Modul Matematika Dasar [PDF]

Citation preview

MATEMATIKA DASAR 1A Modul 9 : Aplikasi Turunan (Lanjutan)



Tim Matematika



TAHAP PERSIAPAN BERSAMA INSTITUT TEKNOLOGI SUMATERA - LAMPUNG SELATAN 2018



PENDAHULUAN Dalam Modul 9 ini akan diberikan materi tentang subbab pemodelan matematika dan teorema nilai rata-rata turunan. Perlu diketahui bahwa dalam mempelajari aplikasi turunan yang dibutuhkan adalah pemahaman tentang konsep dari modul-modul sebelumnya terutama tentang turunan. Berdasarkan penjelasan di atas, tujuan instruksional khusus yang harus dicapai yaitu 



Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan aplikasi turunan







Mampu menentukan nilai rata-rata turunan



1



Aplikasi Turunan (Lanjutan)



Aplikasi turunan digunakan dalam memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari contohnya dipakai untuk penerapan ekonomi. Salah satunya dipakai sebagai konsep dasar untuk sebuah perusahaan mencari keuntungan yaitu selisih antara pendapatan dan biaya produksi. Seorang petani ingin memperoleh berbagai jenis tanaman yang dapat menghasilkan keuntungan terbesar (maksimum). Seorang kepala produksi di pabrik ingin menekan sekecil mungkin biaya produksinya (minimum). Masalah semacam ini dapat dimodelkan secara matematis dengan melibatkan aplikasi turunan khususnya masalah maksimum atau minimum.



9.1 Pemodelan Matematika Pada subbab pemodelan matematika yang akan dipelajari masih terkait dengan teori pada modul 9 yaitu maksimum minimum, uji turunan pertama dan kedua. Langkah-langkah berikut dapat juga diterapkan dalam menyelesaikan soal cerita yang berkaitan dengan masalah maksimum atau minimum.



2



•Langkah 1: Deskripsikan permasalahan dengan gambar dan dilengkapi notasi/lambang beserta definisi variabel.



•Langkah 2: Tentukan rumus untuk fungsi tujuan yang akan dioptimalkan (maksimum/minimum) dalam bentuk variabel-variabel pada langkah 1.



•Langkah 3: Gunakan kondisi yang diberikan agar fungsi tujuan menjadi fungsi satu variabel.



•Langkah 4: Tentukan titik kritis (titik ujung, titik stasoner, titik singular)



•Langkah 5: Substitusikan titik-titik kritis ke dalam fungsi tujuan atau gunakan uji turunan pertama atau uji turunan kedua untuk menentukan nilai maksimum atau minimum. Simpulkan sesuai pertanyaan soal.



Contoh 1 Sebuah kotak terbuka dibuat dari selembar kertas persegi ukuran 12 𝑐𝑚 × 12 𝑐𝑚 dengan memotong sisi-sisi pada keempat sudutnya sepanjang 𝑥 cm dan melipatnya. Tentukan 𝑥 agar diperoleh volume terbesar dari kotak tersebut.



Penyelesaian 𝑥 𝑥



12



12



𝑥



12 − 2𝑥



Misalkan karton dipotong pada keempat sudutnya dengan panjang dan lebarnya adalah 𝑥 sehingga terbentuk kotak dengan ukuran



3



Panjang (𝑝) = 12 − 2𝑥 cm Lebar (𝑙) = 12 − 2𝑥 cm Tinggi (𝑡) = 𝑥 cm sehingga volume kotak (𝑉(𝑥)): 𝑉(𝑥) = (12 − 2𝑥)(12 − 2𝑥)𝑥 = 144𝑥 − 48𝑥 2 + 4𝑥 3 Mencari batasan 𝑥 agar 𝑉(𝑥) terdefinisi Panjang (𝑝) = 12 − 2𝑥 ≥ 0 ⇔ 𝑥 ≤ 6 Lebar (𝑙) = 12 − 2𝑥 ≥ 0 ⇔ 𝑥 ≤ 6 Tinggi (𝑡) = 𝑥 ≥ 0 Diperoleh batasan 0 ≤ 𝑥 ≤ 6. Mencari titik-titik kritis dari 𝑉(𝑥) i.



Titik ujung : 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 6



ii.



Titik stasioner 𝑉 ′ (𝑥) = 144 − 96𝑥 + 12𝑥 2 = 0 ⟺



(2 − 𝑥)(6 − 𝑥) = 0



diperoleh titik stasioner: 𝑥 = 2 dan 𝑥 = 6. iii.



Titik singular tidak ada. Diperoleh titik kritis : 0,2, dan 6.



Substitusikan



titik-titik kritis ke dalam 𝑉(𝑥) untuk menentukan nilai



maksimum atau minimum 𝑉(𝑥) = (12 − 2𝑥)(12 − 2𝑥)𝑥 Untuk 𝑥 = 0 ⟹ 𝑉(0) = (12 − 2(0))(12 − 2(0))(0) = 0



4



Untuk 𝑥 = 2 ⟹ 𝑉(2) = (12 − 2(2))(12 − 2(2))(2) = 128 Untuk 𝑥 = 6 ⟹ 𝑉(6) = (12 − 2(6))(12 − 2(6))(6) = 0 Kesimpulan : Jadi volume terbesar dipenuhi jika 𝑥 = 2. Atau bisa juga menggunakan Uji Turunan Pertama 𝑉 ′ (𝑥) = 144 − 96𝑥 + 12𝑥 2 = 0 Berdasarkan di atas diperoleh titik kritis: 0,2, dan 6.



+ ++



+ ++



0



𝑓 naik



---



2



𝑓 turun



- - - 𝑉′(𝑥)



6



𝑓 naik



Dari tanda 𝑉′(𝑥) terlihat bahwa pada 𝑥 = 2 memberikan nilai terbesar.



Contoh 2 Sebuah peti akan dilewatkan melalui sebuah gapura yang berbentuk lengkungan dengan persamaan 𝑓(𝑥) = 2√1 −



𝑥2 9



. Jika tinggi maksimum gapura 2 satuan, carilah



ukuran peti (lebar dan tinggi) agar luas penampang bagian peti yang dapat melewati gapura maksimum. Penyelesaian



5



𝑦



Peti



𝑓(𝑥) = 2√1 −



2



2𝑎



−3



𝑓(𝑎) = 2√1 −



𝑎



𝑥2 9



𝑎2 9



3



𝑎



𝑥



Misalkan 𝑎 merupakan jarak dari ujung peti ke tengah peti. Misalkan lebar peti 2𝑎 dan tinggi 2√1 −



𝑎2 9



, sehingga luas penampang peti



(𝐿(𝑎)) adalah



𝐿(𝑎) = 2𝑎 (2√1 −



𝑎2 𝑎2 ) = 4𝑎√1 − 9 9



Batas interval : Karena lebar dan tinggi tidak mungkin negatif maka disyaratkan, 



lebar 2𝑎 ≥ 0 sehingga 𝑎 ≥ 0







tinggi 2√1 −



𝑎2 9



≥ 0 sehingga terpenuhi untuk −3 ≤ 𝑎 ≤ 3



karena nilai 𝑎 ≥ 0 maka batas interval yaitu 0 ≤ 𝑎 ≤ 3. Menentukan titik kritis dari 𝐿(𝑎) = 4𝑎√1 − i.



Ujung interval : 𝑎 = 0 dan 𝑎 = 3



ii.



Titik stasioner 𝐿′ (𝑎) =



36−8𝑎2 2



𝑎 9√1− 9



𝑎2 9



dengan 0 ≤ 𝑎 ≤ 3.



= 0 diperoleh 36 − 8𝑎2 = 4(9 − 2𝑎2 ) = (3 − √2𝑎)(3 +



√2𝑎) = 0.



6



iii. Titik singular tidak ada Diperoleh 𝑎 =



3 √2



dan 𝑎 = −



3 √2



(Pilih 𝑥 =



3 √2



karena pengukuran tidak



boleh negatif). Diperoleh titik kritis: 0,



3 , √2



dan 3.



Menentukan ukuran luas penampang peti terbesar yaitu dengan mensubstitusi titik kritis ke dalam 𝐿(𝑎) = 4𝑎√1 − 



Untuk 𝑎 = 0 maka 𝐿(0) = 4(0)√1 −







Untuk 𝑎 =







Untuk 𝑎 = 3 maka 𝐿(3) = 4(3)√1 −



3 √2



3 √2



(0)2 9



𝑎2 9



.



=0 1 3 2 9 √2



3 √2



maka 𝐿 ( ) = 4 ( ) √1 − ( ) = 6 (3)2 9



=0



Jadi, ukuran peti (lebar dan tinggi) agar luas penampang peti maksimum yang dapat melewati gapura yaitu 3 √2



6 √2







lebar peti 2 ( ) =



= 3√2 satuan dan







( ) tinggi peti 2√1 − √2 =



3 2



9



2 √2



satuan.



6.6 Teorema Nilai Rata-Rata Turunan Teorema Nilai Rata-rata Turunan Jika 𝑓 kontinu pada interval tertutup [𝑎, 𝑏] dan diferensiabel pada interval terbuka (𝑎, 𝑏), maka setidaknya ada satu 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) yang memenuhi



𝑓 ′ (𝑐 ) = atau ekuivalen dengan



𝑓 (𝑏 ) − 𝑓 (𝑎 ) 𝑏−𝑎



𝑓(𝑏) − 𝑓 (𝑎) = 𝑓 ′(𝑐 )(𝑏 − 𝑎)



7



Secara geometri dapat dijelaskan dengan ilustrasi 𝑦



𝑄



𝑓(𝑏)



𝑃



𝑓 (𝑎 )



𝑎



𝑐



𝑥



𝑏



Gambar 9.1 Perhatikan gambar 9.1 di atas 



Diketahui kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) kontinu pada interval [𝑎, 𝑏].







Diambil dua titik 𝑃 dan 𝑄 pada kurva 𝑃(𝑎, 𝑓(𝑎)) dan 𝑄(𝑏, 𝑓(𝑏))







Buat garis yang menghubungkan 𝑃𝑄







Lakukan pergeseran garis, tetapi sejajar dengan 𝑃𝑄 maka pada suatu saat ada setidaknya satu garis sejajar dan menyinggung kurva.







Garis tersebut menyinggung kurva di 𝑥 = 𝑐 dan kemiringannya sama dengan garis 𝑃𝑄 yaitu 𝑓 ′ (𝑐) =



𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎



Contoh 1. Tentukan 𝑐 pada interval [1,9] yang menjamin teorema nilai rata-rata turunan dari 𝑓(𝑥) = √𝑥. Penyelesaian



8



Diketahui 𝑓(𝑥) = √𝑥 mempunyai turunan 𝑓 ′ (𝑥) =



1 .. 2√𝑥



𝑓(9) − 𝑓(1) √9 − √1 3 − 1 2 1 = = = = 9−1 8 8 8 4 Sehingga 𝑓 ′ (𝑐) =



1 4



maka



1 2√𝑐



=



1 4



diperoleh 𝑐 = 4. (Perhatikan gambar 9.2



dibawah)



Gambar 9.2 2. Misalkan 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 𝑥 pada [−1,3]. Tentukan 𝑐 yang memenuhi kondisi Teorema Nilai Rata-Rata turunan. Penyelesaian Diketahui 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 𝑥 mempunyai turunan 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 − 8. 𝑓(3) − 𝑓(−1) 6 − (−2) 8 = = =2 3 − (−1) 4 4 Jadi 𝑐 adalah 𝑓 ′ (𝑐) = 2 ⟺ 3𝑐 2 − 4𝑐 − 1 = 2 ⟺ 3𝑐 2 − 4𝑐 − 3 = 0



9



Dari rumus abc untuk persamaan kuadrat diperoleh dua penyelesaian yaitu 𝑐1,2 =



4±√52 6



2+√13 3



≈ 1,869 dimana garis singgungnya sejajar dengan ̅̅̅̅ 𝑃𝑄 . (Lihat gambar 9.3)



=



2±√13 3



yang berpadanan dengan 𝑐1 =



2−√13 3



≈ −0,535 dan 𝑐2 =



𝑄



𝑃



2



3. Misalkan 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 pada [−1,8] tidak memberikan 𝑐 seperti pada Teorema Nilai Rata-rata turunan, mengapa? Penyelesaian 2



2 3



1



Diketahui 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 memiliki turunan 𝑓′(𝑥) = 𝑥 −3 dan 3



3



𝑓(8) − 𝑓(−1) √82 − √(−1)2 4 − 1 3 1 = = = = 8 − (−1) 9 9 9 3 Kita harus menyelesaikan



2 −1 𝑐 3 3



1 3



= yang memberikan 𝑐 = (8)3 = 512 .



Akan tetapi 𝑐 = 512 diluar interval (−1,8) dan pada interval (−1,8) fungsi 2



2



𝑓(𝑥) = 𝑥 3 tidak diferensiabel di titik 𝑥 = 0, maka 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 pada [−1,8] tidak memberikan 𝑐 seperti pada Teorema Nilai Rata-rata Turunan.



10



Soal-soal Latihan 1. Sebuah kotak terbuka dibuat dari selembar kertas persegi panjang ukuran 20𝑐𝑚 × 20𝑐𝑚 dengan memotong sisi-sisi pada keempat sudutnya sepanjang sepanjang 𝑥 cm dan melipatnya. Tentukan 𝑥 agar diperoleh volume terbesar dari kotak tersebut. 2. Tentukan titik pada kurva 𝑦 =



𝑥2 4



dengan 0 ≤ 𝑥 ≤ 2√3, yang berjarak terdekat



dan terjauh dari (0,4). 3. Sebuah terowongan berbentuk kurva 𝑥 2 + 𝑦 2 = 9 dan akan dilewati sebuah peti dengan penampang berbentuk bujursangkar. Berapa luas maksimum penampang peti yang dapat melewati terowongan tersebut. 4. Sebuah kawat panjang berukuran 100 𝑐𝑚 dipotong menjadi dua bagian. Satu bagian dibentuk segitiga samasisi dan bagian lain dibentuk bujur sangkar. Dimanakah kawat harus dipotong agar diperoleh jumlah luas kedua bangun terbesar. 5. Sebuah pipa lentur mempunyai panjang 4 𝑚 akan dibengkokkan sehingga membentuk huruf 𝐿. Dimana pipa harus dibengkokkan agar jarak antara kedua ujung pipa minimum. 6. Misalkan 𝑓(𝑥) =



1 1+𝑥



pada interval [0,2]. Carilah bilangan 𝑐 yang dijamin oleh



teorema nilai rata-rata turunan. 7. Misalkan sebuah benda mempunyai fungsi posisi 𝑠(𝑡) = 𝑡 2 − 𝑡 + 1. Tentukan kecepatan rata-rata pada interval [2,5] dan tentukan waktu ketika kecepatan sesaat sama dengan kecepatan rata-rata.



11



DAFTAR PUSTAKA



Neuhauser, Claudia. 1962. Calculus for Biology and Medicine. 3th Ed. Pearson, New York. Varberg, D., Purcell, E.J., dan Rigdon, S.E. 2007. Calculus. 9th edition. Pearson, New York.



12