Matematika Ekonomi 2 PDF [PDF]

Citation preview

PENGGUNAAN FUNGSI LINEAR DALAM EKONOMI   



Agar fungsi permintaan dan fungsi penawaran dapat digambarkan grafiknya, maka faktor-faktor selain jumlah yang diminta dan harga barang dianggap tidak berubah selama dilakukan analisis. Faktor-faktor yang dianggap tetap ini disebut CETERIS PARIBUS. Fungsi permintaan & fungsi penawaran akan berhubungan dengan Price dan Quantity.



A. Fungsi Permintaan Pada fungsi permintaan, bila suatu harga barang naik maka Ceteris Paribus jumlah yang diminta konsumen akan barang tersebut turun dan sebaliknya bila harga barang turun maka jumlah barang yang diminta akan bertambah. Grafik Fungsi Permintaan



Soal 1. Sepuluh jam tangan merek tertentu akan terjual jika harganya (dalam ribuan) Rp.80,- dan 20 jam tangan akan terjual bila harganya Rp 60,-. Tunjukkan bentuk persamaan fungsinya dan gambarkan grafiknya.



( Jawaban : P = - 2Q + 100 ) 1



B. Fungsi penawaran Menurut Hukum Penawaran pada umumnya jika suatu barang naik maka Ceteris Paribus (faktor-faktor dianggap tetap) jumlah yang ditawarkan akan naik begitu juga sebaliknya. Grafik Fungsi Penawaran



Soal 2. Jika harga kamera jenis tertentu Rp. 65,- (dalam ribuan) maka ada 125 kamera yang tersedia di pasar, jika Rp 75,- maka ada 145 kamera. Tunjukkan bentuk fungsinya dan gambarkan grafiknya.



( Jawaban : 2P = Q + 5 )



2



3. Jika diketahui fungsi permintaan dari soal no.1 dan fungsi penawaran dari soal no.2, tentukanlah titik potong fungsi permintaan dan fungsi penawaran tersebut!



( Jawaban : P =



dan Q =



)



3



PAJAK DAN SUBSIDI Ceteris Paribus (faktor-faktor yang dianggap tetap) dalam fungsi penawaran diantaranya pajak dan subsidi, bila faktor-faktor yang dianggap tetap ini berubah maka fungsi penawaran akan berpindah (bergeser). 1. Pajak Dengan adanya pajak maka posisi keseimbangannya berubah karena produsen menawarkan harga jual yang lebih tinggi, akibatnya harga keseimbangan yang tercipta menjadi lebih tinggi dari harga keseimbangan sebelum ada pajak dan kuantitas keseimbanganpun menjadi lebih sedikit.  Sebelum Pajak Fungsi Permintaan/Demand, Fungsi Penawaran/Supply,



D: S :



P = f(p) P = g(p)



 Setelah Pajak Fungsi Permintaan/Demand, D: P = f(p) Fungsi Penawaran/Supply, S : P = g(p) + T dapat ditulis P – T = g(p) Dalam perhitungan bisa dengan cara memasukan pajak ke variabel “ P ” menjadi “ P – T”. Misal: diketahui Fungsi Penawaran 2P + 3Q = 6, dan pajak sebesar Rp 5,- perunit, atau T = 5. Maka fungsi penawaran menjadi 2(P – 5)+3Q = 6 atau 2P + 3Q = 16 Grafik sebelum dan setelah pajak



4



Soal: 1. Diketahui fungsi suatu barang Fungsi permintaan Q = 15 – P Fungsi Penawaran Q = 2P – 6 Pajak yang dikenakan oleh pemerintah Rp. 3,- /unit, tentukan berapa harga dan quantitas keseimbangan sebelum dan sesudah pajak, dan gambarkan masingmasing grafiknya!



5



Subsidi Subsidi merupakan kebalikan pajak dan menyebabkan harga jual barang menjadi lebih murah karena biaya produksi menjadi lebih ringan, akibatnya setelah dilakukan subsidi harga keseimbangan menjadi lebih rendah dari pada sebelumnya dan quantitas keseimbangan menjadi menjadi lebih banyak.  Sebelum Subsidi Fungsi Permintaan/Demand, Fungsi Penawaran/Supply,



D: S :



P = f(p) P = g(p)



 Setelah Subsidi Fungsi Permintaan/Demand, D: P = f(p) Fungsi Penawaran/Supply, S : P = g(p) – S dapat ditulis P + S = g(p) Dalam perhitungan bisa dengan cara memasukan pajak ke variabel “ P ” menjadi “P + S”. Misal: diketahui Fungsi Penawaran 2P + 3Q = 6, dan Subsidi sebesar Rp 5,- perunit, atau S = 5. Maka fungsi penawaran menjadi 2(P + 5) +3Q = 6 atau 2P + 3Q = - 4 Grafik Sebelum dan setelah Subsidi



Soal: 1. Diketahui fungsi suatu barang Fungsi permintaan Q = 15 – P Fungsi Penawaran Q = 2P – 6 Pemerintah mengadakan subsidi sebesar Rp. 2,- untuk setiap unit barang yang dijual, hitunglah harga dan jumlah keseimbangan sebelum dan setelah subsidi, dan gambarkan masing-masing grafiknya! KERJAKAN DI KERTAS POLIO DIKUMPULKAN SEBELUM UTS



6



FUNGSI KONSUMSI DAN TABUNGAN Seorang ahli dalam ilmu ekonomi yaitu Keynes mempunyai pendapat bahwa pengeluaran seseorang untuk konsumsi dipengaruhi oleh pendapatannya. Semakin tinggi tingkat pendapatnya maka tingkat konsumsinya juga semakin tinggi. Sejalan dengan pemikiran tersebut, kiranya mudah untuk dimengerti bahwa seseorang yang tingkat pendapatnya semakin tinggi, semakin besar pula tabungannya karena tabungan merupakan bagian dari pendapatan yang tidak dikonsumsikan. Secara matematis, hubungan fungsional antara konsumsi dan pendapatan dapat ditulis: C = f(Y) atau C = a + bY (a> 0 , b > 0) Dimana: C = Pengeluaran untuk konsumsi a = Besarnya konsumsi pada saat pendapatnya nol b = MPC yaitu besarnya tambahan konsumsi karena adanya tambahan pendapatan. Y = Pendapatan Pendapatan (Y) digunakan untuk konsumsi (C) dan tabungan (S), atau Y=C+S S =Y–C S = Y – (a + bY) S = Y – a – bY S = – a + (1 – b)Y (1 – b) disebut Hasrat Menabung Marjinal (MPS)



Keterangan: a : adalah perpotongan antara fungsi dengan sumbu vertikal C C = Y : adalah garis impas karena semua titik pada garis tersebut menunjukkan bahwa _semua pendapatan tepat abis dikonsumsikan. E : adaalh titik impas, yaitu titik perpotongan antara garis konsumsi dengan garis _impas. Pada titik tersebut semua pendapatan dikonsumsikan habis atau S = 0. OYE : adalab besarnya pendapatan yang hanya cukup untuk konsumsi.



7



Soal 1 Bila diketahui bahwa fungsi konsumsi ditunjukan oleh persamaan C = 10 + 0,75Y, maka carilah fungsi tabungannya! Berapakah besarnya konsumsi pada saat tabungan sama dengan nol? Gambarkan grafik fungsi konsumsinya dan fungsi tabungannya! Jawab: Tabungan:



S=Y–C S = Y – (10 + 0,75Y) S = –10 + 0,25Y Pada tabungan = 0, maka : 0 = – 10 + 0,25Y –0,25 Y = –10 Y = 40 Y = C + S pada saat S = 0, maka S = 0, maka Y = C. Jadi besarnya konsumsi pada saat tabungan nol adalah 40. Gambar grafiknya:



Soal 2 Pak santosa mengatakan bahwa pada saat mengangur ia harus mengeluarkan Rp 30.000,untuk kebutuhannya sebulan. Sekarang setelah bekerja penghasilannya Rp 100.000,- bisa menabung Rp 10.000 perbulan. Berapakah tabungannya perbulan bila penghasilannya telah mencapai Rp 120.000,- perbulan? Jawab: Untuk mencari banyaknya tabungan dengan rumus S = Y – C= 120.000 – C Untuk mencari Konsumsi dengan mengetahui persamaan Konsumsinya C = a + bY Y1 = 0 C1 = 30.000 Y2 = 100.000 S2 = 10.000 C2 = ? C2=Y2 –S2 C2 = 100.000 – 10.000 = 90.000 Cara 1 Dari Y1 dan C1 : C = a + bY 30.000 = a + b(0) 30.000 = a Dari Y2 dan C2: C = a + bY 90.000 = 30.000 + b(100.000) b = 0,6 jadi fungsi Konsumsinya C = 30.000 + 0,6Y



8



Cara 2 Y1 = 0 C1 = 30.000 Y2 = 100.000 C2 = 90.000 Masukan ke persamaan



jadi fungsi Konsumsinya C = 30.000 + 0,6Y pada tingkat pendapatan Y = 120.000 C = 30.000 + 0,6(120.000) C = 30.000 + 72.000 C = 102.000 Maka S = Y – C S = 120.000 – 102.000 S = 18.000



9



FUNGSI NON LINEAR Fungsi Non Linear Kuadrat (Fungsi Parabola) 



Fungsi kuadrat adalah fungsi yang memenuhi bentuk f(x) = y = ax2 + bx + c, variabel y berpangkat paling besar satu dan variabel x berpangkat paling besar dua.







Fungsi tersebut jika digambarkan grafiknya akan membentuk grafik parabola terbuka ke atas atau parabola tertutup. Jika a > 0 maka grafik terbuka ke atas Jika a < 0 maka grafik tertutup.







Grafik dapat memotong di sumbu x pada dua titik, satu titik, atau tidak memotong sama sekali.







Untuk memeriksa apakah memotong sumbu x di satu titik, dua titik, atau tidak memotong sumbu x, digunakan Diskriminan



D = b2 – 4ac Jika D > 0 grafik memotong 2 titik di sumbu x Jika D = 0 grafik memotong 1 titik di sumbu x Jika D < 0 grafik tidak memotong sumbu x 



Untuk mengetahui titik potong pada sumbu x, bisa digunakan cara faktorisasi atau menggunakan rumus ABC:



√ 



Untuk mencari titik maksimum atau minimum (titik extreme) dapat digunakan rumus



(



)



10



Fungsi kuadrat dapat juga ditulis dalam bentuk x = ay2 + by + c , dengan x pangkat terbesar satu dan y pangkat terbesar 2. Karena pangkat variabelnya ditukar dari sebelumnya y = ax2 + bx + c maka grafiknya parabolanya akan terbuka ke kanan atau ke kiri. 



Gambar Fungsi kuadrat dalam bentuk y = ax2 + bx + c







Gambar Fungsi kuadrat dalam x = ay2 + by + c



Soal 1 gambarkan grafik y = x2 – 2x – 8



11



Penerapan dalam Ekonomi Soal 2 Hitunglah jumlah dan harga keseimbangan dari kurva penawaran dan kurva permintaan berikut, fungsi penawaran Q = P2 + P – 2 dan fungsi permintaan Q = – 2P + 16



12



LIMIT Limit adalah subjek matematika yang mempelajari apa yang terjadi pada suatu fungsi ketika inputnya dimasukkan mendekati suatu angka. Limit fungsi dapaat didefinisikan sebagai: ( ) yang berarti bahwa jika x mendekati a (x a), maka f(x) mendekati nilai L Contoh 1: Katakan jika ada sebuah fungsi , dan kita akan memasukkan pada limitnya ketika mendekati . Dengan menggunakan notasi diatas, kita dapat menuliskan limitnya sebagai:



Cara yang dipakai untuk mendapatkan berapa nilai limit adalah dengan mencoba masukkan angka yang mendekati 2, hitunglah nilai masing-masing pada fungsi , dan lihat apa yang terjadi ketika x mendekati 2. Dapat dilihat di tabel di bawah ini: Kita coba masukan untuk angka yang mendekati 2 dari kiri: 1,7



1,8



1,9



1,95



1,99



1,999



2,89 3,24 3,61 3,8025 3,9601 3,996001 Sekarang kita coba masukkan untuk angka yang mendekati 2 dari kanan: 2,3



2,2



2,1



2,05



2,01



2,001



5,29 4,84 4,41 4,2025 4,0401 4,004001 Dari hasil tabel diatas, dapat kita lihat bahwa jika nilai



semakin mendekati angka 2, maka



nilai akan semakin mendekati 4, baik dari atas maupun dari bawah. Untuk alasan ini, maka kita dapat memastikan bahwa limit ketika mendekati 2 adalah 4, atau jika ditulis dalam notasi limit,



13



Example 2: Sekarang mari kita lihat contoh lainnya. Kita akan melihat karakter dari fungsi ( ) ketika nilai



dimasukkan mendekati 2. Limitnya adalah:



Seperti sebelumnya, kita dapat memasukkan nilai-nilai yang mendekati 2 dari kiri maupun dari kanan. Berikut ini tabel untuk nilai mendekati 2 dari kiri: 1,7



1,8 1,9 1,95 1,99 1,999



-3,333 -5



Dan tabel ini untuk



-10 -20



-100 -1000



mendekati 2 dari kanan: 2,3



2,2 2,1 2,05 2,01 2,001



3,333 5



10



20



100



1000



Pada kasus ini, terlihat bahwa fungsi tidak memiliki satu nilai untuk mendekati 2, tapi malah salihg berjauhan satu sama lain. Limit ini disebut dengan limit tak terhingga. Perhatikan bahwa kita tidak dapat memasukkan angka 2 dalam fungsi ( ) karena berarti akan membaginya dengan nol (dalam matematika tidak boleh membagi bilangan dengan nol).



Menentukan Nilai Limit Fungsi Cara 1: Memasukan nilainya (substitusi) secara langsung, jika didapatkan hasil tidak tentu _yaitu atau maka gunakan cara lain. Cara 2 : Dekati dari kiri dan dari kanan Cara 3 : Faktorisasi Cara 4 : Diferensial Soal 1: Tentukan nilai



14



Jawab:  Cara 1(substitusi): ( 



Cara 2(Dekati dari kiri dan kanan) Dekati dari kiri x 0,9



Dekati dari kanan x



)



0,99



0,999



1,9



1,99



1,999



1,01



1,001



1,0001



2,01



2,001



2,0001



Dengan cara didekati dari kiri dan kanan nilai dari fungsi mendekati nilai 2. 



Cara 3: Faktorisasi



(



)( (



) )



Soal 2:Tentukan nilai



Soal 3: Tentukan nilai



Soal 4: Tentukan nilai



15



(



)



(



)



DIFERENSIAL (TURUNAN) Diferensial adalah laju perubahan nilai fungsi f: x dalam bentuk limit: ( ( )



f(x) pada suatu nilai x. jika dituliskan )



( )



Selain notasi di atas, fungsi turunan juga dapat dituliskan dengan salah satu lambang berikut ini. ( ) y’ atau f’(x) atau atau atau



Rumus-rumus turunan fungsi aljabar adalah sebagai berikut. 1. Jika f(x) = k maka f’(x) = 0 2. Jika f(x) = x maka f’(x) = 1 3. Jika f(x) = xn maka f’(x) = nxn-1 n 4. Jika f(x) = ax maka f’(x) = anxn-1 5. Jika f(x) = [u(x)]n maka f’(x) = n[u(x)]n-1.u’(x) 6. Jika f(x) = u(x).v(x) maka f’(x) = u’(x).v(x) + u(x).v’(x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7. Jika f(x) = maka f’(x) = ( ) ( ) Soal 1: Tentukan turunan dari fungsi berikut! a. y = x + 2 b. y = 3x – 4 c. y = 5x2 16



d. y = 7x3– 4x2– 5x + 3



e. y = 2(x4– 3)3



f. y = (3x4 + 2)(2x2 – 2)



g. y =



h. y = – 2x4 + 3x2 – 5



i. y = x2(x – 1)



j. y =



17



TURUNAN PARSIAL f(x,y,z) = 3x4yz2 + 5x3y2z4 + 2x2y3z + 4xy4z3 + 2x2y + 3xz2 + 4y2z + 15



(



)



(



)



(



)



=



=



=



18



PENERAPAN TURUNUNAN (DIFERENSIAL) DALAM EKONOMI 1. Elastisitas a. Elastisitas Permintaan (𝞰d)  Elastisitas Permintaan adalah rasio antara persentase perubahan jumlah permintaan barang dengan persentase perubahan harga.



 Persentase perubahan jumlah permintaan barang  Persentase perubahan harga



Jadi



atau



b. Elastisitas Penawaran ( s)  Elastisitas Permintaan adalah rasio antara persentase perubahan jumlah penawaran barang dengan persentase perubahan harga.



 Persentase perubahan jumlah penawaran barang  Persentase perubahan harga



Jadi



atau



c. Elastisitas Harga Adalah rasio antara perubahan harga dengan permintaan jumlah permintaan atau jumlah penawaran. jadi Soal 1 Jika fungsi permintaan akan mobil produksi dalam negeri di Indonesia adalah P = -2Q + 36, tentukan elastisitas permintaan pada titik Q = 15 dan P = 6. Jawab:



19



Soal 2 Fungsi permintaan dan penawaran suatu barang masing-masing Q + 3P = 4 dan Q = P2 Tentukan elastisitas permintaan dan elastisitas penawaran pada titik keseimbangan pasar. Jawab:



Soal 3 Bila fungsi permintaan seorang konsumen ditunjukkan oleh persamaan P = 50 – 2Q, Maka berapakah elastisitas pada harga P = 20?



20



2. Biaya Produksi a. Biaya Tetap Total / Total Fixed Cost / TFC / FC Yaitu biaya yang besarnya tetap berapapun tingkat output yang dihasilkan. Misalnya: Penyusutan investasi, Sewa Gudang, Asuransi. b. Biaya Variabel Total / Total Variabel Cost / TVC / VC Yaitu biaya yang besarnya tergantung dari jumlah output yang dihasilkan. Biaya variabel ini akan bertambah besar bisa output yang dihasilkan bertambah, karena output yang lebih besar memerlukan faktor produksi yang lebih banyak. Misalnya: bahan mentah, upah, ongkos angkut. c. Biaya Total / Total Cost / TC Penjumlahan antara Biaya Tetap (FC) dengan Biaya Variabel (VC) TC = FC + VC 3. Biaya Persatuan a. Biaya Tetap Rata-Rata / Average Fixed Cost / AFC Yaitu Biaya Tetap (TFC) yang dibebankan pada setiap unit barang



b. Biaya Variabel Rata-rata / Average Variabel Cost / AVC Yaitu Biaya Variabel (TVC) yang dibebankan pada setiap unit barang



c. Biaya Total Rata-Rata / Average Total Cost / ATC / AC Yaitu biaya total yang dibebankan pada setiap unit output yang diproduksi



d. Biaya Marginal / Marginal Cost / MC Yaitu Tambahan Biaya Total (TC) karena ada tambahan satu unit output.



Soal 4: Bila fungsi biaya rata-rata ditunjukan oleh persamaan AC = 25 – 8Q + Q2 , tentukan biaya marginalnya!



21



4. Biaya Konsumen



Salah satu pendekatan yang menjelaskan konsumen mengikuti hukum permintaan adalah pendekatan Kepuasan Marginal (Marginal Utility). Kepuasan Marginal adalah tambahan kepuasan yang diperoleh konsumen karena ada tambahan konsumsi satu unit barang, jadi kepuasan marginal tidak lain adalah turunan pertama dari Kepuasan Total.



MU = Marginal Utility/Kepuasan Marginal TU = Kepuasan Total Pendekatan Kepuasan Marginal/Marginal Utility bertolak pada suatu anggapan yang menyatakan bahwa kepuasan konsumen dapat diukur dengan uang dan konsumen berusaha untuk mencapai kepuasan total yang maksimum. Konsumen akan memperoleh kepuasan total yang maksimum apabila dipenuhi syarat, Harga sama dengan Kepuasan Marginal (Marginal Utility). P = MU Soal 5: Berapa jumlah barang yang akan diminta oleh konsumen apabila harga barang perunit Rp 20,- dan Kepuasan Total konsumen ditunjukan oleh fungsi TU = 120Q – 0,25Q2 – 00



22



MAKSIMUM MINIMUM FUNGSI 1. Menentukan gradien dengan turunan Gradien (kemiringan) pada sebuah fungsi non linear dapat berbeda pada setiap nilai x, besarnya kemiringan bisa didapatkan dengan cara menggunakan diferensial/turunan satu kali.



Soal 1: Tentukan besarnya kemiringan di x=2 pada fungsi y = x2 + 5x – 24



Soal 2: Tentukan besarnya kemiringan di x = – 4 pada fungsi y = x2 – 3x + 2



23



Soal 3: Tentukan besarnya kemiringan di x = – 1 pada fungsi y = – x3 +2x2 + 4x – 12



2. Menentukan titik Ekstrem (maksimum atau minimum) dengan turunan satu kali. Karena pada titik maksimum dan titik minimum gradien/kemiringannya sama dengan nol, maka titik maksimum dan titik minimum bisa didapatkan dengan cara diferensial/turunan. Sama dengan Nol.



Soal 1: Tentukan titik Ekstrem (maksimum/minimum) untuk fungsi y = x2 + 5x + 6 , gambarkan grafiknya!



Soal 2: Tentukan titik Ekstrem (maksimum/minimum) untuk fungsi y = – x2 + 5x + 6 !



24



Untuk mengetahui apakah titik Ekstrem tersebut maksimum atau minimum dapat dilihat dari grafik atau diperiksa kemiringannya sebelum atau setelah titik tersebut.



Maksimum-Minimum Lokal/Relatif dan Maksimum-Minimum Mutlak



25



Soal 1: Cari maksimum dan minimum relatif jika ada untuk fungsi y = 2x3 – 3x2 –12x + 13 dan gambarkan!



Soal 2: Cari maksimum dan minimum relatif jika ada untuk fungsi y = 3x4 – 4x3 dan gambarkan.



26