Matematika Fuzzy by Munajib [PDF]

Citation preview

BILANGAN FUZZY Bab ini mendiskripsikan bilangan fuzzy. Pertama dari semua, kita akan melihat lebih jauh tentang interval, konsep dasar dari bilangan fuzzy, dan kemudian



operasi



dari



bilangan



fuzzy.



Sebagai



tambahan,



kita



akan



memperkenalkan jenis khusus (special) dari bilangan fuzzy seperti bilangan fuzzy triangular dan bilangan fuzzy trapezoidal.



5.1 Konsep Bilangan Fuzzy 5.1.1 Interval Ketika interval didefinisikan pada bilangan real ℜ, interval pada bilangan real dikatakan menjadi subset dari ℜ. Misalnya, jika interval dinyatakan sebagai = [𝑎1 , 𝑎3 ] 𝑎1 , 𝑎3 ∈ ℜ, 𝑎1 < 𝑎3, kita mungkin menganggap ini sebagai salah satu jenis himpunan. Ekspresi interval sebagai fungsi keanggotaan ditunjukkan sebagai berikut (gambar 5.1) 𝜇𝐴 (𝑥) =



0, 1, 0,



𝑥 < 𝑎1 𝑎1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎3 𝑥 > 𝑎3



Jika 𝑎1 = 𝑎3 interval ini mengindikasikan suatu titik. Yaitu, [𝑎1 , 𝑎1 ] = 𝑎1.



Gambar 5.1 Interval 𝐴 = [𝑎1 , 𝑎3 ]



5.1.2 Bilangan Fuzzy



Bilangan fuzzy diekspresikan sebagai himpunan fuzzy yang mendefiniskan interval fuzzy pada bilangan real ℜ. Karena batas interval ini ambigu, interval juga merupakan himpunan fuzzy. Interval fuzzy secara umum direpresentasikan melalui dua titik akhir 𝑎1 dan 𝑎3 dan titik puncak 𝑎2 sebagai [𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ] (gambar 5.2). Operasi 𝛼-cut juga dapat diterapkan pada bilangan fuzzy. Jika kita menyatakan interval 𝛼-cut untuk bilangan fuzzy 𝐴 sebagai 𝐴𝛼 , diperoleh interval 𝐴𝛼 yang didefinisikan sebagai 𝐴𝛼 = [𝑎1 (𝛼) , 𝑎3 (𝛼) ] Kita juga akan mengetahui bahwa itu meruapakan suatu interval tegas sederhana (gambar 5.3). Di sini kita meninjau definisi bilangan fuzzy yang diberikan pada subbab 1.5.4



Definisi (Bilangan Fuzzy) adalah himpunanan fuzzy yang memenuhi kondisi: -



Himpunan fuzzy konvek



-



Himpunan fuzzy normal



-



Fungsi Keanggotaannya adalah piecewise continuous.



-



Terdefinisi pada bilangan real



Bilangan fuzzy harus normal dan konvek. Kondisi normalisasi di sini meyebabkan nilai maksimun keanggotaannya adalah 1. 𝜇𝐴 (𝑥) = 1



∃𝑥 ∈ ℜ,



Kondisi konvek menyatakan bahwa garis melalui 𝛼-cut adalah kontinu dan interval 𝛼-cut memenuhi relasi sebagai berikut. 𝐴𝛼 = [𝑎1 (𝛼) , 𝑎3 (𝛼) ] ′



′



(𝛼 ′ < 𝛼) ⟹ (𝑎1 (𝛼 ) < 𝑎1 (𝛼) , 𝑎3 (𝛼 ) > 𝑎3 (𝛼) )



Gambar 5.2 Bilangan Fuzzy 𝐴 = [𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ]



Gambar 5.3 𝛼-cut dari bilangan fuzzy (𝛼 ′ < 𝛼) ⟹ (𝐴𝛼 ⊂ 𝐴𝛼′ )



Kondisi konvek mungkin juga dapat dituliskan (𝛼 ′ < 𝛼) ⟹ (𝐴𝛼 ⊂ 𝐴𝛼′ )



5.1.3 Operasi pada Interval Operasi pada bilangan fuzzy dapat di generalisasikan dari interval tegas. Mari kita lihat operasi interval. ∀𝑎1 , 𝑎3 , 𝑏1 , 𝑏3 ∈ ℜ 𝐴 = [𝑎1 , 𝑎3 ], 𝐵 = [𝑏1 , 𝑏3 ]



Dengan asumsi bahwa 𝐴 dan 𝐵 sebagai ekspresi bilangan interval, operasi-operasi utama interval adalah (1) Penambahan [𝑎1 , 𝑎3 ] (+) [𝑏1 , 𝑏3 ] = [𝑎1 + 𝑏1 , 𝑎3 + 𝑏3 ] (2) Pengurangan [𝑎1 , 𝑎3 ] (−) [𝑏1 , 𝑏3 ] = [𝑎1 − 𝑏3 , 𝑎3 − 𝑏1 ] (3) Perkalian [𝑎1 , 𝑎3 ] (∙) [𝑏1 , 𝑏3 ] = [𝑎1 ∙ 𝑏1 ∧ 𝑎1 ∙ 𝑏3 ∧ 𝑎3 ∙ 𝑏1 ∧ 𝑎3 ∙ 𝑏3 , 𝑎1 ∙ 𝑏1 ∨ 𝑎1 ∙ 𝑏3 ∨



𝑎3 ∙ 𝑏1 ∨ 𝑎3 ∙ 𝑏3 ]



(4) Pembagian [𝑎1 , 𝑎3 ] (/) [𝑏1 , 𝑏3 ] = [𝑎1 /𝑏1 ∧ 𝑎1 /𝑏3 ∧ 𝑎3 /𝑏1 ∧ 𝑎3 /𝑏3 , 𝑎1 /𝑏1 ∨ 𝑎1 /𝑏3 ∨ 𝑏3 ≠ 0



𝑎3 /𝑏1 ∨ 𝑎3 /𝑏3 ], dengan 𝑏1 ≠ 0 atau



(5) Interval invers [𝑎1 , 𝑎3 ]−1 = [1/𝑎1 ∧ 1/𝑎3 , 1/𝑎1 ∨ 1/𝑎3 ], dengan 𝑎1 ≠ 0 atau 𝑎3 ≠ 0 (6) Perkalian skalar Misalnya, a perkalian ∈ ℜ, 𝑎[𝑏1 , 𝑏3 ] = [𝑎 ∙ 𝑏1 ∧ 𝑎 ∙ 𝑏3 , 𝑎 ∙ 𝑏1 ∨ 𝑎 ∙ 𝑏3 ] Contoh 5.1 terdapat dua interval 𝐴 dan 𝐵, 𝐴 = [3,5],



𝐵 = [−2,7]



Sehingga operasi himpunan sebagai berikut. 𝐴(+)𝐵



= [3 − 2, 5 + 7] = [1,12]



𝐴(−)𝐵



= [3 − 7, 5 − (−2)] = [−4,7]



𝐴(∙)𝐵



= [3 ∙ (−2) ∧ 3 ∙ 7 ∧ 5 ∙ (−2) ∧ 5 ∙ 7, 3 ∙ (−2) ∨ ⋯ ] = [−10,35]



𝐴(/)𝐵



= [3/(−2) ∧ 3/7 ∧ 5/(−2) ∧ 5/7, 3/(−2) ∨ ⋯ ] = [−2.5,5/7]



𝐵 −1



= [−2,7]−1 = [(−2) ∧ 7 , (−2) ∨ 7] = [− 2 , 7]



−4𝐵



= −4[−2,7] = [(−4) ∙ (−2) ∧ (−4) ∙ 7, (−4) ∙ (−2) ∨ (−4) ∙ 7]



1



1



1



1



1 1



= [8 ∧ −28,8 ∨ −28] = [−28, 8]



Ketika himpunan 𝐴 dan 𝐵 sebelumnya didefinisikan pada bilangan real positif ℜ+ , operasi perkalian, pembagian, dan interval invers ditulis sebagai berikut (3’) Perkalian [𝑎1 , 𝑎3 ] (∙) [𝑏1 , 𝑏3 ] = [𝑎1 ∙ 𝑏1 , 𝑎3 ∙ 𝑏3 ] (4’) Pembagian [𝑎1 , 𝑎3 ] (/) [𝑏1 , 𝑏3 ] = [𝑎1 /𝑏3 , 𝑎3 /𝑏1 ] (5’) Interval inversi [𝑎1 , 𝑎3 ]−1 = [1/𝑎3 , 1/𝑎1 ] (6’) Minimum



[𝑎1 , 𝑎3 ] (∧) [𝑏1 , 𝑏3 ] = [𝑎1 ∧ 𝑏1 , 𝑎3 ∧ 𝑏3 ] (7’) Maksimum [𝑎1 , 𝑎3 ] (∨) [𝑏1 , 𝑏3 ] = [𝑎1 ∨ 𝑏1 , 𝑎3 ∨ 𝑏3 ] (8’) Perkalian skalar Misalnya, a ∈ ℜ+ , 𝑎[𝑏1 , 𝑏3 ] = [𝑎 ∙ 𝑏1 , 𝑎 ∙ 𝑏3 ]



5.2 Operasi pada Bilangan Fuzzy 5.2.1 Operasi 𝜶-cut Interval Kita mengacu untuk interval 𝛼-cut pada bilangan fuzzy 𝐴 = [𝑎1 , 𝑎3 ] sebagai himpunan tegas 𝐴𝛼 = [𝑎1 (𝛼) , 𝑎3 (𝛼) ], ∀𝛼 ∈ [0,1], 𝑎1 , 𝑎3 , 𝑎1 (𝛼) , 𝑎3 (𝛼) ∈ ℜ Sehingga 𝐴𝛼 merupakan interval tegas. Dengan demikian, operasi interval yang dikaji pada subbab sebelumnya dapat diterapkan untuk interval 𝛼-cut 𝐴𝛼 . Jika interval 𝛼-cut 𝐵𝛼 dari bilangan fuzzy 𝐵 diberikan 𝐵 = [𝑏1 , 𝑏3 ], 𝑏1 , 𝑏3 ∈ ℜ 𝐵𝛼 = [𝑏1 (𝛼) , 𝑏3 (𝛼) ], ∀𝛼 ∈ [0,1], 𝑏1 , 𝑏3 , 𝑏1 (𝛼) , 𝑏3 (𝛼) ∈ ℜ Operasi-operasi antara 𝐴𝛼 dan 𝐵𝛼 dapat digambarkan sebagai berikut: [𝑎1 (𝛼) , 𝑎3 (𝛼) ](+)[𝑏1 [𝑎1 (𝛼) , 𝑎3 (𝛼) ](−)[𝑏1



(𝛼)



(𝛼)



, 𝑏3



, 𝑏3



(𝛼)



(𝛼)



] = [𝑎1 (𝛼) + 𝑏1



] = [𝑎1 (𝛼) − 𝑏3



(𝛼)



(𝛼)



, 𝑎3 (𝛼) + 𝑏3



, 𝑎3 (𝛼) − 𝑏1



(𝛼)



(𝛼)



]



]



Operasi-operasi ini dapat juga diterapkan pada perkalian dan pembagian dengan cara yang sama. Begitu juga untuk perkalian skalar dengan himpunan. Kita juga dapat mengalikan nilai skalar pada interval 𝛼-cut pada bilangan fuzzy. ∀𝛼 ∈ [0,1], 𝑏1 (𝛼) , 𝑏3 (𝛼) ∈ ℜ 𝑎[𝑏1 (𝛼) , 𝑏3 (𝛼) ] = [𝑎 ∙ 𝑏1



(𝛼)



∧ 𝑎 ∙ 𝑏3



(𝛼)



, 𝑎 ∙ 𝑏1



(𝛼)



∨ 𝑎 ∙ 𝑏3



(𝛼)



]



5.2.2 Operasi Bilangan Fuzzy Operasi-operasi interval sebelumya juga dapat diterapkan pada bilangan fuzzy. Karena hasil dari bilangan fuzzy (himpunan fuzzy) adalah dalam bentuk himpunan fuzzy, hasilnya diekspresikan pada fungsi keanggotaan. ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℜ (1) Penambahan : 𝐴(+)𝐵 𝜇𝐴(+)𝐵 (𝑧) =∨𝑧=𝑥+𝑦 (𝜇𝐴 (𝑥) ∧ 𝜇𝐵 (𝑦)) (2) Pengurangan : 𝐴(−)𝐵 𝜇𝐴(−)𝐵 (𝑧) =∨𝑧=𝑥−𝑦 (𝜇𝐴 (𝑥) ∧ 𝜇𝐵 (𝑦)) (3) Perkalian : 𝐴(∙)𝐵 𝜇𝐴(∙)𝐵 (𝑧) =∨𝑧=𝑥∙𝑦 (𝜇𝐴 (𝑥) ∧ 𝜇𝐵 (𝑦)) (4) Pembagian : 𝐴(/)𝐵 𝜇𝐴(/)𝐵 (𝑧) =∨𝑧=𝑥/𝑦 (𝜇𝐴 (𝑥) ∧ 𝜇𝐵 (𝑦)) (5) Minimum : 𝐴(∧)𝐵 𝜇𝐴(∧)𝐵 (𝑧) =∨𝑧=𝑥∧𝑦 (𝜇𝐴 (𝑥) ∧ 𝜇𝐵 (𝑦)) (6) Maksimum : 𝐴(∨)𝐵 𝜇𝐴(∨)𝐵 (𝑧) =∨𝑧=𝑥∨𝑦 (𝜇𝐴 (𝑥) ∧ 𝜇𝐵 (𝑦))



5.2.3 Contoh-contoh Operasi Bilangan Fuzzy Contoh 5.3 Penambahan 𝐴(+)𝐵 Untuk pemahaman lebih lanjut operasi bilangan fuzzy, mari kita pertimbangkan dua himpunan fuzzy 𝐴 dan 𝐵. Catat bahwa himpunan-himpunan fuzzy ini didefinisikan pada bilangan diskrit untuk memudahkan. 𝐴 = {(2,1), (3,0.5)}, 𝐵 = {(3,1), (4,0.5)} Pertama dari semua, fokus kita penambahan antara 𝐴 dan 𝐵. Untuk menginduksi 𝐴(+)𝐵, untuk semua 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐴(+)𝐵, kita mengecek setiap kasus sebagai berikut (gambar 5.4)



(i) Untuk 𝑧 < 5, 𝜇𝐴(+)𝐵 (𝑧) = 0 (ii) 𝑧 = 5 Hasil dari 𝑥 + 𝑦 = 2 + 3 𝜇𝐴 (2) ∧ 𝜇𝐵 (3) = 1 ∧ 1 = 1 𝜇𝐴(+)𝐵 (5) =∨5=2+3 (1) = 1 (iii)𝑧 = 6 Hasil dari 𝑥 + 𝑦 = 3 + 3 atau 𝑥 + 𝑦 = 2 + 4 𝜇𝐴 (3) ∧ 𝜇𝐵 (3) = 0.5 ∧ 1 = 0.5 𝜇𝐴 (2) ∧ 𝜇𝐵 (4) = 1 ∧ 0.5 = 0.5 𝜇𝐴(+)𝐵 (6) =∨6=3+3,



6=2+4



(0.5,0.5) = 0.5



(iv) 𝑧 = 7 Hasil dari 𝑥 + 𝑦 = 3 + 4 𝜇𝐴 (3) ∧ 𝜇𝐵 (4) = 0.5 ∧ 0.5 = 0.5 𝜇𝐴(+)𝐵 (7) =∨7=3+4 (0.5) = 0.5 (v) Untuk 𝑧 > 7 𝜇𝐴(+)𝐵 (𝑧) = 0 Sehingga 𝐴(+)𝐵 dapat ditulis 𝐴(+)𝐵 = {(5.1), (6,0.5), (7,0.5)}



(a) Himpunan Fuzzy 𝐴



(b) Himpunan Fuzzy 𝐵



(c) Himpunan Fuzzy 𝐴(+)𝐵 Gambar 5.4 Operasi tambah pada himpunan fuzzy



Contoh 5.4 Pengurangan 𝐴(−)𝐵 Mari manipulasi 𝐴(−)𝐵 antara definisi yang sebelumnya tentang himpunan fuzzy 𝐴 dan 𝐵. Untuk 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐴(−)𝐵. Himpunan fuzzy 𝐴(−)𝐵 didefinisikan sebagai berikut (gambar 5.5) (i)



Untuk 𝑧 < −2, 𝜇𝐴(−)𝐵 (𝑧) = 0



(ii) 𝑧 = −2 Hasil dari 𝑥 − 𝑦 = 2 − 4 𝜇𝐴 (2) ∧ 𝜇𝐵 (4) = 1 ∧ 0.5 = 0.5 𝜇𝐴(−)𝐵 (−2) = 0.5



(iii)𝑧 = −1 Hasil dari 𝑥 − 𝑦 = 2 − 3 atau 𝑥 − 𝑦 = 3 − 4 𝜇𝐴 (2) ∧ 𝜇𝐵 (3) = 1 ∧ 1 = 1 𝜇𝐴 (3) ∧ 𝜇𝐵 (4) = 0.5 ∧ 0.5 = 0.5 𝜇𝐴(−)𝐵 (−1) =∨−1=2−3,−1=3−4 (1,0.5) = 1 (iv) 𝑧 = 0 Hasil dari 𝑥 − 𝑦 = 3 − 3 𝜇𝐴 (3) ∧ 𝜇𝐵 (3) = 0.5 ∧ 1 = 0.5 𝜇𝐴(−)𝐵 (0) = 0.5 (v) Untuk 𝑧 ≥ 1 𝜇𝐴(−)𝐵 (𝑧) = 0 Sehingga 𝐴(−)𝐵 dapat ditulis 𝐴(−)𝐵 = {(−2,0.5), (−1,1), (0,0.5)}



Gambar 5.5 Bilangan fuzzy 𝐴(−)𝐵 Contoh 5.5 Operasi maksimum 𝐴(∨)𝐵 Mari sepakat dengan operasi Maksimum 𝐴(∨)𝐵 antara 𝐴 dan 𝐵 Untuk ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐴(∨)𝐵 , himpunan fuzzy 𝐴(∨)𝐵 didefinisikan oleh 𝜇𝐴(∨)𝐵 (𝑧)



(i) Untuk 𝑧 ≤ 2 𝜇𝐴(∨)𝐵 (𝑧) = 0 (ii) 𝑧 = 3 Hasil dari 𝑥 ∨ 𝑦 = 2 ∨ 3 dan 𝑥 ∨ 𝑦 = 3 ∨ 3 𝜇𝐴 (2) ∧ 𝜇𝐵 (3) = 1 ∧ 1 = 1 𝜇𝐴 (3) ∧ 𝜇𝐵 (3) = 0.5 ∧ 1 = 0.5 𝜇𝐴(∨)𝐵 (3) =∨3=2∨3,3=3∨3 (1,0.5) = 1 (iii)𝑧 = 4 Hasil dari 𝑥 ∨ 𝑦 = 2 ∨ 4 dan 𝑥 ∨ 𝑦 = 3 ∨ 4 𝜇𝐴 (2) ∧ 𝜇𝐵 (4) = 1 ∧ 0.5 = 0.5 𝜇𝐴 (3) ∧ 𝜇𝐵 (4) = 0.5 ∧ 0.5 = 0.5 𝜇𝐴(∨)𝐵 (4) =∨4=2∨4,3=3∨4 (0.5,0.5) = 0.5 (iv) Untuk 𝑧 > 5 Tidak mungkin 𝜇𝐴(∨)𝐵 (𝑧) = 0 Sehingga 𝐴(∨)𝐵 didefinisikan menjadi 𝐴(∨)𝐵 = {(3,1), (4,0.5)} Sejauh ini kita telah melihat hasil dari operasi-operasi pada himpunan fuzzy, dan dengan demikian kita menyadari bahwa prinsip ekstensi diterapkan untuk operasi pada bilangan fuzzy



5.3 Bilangan Fuzzy Triangular 5.3.1 Definisi Bilangan Fuzzy Triangular Diantara berbagai bentuk bilangan fuzzy, bilangan fuzzy triangular merupakan salah satu yang paling populer. Definisi:



Triangular



bilangan



fuzzy



merupakan



bilangan



fuzzy



direpresentasikan dengan tiga titik sebagai berikut: 𝐴 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) Representasi ini diinterpretasikan sebagai fungsi keanggotaan (gambar 5.6)



yang



0, 𝑥−𝑎1 𝑎2 −𝑎1



𝑥 < 𝑎1 ,



𝜇𝐴 (𝑥) 𝑎 − 𝑥 3



𝑎3 − 𝑎2



𝑎1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎2 ,



0,



𝑎2 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎3 𝑥 > 𝑎3



Sekarang jika kita memperoleh interval tegas melalui operasi 𝛼-cut, interval 𝐴𝛼 akan termuat mengikuti ∀𝛼 ∈ [0,1] Dari 𝑎1 (𝛼) − 𝑎1 𝑎3 − 𝑎3 (𝛼) =𝛼, =𝛼 𝑎2 − 𝑎1 𝑎3 − 𝑎2



Gambar 5.6 Bilangan fuzzy triangular 𝐴 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) Kita memperoleh 𝑎1 (𝛼) = (𝑎2 − 𝑎1 )𝛼 + 𝑎1 𝑎3 (𝛼) = −(𝑎3 − 𝑎2 )𝛼 + 𝑎3 Dengan demikian 𝐴𝛼 = [𝑎1 (𝛼) , 𝑎3 (𝛼) ] = [(𝑎2 − 𝑎1 )𝛼 + 𝑎1 , −(𝑎3 − 𝑎2 )𝛼 + 𝑎3 ] Contoh 5.6 pada kasus bilangan fuzzy triangular 𝐴 = (−5, −1,1) (gambar 5.7), nilai fungsi keanggotaan akan menjadi



0, 𝑥+5 4



𝜇𝐴 (𝑥)



𝑥 < −5 ,



1−𝑥 , 2



− 5 ≤ 𝑥 ≤ −1 −1≤ 𝑥 ≤1



0,



𝑥>1



Gambar 5.7 𝛼 = 0.5 cut bilangan fuzzy triangular 𝐴 = (−5, −1,1) 𝛼 = 0.5 cut interval dari bilangan fuzzy ini adalah 𝑥+5 = 𝛼 ⟹ 𝑥 = 4𝛼 − 5 4 1−𝑥 = 𝛼 ⟹ 𝑥 = −2𝛼 + 1 2 𝐴𝛼 = [𝑎1 (𝛼) , 𝑎3 (𝛼) ] = [4𝛼 − 5, −2𝛼 + 1] Jika 𝛼 = 0,5, substitusi 0.5 untuk 𝛼, kita memperoleh 𝐴0.5 𝐴0.5 = [𝑎1 (0.5) , 𝑎3 (0.5) ] = [−3, 0]



5.3.2 Operasi Bilangan Fuzzy Triangular Sifat-sifat yang sama pentingnya dari operasi pada bilangan fuzzy triangular diringkas (1) Hasil dari penambahan atau pengurangan antara hasil bilangan fuzzy triangular adalah bilangan fuzzy triangular.



(2) Hasil dari perkalian atau pembagian bukan merupakan bilangan fuzzy triangular (3) Operasi maksimum atau minimum tidak memberikan bilangan fuzzy triangular. Tetapi kita sering mengasumsikan bahwa hasil operasional dari perkalian atau pembagian untuk menjadi TFN sebagai nilai pendekatan.



1) Operasi bilangan fuzzy triangular Pertama, pertimbangkan penambahan dan pengurangan. Di sini kita tidak perlu menggunakan fungsi keanggotaan. Misalkan bilangan fuzzy triangular 𝐴 dan 𝐵 didefinisikan sebagai 𝐴 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ),



𝐵 = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 )



i) Penambahan 𝐴(+)𝐵 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) + (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 )



Bilangan fuzzy triangular



= (𝑎1 + 𝑏1 , 𝑎2 + 𝑏2 , 𝑎3 + 𝑏3 ) ii) Pengurangan 𝐴(−)𝐵 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) + (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 )



Bilangan fuzzy triangular



= (𝑎1 − 𝑏3 , 𝑎2 − 𝑏2 , 𝑎3 − 𝑏1 ) iii) Gambar simetris



Bilangan fuzzy triangular



−(𝐴) = (−𝑎3 , −𝑎2 , −𝑎1 )



Contoh 5.7 Mari pertimbangkan operasi bilangan fuzzy 𝐴, 𝐵 (gambar 5.8) 𝐴 = (−3,2,4),



𝐵 = (−1,0,6)



𝐴(+)𝐵 = (−4,2,10) 𝐴(−)𝐵 = (−9,2,5) 2) Operasi dengan 𝛼-cut Interval-interval 𝛼-level dari operasi 𝛼-cut pada dua di atas bilangan fuzzy triangular 𝐴 dan 𝐵 adalah



(a) Bilangan fuzzy triangular 𝐴, 𝐵



(b) Bilangan fuzzy triangular 𝐴(+)𝐵



(c) Bilangan fuzzy triangular 𝐴(−)𝐵 Gambar 5.8 Bilangan fuzzy triangular 𝐴(+)𝐵 dan 𝐴(−)𝐵 𝐴𝛼 = [𝑎1 (𝛼) , 𝑎3 (𝛼) ] = [(𝑎2 − 𝑎1 )𝛼 + 𝑎1 , −(𝑎3 − 𝑎2 )𝛼 + 𝑎3 ] = [5𝛼 − 3, −2𝛼 + 4]



𝐵𝛼 = [𝑏1 (𝛼) , 𝑏3 (𝛼) ] = [(𝑏2 − 𝑏1 )𝛼 + 𝑏1 , −(𝑏3 − 𝑏2 )𝛼 + 𝑏3 ] = [𝛼 − 1, −6𝛼 + 6] Penentuan penambahan dari dua interval 𝛼-cut 𝐴𝛼 dan 𝐵𝛼 , 𝐴𝛼 (+)𝐵𝛼 = [6𝛼 − 4, −8𝛼 + 10] Khusus untuk 𝛼 = 0 dan 𝛼 = 1 𝐴0 (+)𝐵0 = [−4,10] 𝐴1 (+)𝐵1 = [2,2] = 2 Tiga titik dari prosedur ini sesuai dengan tiga titik pada bilangan fuzzy triangular (−4,2,10) dan hasil 𝐴(+)𝐵 diberikan pada contoh sebelumnya. Seperti yang di atas, setelah memenuhi 𝐴𝛼 (−)𝐵𝛼 , mari pikirkan kasus ketika 𝛼 = 0 dan 𝛼 = 1 𝐴0 (−)𝐵0 = [−9,5] 𝐴1 (−)𝐵1 = [2,2] = 2 Ini juga sesuai dengan tiga titik dari 𝐴(−)𝐵 = (−9,2,5) Konsekuensinya, kita mengetahui bahwa kita dapat menunjukkan operasioperasi antara bilangan fuzzy menggunakan interval 𝛼-cut.



5.3.3 Operasi Bilangan Fuzzy Umum Hingga kini, kita telah mempertimbangkan penyederhanaan prosedur pada penambahan dan pengurangan menggunakan tiga titik bilangan fuzzy triangular. Namun, bilangan fuzzy mungkin memiliki bentuk umum, dan dengan demikian kita memiliki kesepakatan pada operasi-operasi dengan fungsi keanggotaannya. Contoh 5.8 Penambahan 𝐴(+)𝐵 Di sini kita memiliki dua bilangan fuzzy triangular dan akan mengkalkulasikan operasi penambahan menggunakan fungsi kenaggotaan dari bilangan fuzzy triangular.



𝐴 = (−3,2,4), 𝐵 = (−1,0,6) 0, 𝑥+3 2+3



𝜇𝐴 (𝑥)



𝑥 < −3 ,



−3≤ 𝑥 ≤2



4−𝑥 , 4−2



2≤ 𝑥≤4



0,



𝑥>4



0, 𝑦+1 0+1



𝜇𝐵 (𝑥)



𝑦 < −1 ,



−1≤ 𝑦 ≤0



6−𝑦 , 6−0



0≤ 𝑦≤6



0,



𝑦>6



Untuk dua bilangan fuzzy 𝑥 ∈ 𝐴 dan 𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐴(+)𝐵 akan diperoleh memalui fungsi keanggotaan bilangan fuzzy tersebut. Mari berpikir ketika 𝑧 = 8. Penambahan untuk membuat 𝑧 = 8 adalah mungkin untuk kasus sebagai berikut: 2 + 6,3 + 5,3.5 + 4.5, … Sehingga 𝜇𝐴(+)𝐵 =∨8=𝑥+𝑦 [𝜇𝐴 (2) ∧ 𝜇𝐵 (6), 𝜇𝐴 (3) ∧ 𝜇𝐵 (5), 𝜇𝐴 (3.5) ∧ 𝜇𝐵 (4.5), ⋯ ] =∨



[1 ∧ 0, 0.5 ∧ 1/6, 0.25 ∧ 0.25, ⋯ ] =∨



[1,1/6, 0.25, ⋯ ]



Jika kita melanjutkan jenis-jenis operasi ini untuk semua 𝑧 ∈ 𝐴(+)𝐵, kita sampai pada fungsi keanggotaan dan identitas tiga ekspresi tiga titik untuk bilangan fuzzy triangular 𝐴 = (−4,2,10). 0, 𝑧+4 6



𝜇𝐴(+)𝐵 (𝑧)



𝑧 < −4 ,



10 − 𝑧 , 8 0,



−4≤ 𝑧 ≤2 2 ≤ 𝑧 ≤ 10 𝑧 > 10



Tidak ada cara yang sederhana menggunakan ekspresi tiga titik untuk operasi perkalian dan pembagian. Sehingga hal ini diperlukan untuk menggunakan fungsi keanggotaan. Contoh 5.9 Perkalian 𝐴(∙)𝐵 Misalkan bilangan fuzzy triangular 𝐴 dan 𝐵 𝐴 = (1,2,4),



𝐵 = (2,4,6)



0,



𝑥