata. Dikatakan sebagai bilangan yang nyata (real) karena suatu bilangan tersebut dapat digunakan dalam operasi bilangan seperti yang dilakukan biasanya.



20



B. Himpunan 1. Pengertian Himpunan dan Notasinya Himpunan adalah sekumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas. Himpunan memiliki keterangan atau informasi yang detail. Tak semua kumpulan bisa menjadi himpunan. Kumpulan yang tidak jelas definisi dan ukurannya, tidak bisa disebut sebagai himpunan.Misalnya kelompok anak pintar. Kelompok itu tidak bisa disebut himpunan sebab tidak jelas seperti apa pintar yang dimaksud. Apakah pintar dalam pelajaran, pintar menyanyi, atau pintar berbicara? Beda halnya dengan kelompok anak bernilai di atas 80. Kelompok itu jelas sebab bisa diukur mana anak yang nilainya 80 ke atas. Contoh lain, kumpulan hewan yang berbahayaKumpulan itu tidak termasuk himpunan sebab tidak jelas ukuran "bahaya". Bahaya menurut tiap orang bisa berbeda. Ada yang menganggap tikus berbahaya, dan ada yang mengganggap tikus bukan hewan berbahaya. Beda dengan kumpulan hewan yang bertaring. Kumpulan itu bisa didefinisikan dengan menyortir hewan yang bertaring dan tidak. Contoh kumpulan yang merupakan himpunan yakni: - Kumpulan hewan berkaki empat - Kumpulan tanaman berbunga - Kumpulan perempuan dengan tinggi di atas 160 sentimeter - Kumpulan rumah dengan luas lebih dari 100 meter persegi Untuk mendefinisikan himpunan digunakan 4 cara, yaitu: 1. Mendaftarkan semua anggotanya. Contoh: - A = {a,e,i,o,u} - B = {2,3,5,7,11,13,17,19} 2. Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanya Contoh: Perhatikan himpunan pada contoh 1 di atas dan bandingkan dengan pendefinisian di bawah ini - A = Himpunan vokal dalam abjad latin. - B = Himpunan bilangan prima yang kurang dari 20. 3. Menyatakan sifat dengan pola Contoh: - P = {0,2,4,8,10,…,48} - Q = {1,3,5,7,9,11,13,15,…} 21



Awas dalam kasus: R = { 2,3,5,7,…,19}. Penulisan himpunan seperti ini bukan merupakan well-defined karena memunculkan ambigu, yaitu R dapat diartikan sebagai himpunan bilangan ganjil yang lebih besar dari 1 dan kurang dari 20.Sementara itu R dapat diartikan pula sebagai himpunan bilangan prima yang kurang dari 20. Oleh karena itu pendefinisian himpunan dengan menyatakan pola seperti ini harus sangat hati-hati agar tidak menimbulkan tafsiran lain. 4. Menggunakan notasi pembentuk himpunan Contoh: - P = {x | x himpunan bilangan asli antara 7 dan 15} (Maksudnya P = {8,9,10,11,12,13,14}) - Q = { t | t biangan asli} (Maksudnya Q = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…} - R = { s | s2-1=0, s bilangan real} (Maksudnya R = {-1,1}) 2. Jenis-Jenis Himpunan 1. Himpunan Kosong Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Dilambangkan dengan “  ” atau { } Contoh: - {x | x2 < 0, x bilangan real} 2. Himpunan Bagian Diberikan himpunan A dan B. Jika setiap anggota A merupakan anggota B maka dikatakan A merupakan himpunan bagian (subset) dari B atau dikatakan B memuat A dan dilambangkan dengan A  B. Jadi A  B jika dan hanya jika x  A, x  B Jika ada anggota dari A yang bukan merupakan anggota B maka A bukan bukan himpunan bagian dari B, dilambangkan dengan A  B. Contoh: - A = {1,3,5} dan B = {0,1,2,3,4,5,6}. Maka A  B. - C = {1,9} dan B = {0,1,2,3,4,5,6}. Maka C  B, karena ada anggota dari C yang bukan merupakan anggota B, yaitu 9. (Pengertian “ada” berarti terdapat satu anggota C yang bukan merupakan anggota B, sudah cukup) - Suatu himpunan pasti merupakan subset dirinya sendiri. Jadi H  H. Bukti: Ambil sebarang h  H, maka jelas h  H. Jadi H  H. - Himpunan kosong ( ) merupakan himpunan bagian dari semua himpunan. Bukti: 22



Kalimat “x  A  x  B” pada pengertian himpunan bagian (lihat definisi di atas), selalu bernilai benar jika diambil A =  dan untuk sebarang himpunan B. Hal ini disebabkan syarat cukupnya selalu tidak terpenuhi. Sama saja dengan kita mengatakan “jika bulan bisa ngomong, maka dia tak akan bohong”. Kalimat ini selalu bernilai benar karena syarat cukupnya yaitu “bulan bisa ngomong” selalu tidak terpenuhi. Jika anggota himpunan A ada sebanyak n, maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah HB = 2n contoh: jika A = {a,b,c} maka himpunan bagian dari A adalah : {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} dan f seluruhnya ada 2³ = 8 3. Himpunan Semesta Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua obyek atau anggota yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta adalah kesamaan dari semua anggota himpunan. Lambang himpunan semesta adalah S. Contoh: N = {Korea Selatan, Jepang, Taiwan} Himpunan semesta dari himpunan X di antaranya: S = {negara di Asia Timur} S = {negara maju di Asia} Ketiga anggota himpunan termasuk dalam negara di Asia Timur dan negara maju di Asia. V = {paus, harimau, kucing, singa, monyet, sapi} Himpunan semesta yang mungkin adalah: S = {mamalia} S = {hewan yang bernapas menggunakan paru-paru} Himpunan V tidak mungkin menghasilkan himpunan semesta hewan darat. Sebab adaaanggotanya yang bukan hewan darat yakni paus. Tidak bisa juga himpunan semestanya hewan yang berkaki empat. Sebab ada anggotanya yang tidak berkaki empat yakni paus dan monyet.Himpunan semesta dapat disajikan dengan diagram venn. 4. Himpunan Berhingga Himpunan A berhingga apabila A memiliki anggota himpunan tertentu atau n(A) = a, a  bilangan cacah. Dengan perkataan lain, himpunan berhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya dapat dinyatakan dengan suatu bilangan cacah. Contoh : a. A =   karena n(A) = 0, 0  bilangan cacah. b. B = 1,2,3,...75 karena n(B) = 75, 75  bilangan cacah.



23



5. Himpunan Tak Terhingga Himpunan A disebut himpunan tak berhingga apabila tidak memenuhi syarat himpunan berhingga. Himpunan A apabila anggota-anggotanya sedang dihitung, maka proses perhitunganya tidak akan berakhir. Dengan perkataan lain himpunan A, n banyak anggotanya tidak dapat ditentukan/ditulis dengan bilangan cacah. Contoh : Q= 1,2,3,4,... Apabila kita menghitung anggota himpunan Q, maka proses perhitungan anggota Q tidak akan berakhir. Jadi Q adalah himpunan tak berhingga dan n(Q) = ~. 6. Himpunan Sama (Equal) Bila setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B, begitu pula sebaliknya. Syarat : Dua buah himpunan anggotanya harus sama. Contoh : A ={ c,d,e} B={ c,d,e } Maka A = B Penjelasan : Himpunan equal atau himpunan sama,memiliki dua buah himpunan yang anggotanya sama misalkan anggota himpunan A {c,d,e} maka himpunan B pun akan memiliki anggota yaitu { c,d,e }. 7. Himpunan Lepas Himpunan lepas adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya tidak ada yang sama. Contoh: C = {1, 3, 5, 7} dan D = {2, 4, 6} Maka himpunan C dan himpunan D saling lepas. Catatan : Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satu pun anggota yang sama. 8. Himpunan Komplemen Himpunan komplemen dapat di nyatakan dengan notasi AC . Himpunan komplemen jika di misalkan U = {1,2,3,4,5,6,7} dan A = {3,4,5} maka A ⊂ U. Himpunan {1,2,6,7} juga merupakan komplemen, jadi AC = {1,2,6,7} Dengan notasi pembentuk himpunan ditulis : A C = {x│x  U, x  A} 24



9. Himpunan Ekuivalen Himpunan ekuivalen adalah himpunan yang anggotanya sama banyak dengan himpunan lain. Syarat : Bilangan cardinal dinyatakan dengan notasi n (A) A≈B, dikatakan sederajat atau ekivalen, jika himpunan A ekivalen dengan himpunan B. Contoh : A = { w,x,y,z }→n (A) = 4 B = { r,s,t,u } →n (B) = 4 Maka n (A) =n (B) →A≈B Penjelasan : Himpunan ekivalen mempunyai bilangan cardinal dari himpunan tersebut, bila himpunan A beranggotakan 4 karakter maka himpunan B pun beranggotakan 4. 3. Cara Menyatakan Himpunan Himpunan dilambangkan dengan huruf capital seperti A,B,C dan sebagainya dan anggota himpunan dituliskan dalam tanda kurung kurawal. Ada dua cara dalam menyatakan himpunan, , yaitu dengan cara deskrpsi dan cara tabulasi. a. Cara deskripsi Cara ini menyatakan suatu himpunan dengan deskripsi dan dibedakan menjadi dua cara, yaitu dengan kata-kata atau dengan notasi pembentuk himpunan. 1) Dengan kata-kata Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan sifat yang dimiliki anggotanya. Contohnya : Nyatakanlah himpunan-himpunan berikut dengan menggunakan kata-kata! a) Himpunan bilangan bulat kurang dari 5 b) Himpunan huruf vocal Penyelesaian: a) A adalah himpunan bilangan bulat kurang dari 5 b) B adalah himpunan huruf vocal



25



2) Dengan Notasi Bentuk umum dari notasi pembentuk himpunan adalah {x|P(x)} dimana x mewakili anggota himpunan, dan P (x) adalah syarat yang harus dipenuhi oleh x agar menjadi anggota himpunan tersebut. Variabel x dapat diganti dengan variabel lain seperti y,z, dan sebagainya. Contoh : Nyatakanlah himpunan-himpunan berikut dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan! a) A adalah himpunan bilangan bulat kurang dari 5 b) B adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 5 Penyelesaian : a) A = {x|x < 5, x € bilangan bulat} b) B = {x|1 < x < 5, x € bilangan asli} b. Cara Tabulasi Cara menyatakan himpunan dengan tabulasi adalah dengan menyebutkan setiap anggota yang termasuk dalam suatu himpunan yang sedang dibahas. Perhatikan contoh berikut untuk lebih memahami cara menyatakan himpunan dengan tabulasi: A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 5 B = {x|1 < x < 5, x € bilangan asli} Penyelesaian : 1. A = {0,1,2,3,4} 2. B = {2,3,4}



26



4. Operasi pada Himpunan 1. Irisan (Intersection) Diberikan himpunan A dan B. Irisan himpunan A dan B ditulis dengan A  B adalah suatu himpunan yang anggotanya berada di A dan juga berada di B. Jadi A  B = { x | x  A dan x  B } Diagram venn dari daerah yang diarsir menyatakan A  B



Contoh: 1. A = {a,b,c, } dan B = {c,d,e,f}. Maka A  B = {c} 2. P = {a,b,c} dan Q = {d,e,f}. Maka A  B =  3. Siswa yang senang makan : - Rujak = 12 + 9 = 21 Orang - Bakso = 12 + 14 = 26 Orang - Rujak dan bakso = 12 orang - Siswa yang tidak senang makan rujak maupun bakso = 5 orang Berapa jumlah siswa seluruhnya? Jawab:



2. Gabungan (Union) 27



Diberikan himpunan A dan B. Gabungan himpunan A dan B ditulis dengan A  B adalah suatu himpunan yang anggotanya berada di A atau berada di B. Jadi A  B = { x | x  A atau x  B} Diagram venn dari daerah yang diarsir menyatakan A  B.



Contoh: 4. A = {a,b,c} dan B = {c,d,e,f}. Maka A  B = {a,b,c,d,e,f} 5. Siswa yang senang makan rujak 21 orang, siswa yang senang makan bakso 26 orang dan siswa yang senang makan bakso dan rujak 12 orang. Berapa siswa yang senang makan rujak maupun bakso? Jawab : n (A  B) = n (A) + n (B) – n (A  B) = 21 + 26 – 12 = 35 Jadi, yang senang makan rujak maupun bakso adalah 35 orang. 3. Selisih Selisih antara dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota A yang bukan anggota B. A - B = { x | x  A dan x  B } Diagram Venn dari daerah yang diarsir menyatakan A – B.



Contoh: 28



A = {1,2,3,4,5} B = {2,4,6,7,10} Maka A - B = {1,3,5} 4. Komplemen Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota himpunan S yang bukan anggota A. Ac = { x | x  S dan x  A } Diagram Venn daerah yang diarsir menyatakan Ac



Contoh: S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} A = {1,2,3,4,5} Maka AC = {6,7,8,9,10} 5. Sifat-Sifat Operasi Himpunan 1. Sifat komutatif : A  B = B  A ( irisan ) A  B = B  A ( gabungan ) 2. Sifat asosiatif : ( A  B )  C = A  ( B  C ) (AB)C=A(BC) 3. Sifat distributif : A  ( B  C ) = ( A  B )  ( A  C ) A(BC)=(AB)(AC)



29



6. Hukum De Morgan Hukum De Morgan adalah dua pernyataan yang menggambarkan interaksi antara berbagai operasi teori himpunan. Hukumnya adalah untuk dua himpunan A dan B : ( A ∩ B ) c = A cU B c . (AUB)c=Ac∩Bc. Setelah menjelaskan apa arti setiap pernyataan ini, kita akan melihat contoh dari masing-masing pernyataan ini yang digunakan.  Operasi Teori Himpunan Untuk memahami apa yang Hukum De Morgan katakan, kita harus mengingat beberapa definisi operasi teori himpunan. Secara khusus, kita harus tahu tentang penyatuan dan persimpangan dua himpunan dan komplemen dari himpunan. Hukum De Morgan berhubungan dengan interaksi penyatuan, persimpangan, dan komplemen. Ingatlah bahwa:  Persimpangan set A dan B terdiri dari semua elemen yang umum untuk kedua A dan B. Persimpangan dilambangkan dengan A ∩ B .  Gabungan himpunan A dan B terdiri dari semua elemen baik di A atau B , termasuk elemen di kedua himpunan. Persimpangan dilambangkan dengan A U B  Komplemen dari himpunan A terdiri dari semua elemen yang tidak unsur A . Komplemen ini dilambangkan dengan A C . Sekarang setelah kita mengingat operasi dasar ini, kita akan melihat pernyataan Hukum De Morgan. Untuk setiap pasang himpunan A dan B kami memiliki: 1. ( A ∩ B ) c = Ac U Bc 2. ( A U B )c = Ac ∩ B c Kedua pernyataan ini dapat diilustrasikan dengan penggunaan diagram Venn. Seperti yang terlihat di bawah ini, kami dapat mendemonstrasikan dengan menggunakan contoh. Untuk menunjukkan bahwa pernyataan ini benar, kita harus membuktikannya dengan menggunakan definisi operasi teori himpunan.  Contoh Hukum De Morgan Sebagai contoh, pertimbangkan himpunan bilangan real dari 0 sampai 5. Kami menulis ini dalam notasi interval [0, 5]. Dalam himpunan ini kita memiliki A = [1, 3] dan B = [2, 4]. Selanjutnya, setelah menerapkan operasi dasar, kami memiliki: - Komplemen A C = [0, 1) U (3, 5] - Komplemen B C = [0, 2) U (4, 5] 30



- Serikat A U B = [1, 4] - Persimpangan A ∩ B = [2, 3] Kita mulai dengan menghitung serikat Ac U Bc . Kita melihat bahwa gabungan [0, 1) U (3, 5] dengan [0, 2) U (4, 5] adalah [0, 2) U (3, 5]. Perpotongan A ∩ B adalah [2 , 3]. Kita melihat bahwa komplemen dari himpunan ini [2, 3] juga [0, 2) U (3, 5]. Dengan cara ini kita telah menunjukkan bahwa Ac U Bc = ( A ∩ B )c . Sekarang kita melihat perpotongan [0, 1) U (3, 5] dengan [0, 2) U (4, 5] adalah [0, 1) U (4, 5]. Kita juga melihat bahwa komplemen dari [ 1, 4] juga [0, 1) U (4, 5]. Dengan cara ini kami telah menunjukkan bahwa Ac ∩ Bc = ( A U B )c  Penamaan Hukum De Morgan Sepanjang sejarah logika, orang-orang seperti Aristoteles dan William dari Ockham telah membuat pernyataan yang setara dengan Hukum De Morgan. Hukum De Morgan dinamai berdasarkan nama Augustus De Morgan, yang hidup dari tahun 1806–1871. Meskipun dia tidak menemukan hukum ini, dia adalah orang pertama yang memperkenalkan pernyataan ini secara formal menggunakan formulasi matematika dalam logika proposisional. 7. Diagram Venn Diagram Venn adalah suatu gambar untuk menyatakan dengan gambar sebuah himpunan atau beberapa himpunan yang saling berhubungan. Langkah - langkah membuat diagram Venn : - Himpunan semesta ( S ) digambarkan dengan sebuah persegi panjang dan notasi S ditulis pada pojok kiri atas. - Setiap himpunan yang termuat di dalam himpunan semesta digambarkan dengan kurva tertutup ( seperti lingkaran ) dan nama himpunannya di tulis di dekat kurva tersebut. - Anggota - anggotanya di tunjukan dengan noktah, dan nama anggotanya di tulis di dekat noktah tersebut. Contoh : S = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 } L = { 1,3,5,7,9 } P = { 2,3,5,7 }



31



8. Penerapan Himpunan dalam Kehidupan Sehari-Hari Dalam kehidupan sehari-hari, kita dapat menemukan pengertian irisan maupun gabungan dua himpunan atau lebih. Soal-soal yang berkaitan dengan irisan atau gabungan dua himpunan ini dapat kita selesaikan dengan pertolongan diagram venn .Misalnya seorang guru menanyakan kepada siswanya siapa yang mengikuti ekstrakurikuler sepak bola. Ada 30 orang yang mengangkat tangan. Untuk ekstrakurikuler basket ternyata ada 20 orang. Guru tersebut terkejut karena di dalam kelas hanya ada 40 orang, sedangkan menurut hitungannya ada 50 orang yang ada di dalam kelas, di manakah letak kesalahannya? Ternyata di dalam kelas itu ada murid yang mengangkat tangan dua kali karena mereka mengikuti dua ekstrakurikuler, yaitu basket dan sepak bola. Selain konsep irisan, konsep gabungan juga banyak penerapannya dalam kehidupan sehari-hari. Contoh : Di dalam suatu kelas ada 40 siswa. 25 siswa suka matematika, 20 siswa suka fisika, dan ada 15 siswa suka keduanya Tentukanlah banyak siswa yang tidak suka keduanya. Pembahasan: Misalkan: A = siswa yang suka matematika B = siswa yang suka fisika maka, Banyak siswa yang tidak suka keduanya adalah 40 – 10 – 15 – 5 = 10



32



Contoh Soal 1. Diketahui suatu RW terdiri dari 30 orang mengadakan lomba perayaan 17 Agustus. Ada 14 orang yang mengikuti lomba panjat pinang, lalu ada juga 12 orang yang mengikuti lomba tarik tambang, dan sisa nya ada 7 orang yang tidak mengikuti kompetisi apapun.Berapa banyak orang yang mengikuti kedua lomba tersebut ? Pembahasan Misal x adalah banyaknya warga RW yang mengikuti kedua lomba, maka himpunan tersebut bisa digambarkan sebagai berikut:



Karena jumlah dari semua warga adalah = 30 orang, maka : 30 = x + (14 – x) + (12 – x) + 7 30 = 33 – x x = 33 – 30 x=3 Jadi, banyaknya warga yang mengikuti kedua lomba adalah 3 orang.



2. Diketahui: A = { x | 4 ≤ x ≤ 8, x ⋲ bilangan asli } B = { x | 6 ≤ x ≤ 10, x ⋲ bilangan cacah }. Maka tentukanlah anggota dari A ∪ B ? Pembahasan 33



A = { 4, 5, 6, 7, 8} B = {6, 7, 8, 9, 10} A ∪ B merupakan himpunan yang anggotanya adalah gabungan semua anggota A dan semua anggota B, maka: A ∪ B = { 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Jadi, anggota dari himpunan A ∪ B adalah { 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.



3. Diketahui : P = { x | 5 < x < 25, x ⋲ bilangan prima } Q = { x | 4 < x < 14, x ⋲ bilangan ganjil }. Maka tentukanlah anggota dari A ∩ B ? Pembahasan P = {7, 11, 13, 17, 19, 23} Q = {5, 7, 9, 11, 13} A ∩ B merupakan himpunan yang anggotanya merupakan anggota P sekaligus merupakan anggota Q, maka: A ∩ B = {7, 11, 13} Jadi, anggota dari himpunan A ∩ B adalah { 3, 5, 7 }. 4. Suatu kelas terdiri dari 40 orang siswa, dan diantaranya ada 15 orang siswa yang menyukai pelajaran matematika, lalu ada 13 orang siswa yang menyukai pelajaran bahasa inggris dan yang 7 orang siswa yang menyukai keduanya. Berapa banyak siswa yang tidak menyukai pelajaran matematika maupun bahasa inggris ? Pemabahasan Misal x = banyak siswa yang tidak menyukai kedua pelajaran. Maka: Banyak siswa yang hanya menyukai matematika adalah 15 – 7 = 8 orang siswa. Banyak siswa yang hanya menyukai bahasa inggris adalah 13 – 7 = 6 orang siswa.



34



Himpunan tersebut bisa digambarkan dengan diagram venn sebagai berikut:



Banyak anak yang tidak menyukai kedua pelajaran ialah : 40 = 8 + 7 + 6 + x 40 = 21 + x x = 40 – 21 x = 19 Jadi, banyak siswa yang tidak menyukai pelajaran matematika maupun bahasa inggris adalah 19 orang.



35



C. Persamaan dan Pertidaksamaan 1. Pengertian Persamaan dan Pertidaksamaan a. Persamaan Persamaan atau identitas adalah suatu pernyataan yang memuat ungkapan “samadengan” dan diberi notasi “=” tetapi tidak memuat variabel. Dalam artian, Persamaan merupakan kalimat matematika terbuka yang memuat tanda “=”. Kalimat matematika terbuka adalah suatu pernyataan yang memuat variable (peubah) yang nilainya belum jelas atau belum bisa ditentukan. Dalam menyelesaikan suatu persamaan harus dicari suatu bilangan sehingga persamaan tersebut menjadi nilai atau proporsi yang tepat. b. Pertidaksamaan Pertidaksamaan adalah suatu kalimat matematika yang mengandung satu atau lebih peubah dan relasi. Seperti halnya persamaan, menyelesaikan pertidaksamaan merupakan suatu proses mendapatkan suatu bilangan sehingga pertidaksamaan tersebut menjadi proporsi yang benar. Bilangan yang diperoleh nantinya merupakan nilai penyelesaiian untuk suatu pertidaksamaan yang dicari. Himpunan semua nilai pertidaksamaan merupakan himpunan penyelesaian (himpunan terselesaikan). 2. Jenis-Jenis Persamaan dan Pertidaksamaan a. Persamaan 1. Persamaan Linier Satu Variabel Persamaan linier satu variabel adalah persamaan yang hanya memuat sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya adalah satu. persamaan linear satu variabel memiliki bentuk persamaan umum, yaitu: ax + b =c 2. Persamaan Linier Dua Variabel Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) adalah pasangan dari dua nilai peubah x atau y yang ekuivalen dengan bentuk umumnya memiliki pasangan terurut (x o , y o ). Bentuk umum dari SPLDV adalah sebagai berikut : ax + by = p cx + dy = q Sedangkan solusi dari hasil bentuk umum di atas disebut (x o ,y o ) disebut himpunan 36



penyelesaiannya. 3. Persamaan Kuadrat Persamaan kuadrat adalah persamaan yang variabelnya memiliki pangkat tertinggi sama dengan dua (2). Adapun bentuk umum persamaan kuadrat adalah sebagai berikut: ax 2+ bx + c = 0 Keterangan: a, b = koefisien (a ≠ 0); 10 x= variabel; dan c= konstanta. Jenis-Jenis Persamaan Kuadrat Secara umum, persamaan kuadrat dibagi menjadi empat, yaitu sebagai berikut.: 1. Persamaan kuadrat biasa Persamaan kuadrat biasa adalah persamaan kuadrat yang nilai a = 1. Berikut ini contohnya:. x 2+ 3x + 2 = 0 2. Persamaan kuadrat murni Persamaan kuadrat murni adalah persamaan kuadrat yang nilai b = 0. Berikut ini contohnya: x 2 + 2 = 0 3. Persamaan kuadrat tak lengkap Persamaan kuadrat tak lengkap adalah persamaan kuadrat yang nilai c = 0. Berikut ini contohnya : x 2 + 3x = 0 4. Persamaan kuadrat rasional Persamaan kuadrat rasional adalah persamaan kuadrat yang nilai koefisien dan konstantanya berupa bilangan rasional. Berikut ini contohnya : 4x2 + 3x + 2 = 0 b. Pertidaksamaan 1. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Pertidaksamaan Linier Satu Variabel (SPtLSV) adalah pertidaksamaan yang hanya mempunyai satu variabel dan berpangkat satu menggunakan tanda ketidaksamaan “>”, “ ≥ ”, “0 ax 2+bx+c ≥0 37



ax2+bx+c menjadi < , dan sebaliknya b. < menjadi > , dan sebaliknya



47



Contoh:



2. Pertidaksamaan Kuadrat Solusi untuk pertidaksamaan kuadrat adalah bilangan real yang akan menghasilkan pernyataan benar jika variabel diganti. Cara untuk bisa menentukan akar–akar pertidaksamaan kuadrat sebenarnya masih sama saja dengan cara menentukan akar–akar persamaan kuadrat. Namun akan diperlukan langkah dengan mengambil harga nol nya.Beberapa metode atau cara yang digunakan untuk bisa menentukan akar–akarnya adalah dengan pemfaktoran, menggunakan rumus abc, atau metode melengkapkan kuadrat sempurna. 1. Menentukan Akar-Akar Pertidaksamaan Kuadrat Pertama, ambil nilai nol dari pertidaksamaan kuadrat, caranya hanya dengan mengganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan. Sehingga diperoleh bentuk sementara berupa persamaan kuadrat. Untuk bisa memudahkan, kita akan ambil satu contoh pertidaksamaan seperti ini: 48



x2 + x – 8 > 0 Jika diambil nilai nol maka bentuknya akan berubah menjadi, x2 + x – 8 = 0 Setelah itu, akan di faktrokan menjadi (x +4).(x-2) = 0, Faktor ini akan bisa membantu kita untuk menentukan pembuat nol dari persamaan tersebut. x+ 4 = 0 x= -4 Dan: x–2=0 x=2 Pembuat nol-nya adalah -4 dan 2. Setelah mendapatkan akar-akar persamaan kuadrat yang memenuhi. Buatlah garis bilangan dan tentukan nilai pada masing-masing daerah. Nilai yang dimaksud di sini dapat berupa nilai positif (+) atau negatif (–). Contoh soal: 1. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat x2 – 2x < – 2020 adalah… Penyelesaian: x2 – 2x < – 2020 x2 – 2x + 2020 < 0 Cek terlebih dahulu nilai diskriminan D D = b2 – 4ac =(–2)2 – 4(1)(2020) = – 8076 D0 dan a ≠ 1 maka alog c = b dalam hal ini a disebut basis atau pokok logaritma dan c merupakan bilangan yang dilogaritmakan Penerapannya Dalam bidang kimia fungsi logaritma digunakan untuk menghitung derajat keasamaan yang dinyatakan dalam nilai pH. 7. Fungsi Turunan Turunan atau Derivatif merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi seiring perubahan nilai input. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya; contohnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat objek tersebut. Penerapannya Sebuah kembang api diluncurkan ke udara. Ketinggian kembang api h = f(t) (dalam meter) pada t sekon dimodelkan dengan f (t) = 15t2 + 150 t + 5. Tentukan kecepatan luncur kembang api saat t = 5 sekon. Penyelesaian: Diketahui ketinggian kembang api saat t sekon adalah: f (t) = 15t2 + 150 t + 5 Kecepatan luncur kembang api diperoleh turunan pertama dari fungsi ketinggian (posisi) kembang api sebagai berikut. f ‘ (t) = 30t+ 150 ⇔f ‘ (5) = 30(3) +150 = 350 Jadi, kecepatan luncur kembang api saat t = 5 sekon adalah 350 m/s 8. Fungsi Integral Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika, dan bersama dengan inversnya, diferensiasi, adalah satu dari dua operasi utama dalam kalkulus. Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaika nmasalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Penerapannya a) Penggunaan laju tetesan minyak daritangki untuk menentukan jumlah kebocoran selama selang waktu tertentu.



70



b) Penggunaan kecepatan pesawat ulang alik Endeavour untuk menentukan ketinggian maksimum yang dicapai pada waktu tertentu. c) Memecahkan persoaalan yang berkaitan dengan volume, panjang kurva,perkiraan populasi, keluaran kardiak, gaya pada bendungan, usaha, surplus konsumen. 9. Fungsi Kuadrat Di dalam aljabar, fungsi kuadrat, polinomial kuadratis, polinomial berderajat 2, atau sederhananya kuadratis, adalah fungsi polinomial yang memuat satu variabel atau lebih, di mana derajat tertinggi suku sama dengan dua. Penerapannya Gerak suatu objek yang dilempar keatas merupakan salah satu penerapan dari persamaan kuadrat dalam kehidupan sehari-hari. Gerak objek tersebut dapat dirumuskan dengan rumus h = –5t2 + vt + k, dengan h adalah ketinggian objek tersebut dalam meter, t adalah waktu dalam detik,dan v adalah kecepatan awal dalam meter per sekon. Konstanta k merepresentasikan ketinggian awal dari objek ke permukaan tanah. 10. Fungsi Limit Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu.Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x. Fungsi tersebut memiliki limit L pada titik masukan p bila f(x) "dekat" pada L ketika x dekat pada p. Dengan kata lain, f(x) menjadi semakin dekat kepada L ketika x juga mendekat menuju p. Lebih jauh lagi, bila f diterapkan pada tiap masukan yang cukup dekat pada p, hasilnya adalah keluaran yang (secara sembarang) dekat dengan L. Bila masukan yang dekat pada p ternyata dipetakan pada keluaran yang sangat berbeda, fungsi f dikatakan tidak memiliki limit. Penerapannya Limit berguna untuk menghitung kerusakan jantung yang biasa ditampilkan dalam bentuk USG pada kasus cardiac carest. Pada kasus ini sang dokter hanya bisa melihat data-data dari USG tapi tidak bisa menentukan dengan cepat bagi ansel mana yang rusak di jantung sementara sel jantung itus angatbanyak. Maka pada kasus ini dibutuhkan penghitungan limit untuk menebak luas area sel jantung yang rusak.



71



E. Limit 1. Pengertian Limit Limit dapat diartikan sebagai menuju suatu batas, sesuatu yang dekat namun tidak dapat dicapai.Dalam bahasa matematika, keadaan ini dapat disebut limit. Mengapa harus ada limit? limit menjelaskan suatu fungsi jika batas tertentu didekati. Mengapa harus didekati? karena suatu fungsi biasanya tidak terdefinisi pada titik-titik tertentu. Walaupun suatu fungsi seringkali tidak terdefinisi untuk titik tertentu, namun masih dapat dicari tahu berapa nilai yang didekati oleh fungsi tersebut apabila titik tertentu semakin didekati yaitu dengan limit. Dalam bahasa matematika, limit dituliskan dengan:



2. Limit Fungsi Aljabar a. Dalil L’Hopital Dalam permasalahan suatu limit sering kali kita dihadapkan pada soal yang menghasilkan bentuk tak tentu 0 atau ∞. Jika menemukan masalah seperti ini, 0 ∞ limit tidak dapat dikerjakan dengan menggunakan cara substitusi langsung. Limit yang menghasilkan bentuk tak tentu seperti ini dapat diselesaiakan dengan cara memfaktorkan, membagi dengan pangkat tertinggi, atau mengelikan dengan faktor kawan/bentuk sekawan untuk fungsi dalam bentuk akar. Selain itu, kita dapat menggunakan aplikasi turunan dalam menentukan limit yang menghasilkan bentuk tak tentu tersebut. Aplikasi ini dikenal dengan aturan L'Hopital atau lebih populer dikenal sebagai dalil L'Hopital.



72



b. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati Nilai Tertentu Dalam menentukan nilai suatu limit dapat ditentukan dalam beberapa cara, yaitu:



73



c.Merasionalkan Penyebut Cara yang ketiga ini digunakan apabila penyebutnya berbentuk akar, maka harus dirasionalkan, sehingga tidak terjadi pembagian angka 0 dengan angka 0. Perhatikan contoh berikut!



74



Contoh :



d. Merasionalkan Pembilang



75



c. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati Tak Berhingga Bentuk limit fungsi aljabar yang variabelnya mendekati tak berhingga, diantaranya:



Untuk menentukan nilai limit dari bentuk –bentuk tersebut,dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut: a. Membagi dengan Pangkat Tertinggi



76



b. Mengalikan dengan Faktor Lawan



77



3. Teorema Limit Teorema limit akan disajikan sebagai berikut ini sangat berguna dalam menangani hampir semua masalah limi. Misalkan n bilangan bulat positif,k sebuah konstanta dan f/g adalah fungsifungsi yang memiliki limit di a maka :



78



79



4. Limit Fungsi Trigonometri Rumus limit fungsi trigonometri:



80



5. Penerapan Limit dalam Kehidupan Sehari-Hari Dalam kehidupan sehari – hari kita sering mendengar kata “hampir” atau “mendekati”. Contohnya Moh. Salah hampir mencetak gol, kecepatan mobil itu mendekati 150 Km/jam dan sebagainya. Kata “hampir” atau “mendekati” dalam matematika disebut dengan limit. Sehingga limit dapat diterapkan dalam berbagai bidang seperti berikut : 1. Bidang Fisika Dalam bidang fisika limit dapat digunakan dalam menentukan kecepatan dan percepatan suatu benda.



81



82



2. Bidang Kedokteran Limit juga berguna untuk menghitung kerusakan jantung yang biasa ditampilkan dalam bentuk USG pada kasus cardiac carest. Pada kasus ini sang dokter hanya bisa melihat data-data dari USG tapi tidak bisa menentukan dengan cepat bagian sel mana yang rusak di jantung sementara sel jantung itu sangat banyak. Maka pada kasus ini dibutuhkan penghitungan limit untuk menebak luas area sel jantung yang rusak. Contoh lain adalah populasi bakteri atau virus dan kemungkinan berapa persen virus itu menular dengan melalui udara, area kontribusi dan kecepatan angin dihitung grafiknya melalui limit.



3. Bidang Kimia Dalam bidang kimia, limit dapat digunakan untuk menentukan tanggal kadaluwarsa. Contohnya:



83



4. Bidang Ekonomi Dalam bidang ekonomi limit fungsi sering digunakan oleh pemerintah dalam menentukkan pajak yang harus dibayar oleh masyarakat. Dalam bidang ekonomi, limit fungsi juga sering digunakan dalam menghitung biaya rata-rata dan bunga.



84



BAB III PENUTUP A. Kesimpulan 1. Bilangan Real adalah bilangan yang merupakan gabungan dari bilangan rasional dan bilangan irasional. 2 .Himpunan adalah sekumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas. 3. Persamaan atau identitas adalah suatu pernyataan yang memuat ungkapan “samadengan” dan diberi notasi “=” tetapi tidak memuat variabel. Sedangkan pertidaksamaan adalah suatu kalimat matematika yang mengandung satu atau lebih peubah dan relasi. 4. Fungsi dalam matematika adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota xdalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) darisuatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (codomain). 5. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi jika didekatkan dari titik tertentu. B. Saran Kami sadar dalam pembuatan makalah ini masih sangat jauh dari kesempurnaan, baik dalam penulisan dan kata kata yang ada didalam makalah ini.kami berharap para pembaca dapat memahami dan mengerti semua pembahasan yang kami paparkan dalam makalah ini. Selain itu kritik dan saran kami perlukan untuk membangun dalam pembuatan makalah kami untuk kedepannya.



85



DAFTAR PUSTAKA Advernesia. (n.d.). Bilangan Real | Pengertian Bilangan Real dan Contohnya. Www.Advernesia.Com. Retrieved September 15, 2021, from https://www.advernesia.com/blog/matematika/bilangan-real/



https://www.kelaspintar.id/blog/edutech/dua-cara-menyatakan-himpunan5605/ http://www.makalah.my.id/2020/02/makalah-himpunan-matematika.html http://ueu201511263.weblog.esaunggul.ac.id/2015/10/07/pentingnyahimpunan/#:~:text=1)%20Memba ntu%20setiap%20orang%20yang,abstrak% 2C%20cermat%2C%20dan%20objektif.&text=5)%20Meningkatkan%20cinta %20akan%20kebenaran,kesalahan%20berpikir%2C%20kekeliruan%20serta %20kesesatan



http://selatika08.blogspot.com/2016/06/makalah-mtk-dasar-persamaan-dan.html?m=1 https://www.quipper.com/id/blog/mapel/matematika/persamaan-linear-dua-variabelmatematika-kelas10 https://www.quipper.com/id/blog/mapel/matematika/persamaan-kuadrat-matematika-kelas-9 https://www.ruangguru.com/blog/matematika-kelas-7-smp-sistem-pertidaksamaan-linearsatu-variabelsptlsv https://www.kelaspintar.id/blog/tips-pintar/pertidaksamaan-kuadrat-11526/ https://www.quipper.com/id/blog/mapel/matematika/persamaan-linear-satu-variabelmatematika-kelas10 https://kumparan.com/berita-hari-ini/persamaan-linear-satu-variabel-lengkap-dengan-contohsoalnya1vGrcXO0rBJ https://www.ruangguru.com/blog/matematika-kelas-8-cara-menyelesaikan-sistem-persamaanlineardua-variabel-spl Jenis-jenis Fungsi dan Sifat-sifat. http://www.madematika.net/2015/08/jenisjenis-fungsi-dan-sifatsifat.html. Diunggah (23 April 2018). Jenis-jenis Fungsi Matematika. https://id.scribd.com/doc/61927952/Jenis- jenisFungsi-Matematika. Makalah Fungsi.https://id.scribd.com/doc/238940575/1-makalah-fungsi https://www.academia.edu/41603729/Penerapan_Fungsi_dalam_Kehidupan_Sehari 86



Albab, U. (2015, Maret 03). Manfaat Limit Dalam Kehidupan Sehari-hari. Dipetik Oktober 07, 2021, dari ululalbab31n.blogspot.com: https://ululalbab31n.blogspot.com/2015/03/manfaat-limit-dalamkehidupan- sehari.html



APIQ, P. (2009, November 09). CARA MUDAH MENGHITUNG LIMIT DENGAN DALIL L’HOSPITAL. Dipetik Oktober 06, 2021, dari apiqquantum.com: https://apiqquantum.com/2009/11/09/cara-mudah-menghitung-limit-dengan-dalil- lhospital/



Indonesia, S. B. (2020, Maret 17). Materi Limit Fungsi Aljabar. Dipetik Oktober 06, 2020, dari materilimit-fungsi-aljabar: http://bunyan.co.id/materi-limit-fungsi-aljabar/



MT, E. (2021, April 20). Konsep Limit Fungsi Aljabar dan Sifat-sifatnya. Dipetik Oktober 06, 2012, dari ruangguru.com/blog: https://www.ruangguru.com/blog/konsep-limit- fungsi-aljabar-dan-sifat-sifatnya



Setiawati, I. (2021, September 08). Aplikasi Penerapan Limit Fungsi Trigonometri Dalam Bidang Ilmu kimia. Dipetik Oktober 15, 2021, dari Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=Oex27Mz50u4



Wisnu. (2021, Juli 26). Limit Trigonometri: Pengertian, Rumus, Contoh Soal. Dipetik Oktober 07, 2021, dari rumuspintar.com: https://rumuspintar.com/limit-trigonometri/



Zayyan, S. (2020, Agustus 19). Aplikasi Limit Trigonometri pada Kecepatan dan Percepatan Suatu Benda. Dipetik Oktober 15, 2021, dari Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=RQC_etrIJ80



87