Metode Deret Pangkat [PDF]

Citation preview

Motivasi



Contoh



Metode Deret Pangkat Yunita Septriana Anwar



Desember 2018



Metode Deret Pangkat



Motivasi



Contoh



Motivasi: I



Persamaan Cauchy-Euler merupakan kasus khusus dari persamaan diferensial dengan koefisien variabel: a2 (x)y ” + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = 0 dengan a2 (x), a1 (x), dan a0 (x) merupakan fungsi kontinu dan memiliki representasi dalam bentuk deret Taylor



I



Diasumsikan solusi persamaan diferensial berupa deret: y=



∞ X



cn x n



n=0 I



Akan dicari koefisien-koefisien dari deret tersebut



Metode Deret Pangkat



Motivasi



Contoh



Contoh Soal 1 Tentukan solusi persamaan diferensial y ” + y = 0.



Penyelesaian I



Ini merupakan persamaan diferensial orde dua homogen dengan persamaan karakteristik r 2 + 1 = 0, sehingga solusinya: y = c1 cos x + c2 sin x



I



Dengan metode deret misalkan solusi yang dicari P pangkat, n , yaitu menentukan berupa deret y = ∞ c x n=0 n koefisien-koefisien pada masing-masing suku pada deret.



I



Nilai: 0



y =



∞ X n=1



Metode Deret Pangkat



ncn x n−1



Motivasi



Contoh



I



dan y” =



∞ X



n(n − 1)cn x n−2



n=2 I



Substitusikan ke persamaan diferensial diperoleh: ∞ X



n(n − 1)cn x



n=2 I



n−2



+



∞ X



cn x n = 0



n=0



Perhatikan tabel berikut: Pangkat x x0 x1



Metode Deret Pangkat



Koefisien 2(1)c2 + c0 = 0 atau c2 = − 12 c0 1 3(2)c3 + c1 = 0 atau c3 = − 3·2 c1



Motivasi



Contoh



I I



Pangkat x x2 x3 x4 .. .



Koefisien 1 4(3)c4 + c2 = 0 atau c4 = − 4·3 c2 1 5(4)c5 + c3 =0 atau c5 = − 5·4 c3 1 6(5)c6 + c4 =0 atau c6 = − 6·5 c4 .. .



x n−2



1 n(n − 1)cn + cn−2 =0 atau cn = − n·(n−1) cn−2



Kita bedakan koefisien cn untuk kasus n = 2k genap dan n = 2k + 1 ganjil Untuk n = 2k, diperoleh perpangkatan dalam x 2k−2 , dan dari baris akhir pada tabel diperoleh 2k(2k − 1)c2k + c2k−2 = 0 atau c2k = −



Metode Deret Pangkat



1 c2k−2 2k(2k − 1)



Motivasi



Contoh



I



Sehingga:  c2k = −



1 2k(2k − 1) (−1)k = c0 (2k)!



I



 −



    1 1 1 ··· − − c0 (2k − 2)(2k − 3) 4(3) 2



Untuk n = 2k + 1, diperoleh perpangkatan dalam x 2k−1 , dan dari baris akhir pada tabel diperoleh: (2k + 1)(2k)c2k+1 + c2k−1 = 0 atau c2k+1 = −



Metode Deret Pangkat



1 c2k−1 (2k + 1)(2k)



Motivasi



Contoh



I



Sehingga:   1 1 − ··· c2k+1 = − (2k + 1)(2k) (2k − 1)(2k − 2)    1 1 − − c1 5(4) 3(2) (−1)k = c1 (2k + 1)! Diperoleh solusi umum: ∞ X y= cn x n 



I



n=0



=



∞ X k=0



Metode Deret Pangkat



c2k x



2k



+



∞ X k=0



c2k+1 x 2k+1



Motivasi



Contoh



I



dan y = c0



∞ X (−1)k k=0



(2k)!



x 2k + c1



∞ X (−1)k 2k+1 x (2k + 1)! k=0



= c0 cos x + c1 sin x I



sebagai solusi dari persamaan diferensila y ” + y = 0



I



solusi ini sama dengan solusi dengan metode sebelumnya



Metode Deret Pangkat



Motivasi



Contoh



Contoh Soal 2 Tentukan solusi persamaan diferensial y ” + xy 0 + y = 0.



Penyelesaian I



Persamaan diferensial ini termasuk persamaan diferensial dengan koefisien variabel, tetapi bukan termasuk persamaan Cauchy-Euler



I



Dengan metode deret pangkat, misalkan solusi yang dicari berupa deret ∞ X y= cn x n n=0



I



Nilai: y0 =



∞ X n=1



Metode Deret Pangkat



ncn x n−1 dan y ” =



∞ X n=2



n(n − 1)cn x n−2



Motivasi



Contoh



I



Substitusikan ke persamaan diferensial diperoleh: ∞ X



n(n − 1)cn x n−2 +



n=2 I



∞ X n=1



ncn x n +



∞ X



cn x n = 0



n=0



Perhatikan tabel berikut:



Pangkat x x0 x1 x2 x3 x4 .. .



Koefisien 2(1)c2 + c0 = 0 atau c2 = − 21 c0 3(2)c3 + c1 + c1 = 0 atau c3 = − 31 c1 4(3)c4 + 2c2 + c2 = 0 atau c4 = − 14 c2 5(4)c5 + 3c3 + c3 =0 atau c5 = − 15 c3 6(5)c6 + 4c4 + c4 =0 atau c6 = − 16 c4 .. .



xn



1 (n + 2)(n + 1)cn+2 + (n + 1)cn =0 atau cn+2 = − (n+2) cn



Metode Deret Pangkat



Motivasi



Contoh



I



I



Kita bedakan koefisien cn untuk kasus n = 2k − 2 genap dan n = 2k − 1 ganjil Untuk n = 2k − 2, diperoleh perpangkatan dalam x 2k−2 , dan c2k = −



I



1 c2k−2 2k



Sehingga:        1 1 1 1 1 c2k = − − ··· − − − c0 2k 2k − 2 6 4 2 k (−1) = c0 (2)(4)(6) · · · (2k)



I



Untuk n = 2k − 1, diperoleh perpangkatan dalam x 2k−1 , dan c2k+1 = −



Metode Deret Pangkat



1 c2k−1 2k + 1



Motivasi



Contoh



I



Sehingga:      1 1 1 1 − ··· − − c1 2k + 1 2k − 1 5 3 k (−1) = c1 (3)(5) · · · (2k + 1)



 c2k+1 = −



I



Diperoleh solusi umum: y=



∞ X



c2k x



k=0 ∞ X



= c0



n=1 I



2k



+



∞ X



c2k+1 x 2k+1



k=0 ∞



X (−1)k (−1)k + c1 (2)(4)(6) · · · (2k) (3)(5) · · · (2k + 1) n=1



sebagai solusi dari persamaan diferensila y ” + xy 0 + y = 0



Metode Deret Pangkat



Motivasi



Contoh



Latihan



Tentukan solusi persamaan diferensial: x 2 y ” − xy 0 − 3y = 0



Metode Deret Pangkat



Motivasi



Contoh



Titik Ordinary dan Titik Singular I



Misalkan diberikan persamaan diferensial: a2 (x)y ” + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = 0



I



Bentuk standar: y ” + p(x)y 0 + q(x)y = 0 dengan p(x) =



I



a1 (x) a2 (x)



dan q(x) =



a0 (x) a2 (x)



Titik x0 disebut titik ordinary jika p(x) dan q(x) analitik di x0 , yaitu p(x) dan q(x) mempunyai representasi deret Taylor. Sebaliknya, disebut titik singular



Metode Deret Pangkat



Motivasi



Contoh



I



Persamaan diferensial: d 2y dy + (x 2 − 5)y = 0 +x 2 dx dx



I



dimiliki p(x) = x dan q(x) = x 2 − 5 yang keduanya merupakan polinomial yang analitik disetiap titik



I



Sehingga semua titik merupakan titik ordinary



Metode Deret Pangkat



Motivasi



Contoh



I



Persamaan diferensial: (x − 1)



I



1 d 2y dy + y =0 +x 2 dx dx x



memiliki bentuk standar: d 2y x dy 1 + + y =0 dx 2 x − 1 dx x(x − 1) x x−1



dimiliki p(x) =



I



fungsi p(x) analitik kecuali di x = 1 dan q(x) analitik kecuali di x = 0 dan x = 1



I



Semua titik merupakan titik ordinary, kecuali x = 0 dan x = 1 merupakan titik singular



Metode Deret Pangkat



dan q(x) =



1 x(x−1)



I



Motivasi



Contoh



I



Misalkan x0 merupakan titik singular pada p(x) dan q(x) di bentuk standar persamaan diferensial: y ” + p(x)y 0 + q(x)y = 0 dengan p(x) =



I



a1 (x) a2 (x)



dan q(x) =



a0 (x) a2 (x)



Jika (x − x0 )p(x) dan (x − x0 )2 q(x) analitik di x0 , maka x0 disebut titik singular regular. Sebaliknya x0 disebut titik singular irregular



Metode Deret Pangkat



Motivasi



Contoh



I



Persamaan diferensial: 2x 2



I



d 2y dy + (x − 5)y = 0 −x 2 dx dx



Bentuk standar: d 2y x −5 1 dy + − y =0 dx 2 2x dx 2x 2



I I



1 dan q(x) = x−5 diperoleh p(x) = − 2x 2x 2 x = 0 merupakan titik singular, dan



xp(x) = −



1 x −5 dan x 2 q(x) = 2 2



yang keduanya analitik di x = 0 merupakan titik singular regular Metode Deret Pangkat



Motivasi



Contoh



Deret Frobenius Teorema Misalkan x0 adalah titik singular regular dari a2 (x)y ” + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = 0 maka terdapat paling sedikit deret berbentuk y=



∞ X



cn (x − x0 )n+r



n=0



dengan r adalah bilangan real tertentu. Deret ini konvergen pada interval 0 < |x − x0 | < R Deret ini disebut deret Frobenius Metode Deret Pangkat



Motivasi



Contoh



soal Tentukan solusi persamaan diferensial x 2 y ” − xy 0 − 3y = 0



Penyelesaian I



Titik x = 0 merupakan titik singular pada x 2 y ” − xy 0 − 3y = 0



I



Fungsi p(x) = − x1 dan q(x) = − x12 , dan (x − 0)p(x) = −1 dan (x − 0)2 q(x) = −3 yang analitik di x = 0



I



Sehingga x = 0 adalah titik singular regular, dan memiliki solusi dalam deret Frobenius



Metode Deret Pangkat



Motivasi



Contoh



Misalkan solusi: y=



∞ X



cn x



n+r



0



, dan y =



n=0



serta y ” =



∞ X



(n + r )cn x n+r −1 ,



n=0 ∞ X



(n + r )(n + r − 1)cn x n+r −2



n=0 I



Substitusikan ke persamaan diferensial, diperoleh: ∞ ∞ ∞ X X X (n+r )(n+r −1)cn x n+r − (n+r )cn x n+r −3 cn x n+r = 0 n=0



Metode Deret Pangkat



n=0



n=0



Motivasi



Contoh



Pangkat x xr



.. . xn



Koefisien r (r − 1)c0 − rc0 − 3c0 = 0, karena c0 6= 0, maka r (r − 1) − r − 3 = (r − 3)(r + 1) = 0 Sehingga r = −1 atau r = 3 .. . [(n + r )(n + r − 1) − (n + r ) − 3]cn = 0 [(n + r )2 − 2(n + r ) − 3]cn = 0 (n + r − 3)(n + r + 1)cn = 0



I



Jika r = −1 disubstitusikan ke persamaan terakhir pada tabel diperoleh: (n − 4)ncn = 0



I



Diperoleh cn = 0, kecuali untuk n = 0 dan n = 4 sehingga c0 dan c4 sebarang nilai



I



Metode Deret Pangkat



Motivasi



Contoh



I



Akibatnya, y1 =



∞ X



cn x



n+r



=



n=0



∞ X



cn x n−1



n=0



atau y1 = c0 x −1 + c4 x 3 I



Jika r = 3, disubstitusikan ke persamaan terakhir pada tabel diperoleh: n(n + 4)cn = 0



I



diperoleh cn = 0, kecuali untuk n = 0, sehingga y2 =



∞ X n=0



Metode Deret Pangkat



cn x n+r =



∞ X n=0



cn x n+3 = c0 x 3



Motivasi



Contoh



Dengan menggunakan prinsip superposisi diperoleh solusi persamaan diferensial x 2 y ” − xy 0 − 3y = 0: y = C1 x −1 + C2 x 3



Metode Deret Pangkat



Motivasi



Contoh



I



Pikirkan satu angka dari 1 sampai 15



I



Kemudian jawab ”ya” atau ”tidak” pada pertanyaan berikut, anda diperbolehkan berbohong hanya satu kali



I



Apakah angka tersebut berada pada himpunan {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}?



I



Apakah angka tersebut berada pada himpunan {4, 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15}?



I



Apakah angka tersebut berada pada himpunan {2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15}?



Metode Deret Pangkat



Motivasi



Contoh



I



Apakah angka tersebut berada pada himpunan {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}?



I



Apakah angka tersebut berada pada himpunan {1, 2, 5, 6, 8, 11, 12, 15}?



I



Apakah angka tersebut berada pada himpunan {1, 2, 4, 7, 9, 10, 12, 15}?



I



Apakah angka tersebut berada pada himpunan {1, 3, 4, 6, 8, 10, 13, 15}?



Metode Deret Pangkat



Motivasi



Metode Deret Pangkat



Contoh