Materi V Dot Dan Cross PDF [PDF]

Citation preview

PERKALIAN VEKTOR



2.3.2 PERKALIAN VEKTOR 1. Perkalian Skalar dengan Vektor 2. Perkalian vektor dengan Vektor a. Perkalian Titik (Dot Product)



b. Perkalian Silang (Cross Product) 1. Perkalian Skalar dengan Vektor



Hasilnya vektor



k : Skalar A : Vektor



C=kA



Vektor C merupakan hasil perkalian antara skalar k dengan vektor A Catatan



:



 Jika k positif arah C searah dengan A  Jika k negatif arah C berlawanan dengan A k = 3,



A



C = 3A



2.8



2. Perkalian Vektor dengan Vektor a. Perkalian Titik (Dot Product)



AB



=C



Hasilnya skalar



C = skalar



Besarnya : C = |A||B| Cos θ A = |A| = besar vektor A B = |B| = besar vektor B Θ = sudut antara vektor A dan B θ B



A cos θ



2.9



Sifat-sifat Perkalian Titik (Dot Product)



1. Komutatif : A  B = B  A 2. Distributif : A  (B+C) = (A  B) + (A  C)



Catatan : 1. Jika A dan B saling tegak lurus  A  B = 0 2. Jika A dan B searah AB=AB 3. Jika A dan B berlawanan arah  A  B = - A  B



2.10



b. Perkalian Silang (Cross Product)



Hasilnya vektor



C=AxB B θ A B



θ A C=BxA Catatan : Arah vektor C sesuai aturan tangan kanan Besarnya vektor C = A x B = A B sin θ Sifat-sifat : 1. Tidak komutatif  A x B



B = xA



2. Jika A dan B saling tegak lurus  A x B = B x A 3. Jika A dan B searah atau berlawan arah  A x B = 0 2.11



2.4 VEKTOR SATUAN Vektor yang besarnya satu satuan



A Aˆ  A



Notasi



Aˆ  Aˆ 



A A



1



Besar Vektor



Dalam koordinat Cartesian (koordinat tegak) Z k



A j



Arah sumbu x



:



Arah sumbu y



:



iˆ ˆj



Arah sumbu z



:



kˆ



Y i X



A  Axiˆ  Ay ˆj  Az kˆ 2.12



 Sifat-sifat Perkalian Titik (Dot Product) Vektor Satuan i  i



=



j  j =



k k



=



1



i  j



=



j k =



k i



=



0



 Sifat-sifat Perkalian silang (Cross Product) Vektor Satuan



ixi



jxj



= kxk



ixj



=



k



jxk



=



i



kxi



=



j



=



=



0 k i



j 2.13



Contoh Soal 1. Lima buah vektor digambarkan sebagai berikut : Besar dan arah vektor pada gambar di samping :



X C



B



Vektor



Besar (m)



Arah (o)



A



19



0



B



15



45



C



16



135



D



11



207



E



22



270



A Y



D E



Hitung : Besar dan arah vektor resultan. Jawab :



Vektor



Besar (m)



Arah(0)



Komponen X(m)



Komponen Y (m)



A B C D E



19 15 16 11 22



0 45 135 207 270



19 10.6 -11.3 -9.8 0



0 10.6 11.3 -5 -22



RX = 8.5



RY = -5.1



Besar vektor R :



=



R 2 +R y2 = X



8.52+ ( - 5 .1)2



=



Arah vektor R terhadap sumbu x positif : - 5.1 tg  = = - 0,6 8.5  =



329.030



(terhadap x berlawanan arah jarum jam )



94. . 01 = 9.67 m



2.14



2. Diketahui koordinat titik A adalah (2, -3, 4). Tuliskan dalam bentuk vektor dan berapa besar vektornya ? Jawab : Vektor A =



A =



2i – 3j + 4k A



=



2



2



2 + (-3) + 4



2



=



29



satuan



3. Tentukanlah hasil perkalian titik dan perkalian silang dari dua buah vektor berikut ini : A = 2i – 2j + 4k B = i – 3j + 2k Jawab : Perkalian titik : A . B = 2.1 + (-2)(-3) + 4.2 = 16



Perkalian silang : AxB =



i 2 1



j - 2 - 3



k 4 2



= { (-2).2 – 4.(-3)} i – {2.2 – 4.1} j + {2.(-3) – (-2).1} k = (-4+12) i – (4-4) j + (-6+4) k = 8i – 0j – 2j = 8i – 2k



Besaran Vektor: Besaran yang memiliki besar (nilai/angka) dan arah



Contoh besaran Vektor: Besaran Skalar:



Perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya,dll



Besaran yang hanya memiliki besar (nilai/angka) saja



Gambar Vektor



Garis kerja Vektor Arah Vektor



Besar Vektor Titik tangkap/titik pangkal Vektor Garis kerja Vektor



PENULISAN VEKTOR A



=



AB A



Vektor A



= Vektor AB B



PENJUMLAHAN & PENGURANGAN VEKTOR Vektor hasil penjumlahan & pengurangan = Vektor Resultan ( R )



Cara Poligon



Penjumlahan & Pe ngurangan Vektor Cara Jajaran Genjang



Soal-soal



Nilai dan Arah Resultan Dua Buah Vektor Yang Membentuk Sudut α a. α ≠ 90º A α



R



A2  B 2  2 AB cos



B R



R



A2  B 2  2 AB cos 90



A2  B 2



a. α = 90º



cos 90  0 A B



Penguraian Vektor Menjadi KomponenKomponennya Y



Besar Sudut   ....?



Ay



Tg  



Ay Ax



 Ay   arc tg   Ax X



α Ax



Ax  A cos 



Ay  Asin  ???



Dari Mana



  



Kesimpulan Dari Beberapa Kasus Besar Resultan yang mungkin dari dari dua buah vektor A dan B adalah:



ΙA–BΙ≤R≤ΙA+BΙ Ι3Ι= 3 Ι-3Ι= 3



Ι5Ι= 5 Ι-5Ι= 5



Ι 100 Ι = 100 Ι - 100 Ι = 100



Keterangan: Bila sebuah bilangan diberi tanda mutlak ( Ι …. Ι ), maka diambil nilai yang positif