Makalah Metode Secant [PDF]

Citation preview

MAKALAH



METODE SECANT disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Metode Numerik Dosen Pengampu: Dr. Rochmat, M.Si.



Oleh Kelompok 6: 1.



Rian Triastuti



(4101410020)



2.



Gias Atikasari



(41014100)



3.



Mardiyani



(41014100)



4.



Agil Dwijayanti



(4101410074)



5.



Diah Aprilia



6.



Nur Khasanah



(4101410090) (4101410093)



Rombel 1



JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2012



0



BAB I PENDAHULUAN A. Latar belakang Prosedur iterasi metode Newton-Raphson memerlukan perhitungan turunan fungsi ( f ’( x) ). Namun, tidak semua fungsi mudah dicari turunannya, terutama fungsi yang bentuknya rumit. Turunan fungsi dapat dihilangkan dengan cara menggantinya dengan bentuk lain yang ekuivalen. Modifikasi metode NewtonRaphson ini dinamakan Metode Secant. B. Rumusan Masalah Rumusan masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah bagaimana prosedur iterasi dalam menentukan akar persamaan non-linear menggunakan Metode Secant ? C. Tujuan Makalah ini memiliki tujuan, yaitu untuk mengetahui prosedur iterasi dalam menentukan akar persamaan non-linear menggunakan Metode Secant. D. Manfaat Pembuatan makalah ini diharapkan dapat memberikan manfaat, yaitu memberikan informasi mengenai prosedur iterasi dalam menentukan akar persamaan non-linear menggunakan Metode Secant.



1



BAB II PEMBAHASAN Metode



Secant



merupakan



salah



satu



metode



terbuka



menentukan solusi akar dari persamaan nonlinear



untuk



yang sulit



dicari turunannya. Prinsip-prinsip utama metode ini adalah sebagai berikut. 1. Metode ini melakukan pendekatan terhadap kurva



f (x)



dengan garis secant yang ditentukan oleh 2 titik tebakan awal. 2. Nilai taksiran akar selanjutnya adalah titik potong antara garis secant dengan sumbu- X . Perhatikan gambar di bawah ini.



Berdasarkan gambar di atas, kita dapat menghitung gradiennya. '



f ( x n )=



∆ y AB f ( x n )−f (x n−1) = = ∆ x AC x n−x n−1



Subtitusikan persamaan di atas ke dalam rumus NewtonRaphson



2



x n+1=x n−



f (x n) f ' ( xn )



sehingga diperoleh x (¿ ¿ n−x n−1) f ( xn ) f ( xn ) −f (x n−1 ) xn +1=x n−¿ yang merupakan prosedur iterasi metode secant. Sepintas metode secant mirip dengan metode regula-falsi, namun sesungguhnya prinsip dasar keduanya berbeda, seperti pada tabel berikut ini.



Y



y = f(x) x n−1 dan x n



a



b f ( a ) . f ( b )< 0.



xnY



xn+1



y  f (x)



1



a



c



b



x



X



f ( x n−1 ) . f ( x n ) imaks



, maka program berhenti. Ini berarti



f (x)



iterasinya divergen.



9



Mulai



FLOWCHART PERBAIKAN METODE SECANT



Definisikan fungsi



Baca



Hitung dan



Ya



Tidak



Tidak Ya Tidak



Tulis ‘Pembagian dengan 0’



Ya Tulis “Iterasi divergen”



Tulis



Selesai 10



Contoh 3: 2



Tentukanlah salah satu akar non-linear



f ( x )=x −4 x+ 7



menggunakan



Metode Secant dengan nilai tebakan awal



x 0=1 dan x 1=4



, nilai toleransi



ε 1=10−4 , ε 2 =10−5 serta iterasi maksimum i maks=20. Penyelesaian: R



xn



x n+1



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



1 4 0 #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0!



4 0 #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0!



x n+1−x n 3 -4 #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0!



f (xn +1) 7 7 #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0!



f (xn )



f (xn +1)−f (x n ) 3 0 #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0!



4 7 7 #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0! #DIV/ 0!



Berdasarkan tabel di atas, dapat dilihat bahwa terjadi pembagian dengan bilangan yang mendekati nol pada iterasi ke-2. Menggunakan Turbo Pascal:



11



Tampilannya



Keterangan penulisan: xn_1 berarti



x n−1 (tebakan akar



pertama) xn berarti



x n (tebakan akar



kedua)



12



BAB III PENUTUP A. Simpulan Dari pembahasan yang ada, dapat disimpulkan bahwa prosedur iterasi dalam menentukan akar persamaan non-linear menggunakan Metode Secant adalah sebagai berikut. Algoritma Metode Secant (sebelum perbaikan). f ( x ).



1. Tentukan



2. Masukkan nilai tebakan awal akar-akar dan



xn



ε , serta iterasi maksimum yaitu



x n+1=x n−



|x n+1−x n|< ε ,



(



)



f ( x n ) ( x n−x n−1) . f ( x n )−f ( x n−1)



|x n+1−x n|≥ ε ,



x n+1=x n−



i≤ i maks



(



f (x)



maka tulis hasil akar



Ini berarti hampiran akar Jika



x n−1



.



3. Hitung Jika



yaitu



,



nilai toleransi yaitu i maks



f (x)



f (x)



yaitu



x n+1



.



ditemukan.



maka lakukan penghitungan



f ( x n ) ( x n−x n−1) f ( x n )−f ( x n−1)



)



kembali (lakukan iterasi) hingga



.



Algoritma perbaikan Metode Secant. 1. Tentukan



f ( x ).



2. Masukkan nilai tebakan awal akar-akar dan



xn



,



nilai



toleransi



yaitu



ε1



f (x)



dan



ε2



yaitu



x n−1



(misalnya:



13



−7



−8



ε 1=10



dan ε 2 =10



i maks



maksimum yaitu



Jika



|f ( x n ) −f ( x n−1 )|< ε2



0 )), serta iterasi



.



|f ( x n ) −f ( x n−1 )|



3. Hitung



(mendekati



. , maka program berhenti karena akan



mengakibatkan penghitungan dengan pembagi 0 atau ≈0 . Jika



|f ( x n ) −f ( x n−1 )|≥ ε2 x n+1=x n−



4. Hitung Jika



(



|x n+1−x n|< ε 1 ,



, maka program dapat dilanjutkan.



)



f ( x n ) ( x n−x n−1) . f ( x n )−f ( x n−1) maka tulis hasil akar



Ini berarti hampiran akar Jika



|x n+1−x n|≥ ε 1 ,



x n+1=x n−



i≤ i maks 5. Jika



(



f (x)



f (x)



yaitu



x n+1



.



ditemukan.



maka lakukan penghitungan



f ( x n ) ( x n−x n−1) f ( x n )−f ( x n−1)



)



kembali (lakukan iterasi) hingga



.



i> imaks



, maka program berhenti. Ini berarti



f (x)



divergen.



B. Saran Saran untuk mahasiswa ketika menentukan akar persamaan non-linear menggunakan metode secant ini adalah mahasiswa diharapkan lebih teliti dalam menghitung dan membulatkan hasil perhitungannya.



14



DAFTAR PUSTAKA Munir, Rinaldi. 2006. Metode Numerik. Bandung: Informatika. Nasution, A. 2001. Metode Numerik dalam Rekayasa Ilmu Sipil. Bandung: ITB.



15