22 0 516 KB
MAKALAH TURUNAN
Disusun oleh: Agusman Bahri A1C214027
Dosen Pengampu: Dra. Irma Suryani, M.Pd
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JAMBI 2015
KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena hanya atas limpahan rahmat dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan makalah Turunan ini hingga selesai. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dra. Irma Suryani, M.Pd selaku dosen pengampu mata kuliah Bahasa Indonesia yang telah memberi arahan dan bimbingan kepada penulis untuk menyusun makalah ini. Penulis juga mengucapkan terimakasih kepada teman-teman yang telah memberikan doa, motivasi, saran dan kritik sehingga makalah ini dapat terselesaikan. Penulis menyadari makalah ini masih banyak kekurangan baik dari segi penulisan maupun materi penyampaiannya. Dengan menyadari hal tersebut maka penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun untuk perbaikan selanjutnya. Namun demikian, penulis berharap makalah ini dapat berguna dan bermanfaat dalam menambah wawasan dan pengetahuan bagi berbagai pihak yang membutuhkan.
Jambi, Mei 2015
Penulis
ii
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ......................................................................................ii DAFTAR ISI ......................................................................................................iii BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ........................................................................................1 1.2 Rumusan Masalah ...................................................................................2 1.3 Tujuan Penulisan .....................................................................................2 1.4 Manfaat Penulisan ...................................................................................2 BAB II PEMBAHASAN 2.1 Defenisi Turunan .....................................................................................3 2.2 Aturan Pencarian Turunan ................................................................................ 5 2.2.1 Turunan Fungsi Konstanta ...................................................................... 5 2.2.2 Turunan Fungsi Identitas ........................................................................ 5 2.2.3 Turunan Fungsi Pangkat ......................................................................... 6 2.2.4 Turunan Kelipatan Konstanta ................................................................. 6 2.2.5 Turunan Penjumlahan dan Selisih .......................................................... 7 2.2.6 Turunan Hasil Kali dan Hasil Bagi ......................................................... 7
BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan .............................................................................................10 3.2 Saran ........................................................................................................11 DAFTAR PUSTAKA
iii
BAB I PENDAHULUAN 1.1
Latar Belakang Secara umum Matematika merupakan ilmu yang mempelajari pola dari struktur, perubahan, dan ruang secara informal. Dan dapat pula disebut sebagai ilmu tentang bilangan dan angka. Matematika merupakan alat yang dapat memperjelas dan menyederhanakan suatu keadaan atau situasi melalui abstraksi, idealisasi, atau generalisasi untuk suatu studi ataupun pemecahan masalah. Contoh sederhana dalam kehidupan sehari-hari pada saat kita mau mengatur uang belanja bagi ibu rumah tangga, uang saku anak-anak, mengatur uang kiriman bagi anak kost, dan lain-lain secara tidak langsung semuanya merupakan bagian dari Matematika, yang mana hal itu membutuhkan suatu pemecahan masalah. Oleh karena itu, masalah tersebut dapat dicari solusinya dengan menggunakan ilmu Matematika, walaupun tidak dipungkiri bahwa Matematika hanya sebatas ilmu yang dipelajari untuk itu. Padahal jika ditelaah lebih mendalam, sebenarnya Matematika banyak sekali terapannya, yaitu: dalam Fisika, Kimia, Biologi, juga dalam bidang ilmu sosial, dan lain-lain. Kalkulus merupakan salah satu cabang dari ilmu Matematika yang mempelajari tentang hal-hal yang berhubungan dengan pencarian tingkat perubahan (pencarian arah/garis singgung pada suatu kurva) dan pencarian area yang terletak di bawah kurva. Dan di dalam Kallkulus terdiri dari beberapa materi, diantaranya adalah konsep Turunan (Derivatif). Turunan (derivatif) tidak lain merupakan hasil dari suatu proses pendiferensialan atau diferensiasi dari suatu fungsi. Jadi, turunan erat sekali hubungannya dengan diferensial. Jika kita ingin menentukan turunan dari suatu fungsi, maka yang perlu dilakukan adalah melakukan pendiferensialan fungsi tersebut. Dan hasil yang diperoleh dari proses pendiferensilan itu disebut turunan (derivatif). Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan.
1.2
Rumusan Masalah Dari beberapa uraian di atas tulisan ini secara khusus akan membahas tentang. 1. Apakah yang dimaksud dengan turunan? 2. Notasi apa yang digunakan untuk menyatakan suatu turunan? 3. Bagaimana cara untuk menentukan turunan dari suatu fungsi? 4. Aturan-aturan apa saja yang terdapat dalam diferensiasi?
1.3
Tujuan Penulisan Dari rumusan masalah di atas penulisan makalah ini mempunyai tujuan sebagai berikut. 1. Mengetahui defenisi turunan. 2. Mengetahui macam-macam notasi yang dapat digunakan untuk menyatakan turunan dari suatu fungsi. 3. Mengetahui cara menentukan turunan dari suatu fungsi. 4. Mengetahui Aturan-aturan yang digunakan dalam diferensiasi.
1.4
Manfaat Penulisan Penulisan makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca sebagai referensi untuk mempelajari ilmu matematika tentang diferensial (turunan) yang merupakan salah satu materi dari suatu cabang ilmu matematika kalkulus. Bagi pelajar sekolah menengah, materi turunan ini akan dipelajari pada kelas XI, jadi makalah ini juga dapat bermanfaat bagi siswa sekolah menengah sebagai bahan acuan untuk pelajaran diferensial.
2
BAB II PEMBAHASAN 2.1
Defenisi Turunan Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton ( 1642 β 1727 ), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 β 1716 ), ahli matematika bangsa Jerman. Turunan ( diferensial ) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika. Menurut Stewart (2001: 146) turunan merupakan perkembangan dari kecepatan dan kemiringan garis singgung, turunan dapat digunakan untuk memecahkan persoalan yang menyangkut laju perubahan dan hampiran fungsi. Dari grafik di bawah ini, diketahui fungsi π¦ = π(π₯) pada interval π < π₯ < π + β, sehingga nilai fungsi berubah dari π(π) sampai dengan π(π + β). Y π¦ = π(π₯) π(π + β) π(π + β) β π(π) π(π) β π
π+β
X
Gambar 2.1 Grafik fungsi π(π₯). Perubahan rata-rata nilai fungsi π terhadap π₯ pada interval π < π₯ < π + β adalah nilai lim
π(π+β)βπ(β)
ββ0
β
π(π+β)βπ(π) (π+β)βπ
=
π(π+β)βπ(π) β
. Jika nilai β makin kecil maka
disebut laju perubahan nilai fungsi π pada π₯ = π. Limit
ini disebut turunan atau derivatif fungsi π pada π₯ = π. lim
ββ0
π(π₯+β)βπ(β) β
disebut turunan fungsi π di π₯ yang ditulis dengan notasi
πβ²(π₯), sehingga kita peroleh rumus sebagai berikut:
π(π₯ + β) β π(π₯) ββ0 β
π β² (π₯) = lim
Menurut Purcell, dkk. (2004: 111) βjika limit memang ada, dikatakan bahwa π terdiferensiasikan di π₯. Pencarian turunan disebut diferensiasi; bagian kalkulus yang berhubungan dengan turunan disebut kalkulus diferensial.β Contoh 2.1 Jika π(π₯) = 13π₯ β 6. Tentukanlah nilai πβ²(4) Peneyelesaian π((4) + β) β π(4) (13((4) + β) β 6) β (13(4) β 6) = lim ββ0 ββ0 β β
π β² (4) = lim
13(4) + 13β β 6 β 13(4) + 6 13β = = 13 ββ0 β β
= lim
Dalam pencarian nilai turunan suatu fungsi, kita akan selalu melibatkan penggunaan limit, sebagaimana dijelaskan oleh Purcell, dkk. (2004: 112) sebagai berikut. Pencarian turunan selalu melibatkan pengambilan limit suatu hasil bagi dengan pembilang dan penyebut keduanya menuju nol. Tugas kita adalah menyederhanakan hasil bagi ini sehingga dapat mencoret faktor β dari pembilang dan penyebut, lalu kita dapat menghitung limitnya dengan cara subsitusi. Turunan dari suatu fungsi π(π₯) atau π¦ terhadap π₯ dapat dinyatakan dalam salah satu simbol berikut: π¦ β² = π β² (π₯) =
ππ¦ π π βπ¦ = π¦= π(π₯) = π·π₯ π¦ = lim βπ₯β0 βπ₯ ππ₯ ππ₯ ππ₯
Penjelasan ο·
Turunan harus disebutkan secara lengkap βturunan π¦ terhadap π₯β terlebih jika variabel bebas yang mungkin bukan hanya π₯.
ο·
Turunan dapat dianggap sebagai diferensial variabel tak bebas dibagi diferensial variabel bebasnya.
ο·
π¦β² disebut turunan atau ππππππ£ππ‘ππ£π. ππ¦ disebut diferensial dari π¦ yang artinya perubahan kecil mendekati nol dari π¦.
4
2.2
Aturan Pencarian Turunan Dalam pencarian nilai turunan dari suatu fungsi, terdapat beberapa aturan yang telah dikembangkan untuk pencarian turunan tanpa menggunakan defenisi secara langsung. Rumus-rumus ini sangat menyederhanakan tugas pendiferensialan. 2.2.1 Turunan Fungsi Konstanta Fungsi konstanta π(π₯) = π mempunyai grafik fungsi berupa garis mendatar π¦ = π, yang memiliki kemiringan 0, sehingga kita harus mempunyai π β² (π₯) = 0. Bukti: π(π₯ + β) β π(π₯) πβπ = lim ββ0 ββ0 β β
π β² (π₯) = lim
= lim 0 = 0 ββ0
π (π) = 0 ππ₯
Contoh 2.2.1 π 7=0 ππ₯
π 25 = 0 ππ₯
π 27 = 0 ππ₯
2.2.2 Turunan Fungsi Identitas Jika π(π₯) = π₯, maka π β² (π₯) = 1 Bukti: π(π₯ + β) β π(π₯) π₯+ββπ₯ β = lim = lim ββ0 ββ0 ββ0 β β β
π β² (π₯) = lim
= lim 1 = 1 ββ0
π (π₯) = 1 ππ₯
Contoh 2.2.2 π π 25π₯ = 25 β π₯ = 25 β 1 = 25 ππ₯ ππ₯
π π 27π₯ = 27 β π₯ = 27 β 1 = 27 ππ₯ ππ₯
5
2.2.3 Turunan Fungsi Pangkat Jika π(π₯) = π₯ π , dengan π bilangan bulat positif, maka πβ(π₯) = ππ₯ πβ1 Bukti: πβ(π₯) = πππ ββ0
= πππ
π(π₯ + β) β π(π₯) β (π₯+β)π β π₯ π β
ββ0
= πππ
π₯ π + ππ₯ πβ1 β+
π(πβ1) πβ2 2 π₯ β + β¦. +ππ₯β πβ1 + β 2 β π₯ π 2
β
ββ0
= πππ
β[ππ₯ πβ1 +
π(πβ1) πβ2 π₯ β +β―+ππ₯β πβ2 + β πβ1 ] 2
β
ββ0
= lim [ππ₯ πβ1 + ββ0
π(πβ1) 2
π₯ πβ2 β + β― + ππ₯βπβ2 + βπβ1 ]
Di dalam kurung, semua suku kecuali yang pertama mempunyai β sebagai faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila β mendekati nol. Jadi π (π₯)π = ππ₯ πβ1 ππ₯
Contoh 2.2.3 π 3 π₯ = 3π₯ 3β1 = 3π₯ 2 ππ₯
π 28 π₯ = 28π₯ 28β1 = 3π₯ 27 ππ₯
2.2.4 Turunan Kelipatan Konstanta Turunan dari konstanta dikali fungsi adalah sama dengan konstanta dikali turunan fungsi tersebut, hal ini sebagaimana dikatakan oleh Stewart (2001: 168) bahwa pada waktu fungsi baru dibentuk dari fungsi lama dengan cara penambahan, pengurangan, perkalian atau pembagian, turunan dapat dihitung dalam bentuk turunan fungsi yang lama. Khususnya rumus berikut yang mengatakan bahwa turunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi tersebut Jika π(π₯) = ππ(π₯), maka πβ² (π₯) = ππβ²(π₯).
6
Bukti: π(π₯ + β) β π(π₯) ππ(π₯ + β) β ππ(π₯) = lim ββ0 ββ0 β β
πβ² (π₯) = lim
π(π₯ + β) β π(π₯) π(π₯ + β) β π(π₯) = lim π [ ] = π lim [ ] ββ0 ββ0 β β = ππβ²(π₯) π π ππ(π₯) = π π(π₯) ππ₯ ππ₯
Untuk contoh turunan kelipatan konstanta dapat dilihat pada contoh 2.2.2 2.2.5 Turunan Penjumlahan dan Selisih Jika πΉ(π₯) = π(π₯) Β± π(π₯), maka πΉ β² (π₯) = π β² (π₯) Β± πβ² (π₯), dengan syarat π dan π dapat didiferensialkan (mempunyai turunan). Bukti: [π(π₯ + β) Β± π(π₯ + β)] β [π(π₯) Β± π(π₯)] πΉ(π₯ + β) β πΉ(π₯) = lim ββ0 ββ0 β β
πΉ β² (π₯) = lim
π(π₯ + β) β π(π₯) π(π₯ + β) β π(π₯) = lim [ Β± ] ββ0 β β π(π₯ + β) β π(π₯) π(π₯ + β) β π(π₯) Β± lim ββ0 ββ0 β β
= lim
= πβ²(π₯) Β± πβ²(π₯) π π π [π(π₯) + π(π₯)] = π(π₯) + π(π₯) ππ₯ ππ₯ ππ₯
Contoh 2.2.5 π π π π [12π₯ 2 + 3π₯ β 6] = 12π₯ 2 + 3π₯ β 6 = 24π₯ + 3 ππ₯ ππ₯ ππ₯ ππ₯ 2.2.6 Turunan Hasil Kali dan Hasil Bagi ο·
Turunan Hasil Kali Jika πΉ(π₯) = π(π₯)π(π₯); π dan π keduanya dapat didiferensialkan maka
πΉ β² (π₯) = π(π₯)πβ² (π₯) + π(π₯)πβ²(π₯) Bukti: πΉ(π₯ + β) β πΉ(π₯) π(π₯ + β)π(π₯ + β) β π(π₯)π(π₯) = lim ββ0 ββ0 β β
πΉ β² (π₯) = lim
7
Agar dapat menghitung limit ini, kita akan memisahkan fungsi π dan π seperti pada bukti turunan penjumlahan. Kita dapat mencapai pemisahan ini dengan mengurangkan dan menambahkan suku π(π₯ + β)π(π₯) pada pembilang: π(π₯ + β)π(π₯ + β) β π(π₯ + β)π(π₯) + π(π₯ + β)π(π₯) β π(π₯)π(π₯) ββ0 β
πΉ β² (π₯) = lim
= lim [π(π₯ + β) ββ0
π(π₯ + β) β π(π₯) π(π₯ + β) β π(π₯) + π(π₯) ] β β
π(π₯ + β) β π(π₯) π(π₯ + β) β π(π₯) + lim π(π₯) lim ββ0 ββ0 ββ0 β β
= lim π(π₯ + β) lim ββ0
= π(π₯)πβ² (π₯) + π(π₯)πβ²(π₯) π π π [π(π₯)π(π₯)] = π(π₯) π(π₯) + π(π₯) π(π₯) ππ₯ ππ₯ ππ₯
Contoh 2.2.6.1 Tentukanlah turunan dari [π₯(27π₯ + 2)] misal π(π₯) = π₯ β π β² (π₯) = 1, dan π(π₯) = 27π₯ + 2 β πβ² (π₯) = 27 π [π(π₯)π(π₯)] = π(π₯)πβ² (π₯) + π β² (π₯)π(π₯) ππ₯
π [π₯(27π₯ + 2)] = π₯(27) + (27π₯ + 2)(1) = 27π₯ + 27π₯ + 2 ππ₯ π [π₯(27π₯ + 2)] = 54π₯ + 2 ππ₯ ο·
Turunan Hasil Bagi π(π₯)
Jika πΉ(π₯) = π(π₯); π dan π keduanya dapat didiferensialkan maka πΉ β² (π₯) =
π(π₯)π β² (π₯)βπ(π₯)πβ² (π₯) [π(π₯)]2
Bukti: π(π₯ + β) π(π₯) β πΉ(π₯ + β) β πΉ(π₯) π(π₯ + β) π(π₯) πΉ β² (π₯) = lim = lim ββ0 ββ0 β β π(π₯ + β)π(π₯) β π(π₯ + β)(π(π₯) = lim ββ0 β β π(π₯ + β) β π(π₯) Kita dapat memisahkan π dan π dalam ungkapan ini dengan cara mengurangkan dan menambahkan suku π(π₯)π(π₯) pada pembilang:
8
π(π₯ + β)π(π₯) β π(π₯)π(π₯) + π(π₯)π(π₯) β π(π₯ + β)(π(π₯) ββ0 β β π(π₯ + β) β π(π₯)
πΉ β² (π₯) = lim
= lim
π(π₯)
ββ0
π(π₯ + β) β π(π₯) π(π₯ + β) β π(π₯) β π(π₯) β β π(π₯ + β)π(π₯)
lim π(π₯)lim
=
ββ0
ββ0
π(π₯ + β) β π(π₯) π(π₯ + β) β π(π₯) β lim π(π₯)lim β β ββ0 ββ0 lim π(π₯ + β)lim π(π₯) ββ0
=
ββ0
π(π₯)π β² (π₯) β π(π₯)πβ² (π₯) [π(π₯)]2 π π π(π₯) π(π₯) β π(π₯) π(π₯) π π(π₯) ππ₯ ππ₯ [ ]= [π(π₯)]2 ππ₯ π(π₯)
Contoh 2.2.6.2 π (27π₯ + 2) ππ₯ π₯ misal π(π₯) = 27π₯ + 2 β π β² (π₯) = 27 dan π(π₯) = π₯ β πβ² (π₯) = 1 π π(π₯) π(π₯)π β² (π₯) β π(π₯)πβ² (π₯) [ ]= [π(π₯)]2 ππ₯ π(π₯) π (27π₯ + 2) π₯(27) β (27π₯ + 2)(1) 27π₯ β 27π₯ β 2 = = ππ₯ π₯ π₯2 π₯2 π (27π₯ + 2) 2 =β 2 ππ₯ π₯ π₯
9
BAB III PENUTUP 3.1
Kesimpulan 1. Turunan merupakan limit dari perbandingan perubahan nilai π¦ terhadap perubahan nilai π₯ dimana perubahan nilai π₯ mendekati 0. Turunan dari suatu fungsi π pada π₯ dapat dinyatakan dalam bentuk rumus berikut: π(π₯ + β) β π(π₯) ββ0 β
π β² (π₯) = lim
2. Dalam turunan terdapat beberapa macam notasi penulisan untuk menyatakan turunan dari suatu fungsi yaitu sebagai berikut: π¦ β² = π β² (π₯) =
ππ¦ π π βπ¦ = π¦= π(π₯) = π·π₯ π¦ = lim βπ₯β0 βπ₯ ππ₯ ππ₯ ππ₯
3. Turunan dapat ditentukan dengan cara mengambil limit dari suatu hasil bagi dengan pembilang dan penyebut keduanya menuju nol. Kita dapat menyederhanakan hasil bagi ini sedemikian rupa sehingga kita dapat mencoret faktor pembilang dan penyebut yang mendekati nol, lalu kita dapat menghitung limitnya dengan cara subsitusi. 4. Dalam turunan terdapat beberapa aturan turunan yang merupakan pengembangan dari penggunaan defenisi umum turunan sehingga tidak lagi melibatkan penggunaan limit. Beberapa aturan-aturan turunan diantaranya adalah sebagai berikut: ο·
Turunan Fungsi Konstanta π π=0 ππ₯
ο·
Turunan Fungsi Identitias π π₯=1 ππ₯
ο·
Turunan Fungsi Pangkat π π π₯ = ππ₯ πβ1 ππ₯
ο·
Turunan Fungsi Kelipatan Konstanta π π ππ(π₯) = π π(π₯) ππ₯ ππ₯
ο·
Turunan Penjumlahan dan Selisih π π π [π(π₯) Β± π(π₯)] = π(π₯) Β± π(π₯) ππ₯ ππ₯ ππ₯
ο·
Turunan Hasil Kali dan Hasil Bagi Turunan hasil kali π π π [π(π₯) β π(π₯)] = π(π₯)π(π₯) + π(π₯) π(π₯) ππ₯ ππ₯ ππ₯ Turunan hasil bagi π π π(π₯) π(π₯) β π(π₯) π(π₯) π π(π₯) ππ₯ ππ₯ [ ]= [π(π₯)]2 ππ₯ π(π₯)
3.2
Saran Dalam penulisannya makalah ini dapat dijadikan sebagai referensi untuk mempelajari diferensial. Makalah ini berisi tentang pengertian difererensial dan beberapa aturan turunan. Namun aturan-aturan turunan yang ada di dalam makalah ini belumlah lengkap, aturan-aturan turunan yang terdapat di dalam makalah ini hanyalah beberapa aturan dasar yang dirasa penting untuk dipelajari oleh pembaca. Penulis menyadari bahwa pada makalah ini masih banyak terdapat kekurangan oleh karena itu penulis sangat mengharapkan kritik dan saran dari pembaca sehingga penulis dapat memperbaiki kekurangan pada makalah ini sehingga dapat bermanfaat baik bagi pembaca maupun bagi penulis sendiri.
11
DAFTAR PUSTAKA Degeng, I.W. 2007. Kalkulus Lanjut: Persamaan Diferensial & Aplikasinya. Jakarta: Graha Ilmu Purcell, E.J. dkk. 2004. Kalkulus Jilid I, Edisi 8. Jakarta: Erlangga Soedyarto, Nugroho dan Maryanto. 2008. Matematika Untuk SMA dan MA Kelas XI Program IPA. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Stewart, James. 2001. Kalkulus Jilid I, Edisi 4. Jakarta: Erlangga