Modul 1 MTK [PDF]

Citation preview

PENDALAMAN MATERI :



MODUL 3 (CETAK)



PROFESIONAL



MATEMATIKA PGMI



BILANGAN DAN ALJABAR



GEOMETRI



MATEMATIKA STATISTIKA



LOGIKA



Dr. Imam Rofiki, M.Pd Dr. Marhayati, M.PMat Wahyu Henky Irawan, M.Pd Muhammad Islahul Mukmin, M.Si, M.Pd Dimas Femy Sasongko, M.Pd Intan Nisfulaila, M.Si Siti Faridah, M.Pd



2018 jalurppg.blogspot.com



PENDIDIKAN PROFESI GURU



KEMENTERIAN AGAMA RI



No. Kode: …../PROFESIONAL/005/2018



PENDALAMAN MATERI



PROFESIONAL: MATEMATIKA PGMI



Penulis Dr. Imam Rofiki, M.Pd Dr. Marhayati, M.P.Mat Wahyu Henky Irawan, M.Pd Muhammad Islahul Mukmin, M.Si, M.Pd Dimas Femy Sasongko, M.Pd Intan Nisfulaila, M.Si Siti Faridah, M.Pd



PPG DALAM JABATAN KEMENTERIAN AGAMA 2018 Hak cipta @ Direktorat Pendidikan Tinggi Islam, Kemenag RI, 2018 jalurppg.blogspot.com



ii



DAFTAR ISI PENDAHULUAN 1. Rasional dan Deskripsi Singkat 2. Relevansi 3. Petunjuk Belajar KEGIATAN BELAJAR 1 Bilangan dan Aljabar 1. Capaian Pembelajaran Mata Kegiatan 2. Subcapaian Pembelajaran Mata Kegiatan 3. Pokok-pokok Materi 4. Uraian Materi 5. Rangkuman 6. Tugas DAFTAR PUSTAKA



7. Tes Formatif



jalurppg.blogspot.com



iii



KEGIATAN BELAJAR 2 Geometri 1. Capaian Pembelajaran Mata Kegiatan 2. Subcapaian Pembelajaran Mata Kegiatan 3. Pokok-pokok Materi 4. Uraian Materi 5. Rangkuman 6. Tugas 7. Tes Formatif



KEGIATAN BELAJAR 3 Statistika 1. Capaian Pembelajaran Mata Kegiatan 2. Subcapaian Pembelajaran Mata Kegiatan 3. Pokok-pokok Materi 4. Uraian Materi 5. Rangkuman 6. Tugas 7. Tes Formatif jalurppg.blogspot.com



iv



KEGIATAN BELAJAR 4 Logika 1. Capaian Pembelajaran Mata Kegiatan 2. Subcapaian Pembelajaran Mata Kegiatan 3. Pokok-pokok Materi 4. Uraian Materi 5. Rangkuman 6. Tugas 7. Tes Formatif



Tugas Akhir



Tes Sumatif



Daftar Pustaka



Glosarium



jalurppg.blogspot.com



v



Pendahuluan



Rasional dan Deskripsi Singkat, Relevansi dan Petunjuk Belajar



Pendahuluan Rasional dan Deskripsi Singkat



M



odul ini merupakan pendalaman materi Matematika untuk Pendidikan Profesi Guru PGMI bidang Profesional. Semua objek matematika adalah abstrak. Oleh karena itu, pendidik dapat membelajarkan materi matematika sesuai dengan tingkat perkembangan kognitif dan belajar siswa MI. Pendidik dan peserta didik seharusnya dapat merasakan kegunaan belajar matematika. Pendidik dapat memulai proses belajar dengan memberikan kesempatan siswa untuk memanipulasi benda-benda konkret dan menggunakan media/alat peraga. Dalam membelajarkan materi baru, pendidik dapat mengaitkan pengetahuan yang sudah dimiliki siswa sehingga pembelajaran menjadi bermakna. Selain itu, pendidik juga harus menguasai materi yang dibelajarkan. Untuk itu, modul ini disusun dalam rangka menyiapkan materi matematika sebagai modal pengetahuan pendidik agar berhasil dalam proses pembelajaran. Materi yang harus dikuasai dalam modul ini terbagi dalam 4 Kegiatan Belajar (KB), yaitu: • Kegiatan Belajar 1: Bilangan dan Aljabar • Kegiatan Belajar 2: Geometri • Kegiatan Belajar 3: Statistika • Kegiatan Belajar 4: Logika



Relevansi Modul Matematika PGMI ini disusun dengan mempertimbangkan aspek kompetensi bidang. Materi dalam modul ini memiliki cakupan cukup luas yang meliputi bilangan, aljabar, geometri, statistika, dan logika. Melalui pembahasan secara integratif, guru MI diharapkan dapat memahami materi matematika secara baik untuk dapat dibelajarkan secara bermakna kepada peserta didik. Dalam melaksanakan pembelajaran matematika, pendekatan konstruktivisme dapat diterapkan.



jalurppg.blogspot.com



1



Pendahuluan



Rasional dan Deskripsi Singkat, Relevansi dan Petunjuk Belajar



Petunjuk Belajar Proses pembelajaran PPG 2018 pada modul Pendalaman Materi Profesional Matematika yang sedang Bapak/Ibu ikuti sekarang ini dapat berjalan dengan lancar bila Bapak/Ibu mengikuti langkah-langkah belajar sebagai berikut. 1. Pelajari Kegiatan Belajar dalam modul ini secara urut mulai dari Kegiatan Belajar 1 sampai Kegiatan Belajar 4. 2. Pahami dan lakukan kajian materi pembelajaran pada setiap Kegiatan Belajar secara mendalam. 3. Cermati setiap capaian pembelajaran, subcapaian pembelajaran, dan materi pokok pada setiap kegiatan belajar. 4. Pelajari uraian materi dalam kegiatan belajar dengan cermat dan teliti. 5. Agar lebih jelas memahami istilah-istilah yang ada pada modul ini, Anda dapat membaca arti istilah tersebut pada glosarium. 6. Carilah bahan kajian lain yang sesuai dengan materi yang sedang Anda pelajari. 7. Kerjakan tugas dan tes formatif yang ada pada setiap kegiatan belajar 8. Apabila semua tugas dan tes formatif sudah dikerjakan, jawablah soalsoal tes sumatif. 9. Jawaban Anda bisa dicek pada Kunci Jawaban Tes Formatif dan Tes Sumatif. 10. Keberhasilan proses pembelajaran Anda dalam diklat ini sangat tergantung kepada kesungguhan Anda mengerjakan latihan. Untuk itu, Anda sebaiknya berlatih secara mandiri atau berkelompok dengan teman sejawat. 11. Bila Bapak/Ibu menemui kesulitan, silakan hubungi instruktur pembimbing atau fasilitator yang mengajar. Bapak/Ibu peserta PPG 2018, selamat mempelajari modul ini. Semoga Bapak/Ibu sukses memahami materi pendalaman profesional Matematika ini sehingga dapat menjadi bekal bertugas guru MI dengan baik.



jalurppg.blogspot.com



2



Kegitan Belajar 1



Bilangan dan Aljabar



Capaian Pembelajaran KEGIATAN BELAJAR 1 Mampu memahami konsep bilangan dan aljabar yang meliputi himpunan, fungsi, fungsi linier, persamaan linier, sistem persamaan linier dua variabel, persamaaan kuadrat, pertidaksamaan linier, dan pertidaksamaan kuadrat



jalurppg.blogspot.com



3



Kegitan Belajar 1



Bilangan dan Aljabar



Sub-Capaian Pembelajaran KEGIATAN BELAJAR 1 1. Menentukan jenis-jenis bilangan 2. Menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari beberapa bilangan 3. Konsep himpunan a. Menjelaskan definisi himpunan b. Menjelaskan definisi himpunan kosong c. Menjelaskan operasi pada himpunan 4. Konsep fungsi a. Menjelaskan definisi fungsi b. Menjelaskan beberapa macam fungsi 5. Menjelaskan konsep fungsi linier 6. Menjelaskan konsep persamaan linier 7. Menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel 8. Menentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat 9. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier 10. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat



jalurppg.blogspot.com



4



Kegitan Belajar 1



Bilangan dan Aljabar



Pokok Materi KEGIATAN BELAJAR 1 1. Bilangan 2. Aljabar a. Himpunan b. Fungsi c. Fungsi linier d. Persamaan linier e. Sistem persamaan linier dua variabel f. Persamaaan kuadrat g. Pertidaksamaan linier h. Pertidaksamaan kuadrat



jalurppg.blogspot.com



5



Kegitan Belajar 1



Bilangan dan Aljabar



Uraian Materi KEGIATAN BELAJAR 1 A. Bilangan Bilangan termasuk objek matematika yang digunakan untuk perhitungan, pengukuran, dan pelabelan. Bilangan merupakan istilah yang tidak didefinisikan (undefined term). Simbol atau lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut angka. Contoh angka (digit) adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Berikut ini adalah hal-hal yang perlu diperhatikan dalam operasi hitung pada bilangan: 1. Penjumlahan dan pengurangan berada pada tingkat yang sama. 2. Perkalian dan pembagian berada pada tingkat yang sama. 3. Operasi perkalian dan pembagian lebih tinggi tingkatannya daripada operasi penjumlahan dan pengurangan sehingga harus dikerjakan terlebih dahulu. 4. Apabila terdapat operasi hitung campuran setingkat, maka yang harus dikerjakan terlebih dahulu adalah yang terletak sebelah kiri. 5. Apabila dalam operasi hitung campuran terdapat tanda kurung, maka yang terlebih dahulu dikerjakan adalah operasi hitung yang terletak pada tanda kurung. Contoh: 9: 3 + 8 × 5 − 6: (2 + 1) = 9: 3 + 8 × 5 − 6: 3 = 3 + 40 − 2 = 41 Bilangan terkecil yang merupakan kelipatan dari beberapa bilangan disebut Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK). Bilangan terbesar pada faktor persekutuan beberapa bilangan disebut Faktor Persekutuan Terbesar (FPB). Contoh: Tentukan FPB dan KPK dari 18 dan 24! Penyelesaian: Faktor-faktor dari 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9, 18. Faktor-faktor dari 24 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. jalurppg.blogspot.com



6



Kegitan Belajar 1



Bilangan dan Aljabar



Faktor-faktor persekutuan dari 18 dan 24 adalah 1, 2, 3, 6. Dengan demikian, FPB dari 18 dan 24 adalah 6. Kelipatan 18 adalah 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, … Kelipatan 24 adalah 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, … Kelipatan persekutuan dari 18 dan 24 adalah 72, 144, 216, … Dengan demikian, KPK dari 18 dan 24 adalah 72. B. Aljabar 1. HIMPUNAN Definisi: Suatu himpunan adalah suatu kumpulan objek yang terdefinisi dengan baik.



Dari definisi di atas, hal yang perlu ditekankan adalah kata-kata terdefinisi dengan baik. Maksud dari kata-kata tersebut adalah bahwa ketika kita akan menentukan apakah suatu kumpulan objek disebut himpunan atau tidak, dapat terlihat dengan mudah bahwa anggota-anggotanya (disebut juga elemen atau unsur) termasuk dalam himpunan itu atau tidak. Untuk penulisan himpunan itu sendiri sebenarnya ada beberapa metode untuk menuliskannya. Namun, dalam modul ini hanya akan memakai metode mendaftar semua anggotanya di antara dua tanda kurung kurawal dan masing-masing anggotanya dipisahkan oleh tanda koma. Untuk penamaan himpunan biasanya digunakan huruf besar (huruf kapital) sedangkan untuk penamaan anggotanya digunakan huruf kecil. Misalnya jika 𝑥 adalah anggota dari himpunan 𝑋, maka kita tuliskan sebagai 𝑥 ∈ 𝑋. Namun jika 𝑥 bukan anggota dari himpunan 𝑋, maka kita tuliskan sebagai 𝑥 ∉ 𝑋. Contoh: 1) Suatu himpunan yang memuat bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 dituliskan sebagai {1,2,3,4,5,6}. 2) Himpunan



{1,6, {mawar}, {3,4,5}} terdiri dari empat anggota, yaitu



bilangan 1, bilangan 6, {mawar}, dan {3,4,5}. Dalam hal contoh himpunan bilangan, berikut akan diberikan beberapa contoh himpunan bilangan yang sering digunakan. 1) Himpunan bilangan asli, ℕ = {1,2,3, 4 … } 2) Himpunan bilangan cacah ditulis {0,1,2,3,4 … } jalurppg.blogspot.com



7



Kegitan Belajar 1



Bilangan dan Aljabar



3) Himpunan bilangan bulat, ℤ = {… , −3, −2, −1,0,1,2,3, … } 4) Himpunan bilangan rasional (ℚ) adalah himpunan semua bilangan yang berbentuk



𝑝 𝑞



dengan 𝑝 dan 𝑞 adalah bilangan bulat, serta 𝑞 ≠ 1



0. Contoh bilangan rasional, yaitu 2 , 3, dan



26 7



. 2,75 juga termasuk



bilangan rasional. Contoh lainnya, yaitu bilangan desimal berulang seperti 2,3535353535… . 5) Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan bukan rasional. Contohnya, √3 dan π. 6) Himpunan bilangan real (ℝ) merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional. Suatu bilangan rasional dapat direpresentasikan ke dalam bilangan desimal di mana pola bilangan di belakang koma berulang mengikuti suatu pola, sedangkan bilangan irasional tidaklah demikian. 7) Himpunan bilangan kompleks, ℂ = {𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 | 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ} dengan 𝑖 = √−1. Selain contoh himpunan di atas, dikenal pula himpunan kosong (empty set) yang didefinisikan sebagai berikut. Definisi: Suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan kosong dan dinotasikan dengan ∅ atau {}.



Untuk memperjelas pemahaman kita mengenai himpunan kosong ada baiknya kita pahami penjelasan berikut. {∅} adalah himpunan yang memuat himpunan kosong. Himpunan ini hanya mempunyai satu anggota. Perhatikan bahwa kita boleh menuliskan ∅ ∈ {∅}, namun tidak benar bahwa ∅ ∈ ∅.



Selanjutnya, kita akan belajar mengenai relasi dua himpunan dan belajar mengenai kardinalitas (banyaknya anggota) suatu himpunan. Definisi: Dua himpunan dikatakan sama jika keduanya memiliki anggota-anggota yang sama. Jika himpunan 𝑋 sama dengan himpunan 𝑌, maka kita tuliskan 𝑋 = 𝑌. Jika kedua himpunan tersebut tidak sama, maka dituliskan 𝑋 ≠ 𝑌.



Sebagai ilustrasi, perhatikan contoh berikut. 1) Himpunan {5,7,8} sama dengan himpunan {7,8,5}. jalurppg.blogspot.com



8



Kegitan Belajar 1



Bilangan dan Aljabar



2) Himpunan ℝ tidak sama dengan himpunan ℕ, yakni ℝ ≠ ℕ. Definisi: Jika himpunan 𝑋 memiliki anggota yang berhingga banyaknya, maka dikatakan bahwa 𝑋 adalah himpunan hingga. Jika 𝑋 himpunan hingga, maka banyaknya anggotanya disebut sebagai kardinalitas dari 𝑿 dan dinotasikan dengan |𝑋|.



Sebagai contoh, himpunan {2, 3, 5, 7} memiliki kardinalitas 4. Jadi, |𝑋| = 4. Selanjutnya kita akan membahas dua relasi yang penting antardua himpunan, yakni subset dan proper subset. Definisi: Misalkan 𝑋 suatu himpunan. Suatu himpunan 𝑌 dikatakan himpunan bagian (subset) dari 𝑋 jika setiap anggota dari 𝑌 adalah anggota dari 𝑋 dan dinotasikan sebagai 𝑌 ⊆ 𝑋. Suatu subset 𝑌 dari 𝑋 dikatakan proper subset dari 𝑋 jika 𝑌 ≠ 𝑋 dan dinotasikan sebagai 𝑌 ⊂ 𝑋.



Untuk memperdalam pemahaman kita mengenai subset dan proper subset, marilah kita pahami contoh berikut. 1) Himpunan 𝑌 = {1, 2, 3} adalah subset dari himpunan 𝑋 = {1,2,3, {3,4}}, namun himpunan {1,2,3} bukan subset dari himpunan {2,3,4} atau {2,3}. 2) Himpunan {1,2,5} adalah proper subset dari {−6,0,1,2,3,5}. Namun untuk sebarang himpunan 𝑋, himpunan bagian 𝑋 bukanlah proper subset dari 𝑋 Selanjutnya untuk pembahasan operasi pada himpunan, pada modul ini dibatasi pada operasi gabungan (union), irisan (intersection), selisih (difference), komplemen (complement), dan perkalian. Definisi: Misalkan 𝑋 dan 𝑌 adalah himpunan. 1) Gabungan dari 𝑋dan 𝑌, dinotasikan 𝑋 ∪ 𝑌, adalah suatu himpunan yang terdiri dari anggota-anggota di 𝑋 atau di 𝑌, atau di keduanya, yakni 𝑋 ∪ 𝑌 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝑋 atau 𝑦 ∈ 𝑌}. 2) Irisan dari 𝑋 dan 𝑌, dinotasikan 𝑋 ∩ 𝑌, adalah suatu himpunan yang terdiri dari anggota-anggota 𝑋 dan anggota-anggota 𝑌, yakni 𝑋 ∩ 𝑌 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝑋 dan 𝑦 ∈ 𝑌}. jalurppg.blogspot.com



9



Kegitan Belajar 1



Bilangan dan Aljabar



3) Selisih dari 𝑋 dan 𝑌, dinotasikan 𝑋\𝑌, adalah himpunan unsur-unsur (anggota) yang berada di 𝑋 namun tidak berada di 𝑌. Dengan kata lain kita membuang unsur-unsur 𝑌 yang berada di 𝑋. Jika 𝑌 subset dari 𝑋, maka 𝑋\𝑌 disebut juga sebagai komplemen dari 𝑌 di 𝑋 dan dinotasikan sebagai 𝑌 𝑐 . 4) Perkalian dari 𝑋 dan 𝑌, dinotasikan 𝑋 × 𝑌, adalah himpunan semua pasangan (𝑥, 𝑦) yang mungkin di mana 𝑥 ∈ 𝑋 dan 𝑦 ∈ 𝑌, yakni 𝑋 × 𝑌 = {(𝑥, 𝑦)| 𝑥 ∈ 𝑋 dan 𝑦 ∈ 𝑌}.



Selanjutnya, untuk memperdalam pemahaman kita mengenai gabungan, irisan, subset, proper subset, selisih, komplemen, dan perkalian pada himpunan, perhatikan contoh-contoh berikut. Misalkan 𝑆 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, 𝐴 = {1,2,6}, dan 𝐵 = {2,3,7}. Maka 1) Gabungan dari 𝐴 dan 𝐵 adalah 𝐴 ∪ 𝐵 = {1,2,3,6,7}, 2) Irisan dari 𝐴 dan 𝐵 adalah 𝐴 ∩ 𝐵 = {2}, 3) Selisih dari 𝐴 dan 𝐵 adalah 𝐴\𝐵 = {1,6}, 4) Komplemen dari 𝐴 adalah 𝐴𝑐 = {3,4,5,7,8,9,10}, 5) Perkalian dari 𝐴 dan 𝐵 adalah 𝐴 × 𝐵 = {(1,2), (1,3), (1,7), (2,2), (2,3), (2,7), (6,2), (6,3), (6,7)}. 2. FUNGSI Setelah Anda mempelajari materi konsep dasar himpunan, maka selanjutnya muncul pertanyaan: “Jika kita mempunyai dua himpunan tak kosong, dapatkah kita mendefinisikan relasi antar keduanya?”. Jawabannya adalah dapat. Perhatikan dan pahami dengan saksama definisi fungsi atau pemetaan berikut. Definisi: Misalkan 𝐴 dan 𝐵 adalah himpunan. Sebuah fungsi atau pemetaan dari 𝐴 ke B adalah suatu hubungan (asosiasi) antar anggota dari dua himpunan tersebut. Lebih tepatnya yaitu untuk setiap anggota dari 𝐴 terdapat tepat satu anggota dari 𝐵. Jika 𝑓 suatu fungsi dari 𝐴 ke B, maka dapat dituliskan 𝑓: 𝐴 → 𝐵. Himpunan 𝐴 disebut sebagai domain dari 𝑓 sedangkan himpunan 𝐵 disebut sebagai kodomain dari 𝑓.



Untuk memberikan gambaran penjelasan di atas, ada baiknya kita pelajari contoh berikut dengan saksama. jalurppg.blogspot.com



10



Kegitan Belajar 1



Bilangan dan Aljabar



1) Misalkan 𝑓: ℤ → ℤ didefinisikan oleh 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 2 untuk setiap 𝑥 ∈ ℤ. Perhatikan bahwa ada anggota dari kodomain yang tidak mempunyai pasangan dari domain. 2) Kardinalitas dari suatu himpunan adalah suatu fungsi pada himpunan dari himpunan hingga. Yakni, | |: {Himpunan Hingga} → {0} ∪ ℕ. Perhatikan bahwa kita memerlukan angka 0 pada kodomain karena himpunan kosong juga merupakan anggota domain. 1



3) Bentuk 𝑓(𝑥 ) = (𝑥−1) tidak mendefinisikan suatu fungsi dari ℝ ke ℝ karena 𝑓 tidak terdefinisi untuk 𝑥 = 1. Selanjutnya, apabila ditanyakan apakah domain alami itu? Domain alami adalah domain terbesar yang membuat suatu fungsi menjadi terdefinisi. Perhatikan contoh 3) di atas. Agar 𝑓 merupakan suatu fungsi, maka harus ada pembatasan (restriksi) pada domain, yakni ℝ diretsriksi menjadi 𝑋 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≠ 1}. A. Beberapa Macam Fungsi 1. Fungsi Konstan Definisi: Misal 𝐴 dan 𝐵 adalah sebarang himpunan. Misal 𝑓 adalah suatu fungsi dari himpunan 𝐴 ke himpunan 𝐵 atau 𝑓: 𝐴 → 𝐵. Jika setiap anggota himpunan 𝐴 dipasangkan pada hanya satu anggota himpunan 𝐵, dengan kata lain range mempunyai satu anggota atau 𝑅𝑓 = {𝑐 } dengan 𝑐 ∈ 𝐵, dengan kata lain 𝑓(𝑥 ) = 𝑐, ∀𝑥 ∈ 𝐴 maka fungsi 𝑓 disebut fungsi konstan.



2. Fungsi Identitas Definisi: Misalkan 𝐴 adalah sebarang himpunan. Misal 𝑓 adalah fungsi dari himpunan 𝐴 ke 𝐴 atau 𝑓: 𝐴 → 𝐴. Jika setiap anggota himpunan 𝐴 dipasangkan oleh 𝑓 kepada dirinya sendiri, dengan kata lain 𝑓(𝑥 ) = 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝐴, maka fungsi 𝑓 disebut fungsi identitas.



3. Fungsi Surjektif (kepada atau onto) Definisi: Misalkan 𝐴 dan 𝐵 adalah sebarang himpunan. Misal 𝑓 adalah suatu jalurppg.blogspot.com



11



Kegitan Belajar 1



Bilangan dan Aljabar



fungsi dari himpunan 𝐴 ke himpunan 𝐵. Fungsi 𝑓 dikatakan sebagai fungsi surjektif apabila untuk setiap 𝑦 anggota himpunan 𝐵 ada 𝑥 anggota himpunan 𝐴 sehingga 𝑦 merupakan bayangan dari 𝑥. Dengan kata lain, ∀𝑦 ∈ 𝐵, ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∋ 𝑦 = 𝑓(𝑥).



fungsi surjektif bukan fungsi surjektif 4. Fungsi Injektif (satu-satu) Definisi: Misal 𝐴 dan 𝐵 adalah sebarang himpunan. Misal 𝑓 adalah suatu fungsi dari himpunan 𝐴 ke himpunan 𝐵. Fungsi 𝑓 dikatakan fungsi injektif jika ∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐴 dengan 𝑥1 ≠ 𝑥2 , maka 𝑓 (𝑥1 ) ≠ 𝑓(𝑥2 ). Dengan kata lain, ∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐴 dengan 𝑓 (𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2 ) maka 𝑥1 = 𝑥2 .



fungsi injektif



fungsi injektif



bukan fungsi injektif



5. Fungsi Bijektif (satu-satu dan onto) Definisi: Misal 𝐴 dan 𝐵 adalah sebarang himpunan. Misal 𝑓 adalah suatu fungsi dari himpunan 𝐴 ke himpunan 𝐵. Fungsi 𝑓 dikatakan fungsi bijektif jika 𝑓 adalah fungsi surjektif dan injektif.



fungsi bijektif



bukan fungsi bijektif



jalurppg.blogspot.com



12



Kegitan Belajar 1



Bilangan dan Aljabar



B. Kesamaan Dua Fungsi Definisi: Misal 𝐴 dan 𝐵 adalah sebarang himpunan. Misal 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi dari himpunan 𝐴 ke himpunan 𝐵. Fungsi 𝑓 dan 𝑔 dikatakan sama jika 𝐷𝑓 = 𝐷𝑔 dan 𝑓 (𝑥 ) = 𝑔(𝑥) untuk setiap 𝑥 dalam domain persekutuan. C. Komposisi Fungsi Definisi: Misalkan 𝐴, 𝐵 dan 𝐶 adalah sebarang himpunan. Misal 𝑓: 𝐴 → 𝐵 dan 𝑔: 𝐵 → 𝐶. Jika 𝑎 ∈ 𝐴, maka bayangan 𝑎 oleh 𝑓 dapat ditulis sebagai 𝑓 (𝑎) = 𝑏 ∈ 𝐵. Selanjutnya untuk setiap 𝑏 ∈ 𝐵 atau 𝑓(𝑎) ∈ 𝐵, bayang 𝑏 oleh 𝑔 ditulis sebagai 𝑔(𝑏) = 𝑐 ∈ 𝐶 atau 𝑔(𝑓 (𝑎)) = 𝑐 ∈ 𝐶.



3. FUNGSI LINIER Definisi: Suatu fungsi 𝑓 (𝑥 ) disebut fungsi linier apabila fungsi itu ditentukan oleh 𝑓 (𝑥 ) = 𝑎𝑥 + 𝑏, di mana 𝑎 ≠ 0, 𝑎 dan 𝑏 bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus.



Contoh: Jika diketahui 𝑓(𝑥 ) = 2𝑥 + 3, gambarlah grafiknya. Penyelesaian: Untuk 𝑥 = 0 ⟶ 𝑓 (𝑥 ) = 𝑦 = 3. 1



Untuk 𝑦 = 𝑓(𝑥 ) = 0 ⟶ 𝑥 = −1 . 2



grafik fungsi linier 𝑓 (𝑥 ) = 2𝑥 + 3 Contoh: Suatu fungsi dinyatakan dengan 𝑓(𝑥 ) = 𝑎𝑥 + 𝑏. Jika nilai dari 𝑓 (4) = 11 dan 𝑓 (6) = 15, maka tentukan fungsi tersebut. Penyelesaian: 𝑓(𝑥 ) = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑓 (4) = 4𝑎 + 𝑏 = 11 … (1) 𝑓(6) = 6𝑎 + 𝑏 = 15 … (2) Dengan metode eliminasi dan substitusi diperoleh 𝑎 = 2 dan 𝑏 = 3. Sehingga rumus fungsinya adalah 𝑓 (𝑥 ) = 2𝑥 + 3. jalurppg.blogspot.com



13



Kegitan Belajar 1



Bilangan dan Aljabar



4. PERSAMAAN LINIER - Persamaan linier satu variabel Bentuk umum: 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0; 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0



-



Contoh: −4𝑥 + 8 = 0. Persamaan linier dua variabel Bentuk umum: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐; 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0 Contoh: 6𝑥 − 3𝑦 = 9 merupakan persamaan linier dua variabel dengan variabel 𝑥 dan variabel 𝑦.



Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier



2𝑥−1 5



=



𝑥+1 2



.



Penyelesaian:



5. SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL Bentuk umum: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 0 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 = 0



Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut: 3𝑥 − 𝑦 = 5 { dengan cara gabungan antara eliminasi dan substitusi 2𝑥 + 𝑦 = 10



jalurppg.blogspot.com



14



Kegitan Belajar 1



Bilangan dan Aljabar



Penyelesaian:



Jadi, 𝐻𝑃 = {(3,4)} 6. PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0; 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ; 𝑎 ≠ 0 Penyelesaian persamaan kuadrat a. Memfaktorkan Contoh: Selesaikan 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0. Penyelesaian: 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0 ↔ (𝑥 − 3)(𝑥 − 2) = 0 ↔ 𝑥 − 3 = 0 atau 𝑥 − 2 = 0 𝑥 = 3 atau 𝑥 = 2 Jadi, 𝐻𝑃 = {2,3} b. Melengkapkan Kuadrat Sempurna Contoh: Selesaikan 𝑥 2 + 10𝑥 + 21 = 0. Penyelesaian:



jalurppg.blogspot.com



15



Kegitan Belajar 1



Bilangan dan Aljabar



Jadi, 𝐻𝑃 = {−3, −7} c. Dengan Rumus ABC 𝑥1,2 =



−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎



Contoh: Selesaikan 𝑥 2 + 6𝑥 − 16 = 0. Penyelesaian: 𝑎 = 1, 𝑏 = 6, 𝑐 = −16 𝑥1,2 = = = 𝑥1 =



−6±√62 −4(1)(−16) 2(1) −6±√100 2 −6±10



2 −6+10 2



4



= 2 = 2 atau 𝑥2 =



−6−10 2



=



−16 2



= −8



Jadi, 𝐻𝑃 = {2, −8} 7. PERTIDAKSAMAAN LINIER Bentuk umum: 𝑎𝑥 + 𝑏(𝑅)0; 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0 (𝑅) = salah satu relasi pertidaksamaan (, ≤, ≥)



Sifat-sifat pertidaksamaan a. Arah tanda pertidaksamaan tetap jika ruas kiri dan ruas kanan pertidaksamaan ditambah, dikurangi, dikalikan, atau dibagi dengan bilangan positif yang sama.



b. Arah tanda pertidaksamaan berubah jika ruas kiri dan kanan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama. jalurppg.blogspot.com



16



Kegitan Belajar 1



Bilangan dan Aljabar



1) 𝑎 > 𝑏 dan 𝑐 < 0 → 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐 𝑎



𝑏



2) 𝑎 > 𝑏 dan 𝑑 < 0 → 𝑑 < 𝑑 Selang (interval) Selang adalah himpunan bagian dari bilangan real yang mempunyai sifat relasi tertentu. Jika batas-batasnya merupakan bilangan real maka dinamakan selang hingga. Jika bukan bilangan real maka dinamakan selang tak hingga (). Lambang  menyatakan membesar tanpa batas dan lambang - menyatakan mengecil tanpa batas. Contoh dari bermacam-macam selang dapat dilihat pada tabel berikut. Notasi



Definisi



(a,b)



x



[a,b]



x



[a,b)



(a,b]



x x



Grafik



a  x  b



Keterangan



a  x  b



a ( a [



b ) b ]



a  x  b



a [



b )



a  x  b



a (



b ]



Selang terbuka



Selang tertutup Selang setengah terbuka Selang setengah terbuka



( a,  )



x



x  a



[ a,  )



x



x  a



x



x  b



b )



Selang terbuka



x  b



b ]



Selang tertutup



(−, b) (−, b]



(−, )



x



a ( a [



ℝ



Selang terbuka Selang tertutup



Selang terbuka



Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari 6𝑥 + 4 ≥ 4𝑥 + 20, 𝑥 ∈ ℝ. jalurppg.blogspot.com



17



Kegitan Belajar 1



Bilangan dan Aljabar



Penyelesaian: 6𝑥 + 4 ≥ 4𝑥 + 20



Jadi, 𝐻𝑃 = {𝑥|𝑥 ≥ 8, 𝑥 ∈ ℝ}. 8. PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Bentuk umum: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐(𝑅)0; 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ; 𝑎 ≠ 0 (𝑅) = salah satu relasi pertidaksamaan (, ≤, ≥) Langkah-langkah menentukan himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan kuadrat adalah sebagai berikut: (i) Ubah bentuk pertidaksamaan ke dalam bentuk umum (ii) Tentukan pembuat nol pada ruas kiri (iii) Letakkan pembuat nol pada garis bilangan (iv) Substitusi sembarang bilangan pada pertidaksamaan kecuali pembuat nol. Jika benar, maka daerah yang memuat bilangan tersebut merupakan daerah penyelesaian. Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari 𝑥 2 + 6𝑥 + 8 ≥ 0 untuk 𝑥 ∈ ℝ. Penyelesaian:



jalurppg.blogspot.com



18



Kegitan Belajar 1



Bilangan dan Aljabar



Jadi, 𝐻𝑃 = {𝑥|𝑥 ≤ −4 atau 𝑥 ≥ −2}



jalurppg.blogspot.com



19



Kegitan Belajar 1



Bilangan dan Aljabar



Rangkuman KEGIATAN BELAJAR 1 1. Terdapat beragam jenis bilangan, yaitu bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan irasional, bilangan real, dan bilangan kompleks. Ada juga bilangan pecahan, bilangan desimal, bilangan prima, dan bilangan komposit. 2. Misalkan 𝐴 dan 𝐵 adalah himpunan. Sebuah fungsi atau pemetaan dari 𝐴 ke B adalah suatu hubungan (asosiasi) antar anggota dari dua himpunan tersebut. Lebih tepatnya yaitu untuk setiap anggota dari 𝐴 terdapat tepat satu anggota dari 𝐵. Jika 𝑓 suatu fungsi dari 𝐴 ke B, maka dapat dituliskan 𝑓: 𝐴 → 𝐵. Himpunan 𝐴 disebut sebagai domain dari 𝑓 sedangkan himpunan 𝐵 disebut sebagai kodomain dari 𝑓. 3. Suatu fungsi 𝑓(𝑥 ) disebut fungsi linier apabila fungsi itu ditentukan oleh 𝑓 (𝑥 ) = 𝑎𝑥 + 𝑏, dimana 𝑎 ≠ 0, 𝑎 dan 𝑏 bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus. 4. Persaman adalah kalimat terbuka yang mengandung hubungan (relasi) sama dengan. Sedangkan persamaan linier adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah satu atau berderajat satu. Bentuk umum: 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0; 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0. 5. Bentuk umum sistem persamaan linier dua variabel: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 0 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 = 0 2 6. Bentuk umum persamaan kuadrat: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0; 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ; 𝑎 ≠ 0. Untuk mencari penyelesaian persamaan kuadrat bisa dengan cara memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, dan rumus ABC. 7. Bentuk umum pertidaksamaan linier: 𝑎𝑥 + 𝑏(𝑅)0; 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0 dengan (𝑅) = salah satu relasi pertidaksamaan (, ≤, ≥) 8. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐(𝑅)0; 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ; 𝑎 ≠ 0 dengan (𝑅) = salah satu relasi pertidaksamaan (, ≤, ≥)



jalurppg.blogspot.com



20



Kegitan Belajar 1



Bilangan dan Aljabar



Tugas KEGIATAN BELAJAR 1 1. Perhatikan himpunan A, B, dan C dalam diagram Venn berikut!



Diberikan 𝑆 = 𝐴  𝐵  𝐶, dan 𝑛(𝑆) = 34, hitunglah: a. nilai 𝑥 b. 𝑛(𝐴  𝐵  𝐶) 2. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 3𝑥 2 − 5𝑥 + 2 = 0! 3. Penyelesaian sistem persamaan 2x + 4y + 2 = 0 dan 3x – y – 11 = 0 adalah x1 dan y1. Tentukan nilai 5x1 + 2y1! 4. Jumlah dan selisih dua buah bilangan masing-masing 12 dan 4. Tentukan selisih kuadrat kedua bilangan itu! 1



2



5. Tentukan penyelesaian persamaan 2 (3𝑥 − 6) = (2𝑥 − 3)! 3



jalurppg.blogspot.com



21



Kegitan Belajar 1



Bilangan dan Aljabar



Tes Formatif KEGIATAN BELAJAR 1 1. Dari kumpulan-kumpulan berikut ini yang merupakan himpunan adalah ... . A. Kumpulan siswa pendek B. Kumpulan bilangan cacah antara 2 dan 10 C. Kumpulan wanita berbadan kurus D. Kumpulan bilangan kecil E. Kumpulan binatang 2. Jika P = {bilangan prima kurang dari 10} dan Q = {bilangan asli kurang dari 10}, pernyataan berikut yang benar adalah ... . A. 9  P dan P  Q B. 5  P dan P  Q C. 9  P dan P  Q D. 5  P dan P  Q E. 5  P dan P  Q 3. Perhatikan diagram Venn berikut.



S



A



B



C Pernyataan berikut yang menunjukkan daerah arsiran dari diagram Venn di atas adalah … . A. B. C. D.



( A  B)  ( B  C ) ( B  C )  ( C  A) (B C) A (B C) A



E. 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐶 jalurppg.blogspot.com



22



Kegitan Belajar 1



Bilangan dan Aljabar



4. Daerah asal fungsi f ( x) =



x 2 − 1 adalah … .



a. {𝑥| − 1 ≤ 𝑥 < 1, 𝑥 ∈ ℝ} b. {𝑥|𝑥 ≤ 1, 𝑥 ∈ ℝ} c. {𝑥|𝑥 ≥ 1, 𝑥 ∈ ℝ} d. {𝑥|𝑥 ≤ −1 atau 𝑥 ≥ 1, 𝑥 ∈ ℝ} e. {𝑥|𝑥 ≥ 0, 𝑥 ∈ ℝ} 5. Perhatikan diagram panah di bawah ini. Bagian I Manakah fungsi surjektif?



Bagian II Manakah fungsi injektif?



jalurppg.blogspot.com



23



Kegitan Belajar 1



Bilangan dan Aljabar



Bagian III Manakah fungsi bijektif?



A. Bagian I surjektif (2) & (4) Bagian II injektif (4) Bagian III bijektif (2) & (3) B. Bagian I surjektif (1) & (4) Bagian II injektif (4) Bagian III bijektif (2) & (4) C. Bagian I surjektif (1) & (4) Bagian II injektif (1) Bagian III bijektif (1) & (4) D. Bagian I surjektif (1) & (4) Bagian II injektif (4) Bagian III bijektif (2) & (4) E. Bagian I surjektif (1) & (2) Bagian II injektif (3) Bagian III bijektif (4) 6. Dari fungsi f : R → R dan g : R → R diketahui bahwa f(x) = x + 3 dan (fog)(x) = x2 + 6x + 7, maka g(x) = ... . A. x2 + 6x – 4 D. x2 + 6x + 4 B. x2 + 3x – 2 E. x2 – 3x + 2 C. x2 – 6x + 4 7. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari 24, 54, dan 72 adalah … . A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 E. 12



jalurppg.blogspot.com



24



Kegitan Belajar 1



Bilangan dan Aljabar



1 1 x + y = 2  2 1 8. Diketahui sistem persamaan linier  − = −3 . Nilai x + y + z = … . y z 1 1  − =2 x z



A. 3



B. 2



C. 1



D.



9. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan



1 2



E.



3x + 5 5x  untuk x  ℕ 2 3



adalah ... . A. {x  x 15; x  ℕ }



B. {x  x >-15; x  ℕ }



E. {x  x = 15; x  ℕ }



C. {x  x < 15; x  ℕ } 10. Himpunan penyelesaian dari –x2 + 7x – 12 ≥ 0 adalah … . A. {x|−4≤ x ≤ −3} B. {x|x ≤−4 atau x≥−3} C. {x|x ≤ −3 atau x≥ 3} D. {x|3 ≤ x ≤ 4} E. {x|−4 ≤ x ≤ 3}



jalurppg.blogspot.com



25



1 3



Kegitan Belajar 2



Geometri



Capaian Pembelajaran KEGIATAN BELAJAR 2 2.1 Peserta mampu menganalisis karakter dan sifat dari geometri 2 dimensi dan geometri 3 dimensi serta mengembangkan argumen tentang hubungan geometris. 2.2 Peserta mampu menentukan posisi dan mendeskripsikan hubungan spasial menggunakan sistem koordinat atau sistem representasi lain. 2.3 Peserta mampu menerapkan transformasi dan menggunakan simetri untuk menganalisis situasi matematis.



jalurppg.blogspot.com



26



Kegitan Belajar 2



Geometri



Sub-Capaian Pembelajaran KEGIATAN BELAJAR 2 2.1 Peserta mampu mengidentifikasi, membandingkan, dan menganalisis sifat dan karakter bentuk geometri 2 dimensi dan geometri 3 dimensi beserta istilah-istilah dalam geometri 2.2 Peserta mampu mengklasifikasikan bentuk 2 dimensi dan 3 dimensi berdasarkan sifat dan karakter yang dimiliki 2.3 Peserta mampu menyelidiki, mendeskripsikan, dan menalar pembagian, penggabungan, dan pentransformasian suatu bentuk geometri 2.4 Peserta mampu menerapkan kongruensi dan kesebangunan 2.5 Peserta mampu mendeskripsikan lokasi dan pergerakan menggunakan istilah geometri dan menggunakan bahasa yang komunikatif 2.6 Peserta mampu membuat dan menggunakan sistem koordinat dan untuk menunjukkan lokasi dan menjelaskan lintasan 2.7 Peserta mampu menentukan jarak di antara dua titik pada sistem koordinat 2.8 Peserta mampu memprediksi dan mendeskripsikan hasil dari pergeseran, pencerminan, dan perputaran suatu bentuk geometris 2.9 Peserta mampu mengidentifikasi dan mendeskripsikan simetri dan dan rotasi dari bentuk geometri 2 dimensi



jalurppg.blogspot.com



27



Kegitan Belajar 2



Geometri



Pokok Materi KEGIATAN BELAJAR 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6



Istilah dalam Geometri Bangun Datar Bangun Ruang Sistem Koordinat Segitiga Siku-Siku dan Teorema Pythagoras Transformasi Geometri



jalurppg.blogspot.com



28



Kegitan Belajar 2



Geometri



Uraian Materi KEGIATAN BELAJAR 2 A. Istilah dalam Geometri Geometri berasal dari bahasa latin geo yang berarti bumi dan metros yang berarti pengukuran, sehingga geometri diartikan sebagai pengukuran bumi. Berikut adalah tiga istilah pokok dalam geometri yang tidak didefinisikan (undefined term). 1. Titik Titik merupakan objek geometri yang tidak mempunyai panjang dan tebal. Titik diilistrasikan sebagai noktah (dot) dan diberi label dengan huruf kapital. 2. Garis Garis merupakan objek geometri yang diilustrasikan dengan goresan yang kedua ujungnya diberi tanda panah untuk menandakan dapat diperpanjang di kedua ujungnya. 3. Bidang Bidang merupakan objek geometri yang diilustrasikan dengan suatu daerah (misalnya dinyatakan sebagai persegipanjang atau jajargenjang). Ketiga istilah pokok yang tidak didefinisikan tersebut merupakan fondasi fundamental yang mengonstruksi geometri. Berikut akan dijelaskan hubungan titik, garis, dan bidang beserta istilah-istilah lain dalam geometri terkait kedudukannya. 1. Kedudukan titik dan garis Misalkan diberikan sebuah titik A dan garis g. Terdapat 2 kemunkinan kedudukan titik A terhadap garis g, yakni: a. Titik terletak pada garis



b. Titik terletak di luar garis



jalurppg.blogspot.com



29



Kegitan Belajar 2



Geometri



2. Kedudukan garis dan garis Misalkan diberikan 2 garis, yakni garis g dan garis k. Terdapat 4 kemungkinan kedudukan garis g dan garis k, yakni: a. Garis g berhimpit dengan garis k Garis g dengan garis k dikatakan berhimpit jika dan hanya jika kedua garis tersebut memiliki paling sedikit 2 titik sekutu.



b. Garis g berpotongan dengan garis k Garis g dengan garis k dikatakan berpotongan jika dan hanya jika kedua garis tersebut memiliki paling sedikit 1 titik sekutu.



c. Garis g sejajar dengan garis k Garis g dengan garis k dikatakan sejajar jika dan hanya jika kedua garis tersebut sebidang dan tidak berpotongan.



d. Garis g bersilangan dengan garis k Garis g dengan garis k dikatakan bersilangan jika dan hanya jika kedua garis tersebut tidak sebidang



3. Kedudukan titik dan bidang Misalkan diberikan sebuah titik A dan bidang α. Terdapat 2 kemunkinan kedudukan titik A terhadap bidang α, yakni: a. Titik terletak pada bidang b. Titik terletak di luar bidang



jalurppg.blogspot.com



30



Kegitan Belajar 2



Geometri



4. Kedudukan garis dan bidang Misalkan diberikan garis g dan bidang α. Terdapat 3 kemungkinan kedudukan garis g dan bidang α, yakni: a. Garis g terletak pada bidang α Garis g dikatakan terletak pada bidang α jika dan hanya jika terdapat 2 titik pada garis terletak pada bidang α. b. Garis g sejajar bidang α Garis g dikatakan sejajar bidang α jika dan hanya jika garis dan bidang tidak memiliki titik sekutu c. Garis g memotong/menembus bidang α Garis g dikatakan memotong bidang α jika dan hanya jika garis dan bidang memiliki tepat 1 titik sekutu 5. Kedudukan bidang dan bidang Misalkan diberikan 2 bidang, yakni bidang α dan bidang β. Terdapat 3 kemungkinan kedudukan bidang α dan bidang β, yakni: a. Bidang α terletak pada bidang β Bidang α dikatakan terletak pada bidang β jika dan hanya jika kedua bidang tersebut memiliki 3 titik sekutu yang tidak segaris b. Bidang α sejajar bidang β Bidang α dan bidang β dikatakan sejajar jika dan hanya jika kedua bidang tersebut tidak memiliki titik sekutu c. Bidang α memotong/menembus bidang β Bidang α dikatakan memotong dengan bidang β jika dan hanya jika kedua bidang tersebut memiliki 2 titik sekutu Istilah lain yang perlu dipahami selanjutnya adalah sudut, sebangun, dan kongruen. 1. Sudut Sudut merupakan gabungan dua sinar garis yang titik pangkalnya berhimpit. Kedua sinar garis disebut sebagai sisi atau kaki sudut dan titik pangkalnya disebut titik sudut. Sudut dinotasikan dengan simbol  diikuti tiga huruf dengan huruf tengah merupakan titik sudut atau simbol  diikuti satu huruf, yakni titik sudut saja. Contoh: AOB atau O



jalurppg.blogspot.com



31



Kegitan Belajar 2



Geometri



Ukuran sudut dapat dinyatakan dengan satuan derajat atau radian. Berdasarkan ukuran sudut, berikut adalah macam-macam istilah sudut. a. Sudut lancip adalah sudut yang besarnya antara 0o dan 90o b. Sudut siku-siku adalah sudut yang besarnya 90o c. Sudut tumpul adalah sudut yang besarnya antara 90o dan 180o d. Sudut lurus adalah sudut yang besarnya 180o



Berdasarkan hubungan sudut dengan sudut lain, berikut adalah macam-macam istilah sudut. a. Dua sudut disebut berpelurus, jika jumlah besar sudut keduanya 180o



b. Dua sudut disebut berpenyiku, jika jumlah besar sudut keduanya 90o



2. Sebangun Dua bangun geometri atau lebih dikatakan sebangun jika dan hanya jika bangun-bangun tersebut memiliki bentuk yang sama.



jalurppg.blogspot.com



32



Kegitan Belajar 2



Geometri



Contoh: Lingkaran yang dibuat mengacu uang logam Indonesia pecahan Rp100,00 dan Rp500,00 secara geometris dikatakan sebangun.



3. Kongruen Dua bangun geometri atau lebih dikatakan kongruen jika dan hanya jika bangun-bangun tersebut memiliki bentuk dan ukuran yang sama. Contoh: Lingkaran yang dibuat mengacu suatu uang logam Indonesia pecahan Rp1.000,00 dengan lingkaran yang dibuat mengacu uang logam Indonesia pecahan Rp1.000,00 lainnya secara geometris dikatakan kongruen. B. Bangun Datar 1. Jajargenjang Jajargenjang adalah segiempat yang dibatasi oleh dua pasang sisi berhadapan sama panjang dan sejajar. Luas daerah jajargenjang = a  t Keliling jajargenjang = 2  (a + s ) Sifat jajargenjang: ̅̅̅̅ 𝐷𝐶 ∥ ̅̅̅̅ 𝐴𝐵, ̅̅̅̅ 𝐴𝐷 ∥ ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 DC = AB ’ AD = BC



AP = PC ’ DP = PB DAB = BCD ’ ABC = CDA



2. Persegipanjang Persegipanjang adalah segiempat yang dibatasi oleh dua pasang sisi berhadapan sama panjang, sejajar, dan keempat sudutnya jalurppg.blogspot.com



33



Kegitan Belajar 2



Geometri



siku-siku. (Dapat dikatakan sebagai jajargenjang yang keempat sudutnya siku-siku) Luas daerah persegipanjang = pl



Keliling persegipanjang = 2  ( p + l)



Sifat persegipanjang: ̅̅̅̅ ∥ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ∥ 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ 𝐷𝐶 𝐴𝐵, 𝐴𝐷 DC = AB ’ AD = BC



DS = SB ’ AS = SC



DAB = ABC = BCD = CDA = 900



3. Persegi Persegi adalah segiempat yang dibatasi oleh empat sisi sama panjang dan keempat sudutnya siku-siku. (Dapat dikatakan sebagai persegipanjang yang sisinya sama panjang) Luas daerah persegi = s  s Keliling persegi = s+s+s+s = 4  s Sifat persegi: ̅̅̅̅ ∥ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ∥ 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ 𝐷𝐶 𝐴𝐵, 𝐴𝐷



DC = AB = CB = DA DS = CB = BS = AS



DAB = ABC = BCD = CDA = 900 4. Segitiga Segitiga adalah bangun datar yang dibatasi tiga sisi



Segitiga siku-siku jalurppg.blogspot.com Segitiga sebarang



34



Kegitan Belajar 2



Geometri



Luas daerah segitiga =



at 2



Keliling segitiga = a + b + c 5. Layang-Layang Layang-layang adalah segiempat berpotongan tegak lurus.



yang diagonal-diagonalnya



d1  d 2 2 Keliling layang-layang = 2  ( s1 + s2 ) Luas daerah layang-layang =



Sifat layang-layang: AB = BC ’ DA = DC



BAD = BCD BAC = BCA



ADB = CDB 6. Belah Ketupat Belah ketupat adalah segiempat yang diagonal-diagonalnya berpotongan tegak lurus dan sisi-sisinya sama panjang. Luas daerah belah ketupat =



d1  d 2 2



Keliling belah ketupat = 4  s Sifat belah ketupat: ̅̅̅̅ 𝐴𝐵, ̅̅̅̅ 𝐴𝐷 ∥ ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 𝐷𝐶 ∥ ̅̅̅̅ DC = AB = CB = DA DAB = DCB ABC = ADC BS = DS ’ AS = CS 7. Trapesium Trapesium adalah segiempat yang memiliki tepat satu pasang sisi sejajar.



jalurppg.blogspot.com



35



Kegitan Belajar 2



Geometri



Luas daerah trapesium =



( a + b)  t 2



Keliling trapesium = a + b + c + d Sifat trapesium: ̅̅̅̅ 𝐷𝐶 ∥ ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 8. Lingkaran Lingkaran adalah kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu dalam bidang yang sama.



Luas daerah lingkaran =



 d2



=   r2



4 Keliling lingkaran =   d = 2    r Dengan  



22 7



 3,14 dan d = 2  r



Contoh Masalah 1 Menentukan Luas dan Keliling Bangun Datar Diberikan sebuah bangun datar kompleks ABCDE sebagai berikut.



Diketahui AC = 7 cm, BE = 6 cm, OB=OA=OE, AB=AE= 3 2 , dan BC= 5 cm. 1. Sebutkan bangun datar apa saja yang menyusun bangun datar ABCDE di atas? 2. Tentukan luas daerah bangun datar tersebut! 3. Tentukan keliling bangun ABCDE!



jalurppg.blogspot.com



36



Kegitan Belajar 2



Geometri



Penyelesaian: 1. Berikut adalah alternatif bangun datar yang dapat menyusun bangun ABCDE. Alternatif ke1.



Bangun Datar Penyusun Bangun ABCDE Bangun ABCDE dapat disusun dari bangun trapesium DCAE dan segitiga CBA.



2.



Bangun ABCDE dapat disusun dari bangun segitiga EAB dan trapesium BEDC



3.



Bangun ABCDE dapat disusun dari bangun layang-layang ABCE dan segitiga EDC



4.



Dan seterusnya



Ilustrasi



2.



Karena bangun ABCDE dapat disusun oleh bangun layang-layang ABCE dan segitiga EDC, maka LABCDE = LABCE + LEDC d d at LABCDE = 1 2 + 2 2 7  6 3 4 LABCDE = + 2 2 LABCDE = 21 + 6 LABCDE = 27 Jadi, luas daerah ABCDE adalah 27 cm2.



3.



KABCDE = AB+BC+CD+DE+EA KABCDE = 3 2 +5+3+4+ 3 2 KABCDE = 12+ 6 2 Jadi, keliling bangun ABCDE adalah 12+ 6 2 . jalurppg.blogspot.com



37



Kegitan Belajar 2



Geometri



C. Bangun Ruang 1. Kubus Kubus dideskripsikan sebagai bangun ruang yang dibatasi 3 pasang sisi persegi yang kongruen. Volume kubus = s 3 = s  s  s Luas permukaan kubus = 6  s 2



2. Balok Balok dideskripsikan sebagai bangun ruang yang dibatasi 3 pasang sisi berhadapan kongruen. Volume balok = p  l  t Luas permukaan balok = 2  ( p  l ) + (l  t ) + ( p  t ) 



3. Prisma Prisma dideskripsikan sebagai bangun ruang yang dibatasi sepasang sisi sejajar dan kongruen serta sisi tegak.



Volume prisma = Luas alas x tinggi Luas permukaan prisma = 2 x luas alas + luas seluruh sisi tegak



jalurppg.blogspot.com



38



Kegitan Belajar 2



Geometri



4. Tabung Tabung dideskripsikan sebagai bangun ruang yang dibatasi tiga buah sisi, yaitu sisi alas dan sisi atas yang merupakan daerah lingkaran serta sisi melingkar yang disebut selimut tabung. Volume tabung = Luas alas x tinggi Luas permukaan tabung = 2 x luas alas + luas seluruh sisi tegak Luas permukaan tabung tanpa tutup = luas alas + luas seluruh sisi tegak



5. Limas Limas dideskripsikan sebagai bangun ruang yang dibatasi alas berbentuk polygon dan sisi tegak.



Limas segitiga Volume limas =



Limas segiempat



1 x Luas Alas x tinggi 3



6. Kerucut Kerucut dideskripsikan sebagai bangun ruang yang dibatasi alas berbentuk lingkaran dan sisi tegak (selimut kerucut). Kerucut dapat dipandang sebagai limas yang alasnya berbentuk lingkaran. Volume limas =



1 x Luas Alas x tinggi 3



jalurppg.blogspot.com



39



Kegitan Belajar 2



Geometri



7. Bola Bola dideskripsikan sebagai bangun ruang yang dibatasi oleh kedudukan titik-titik yang memiliki jarak yang sama terhadap titik pusat.



4   r3 3 Luas permukaan bola = 4    r 2 Volume bola =



Contoh Masalah 2 Menentukan Volume Bangun Ruang Diberikan sebuah bangun ruang ABCDEF.GHIJKL sebagai berikut.



Diketahui AB = 12 cm, BC = 9 cm, CD=DE=3, dan BH= 4 cm. 1. Sebutkan bangun ruang apa saja yang menyusun bangun ruang ABCDEF.GHIJKL di atas? 2. Tentukan volume bangun ABCDEF.GHIJKL tersebut! Penyelesaian: 1. Berikut adalah alternatif bangun ruang yang dapat menyusun bangun ruang ABCDEF.GHIJKL Alternatif Bangun Ruang Penyusun Ilustrasi keBangun ABCDEF.GHIJKL 1. Bangun ABCDEF.GHIJKL dapat disusun dari bangun ruang balok E’BCD.K’HIJ dan prisma AE’EF.GK’KL.



jalurppg.blogspot.com



40



Kegitan Belajar 2



2.



Geometri



2.



Bangun ABCDEF.GHIJKL dapat disusun dari bangun ruang balok EE’CD.K’HIJ dan prisma ABE’F.GHK’L.



3.



Dan seterusnya



Diketahui AB = 12 cm, BC = 9 cm, CD=DE=3 cm, FE= 7 cm, dan BH= 4 cm. Karena bangun ABCDEF.GHIJKL dapat disusun dari bangun ruang balok EE’CD.K’HIJ dan prisma ABE’F.GHK’L, maka VABCDEF.GHIJKL = VEE’CD.K’HIJ +VABE’F.GHK’L 1 VABCDEF.GHIJKL = EE ' E ' K  E ' C + ( AB + FE ')  BE ' BH 2 1 VABCDEF.GHIJKL = 3  4  3 + (12 + 10)  6  4 2 VABCDEF.GHIJKL = 36 + 264 VABCDEF.GHIJKL = 300 Jadi, volume bangun ABCDEF.GHIJKL adalah 300 cm3.



jalurppg.blogspot.com



41



Kegitan Belajar 2



Geometri



D. Sistem Koordinat Sistem yang sering digunakan dalam kajian geometri di antaranya adalah sistem koordinat kartesius. Sistem koordinat kertesius dua dimensi terdiri dari 2 sumbu, yakni sumbu-x (horizontal) dan sumbu-y (vertikal). Berikut ini diilustrasikan manfaat sistem koordinat. Menentukan Lokasi Titik dan Jarak Titik



K



ota Ngalam merupakan kota unik yang jalan-jalannya didesain menyerupai sumbu koordinat dengan Balai Kota sebagai pusatnya. Berikut ini adalah tata letak bangunan penting di kota Ngalam. Peta Bangunan Penting Kota Ngalam Nomor Jalan



U



6



B



T



5 Pom Bensin



S



4 Terminal



3 2



Universitas



1



Stasiun



Balai Kota



-7



-6



-5



-4



-3



-2



-1



1



2



3



4



5



6



-1 Kantor Polisi



-2



Stadion



-3 -4 -5 Pizza Dut -6



jalurppg.blogspot.com



42



Rumah Sakit



7



Kegitan Belajar 2



Geometri



Contoh Masalah 3 Masalah Lokasi Titik 1.



Berikan koordinat dari masing-masing bangunan a. Pom Bensin b. Universitas c. Rumah Sakit



2.



Kepala polisi kota Ngalam merencanakan beberapa rute polisi. Kepala polisi tersebut perlu membuat rute mobil terpendek dari pasangan lokasi berikut. Pasangan 1: Kantor polisi ke Balai Kota Pasangan 2: Stasiun ke Stadion Pasangan 3: Universitas ke Pizza Dut a. Berikan arah yang tepat dari rute mobil polisi pada pasangan! b. Pada setiap pasangan, temukan total jarak mobil polisi satuan kotak!



3.



mobil polisi



setiap dalam



Misalkan Anda mengetahui koordinat dua bangunan di Ngalam. Bagaimana Anda menentukan lintasan terpendek mobil polisi (dalam satuan kotak) di antara mereka?



Penyelesaian: 1. Berikut adalah koordinat bangunan di kota Ngalam. a. Pom bensin terletak di persimpangan jalan ke-7 dan 5, jadi koordinatnya (7,5). b. Universitas terletak di persimpangan jalan ke- (-7) dan 2, jadi koordinatnya (-7,2). c. Rumah sakit terletak di persimpangan jalan ke- 4 dan (-4), jadi koordinatnya (4,-4) 2. a. Berikut adalah rute yang tepat dari: 1) Rute terpendek yang ditempuh mobil polisi dari Kantor polisi ke Balaikota adalah melewati 2 jalan ke Utara dan melewati 5 jalan ke Timur atau melewati 5 jalan ke Timur dan melewati 2 jalan ke Utara.



jalurppg.blogspot.com



43



Kegitan Belajar 2



Geometri



2) Rute terpendek yang ditempuh mobil polisi dari Stasiun ke Stadion adalah melewati 2 jalan ke Timur dan melewati 3 jalan ke Selatan atau melewati 3 jalan ke Selatan dan melewati 2 jalan ke Timur.



3) Rute terpendek yang ditempuh mobil polisi dari Universitas ke Pizza Dut adalah melewati 7 jalan ke Timur dan melewati 7 jalan ke Selatan atau melewati 7 jalan ke Selatan dan melewati 7 jalan ke Timur.



3.



b. Berdasarkan rute yang ditempuh, berikut adalah jarak tempuh dari masing-masing rute. 1) Rute terpendek yang ditempuh mobil polisi dari Kantor polisi ke Balaikota adalah 7 satuan kotak. 2) Rute terpendek yang ditempuh mobil polisi dari Stasiun ke Stadion adalah 5 satuan kotak. 3) Rute terpendek yang ditempuh mobil polisi dari Universitas ke Pizza Dut adalah 14 satuan kotak. Misalkan diberikan koordinat dua bangunan di Ngalam, yakni bangunan A( x1 , y1 ) dan bangunan B( x2 , y2 ) . Untuk menentukan jalurppg.blogspot.com



44



Kegitan Belajar 2



Geometri



lintasan terpendek mobil polisi dari bangunan A( x1 , y1 ) dan bangunan



B( x2 , y2 ) adalah x2 − x1 satuan ke Timur/Barat (horizontal) dan



y2 − y1 satuan ke Utara/Selatan (vertikal). E. Segitiga Siku-Siku dan Teorema Pythagoras 1. Segitiga Siku-Siku Segitiga siku-siku merupakan segitiga yang besar salah satu sudutnya 90o. Perhatikan PQR siku-siku di Q . Sisi PR disebut sisi miring (hipotenusa) sedangkan sisi PQ dan QR disebut kaki segitiga siku-siku.



2. Teorema Pythagoras Pythagoras merupakan seorang ahli filsafat dan matematika dari Yunani. Teorema Pythagoras menyatakan bahwa pada sebuah segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring (hipotenusa) merupakan jumlah kuadrat dari dua sisi yang lain. Misalkan PQR berikut sikusiku di Q . Teorema Pythagoras



PR 2 = PQ 2 + QR 2



Sebagai akibat teorema Pythagoras adalah adanya bilangan tripel Pythagoras, yakni segitiga yang dibentuk dengan ukuran sisi sesuai bilangan tripel Pythagoras adalah segitiga siku-siku. Contoh bilangan tripel Pythagoras di antaranya adalah 3, 4, dan 5 5, 12, dan 13 7, 24, dan 25 jalurppg.blogspot.com



45



Kegitan Belajar 2



Geometri



Salah satu manfaat teorema Pythagoras adalah dalam menentukan jarak.



Contoh Masalah 4 Masalah Penentuan Jarak Perhatikan kembali peta kota Ngalam pada Kegiatan 1. 1.



Dibandingkan dengan mobil, helikopter dapat secara langsung menuju dari satu tempat ke tempat lain. Dari setiap pasangan lokasi pada Contoh Masalah 3 Nomor 2, temukan jarak tempuh terpendek helikopter (dalam satuan kotak) dari titik awal hingga titik akhir.



2.



Apakah rute helikopter di antara setiap pasangan lokasi selalu lebih pendek helikopter rute mobil? Jelaskan!



Penyelesaian: 1.



Misalkan diberikan koordinat dua bangunan di Ngalam, yakni bangunan A( x1 , y1 ) dan bangunan B( x2 , y2 ) .



Dengan menerapkan teorema Pythagoras, jarak dari bangunan A ke bangunan B jika ditempuh dengan helikopter adalah AB =



( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) 2



2



a. Diketahui koordinat kantor polisi (-5,-2) dan koordinat balai kota (0,0).



jalurppg.blogspot.com



46



Kegitan Belajar 2



Geometri



Jarak kantor polisi ke balai kota adalah



( 0 − (−5) ) + ( 0 − (−2) ) 2



2



= 52 + 2 2 = 25 + 4 = 29



29 satuan. b. Diketahui koordinat stasiun (3,1) dan koordinat stadion (5,-2). Jadi, jarak kantor polisi ke balai kota adalah



Jarak Stasiun ke Stadion adalah



( 5 − 3) + ( −2 − 1) 2



2



= 22 + (−3) 2 = 4 + 9 = 13



Jadi, jarak kantor polisi ke balai kota adalah



13 satuan.



c. Diketahui koordinat universitas (-7,2) dan koordinat pizza dut (0,5).



Jarak Universitas ke Pizza Dut adalah



( −7 − 0 ) + ( − 5 − 2 ) 2



2



= (−7) 2 + (−7) 2 = 49 + 49 = 98



Jadi, jarak kantor polisi ke balai kota adalah



jalurppg.blogspot.com



47



98 satuan



Kegitan Belajar 2



2.



Geometri



Ya. Berdasarkan sifat segitiga siku-siku, panjang hipotenusa selalu kurang dari jumlah panjang kedua kaki segitiga siku-siku. Dengan demikian, rute helikopter di antara setiap pasangan lokasi selalu lebih pendek helikopter rute mobil.



jalurppg.blogspot.com



48



Kegitan Belajar 2



Geometri



F. Transformasi Geometri Objek geometri dapat diberikan operasi perputaran, dan perbesaran/pengecilan. 1. Pergeseran



seperti



pergeseran,



k



A A’



Posisi objek geometri A dikatakan mengalami pergeseran sejauh k menjadi di A’. 2. Pencerminan



s B



B’



Objek geometri B dikatakan mengalami pencerminan terhadap sumbu s menjadi B’. 3. Perputaran



θ



Objek geometri C dikatakan mengalami perputaran sebesar θ.



jalurppg.blogspot.com



49



Kegitan Belajar 2



Geometri



4. Perbesaran/Pengecilan



E D



Objek geometri E dikatakan perbesaran dari objek geometri D atau Objek geometri D dikatakan pengecilan dari objek geometri E.



jalurppg.blogspot.com



50



Kegitan Belajar 2



Geometri



Rangkuman KEGIATAN BELAJAR 2 1. Terdapat tiga istilah pokok dalam geometri yang tidak didefinisikan, yaitu titik, garis, dan bidang. 2. Bangun Datar No. 1.



Rumus Luas dan Keliling



Bangun datar



L = at



Jajargenjang



K = 2  (a + s ) 2.



Persegipanjang



L = pl K = 2  ( p + l)



3.



Persegi



L = ss K = 4 s



4.



Segitiga



at 2 K = a+b+c



5.



Layang-layang



L=



6.



Belah Ketupat



L=



7.



Trapesium



( a + b)  t 2 K = a+b+c+d



8.



Lingkaran



L=



d1  d 2 2 K = 2  ( s1 + s2 ) d1  d 2 2 K = 4 s L=



L=



 d2



=   r2



4 K =   d = 2  r   227  3,14



Dengan



d = 2 r



jalurppg.blogspot.com



51



dan



Kegitan Belajar 2



Geometri



3. Bangun Ruang No.



Rumus Volume



Bangun ruang



1.



Kubus



V = s  s  s = s3



2.



Balok



V = pl t



3.



Prisma



V = L. Alas  t



4.



Bola



4   r3 V= 3 V = 4  r2



5.



Tabung



V = L. Alas  t



6.



Limas Segitiga



V=



L. Alas  t 3



7.



Limas Segiempat



V=



L. Alas  t 3



8.



Kerucut



V=



L. Alas  t 3



4. Sistem koordinat dua dimensi terdiri dari sumbu-x dan sumbu-y. 5. Sisi miring segitiga siku-siku disebut juga hipotenusa. 6. Objek geometri dapat dikenai tindakan pergeseran, pencerminan, perputaran dan perbesaran/pengecilan.



jalurppg.blogspot.com



52



Kegitan Belajar 2



Geometri



Tugas KEGIATAN BELAJAR 2 1. Ketika menjelaskan bangun datar, guru mengilustrasikan pintu atau papan tulis sebagai contoh persegipanjang. Bagaimana pendapat Anda? Jelaskan! 2. Sebagai guru, bagaimana cara Anda mengajarkan konsep 𝜋 (dibaca: pi) ketika menjelaskan luas dan keliling lingkaran? Jelaskan! 3. Buatlah peta konsep yang menunjukkan hubungan/kaitan di antara bangun-bangun geometri! 4. Seorang siswa berpendapat bahwa persegipanjang merupakan jajargenjang yang besar keempat sudutnya 90o. Bagaimana Anda menyikapi pendapat siswa tersebut? 5. Disadari bahwa rumus-rumus bangun datar yang harus dikuasai siswa jenjang SD/MI cukup banyak. Sebagai guru, bagaimana cara Anda menyiasati permasalahan tersebut?



jalurppg.blogspot.com



53



Kegitan Belajar 2



Geometri



Tes Formatif KEGIATAN BELAJAR 2 1. Pernyataan-pernyataan berikut benar, kecuali ... .



a. b. c. d. e.



Titik E terletak pada bidang TAC Titik E terletak pada bidang TDB Titik E terletak pada bidang TBC Titik E terletak pada bidang ABCD Titik E terletak pada bidang DAC



2. Pasangan bidang berikut saling berpotongan, kecuali ... .



a. b. c. d. e.



BCHE dengan ADGF ABFE dengan DCGH ABGH dengan CDEF ACGE dengan DBFH EFGH dengan ADHE



3. Pernyataan berikut yang salah adalah ... . a. Persegi adalah belah ketupat yang keempat sudutnya siku-siku jalurppg.blogspot.com



54



Kegitan Belajar 2



Geometri



b. Belah ketupat adalah layang-layang yang kedua diagonalnya sama panjang c. Semua persegi pasti persegipanjang d. Persegi memiliki empat sisi sejajar e. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik pusat 4. Diketahui PQR berikut siku-siku di Q . Jika PR = 13 cm dan PQ = 5 cm, panjang QR adalah ... .



a. b. c. d. e.



5 cm 7 cm 8 cm 10 cm 12 cm



5. Diketahui volume suatu prisma adalah 792 cm3 dan tinggi prisma adalah 11 cm. Luas alas prisma tersebut adalah ... . a. 8712 cm2 b. 72 cm2 c. 36 cm2 d. 9 cm2 e. 6 cm2 6. Luas permukaan limas persegi pada gambar di bawah, jika AB = 4 dan TF = 8 adalah ... .



jalurppg.blogspot.com



55



Kegitan Belajar 2



a. b. c. d. e.



Geometri



64 cm2 72 cm2 80 cm2 88 cm2 96 cm2



7. Gambar berikut yang merepresentasikan contoh pencerminan adalah ….



a.



b.



c.



d.



e. 8. Berikut ini contoh perputaran adalah … .



a.



b.



jalurppg.blogspot.com



56



Kegitan Belajar 2



Geometri



c.



d.



e. 9. Gambar di bawah merupakan bangun persegi dan setengah lingkaran. Jika luas daerah B adalah 77 cm2, ¼ luas daerah A adalah ... .



a. b. c. d. e.



45 cm2 46 cm2 47 cm2 48 cm2 49 cm2



10. Diketahui ABCD adalah sebuah persegipanjang dengan AB = 5 dan BC = 3. Jika BQ = PQ = 1 cm, maka luas daerah layang-layang BCPQ adalah ... .



a. b. c. d. e.



3 cm2 4 cm2 5 cm2 6 cm2 7 cm2



jalurppg.blogspot.com



57



Kegitan Belajar 4 Logika



Capaian Pembelajaran KEGIATAN BELAJAR 3 3.1 Peserta mampu memilih dan menggunakan metode-metode statistika



yang sesuai untuk analisis data



jalurppg.blogspot.com



57



Kegitan Belajar 4 Logika



Sub-Capaian Pembelajaran KEGIATAN BELAJAR 3 3.1.1 Peserta mampu mendeskripsikan bentuk dan fitur penting dari sekumpulan data dan membandingkan data terkait, dengan penekanan pada bagaimana data didistribusikan 3.1.2 Peserta mampu menggunakan ukuran pemusatan data 3.1.3 Peserta mampu membandingkan representasi berbeda dari data yang sama dan mengevaluasi seberapa baik setiap representasi menunjukkan aspek-aspek penting dari data



jalurppg.blogspot.com



58



Kegitan Belajar 4 Logika



Pokok Materi KEGIATAN BELAJAR 3 1. Rata-rata 2. Median 3. Modus 4. Varians



jalurppg.blogspot.com



59



Kegitan Belajar 4 Logika



Uraian Materi KEGIATAN BELAJAR 3 Ukuran pemusatan data merupakan karakteristik yang bermanfaat untuk mengeksplorasi data. Karakteristik tersebut dapat dipelajari menggunakan grafik atau ukuran-ukuran yang diperoleh dari data. Ukuran pemusatan meliputi rata-rata, median, dan modus. A. Rata-rata 1. Rata-rata data acak (ungrouped data) Misal a, b, dan c diketahui data nilai tiga mahasiswa. Yang dimaksud dengan rata-rata nilai tiga mahasiswa itu adalah jumlah nilai tiga mahasiswa dibagi dengan banyak mahasiswa. Secara matematis, rata-ratanya bisa ditulis



𝑎+𝑏+𝑐 3



. Rata-rata disimbolkan



dengan 𝑥̅ (baca : x bar). Secara umum jika 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 …., 𝑥𝑛 menyatakan sampel acak ukuran 𝑛, maka rataan sampel dinyatakan oleh statistik ̅ 𝒙= 𝒙𝟏 +𝒙𝟐 +⋯+𝒙𝒏 𝒏



=



∑ 𝒙𝒊 𝒏



.



Simbol Σ adalah alfabet Yunani yang merupakan singkatan dari sum (jumlah). Contoh 1.1.a : Misal nilai lima ulangan harian mata pelajaran Matematika 80, 80, 70, 90, 80. Tentukan rata-rata data tersebut ! Jawab : 𝑥̅ =



𝑥1 +𝑥2 +⋯+𝑥𝑛 𝑛



=



∑𝑛=5 𝑖=1 𝑥𝑖 𝑛



=



80+80 +70+90+80 5



=80



Rata-rata dari nilai ulangan harian tersebut adalah 80. Contoh 1.2.a : Diketahui data hasil ulangan harian 10 peserta didik pada mata pelajaran Sejarah Kebudayaan Islam adalah sebagai berikut : 65, 70, 75, 85, 90, 90, 95, 95, 95, dan 100. Hitunglah rata-rata (mean) data di atas!



jalurppg.blogspot.com



60



Kegitan Belajar 4 Logika



Jawab : 𝑥̅ =



65+70+75+85+90+90+95+95+95+100 10



= 86



Rata-rata nilai ulangan harian 10 peserta didik pada mata pelajaran Sejarah Kebudayaan Islam adalah 86. 2. Rata-rata data berkelompok (grouped data) Bila data yang ada banyak jumlahnya banyak, maka perlu disusun distribusi frekuensi agar mudah dianalisis. Data acak dapat dikelompokkan berdasarkan ke dalam kelas tertentu dengan panjang interval tertentu. Secara matematis rata-rata (mean) data berkelompok adalah : 𝑛



𝑛



𝑥̅ = ∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖 ⁄∑ 𝑓𝑖 = 𝑖=1



𝑖=1



𝑓1 𝑥1 + 𝑓2 𝑥2 + 𝑓3 𝑥3 + ⋯ + 𝑓𝑛 𝑥𝑛 𝑓1 + 𝑓2 + ⋯ + 𝑓𝑛



Keterangan : 𝑥̅ = rata-rata (means) 𝑥𝑖 = nilai tengah interval kelas ke- 𝑖 𝑓𝑖 = frekuensi interval kelas 𝑖 Untuk mengelompokkan data acak, bisa digunakan prosedur yang telah dikembangkan oleh Sturges. Berikut ini adalah prosedur atau langkah menyusun distribusi kuantitatif sebuah data. a) Menentukan banyak dan lebar interval kelas. Banyak interval kelas yang efisien biasanya antara 5 dan 15. Adapun rumus banyak interval kelas (𝑘) adalah : 𝑘 = 1 + 3,322 log 𝑛



Lebar interval =



jangkauan 𝑘



Jangkauan biasanya disebut dengan range. b) Meletakkan interval-interval kelas ke dalam sebuah kolom serta mengurutkan kelas terendah pada kolom paling atas dan seterusnya. c) Memeriksa dan memasukkan data ke dalam interval yang sesuai. Di bawah ini ada data nilai kuis mata kuliah Konsep Dasar Matematika dari 25 mahasiswa yang tersaji dalam tabel berikut.



jalurppg.blogspot.com



61



Kegitan Belajar 4 Logika



9 11 20 15 19 19 18 14 12 17 13 16 17 19 18 13 17 15 18 17 10 11 17 19 15 Selanjutnya, dibuatlah tabel yang memuat banyak data (frekuensi) dengan turus. Perhatikan tabel di bawah ini. Data 9 10 11 12 13 14 15 16 17



Turus I I II I II I III I IIII



Frekuensi 1 1 2 1 2 1 3 1 5



Langkah berikutnya adalah menentukan banyak dan lebar kelas digunakan aturan Sturges. Perhitungan penentuan banyak kelas, jangkauan, dan lebar kelas disajikan sebagai berikut : 1) 𝑘 = 1 + 3,322 log 25 = 1 + 4,644 = 5,644 ≈ 6 2) jangkauan = 20 − 9 = 11. 3) Lebar interval =



jangkauan 𝑘



=



11 6



= 1,833 ≈ 2.



Hasil pengelompokan data disajikan pada Tabel 3.3 bawah ini. No 1 2 3 4 5 6



Data 9 – 10 11 – 12 13 – 14 15 – 16 17 – 18 19 - 20



𝒇𝒊 𝒙𝒊 5 9,5 8 11,5 4 13,5 3 15,5 3 17,5 2 19,5 ∑ 𝑓𝑖 =25 ∑ 𝑓 𝑥 𝑖 𝑖



𝑛



𝑛



𝑥̅ = ∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖 ⁄∑ 𝑓𝑖 = 𝑖=1



𝑖=1



jalurppg.blogspot.com



62



𝒇𝒊 𝒙 𝒊 47,5 92 54 46,5 52,5 39 331,5



331,5 = 13,26. 25



di



Kegitan Belajar 4 Logika



Jadi, rata-rata data nilai kuis mahasiswa pada mata kuliah Konsep Dasar Matematika adalah 13,26. Contoh 2.1.a Tabel berikut adalah data statistik penelitian seorang guru yang melakukan penelitian tindakan kelas.



Tabel tersebut menunjukkan perbandingan kemampuan siswa (objek penelitian) dalam mengonstruksi konsep pada siklus 1 dan 2. Apakah kemampuan siswa dalam mengonstruksi konsep secara umum mengalami peningkatan? Jawab: Untuk menentukan kemampuan siswa dalam mengkonstruksi konsep secara umum apakah mengalami peningkatan atau tidak bisa digunakan ukuran pemusatan yakni rata-rata jumlah siswa yang berkategori baik. No



Deskripsi



Baik 1



2



1



Merumuskan hipotesis konsep



36



62



2



Mengajukan pertanyaan untuk



33



56



mengumpulkan data 3



Mengklasifikasikan data



23



44



4



Mengeliminasi data



23



41



5



Mengaitkan data untuk



13



46



25,6



49,8



mendefinisikan konsep Rata-rata



jalurppg.blogspot.com



63



Kegitan Belajar 4 Logika



Terlihat bahwa rata-rata nilai kemampuan siswa dalam mengonstruksi konsep secara umum mengalami peningkatan sebesar 49,8 − 25,6 = 24,2. B. Median 1) Median data acak Median atau nilai tengah termasuk ukuran pemusatan data. Median adalah nilai tengah jika segugus data diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar atau sebaliknya. Median data ganjil Misal terdapat data 8, 7, 9. Untuk menentukan median data tersebut, haruslah diurutkan datanya. Setelah diurutkan, maka datanya menjadi 7, 8, 9. Dengan demikian, dapat dengan mudah ditentukan mediannya adalah 8. Median data genap Berbeda dengan



data



yang



jumlahnya



genap,



tengahnya ditentukan dengan menjumlahkan data ke data ke



𝑛 2



𝑛 2



nilai



dengan



+ 1, hasil penjumlahan itu dibagi dua. Misalnya, diketahui



sebuah data 2, 8, 3, 4, 1, 8. Untuk menentukan median data tersebut, langkah pertama adalah dengan mengurutkan data tersebut. Data terurutnya 1, 2, 3, 4, 8, 8. Mediannya adalah jumlah data ke-3 dan ke-4 dibagi 2, yakni



3+4 2



= 3,5.



Secara matematis, misalkan terdapat data : 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 …., 𝑥𝑛 , median (𝑀𝑑 ) dirumuskan sebagai berikut : 𝑥𝑛+1 untuk 𝑛 ganjil 2 𝑀𝑑 = {𝑥𝑛+𝑥𝑛+1 2



2



untuk 𝑛 genap



2



Contoh 1.1.b Carilah median (𝑀𝑑 ) data berikut: 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 Jawab : 𝑀𝑑 = data keenam = 14 Contoh 1.2.b Carilah median (𝑀𝑑 ) data berikut : 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 jalurppg.blogspot.com



64



Kegitan Belajar 4 Logika



Jawab : 𝑀𝑑 =



data keenam+data ketujuh 2



=



14+15 2



= 14,5



2) Median data yang dikelompokkan Untuk data yang sudah dikelompokkan (grouped data), median atau nilai tengah disajikan dalam 𝑛 −𝐹 𝑀𝑑 = 𝐿𝑀𝑑 + (2 )𝑐 𝑓𝑀𝑑 Keterangan : 𝑀𝑑 = median 𝐿𝑀𝑑 = batas bawah kelas median 𝑛 = banyak data 𝐹 = jumlah frekuensi interval sebelum interval median 𝑓𝑀𝑑 = frekuensi interval median 𝑐 = lebar interval Contoh 2.1.b Perhatikan data di bawah ini. No Data 𝒇𝒊 1 9 – 10 5 2 11 – 12 8 3 13 – 14 4 4 15 – 16 3 5 17 – 18 3 6 19 – 20 2 Tentukan median (𝑀𝑑 ) data di atas ! Jawab : Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menentukan kelas median. No 1 2 3 4 5 6



Data 9 – 10 11 – 12 13 – 14 15 – 16 17 – 18 19 - 20



𝒇𝒊 𝒇𝒌 5 5 8 13 4 17 3 20 3 23 2 25 ∑ 𝑓𝑖 =25 ∑ 𝑓 𝑥 𝑖 𝑖



jalurppg.blogspot.com



65



Kegitan Belajar 4 Logika



Karena banyak data adalah 25 (ganjil), maka nilai tengah untuk data acak adalah 𝑥25+1 = 𝑥13 (data ketiga belas). Perhatikan kelas 2



interval yang ditandai di atas. 𝑛



𝑀𝑑 = 𝐿𝑀𝑑 + ( 2



−𝐹



𝑓𝑀𝑑



𝑀𝑑 = 10,5 + (



)𝑐



12,5−5 13



) 2 = 11,65



Jadi median data di atas adalah 11,65. C. Modus 1) Modus data acak Modus (mode) adalah data yang sering muncul. Contoh 1.1.c Diketahui data IPK 4 mahasiswa 2, 3, 4, dan 4. Tentukan modus data tersebut ! Jawab : Modus data tersebut adalah 4. Contoh 1.2.c Penelitian uang saku siswa MI Al Hikmah Kota Malang dengan sampel 24 siswa adalah sebagai berikut. 15000 17500 18000 20000 25000 22500 12500 17500 22500 14000 17500 16000 22000 23000 22500 14000 15000 20000 22500 25000 30000 22500 12500 20000 Tentukan modus data tersebut ! Jawab : Modus data di atas adalah 22500 karena data tersebut muncul 5 kali (muncul paling banyak). 2) Modus data berkelompok Untuk data berkelompok (grouped data), modus (𝑀0 ) dirumuskan dengan 𝑑1 )𝑐 𝑀𝑜 = 𝐿𝑀0 + ( 𝑑1 + 𝑑2 Keterangan : 𝑀𝑜 = modus 𝐿𝑀𝑜 = batas bawah kelas modus 𝑛 = banyak data 𝑑1 = selisih positif frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya jalurppg.blogspot.com



66



Kegitan Belajar 4 Logika



𝑑2 = selisih positif frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas setelahnya 𝑐 = lebar interval Contoh 2.1.c Perhatikan data di bawah ini! No Data 1 9 – 10 2 11 – 12 3 13 – 14 4 15 – 16 5 17 – 18 6 19 - 20



𝒇𝒊 𝒇𝒌 5 5 8 13 4 17 3 20 3 23 2 25 ∑ 𝑓𝑖 =25 ∑ 𝑓 𝑥 𝑖 𝑖



Tentukan modus (𝑀𝑜 ) data di atas! Jawab : 𝑀𝑜 = 𝐿𝑀0 + (𝑑



𝑑1



1 +𝑑2



)𝑐



3



𝑀𝑜 = 10,5 + (3+4) 2 = 11,36 Jadi, modus data di atas adalah 11, 36. Ketiga statistik ukuran pemusatan belumlah dapat memberikan gambaran yang memuaskan mengenai distribusi data. Masih perlu diketahui bagaimana pengamatan memencar di sekitar pusat data. Mungkin saja dua pengamatan memiliki rataan atau median yang sama, tetapi pemencarannya sangat berbeda dengan rata-ratanya. D. Range (Jangkauan) Definisi Range sampel acak 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 yang diurutkan membesar didefinisikan sebagai statistik 𝑥𝑛 − 𝑥1 . Contoh 1.1.d : Range himpunan pengamatan 10,12,12,18,19,22, dan 24 adalah 24 − 10 = 14. jalurppg.blogspot.com



67



Kegitan Belajar 4 Logika



Pandanglah contoh pengukuran berikut mengenai dua sampel pembotolan air jeruk oleh dua perusahaan yang berbeda, sebut saja perusahaan A dan B. Sampel A



75



80



76



83



86



Jangkauan = 12



Sampel B



86



80



69



71



94



Jangkauan = 25



Kedua sampel mempunyai rataan yang sama, 80. Cukup jelas bahwa perusahaan A lebih merata isi botol air jeruknya daripada perusahaan B. Tentunya, kalau membeli air jeruk kita akan merasa labih yakin bahwa isi botol yang kita pilih lebih mendekati isi dicantumkan



pada



etiket



botolnya



bila



kita



membeli



yang



produksi



perusahaan A. Range merupakan ukuran penyebaran yang kurang efektif teutama apabila sekali bila ukuran sampel besar, karena hanya menggunakan dua nilai yang ekstrem dan sama sekali tidak mendeskripsikan apapun tentang penyebaran data di antaranya. Perhatikan contoh berikut ! 3



4



5



6



8



9



10



12



15



3



8



8



9



9



9



10



10



15



Pada himpunan pertama rata-rata dan median sama-sama 8, tapi bilangannya berubah dari 3 sampai 15. Pada himpunan kedua, rata-rata dan median sama-sama 9, tapi banyak bilangannya yang dekat dengan 9. Kendati range gagal mengukur penyebaran di antara kedua pengamatan terbesar dan terkecil, manfaat pemakaiannya masih ada. Untuk mengatasi kelemahan range, akan dibahas ukuran penyebaran lainnya yaitu varians, yang memperhitungkan besar tiap pengamatan sampel terhadap rataan sampel. D. Varians (Ragam) Dalam teori probabilitas dan statistika, varians (dari bahasa Inggris: variance) atau ragam suatu peubah acak (atau distribusi probabilitas) adalah ukuran seberapa jauh sebuah kumpulan bilangan tersebar. Varians nol mengindikasikan bahwa semua nilai sama. Varians



selalu



bernilai



non-negatif,



varians



yang



rendah



mengindikasikan bahwa titik data condong sangat dekat dengan nilai rata-rata (nilai ekspektasi) dan antara satu sama lainnya, sementara jalurppg.blogspot.com



68



Kegitan Belajar 4 Logika



varians yang tinggi mengindikasikan bahwa titik data sangat tersebar di sekitar rata-rata dan dari satu sama lainnya. Pengukuran yang sama yaitu akar kuadrat dari varians, disebut juga simpangan baku. Simpangan baku memiliki dimensi dan data yang sama, oleh karena itu bisa dibandingkan dengan deviasi dari rerata. Varians adalah salah satu penanda dari sebuah distribusi peluang. Dalam konteks tersebut, ia menjadi bagian dari pendekatan sistematis sebagai pembeda antara distribusi probabilitas. Walaupun pendekatan lain telah dikembangkan, pendekatan yang berbasis momen lebih mudah secara matematis. Varians adalah salah satu parameter yang menjelaskan, distribusi peluang sebenarnya dari suatu populasi yang diobservasi, atau distribusi peluang teoretis dari sebuah populasi yang tidak secara penuh diobservasi (sampel). Pada kasus terakhir, sebuah sampel data dapat digunakan untuk membentuk sebuah estimasi varians dari distribusi yang mendasarinya. 1) Varians data acak Varians sampel dari suatu data 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛 adalah jumlah kuadrat selisih antara data dan rata-rata dibagi 𝑛 − 1. Secara simbolik, dituliskan dengan 𝑛



𝑠2



1 ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 = 𝑛−1 𝑖=1



Contoh 1.1.d



Data indeks prestasi kumulatif (IPK) 10 mahasiswa PGMI FITK UIN MALIKI MALANG adalah sebagai berikut : 2,75 ; 2,86; 3,01; 3,21; 3,30 ; 3,45; 3,50 ; 3,55 ; 3,58 ; dan 3,60. Jawab: Mahasiswa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



𝑥 − 𝑥̅ -0,531 -0,421 -0,271 -0,071 0,019 0,169 0,219 0,269 0,299 0,319



IPK 2,75 2,86 3,01 3,21 3,30 3,45 3,50 3,55 3,58 3,60



jalurppg.blogspot.com



69



(𝑥 − 𝑥̅ )2 0,281961 0,177241 0,073441 0,005041 0,000361 0,028561 0,047961 0,072361 0,089401 0,101761



Kegitan Belajar 4 Logika



𝑛



𝑠2



(𝑥1 − 𝑥̅ )2 + (𝑥2 − 𝑥̅ )2 + ⋯ + (𝑥10 − 𝑥̅ )2 1 ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 = = 10 𝑛−1 𝑖=1



(2,75 − 3,281)2 + (2,86 − 3,281)2 + ⋯ + (3,6 − 3,281)2 10 (−0,531)2 + (−0,421)2 + ⋯ + (3,281)2 = 10 0,28196 + 0,17724 + ⋯ + 0,10176 0,87809 = = = 0,087809 10 10 =



2) Varians data berkelompok Untuk data berkelompok 𝑥𝑖 varians sampel dari suatu data 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛 adalah jumlah kuadrat selisih antara data dan ratarata dibagi 𝑛. Secara simbolik, dituliskan dengan 𝑛



1 𝑠 = ∑ 𝑓𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 𝑛−1 2



𝑖=1



Untuk varians populasi dinotasikan dengan 𝜎 2 . 𝑛



1 𝜎 2 = ∑ 𝑓𝑖 (𝑥𝑖 − 𝜇)2 𝑛 𝑖=1



Contoh 2.1.d Data indeks prestasi kumulatif (IPK) sampai periode semester gasal 2017-2018 mahasiswa FITK UIN MALIKI MALANG tersaji pada tabel di bawah ini. No



IPK



𝑓



1



2,5 ≤ IPK < 2,75



11



2



2,75 ≤ IPK < 3,00



24



3



3,00 ≤ IPK < 3,25



276



4.



3,25 ≤ IPK < 3,50



378



5.



3,50 ≤ IPK < 3,75



245



6.



3,75 ≤ IPK ≤ 4,00



66



Tentukan varians data di atas!



jalurppg.blogspot.com



70



Kegitan Belajar 4 Logika



Langkah pertama adalalah menghitung nilai tengah tiap kelas yaitu :



2,5+2,75 2



= 2,625. Hasil selengkapnya bisa dilihat pada tabel di



bawah ini. No 1 2 3 4. 5. 6.



IPK 2,5 ≤ IPK < 2,75 2,75 ≤ IPK < 3,00 3,00 ≤ IPK < 3,25 3,25 ≤ IPK < 3,50 3,50 ≤ IPK < 3,75 3,75 ≤ IPK ≤ 4,00



Nilai tengah 2,625 2,875 3,125 3,375 3,625 3,875



𝑓 11 24 276 378 245 66



Selanjutnya dihitung rata-rata nilai tengah. Rata-rata nilai tengah adalah 2,625 + 2,875 + 3,125 + 3,375 + 3,625 + 3,875 𝑥̅𝑖 = = 3,25 6 Selanjutnya dihitung pengurangan tiap nilai tengah oleh ratarata nilai tengah. Hasil perhitungan disajikan pada tabel berikut. No



𝑥𝑖 − 𝑥̅𝑖



Nilai tengah



1.



2,625



-0,625



2.



2,875



-0,375



3.



3,125



-0,125



4.



3,375



0,125



5.



3,625



0,375



6.



3,875



0,625



Selanjutnya hasil pengurangan tiap nilai tengah oleh rata-rata nilai tengah dikuadratkan. Hasil perhitungan disajikan pada berikut. No



Nilai tengah



𝑥𝑖 − 𝑥̅𝑖



(𝑥𝑖 − 𝑥̅𝑖 )2



1.



2,625



-0,625



0,390625



2.



2,875



-0,375



0,140625



3.



3,125



-0,125



0,015625



4.



3,375



0,125



0,015625



5.



3,625



0,375



0,140625



6.



3,875



0,625



0,390625



jalurppg.blogspot.com



71



Kegitan Belajar 4 Logika



Tiap (𝒙𝒊 − 𝒙̅𝒊 )𝟐 dikalikan dengan frekuensi masing-masing kelas. Hasil disajikan pada tabel di bawah ini. No



Nilai



(𝑥𝑖 − 𝑥̅𝑖 )2



𝑓



(𝑥𝑖 − 𝑥̅𝑖 )2 . 𝑓



tengah



Tiap



1.



2,625



0,390625



11



4,296875



2.



2,875



0,140625



24



3,375



3.



3,125



0,015625



276



4,3125



4.



3,375



0,015625



378



5,90625



5.



3,625



0,140625



245



34,45313



6.



3,875



0,390625



66



25,78125



(𝒙𝒊 − 𝒙̅𝒊 )𝟐 𝑓



dijumlahkan.



Hasilnya



4,296875 + 3,375 +



4,3125 + 5,90625 + 34,45313 + 25,78125 = 78,125. Jadi, data tersebut adalah



78,125 1000



= 0,078125.



jalurppg.blogspot.com



72



varians



Kegitan Belajar 4 Logika



Rangkuman KEGIATAN BELAJAR 3 1. Statistika adalah ilmu yang berkaitan dengan cara-cara pengumpulan data, penyajian data, pengolahan data, penganalisisan data, dan penarikan kesimpulan berdasarkan kumpulan data. 2. Ukuran pemusatan terdiri atas rata-rata, modus, dan median. 3. Range sampel acak 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 yang diurutkan membesar didefinisikan sebagai statistik 𝑥𝑛 − 𝑥1 . 4. Untuk data acak : a) Varians untuk sampel : 𝑛



1 ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 𝑠 = 𝑛−1 2



𝑖=1



b) Varians untuk populasi : 𝑛



1 𝜎 = ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 𝑛 2



𝑖=1



5. Untuk data berkelompok (grouped data) : a) Varians untuk sampel : 𝑛



1 ∑ 𝑓𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 𝑠2 = 𝑛−1 𝑖=1



b) Varians untuk populasi : 𝑛



1 𝜎 2 = ∑ 𝑓𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 𝑛 𝑖=1



jalurppg.blogspot.com



73



Kegitan Belajar 4 Logika



Tugas KEGIATAN BELAJAR 3 1. Berikut ini adalah data hasil PAT (Penilaian Akhir Tahun) mata pelajaran Aqidah Akhlak untuk 30 siswa pada Madrasah Aliyah Negeri Maju Bersama Kabupaten Malang. 79



78



79



80



80



81



82



83



82



75



80



81



76



75



77



79



80



74



71



72



78



79



76



74



69



70



91



82



78



89



a. Hitunglah mean data di atas! b. Hitunglah median data di atas!



2. Hasil survey lembaga penelitian sebuah LSM tentang banyaknya pelajar atau mahasiswa yang menggunakan media sosial whatsapp di desa Sukamaju adalah sebagai berikut. No



Data



𝑓𝑖



1



9 – 10



35



2



11 – 12



48



3



13 – 14



84



4



15 – 16



113



5



17 – 18



253



6



19 - 20



276



Hitunglah modus data di atas! 3. Diberikan data hasil ulangan harian Sejarah Kebudayaan Islam siswa kelas IX MTs Unggulan Al Hidayah sebagai berikut. 80



78



75



80



81



81



82



83



84



79



80



81



72



75



77



79



80



74



71



72



78



79



76



74



69



70



91



82



78



89



a. Sajikan data di atas dalam distribusi data berkelompok (tentukan banyak kelas dan panjang interval)! b. Hitunglah varians data di atas!



jalurppg.blogspot.com



74



Kegitan Belajar 4 Logika



4. Pak Zuhdan mendata tinggi 30 siswanya. Datanya disajikan dalam tabel berikut. 144



132



133



130



127



128



139



146



125



132



128



129



135



147



128



135



129



132



135



139



130



129



129



128



137



138



135



131



127



136



a. Sajikan data di atas dalam distribusi data berkelompok (tentukan banyak kelas dan panjang interval)! b. Hitunglah varians data di atas!



jalurppg.blogspot.com



75



Kegitan Belajar 4 Logika



Tes Formatif KEGIATAN BELAJAR 3 1. Berat badan dari 40 siswa di MTs Bina Umat (dalam kg) tercatat pada tabel di bawah.



Rataan berat badan tersebut adalah … . A. 46,20 B. 46,5 C. 47,00 D. 47,25 E. 49,50 2. Siswa suatu kelas terdiri dari tiga kelompok penyumbang korban bencana alam di Nabire. Kelompok I, II, dan III masing-masing terdiri dari 10, 12, dan 18 siswa. Jika rata–rata sumbangan kelompok I adalah Rp 10.000,00, rata–rata sumbangan kelompok II adalah Rp 11.000,00, dan rata–rata sumbangan seluruh kelas adalah Rp 9.400,00, maka rata–rata sumbangan kelompok III adalah … . A. Rp 7.500,00 B. Rp 8.000,00 C. Rp 8.500,00 D. Rp 9.000,00 E. Rp 10.000,00 3. Suatu data dengan rata-rata 16 dan jangkauan 6. Jika setiap nilai dalam data dikalikan 𝑞 kemudian dikurangi 𝑟 didapat data baru dengan rata-rata 20 dan jangkauan 9. Nilai 2𝑞 + 𝑟 = … . jalurppg.blogspot.com



76



Kegitan Belajar 4 Logika



A. B. C. D. E.



3 4 5 6 7



4. Pada ulangan matematika, diketahui nilai rata–rata kelas adalah 58. Jika rata - rata nilai matematika untuk siswa laki–laki 64 dan rata-rata untuk siswa perempuan 56, maka perbandingan banyak siswa laki - laki dan perempuan adalah … . A. 1 : 3 B. 1 : 6 C. 2 : 3 D. 3 : 2 E. 3 : 4 5. Perhatikan data pada tabel di bawah ini!



Median dari data tersebut adalah ... . A. 34,5 + B. 34,5 + C. 29,5 + D. 29,5 + E. 38,5 +



16−10 12 16−10 12 16−10 12 16−10 12 16−10 12



× 10 ×9 ×9 × 10 × 10



6. Perhatikan tabel! Median dari data yang disajikan berikut adalah … .



jalurppg.blogspot.com



77



Kegitan Belajar 4 Logika



A. B. C. D. E.



32 37,625 38,25 43,25 44,50



7. Diberikan data dalam tabel frekuensi sebagai berikut.



Modus dari data tersebut adalah ... . A.



49,5 −



B.



49,5 −



C.



49,5 +



D.



49,5 +



E.



49,5 +



40 7 36 7 36 7 40 7 48 7



8. Modus dari data pada tabel di bawah ini adalah ... .



34



A.



20,5 +



B.



20,5 + 25 . 5



C.



20,5 + 7 . 5



D.



20,5 − 4 . 5



E.



20,5 − 7 . 5



5 3



. 10



3 3 3



jalurppg.blogspot.com



78



Kegitan Belajar 4 Logika



9.



Modus dari data pada tabel di bawah ini adalah ... .



A. B. C. D. E. 10.



13,05 13,50 13,75 14,05 14,25



Diketahui nilai ulangan harian pada mata pelajaran Matematika 5 siswa adalah 9, 8, 6, 9, dan 7. Varians data tersebut adalah ... . A. 1,7 B. 1,8 C. 2,0 D. 2,1 E. 2,5



jalurppg.blogspot.com



79



Kegitan Belajar 4 Logika



Capaian Pembelajaran KEGIATAN BELAJAR 4 Mampu memahami konsep pernyataan (statement), bentuk implikasi kalimat matematika (pernyataan) dan variasinya, kuantor, serta argumen dan penarikan kesimpulan



jalurppg.blogspot.com



80



Kegitan Belajar 4 Logika



Sub-Capaian Pembelajaran KEGIATAN BELAJAR 4 1. Konsep pernyataan (statement) 1) Menjelaskan definisi pernyataan dalam matematika serta memberikan contoh dan negasinya 2) Membuat tabel kebenaran dari suatu pernyataan tunggal 3) Menjelaskan konsep konjungsi dan disjungsi serta negasinya 2. Konsep implikasi kalimat matematika (pernyataan) dan variasinya 1) Menjelaskan bentuk implikasi dan menguraikan komponenkomponennya seperti hipotesis, asumsi, dan konklusi 2) Membuat tabel kebenaran dari suatu pernyataan yang mengandung bentuk implikasi 3) Menentukan negasi dari pernyataan yang mengandung bentuk implikasi 4) Memahami konsep konvers, invers, kontraposisi, danbiimplikasi dari suatu bentuk implikasi, serta konsep tautologi dan kontradiksi 3. Konsep kuantor 1) Menjelaskan definisi kuantor universal dan memberikan contohnya 2) Menjelaskan definisi kuantor eksistensial dan memberikan contohnya 3) Mengombinasikan dua kuantor dalam satu pernyataan; 4. Konsep argumen dan penarikan kesimpulan 1) Memahami konsep argumen dan dapat menentukan kevalidan suatu argumen 2) Mengetahui dan memahami beberapa jenis kaidah penarikan kesimpulan



jalurppg.blogspot.com



81



Kegitan Belajar 4 Logika



Pokok Materi KEGIATAN BELAJAR 4 1. Pernyataan dalam matematika 2. Konjungsi dan disjungsi serta negasinya 3. Komponen-komponen, tabel kebenaran, dan negasi dari bentuk implikasi 4. Konsep konvers, invers, kontraposisi, dan biimplikasi dari suatu bentuk implikasi, serta k onsep tautologi dan kontradiksi 5. Kuantor universal dan kuantor eksistensial serta negasinya 6. Kevalidan argumen dan kaidah penarikan kesimpulan



jalurppg.blogspot.com



82



Kegitan Belajar 4 Logika



Uraian Materi KEGIATAN BELAJAR 4 a. Pernyataan dalam Matematika Pendefinisian secara detail suatu pernyataan dalam matematika ternyata tidaklah mudah. Kita dapat saja terjebak ke dalam filosofi yang dalam. Sehingga dalam kegiatan belajar ini, penulis berusaha mengupayakan pendekatan praktis dalam mendefinisikan dan memberi contoh suatu pernyataan. Definisi 1 Suatu pernyataan adalah suatu kalimat yang jelas nilai kebenarannya. Bisa bernilai salah saja. Bisa bernilai benar saja. Namun tidak bernilai keduanya. Sebagai contoh, perhatikan kalimat-kalimat berikut. 1) Bentuk “1 + 2 = 4” merupakan suatu pernyataan karena bernilai salah. 2) Kalimat “Semua kucing berwarna abu-abu” juga merupakan suatu pernyataan karena jelas bernilai salah, sebab ada beberapa kucing yang berwarna hitam. 3) Bandung adalah ibukota provinsi Jawa Tengah. Kalimat ini merupakan contoh pernyataan yang salah. 4) DKI Jakarta adalah ibukota negara Indonesia. Kalimat ini merupakan contoh pernyataan yang benar. Kalimat yang bukan merupakan pernyataan adalah ungkapan atau kalimat yang tidak bernilai benar atau tidak bernilai salah. Contohnya “Silakan duduk!”, “Apakah kamu sudah makan?”, “Jangan memotong pembicaraan orang lain”. Bagaimana dengan notasi atau simbol untuk pernyataan? Dalam logika matematika, pernyataan dinotasikan (dilambangkan) dengan huruf alfabet kecil. Contoh: 1) 𝑝: Paris ibukota negara Swiss. jalurppg.blogspot.com



83



Kegitan Belajar 4 Logika



2) 𝑞: Bilangan 6 adalah bilangan genap. Selanjutnya bagaimanakah menentukan pernyataan?



kebenaran



suatu



▪ Dasar Secara Empiris, yaitu menentukan nilai kebenaran dengan mengadakan pengamatan terlebih dahulu (berdasarkan kenyataan pada saat itu). Jadi, nilai kebenaran ini bersifat relatif. Contoh: Ara berbaju putih. Alin berkulit putih bersih. ▪ Dasar Secara Tak Empiris (Pernyataan Absolut/Mutlak), yaitu menentukan nilai kebenaran bilamana nilai kebenaran itu mutlak tidak tergantung pada situasi dan kondisi atau waktu dan tempat. Contoh : Bilangan 2 adalah bilangan prima. Ibukota negara Inggris adalah London. Catatan: Sebagai simbol dari benar biasa dipakai B (benar), R (right), T (true) atau 1, sedangkan simbol salah digunakan S (salah), W (wrong), F (false) atau 0. Penggunaan notasi nilai kebenaran ini harus berpasangan, yaitu B-S, atau R-W, atau T-F, atau 1-0. Secara garis besar, pernyataan dibagi menjadi dua jenis, yaitu pernyataan tunggal dan pernyataan majemuk.  Definisi 2 Pernyataan tunggal adalah pernyataan yang hanya memuat satu pokok persoalan atau satu ide.  Notasi. Pernyataan tunggal pada umumnya dinyatakan dengan huruf- huruf kecil seperti 𝑝, 𝑞, dan 𝑟.  Contoh. 𝑝 : 13 adalah bilangan prima. 𝑞 : Malang adalah kota kedua terbesar di provinsi Jawa Timur. Beberapa kalimat tunggal, 𝑝, 𝑞, dapat digabung dengan menggunakan kata penghubung sehingga membentuk pernyataan baru seperti 𝑝 dan 𝑞; 𝑝 atau 𝑞; 𝑝 yang 𝑞, dan sebagainya. Pernyataan baru ini disebut pernyataan majemuk. Kata-kata penghubung kedua pernyataan biasa disebut konektor atau perakit. Ditinjau dari segi definisi kalimat, sebenarnya pernyataan merupakan kalimat matematika yang tertutup. Perhatikan perbedaan antara kalimat terbuka dan tertutup berikut. jalurppg.blogspot.com



84



Kegitan Belajar 4 Logika



1) Kalimat tertutup adalah kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya. Nilai kebenaran yang dimaksudkan adalah nilai benar saja atau nilai salah saja, tetapi tidak keduanya. Yang dimaksud benar atau salah adalah sesuai dengan keadaan yang sesungguhnya. Kalimat tertutup dapat disebut juga sebagai pernyataan. 2) Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya (tidak dapat ditentukan benar atau salahnya) sampai dilakukan penyelesaian tertentu. Kalimat terbuka biasanya mengandung unsur atau simbol yang nilainya tidak diketahui. Unsur atau simbol yang nilainya tidak diketahui ini biasa disebut dengan variabel atau peubah dan sering dilambangkan dengan huruf kecil seperti 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑎, 𝑏, 𝑐, dan sebagainya. Kalimat terbuka dapat diubah menjadi kalimat tertutup jika variabelnya diganti dengan nilai tertentu. Contohnya adalah 3𝑥 + 4 = 10 serta akar kuadrat dari 𝑦 adalah 9. Selanjutnya kita akan membahas mengenai negasi suatu pernyataan.  Definisi 3 Negasi dari pernyataan 𝑝 adalah suatu pernyataan yang bernilai salah jika 𝑝 benar dan bernilai benar jika 𝑝 salah.  Notasi Negasi dari 𝑝 biasa dinotasikan dengan ~𝑝 atau ¬𝑝 (dibaca “negasi 𝑝" , “tidak 𝑝 “ , “bukan 𝑝“, atau “ingkaran 𝑝".  Contoh. Negasi dari pernyataan ”Bilangan prima genap satu-satunya adalah 2” adalah ”Bilangan 2 adalah bukan satu-satunya bilangan prima genap”. Catatan:  Kata sifat tidak bisa dijadikan sebagai unsur tak terdefinisi (undefined term).  Jika kata-kata seperti ini dibuat untuk membuat pernyataan, maka harus didefinisikan terlebih dahulu.  Misalnya pada kalimat “Ani anak yang pandai", selain butuh observasi juga harus didefinisikan terlebih dahulu tentang kriteria “pandai", sehingga tidak menimbulkan penafsiran berbeda.  Jika pernyataan dan negasinya tidak bisa dinilai benar atau salah, maka kalimat tersebut dikatakan kalimat tak bermakna. Misalnya, kalimat “Kakak habis dibagi adik” mempunyai negasi “Kakak tidak habis dibagi adik”. jalurppg.blogspot.com



85



Kegitan Belajar 4 Logika



Sebagai pembahasan terakhir dalam sub materi ini, kita akan belajar mengenai tabel kebenaran (truth table). Tabel kebenaran sangat bermanfaat saat mempelajari logika matematika walaupun para matematikawan tidak sering menggunakannya dalam keseharian namun tabel kebenaran bisa untuk membantu mengecek kebenaran bagi para pemula. Ide awalnya adalah dengan merangkum semua kemungkinan nilai kebanaran dalam satu tabel. Dua pernyataan dikatakan ekivalen jika keduanya mempunyai hasil tabel kebenaran yang sama. Berikut merupakan tabel kebenaran untuk negasi. 𝑨



Bukan 𝑨 (~𝑨)



Benar (B) Salah (S)



Salah (S) Benar (S)



b. Konjungsi dan Disjungsi serta Negasinya Setelah kita mengenal pernyataan, kini saatnya kita mempelajari hubungan antarpernyataan melalui suatu atau beberapa perakit. Berikut perakit yang masih sederhana. 1) Perakit Konjungsi Konjungsi dari pernyataan 𝑝 dan 𝑞 (ditulis 𝑝 ∧ 𝑞, dibaca “𝑝 dan 𝑞”) adalah pernyataan majemuk yang bernilai benar hanya apabila masing-masing 𝑝, maupun 𝑞 bernilai benar, sedangkan untuk keadaan lain maka dia bernilai salah. Perakit konjungsi disebut juga perakit penyertaan, karena harus menyertakan semua komponen-komponennya dan bernilai benar hanya jika semua komponennya benar. Dalam kehidupan sehari-hari banyak kata hubung lain yang mempunyai arti yang sama dengan “dan" yaitu : “yang, tetapi, meskipun, maupun, sedangkan, padahal, sambil, juga” dan sebagainya. 2) Perakit Disjungsi Disjungsi dari pernyataan 𝑝 dan 𝑞 (ditulis 𝑝 ∨ 𝑞, dibaca “𝑝 atau 𝑞”) adalah pernyataan majemuk yang bernilai salah hanya apabila masing-masing 𝑝 dan 𝑞 salah, sedangkan untuk keadaan lain ia bernilai benar. Disjungsi disebut juga alternatif, karena cukup salah satu saja komponennya benar maka disjungsinya benar. Disjungsi yang didefinisikan seperti demikian disebut disjungsi inklusif (lemah/weak). Disjungsi ini yang banyak dibicarakan jalurppg.blogspot.com



86



Kegitan Belajar 4 Logika



dalam matematika dan jika dikatakan 𝑝 atau 𝑞 maka yang dimaksud adalah disjungsi inklusif ini. Sedangkan untuk negasi dari konjungsi dan disjungsi mengikuti Hukum De’Morgan, yakni: o o



Negasi dari 𝑝 ∧ 𝑞, ditulis ∼ (𝑝 ∧ 𝑞), adalah ∼ 𝑝 ∨∼ 𝑞 Negasi dari 𝑝 ∨ 𝑞, ditulis ∼ (𝑝 ∨ 𝑞), adalah ∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞



1. Komponen-komponen, Tabel Kebenaran, dan Negasi dari Bentuk Implikasi Kita telah mempelajari dua perakit/penghubung antardua pernyataan. Dalam Kegiatan Belajar 4 ini kita akan mempelajari perakit lain yang berhubungan dengan pernyataan bersyarat, yakni bentuk implikasi.  Definisi 4 Implikasi adalah pernyataan yang bernilai salah hanya apabila hipotesisnya benar, tetapi diikuti oleh konklusi yang salah. Untuk keadaan lain implikasinya benar.  Notasi. Secara matematis kalimat dalam bentuk “Jika 𝑝, maka 𝑞" yang dinotasikan dengan 𝑝 → 𝑞 disebut implikasi.  Pada pernyataan 𝑝 → 𝑞: 1. 𝑝 disebut anteseden/ hipotesis, 2. 𝑞 disebut konsekuen/ konklusi/ kesimpulan. Adakah cara membaca yang lain untuk bentuk 𝑝 → 𝑞? Jawabannya: ada. Berikut cara membacanya. 1) jika 𝑝, maka 𝑞; 2) setiap kali 𝑝, (maka) 𝑞; 3) 𝑝 hanya jika 𝑞; 4) 𝑝 syarat cukup (sufficient) untuk 𝑞; 5) 𝑞 syarat perlu (necessary) untuk 𝑝: 6) 𝑞 asal saja 𝑝; Setelah mengetahui cara membaca bentuk implikasi di atas, tentunya kita perlu memahami apa itu syarat cukup dan syarat perlu. Berikut diberikan penjelasannya.  Pernyataan 𝑝 dikatakan syarat cukup bagi 𝑞 apabila 𝑞 selalu muncul setiap kali 𝑝 muncul.



jalurppg.blogspot.com



87



Kegitan Belajar 4 Logika



 Pernyataan 𝑞 dikatakan sebagai syarat perlu untuk 𝑝 apabila 𝑝 muncul hanya jika 𝑞 muncul, jika 𝑞 tidak muncul maka 𝑝 juga tidak bisa muncul. Untuk mengilustrasikan dan membedakan syarat cukup dan syarat perlu, diberikan contoh berikut. Pernyataan berbentuk implikasinya adalah “Jika suatu bilangan prima, maka bilangan itu bulat”. Bilangan prima adalah syarat cukup untuk bilangan bulat. Pernyataan bahwa bilangan itu prima sudah cukup untuk menyatakan bilangan tersebut bulat. Artinya juga, jika kita ingin bilangan bulat cukup kita mengambil bilangan prima, karena bilangan prima pasti bulat. Sebaliknya, jika kita mengambil bilangan yang tidak bulat maka tidak mungkin kita memperoleh bilangan prima. Akan tetapi untuk memperoleh bilangan bulat tidak perlu (tidak harus) mengambil bilangan prima (4 dan 1 juga merupakan bilangan bulat). Supaya suatu bilangan itu prima, tidak cukup hanya dikatakan bulat (4, 8, bulat tetapi tidak prima). Jadi, kita juga peroleh kenyataan bahwa syarat cukup belum tentu perlu dan syarat perlu belum tentu cukup. Selanjutnya kita akan mempelajari jenis-jenis implikasi. 1. Implikasi Logis: konsekuen secara logis dapat disimpulkan dari hipotesis. Contoh: Jika semua bilangan bulat adalah rasional, maka 5 adalah bilangan rasional. 2. Implikasi Definisional: konsekuen pada implikasi ini dapat disimpulkan dari hipotesis, yaitu mengacu pada suatu definisi yang berlaku. Contoh: Jika bangun geometri ABCD adalah persegi, maka sisi-sisi yang sehadap adalah sejajar dan sama panjang. 3. Implikasi Empirik atau Kausal: implikasi yang diketahui berdasarkan pengamatan empiris. Contoh: Kalau panas air mencapai 100∘ 𝐶, maka air mendidih. Konsekuen “air mendidih” hanya dapat diketahui melalui pengamatan empirik. 4. Implikasi Intensional atau Desisional Contoh: Misalnya seorang anak (siswa SMA) berkata kepada orang tuanya: “Kalau ayah tidak bisa mengantar saya ke sekolah, maka saya akan mencoba berusaha mandiri dengan berangkat ke sekolah dengan bersepeda”. Konsekuen “saya akan mencoba jalurppg.blogspot.com



88



Kegitan Belajar 4 Logika



berusaha mandiri dengan berangkat ke sekolah dengan bersepeda” merupakan keputusan (decision) sang anak. Bagaimana dengan pernyataan yang ekivalen dengan bentuk 𝑝 → 𝑞? Cek bahwa 𝑝 → 𝑞 ≡ ~𝑝 ∨ 𝑞. Dengan demikian, negasi dari 𝑝 → 𝑞 adalah 𝑝 ∧∼ 𝑞. 2. Konsep Konvers, Invers, Kontraposisi, dan Biimplikasi dari Suatu Bentuk Implikasi, serta Konsep Tautologi dan Kontradiksi Dari implikasi 𝑝 → 𝑞, kita dapat membentuk berbagai pernyataanpernyataan yaitu: (i) ∼ 𝑝 → ~𝑞 yang disebut invers, (ii) 𝑞 → 𝑝 disebut konvers, (iii) ~𝑞 → ∼ 𝑝 disebut kontra posisi/kontra positif dari implikasi tadi. Selain tiga bentuk di atas, ada satu bentuk lagi dari implikasi yang berlaku dua arah. Bentuk tersebut dinamakan biimplikasi. Berikut penjelasannya. Biimplikasi dari pernyataan 𝑝 dan 𝑞 (dinotasikan dengan 𝑝 ↔ 𝑞 dan dibaca “𝑝 jika dan hanya jika (jhj) 𝑞" atau “𝑝 bila dan hanya bila (bhb) 𝑞") adalah pernyataan yang bernilai benar jika komponenkomponennya bernilai sama, serta bernilai salah jika komponenkomponennya bernilai tidak sama. Bagaimana cara membaca bentuk 𝑝 ↔ 𝑞 selain dari penjelasan di atas? Biimplikasi 𝑝 ↔ 𝑞 , selain dibaca “𝑝 jika dan hanya jika 𝑞”, dapat juga dibaca dengan: 1. Jika 𝑝 maka 𝑞 dan jika 𝑞 maka 𝑝, 2. 𝑝 syarat perlu dan cukup bagi 𝑞, dan 3. 𝑞 syarat perlu dan cukup bagi 𝑝. Definisi biimplikasi memungkinkan kita untuk memperoleh dua implikasi dari arah yang berbeda. Bagaimanakah penerapannya dalam bidang matematika itu sendiri? Berikut ini adalah salah satu contohnya.  Biimplikasi banyak dipergunakan dalam mendefinisikan sesuatu, misalnya: “Persegipanjang disebut persegi jika dan hanya jika masing-masing sudutnya 90∘ dan keempat sisinya sama panjang".  Di sini terkandung pengertian bahwa jika suatu persegipanjang jalurppg.blogspot.com



89



Kegitan Belajar 4 Logika



adalah persegi, maka keempat sudutnya masing-masing 90∘ dan keempat sisinya sama panjang.  Sebaliknya jika suatu persegipanjang masing-masing sudutnya 90∘ dan keempat sisinya sama panjang, maka persegipanjang itu disebut persegi. Selanjutnya tentu muncul pertanyaan ”Bagaimana bentuk negasi dari biimplikasi?” Negasi bimplikasi 𝑝 ↔ 𝑞 adalah ~𝑝 ↔ 𝑞, di mana ~𝑝 ↔ 𝑞 ekivalen dengan 𝑝 ↔ ~𝑞 dan [(𝑝 ∧ ~𝑞) ∨ (𝑞 ∧ ~𝑝)]. Setelah kita mendapatkan hasil dari suatu tabel kebenaran, terkadang kita menemui hasil yang keseluruhannya bernilai benar saja, atau bernilai saja. Dari fenomena tersebut, akhirnya diperkenalkanlah istilah tautologi dan kontradiksi. Untuk latar belakangnya dapat Anda baca dari uraian berikut.  Beberapa pernyataan dapat digabung untuk membentuk pernyataan majemuk.  Pernyataan-pernyataan tunggal 𝑝1 , 𝑝2 , …, 𝑝𝑛 dapat membentuk suatu pernyatan majemuk yang dihubungkan oleh berbagai perakit.  Dilihat dari nilai kebenarannya, ada dua jenis kalimat majemuk yang istimewa, yaitu kalimat majemuk yang selalu bernilai benar dan kalimat majemuk yang selalu bernilai salah, terlepas dari nilai kebenaran masing-masing komponennya.  Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar (dalam segala hal) tanpa memandang nilai kebenaran komponenkomponennya.  Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah (dalam segala hal) tanpa bergantung nilai kebenaran dari komponennya. 3. Kuantor Universal dan Eksistensial serta Negasinya Sebelum mempelajari kuantor, ada baiknya kita belajar terlebih dahulu mengenai tetapan dan peubah. Dalam matematika, notasi yang melambangkan unsur dibedakan atas dua macam yaitu yang mewakili unsur yang bersifat tetap dan unsur yang berubah. Berikut diberikan definisi tetapan beserta contonya.  Definisi 5 Tetapan atau konstanta adalah lambang yang mewakili jalurppg.blogspot.com



90



Kegitan Belajar 4 Logika



suatu unsur tertentu yang bersifat khusus atau bersifat tetap dalam suatu semesta pembicaraan.  Definisi 6. Semesta pembicaraan adalah kumpulan yang menjadi sumber atau asal unsur-unsur yang dibicarakan.  Contoh. Dalam pernyataan-pernyataan berikut, simbol yang digaris bawahi adalah suatu tetapan. (i) 2 adalah bilangan asli. (ii) Ani berbaju merah. (iii) Bentuk persamaan linier satu variabel adalah 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 Sedangkan untuk peubah atau variabel dijelaskan dalam bagian berikut.  Definisi 7. Peubah atau variabel adalah lambang yang masih mewakili suatu unsur umum yang belum dikhususkan atau yang nilainya berubah-ubah pada semesta pembicarannya.  Contoh. Bagian-bagian yang digarisbawahi pada contoh kalimat berikut adalah peubah. Pada umumnya peubah dilambangkan dengan huruf-huruf terakhir dari abjad seperti 𝑥, 𝑦, dan 𝑧. (i) 𝑥 adalah bilangan asli (ii) Manusia berbaju merah (iii) Bentuk umum fungsi linier adalah 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 Secara garis besar, kuantor dibedakan ke dalam dua jenis, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.  Definisi 8. Kuantor universal, dinotasikan dengan ∀, adalah sebuah frasa “untuk semua”.  Contoh 1. Untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 2 ≥ 0. Penulisan dengan simbol kuantor : ∀𝑥 ∈ ℝ, (𝑥 2 ≥ 0). Perhatikan bahwa penggunaan tanda kurung dimaksudkan untuk menandai bagian yang dikuantifikasi. 2. Untuk setiap bilangan rasional 𝑥 dan 𝑦, hasil kali 𝑥𝑦 dan jumlahan 𝑥 + 𝑦 adalah rasional. Penulisan dengan simbol kuantor: ∀𝑥 ∈ ℚ ∀𝑦 ∈ ℚ, (𝑥𝑦 ∈ ℚ and 𝑥 + 𝑦 ∈ ℚ ) atau ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℚ , (𝑥𝑦 ∈ ℚ and 𝑥 + 𝑦 ∈ ℚ )



Selanjutnya untuk kuantor eksistensial dijelaskan sebagai berikut. jalurppg.blogspot.com



91



Kegitan Belajar 4 Logika



 Definisi 9 Kuantor eksistensial, dinotasikan dengan ∃, adalah sebuah frasa “terdapat” atau “beberapa” atau “ada”.  Contoh 1. Terdapat 𝑥 ∈ ℤ sehingga 𝑥 2 = 4”.Catatan: kata “terdapat” bukan berarti “hanya ada satu”. 2. Terdapat 𝑥 ∈ ℤ sehingga 𝑥 2 = 5”. 3. “∃𝑥 ∈ ℤ(𝑥 2 − 4𝑥 + 3 = 0)”. Dibaca: terdapat suatu bilangan bulat 𝑥 sehingga 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 = 0. Dengan demikian, bagaimana negasi dari kuantor itu? Perhatikan penjelasan berikut.  Jika kita ingin menegasikan suatu pernyataan 𝑝 yang berkuantor, maka ubah setiap ∀ ke ∃ dan setiap ∃ ke ∀, dan juga gantilah 𝑝 dengan negasinya.  ~{∀(𝑥 ), 𝑝(𝑥)} ≡ {∃(𝑥 )}{~𝑝(𝑥 )}  ~{∃(𝑥 ), 𝑝(𝑥)} ≡ {∀(𝑥 )}{~𝑝(𝑥 )} 4. Kevalidan Argumen dan Kaidah Penarikan Kesimpulan Sebelum lebih jauh membahas penarikan kesimpulan, kita akan belajar terlebih dahulu mengenai premis dan konklusi.  Premis adalah pernyataan-pernyataan yang diketahui yang akan ditarik kesimpulannya.  Konklusi adalah kesimpulan dari beberapa pernyataan.  Argumentasi adalah penarikan kesimpulan.  Penarikan kesimpulan dikatakan sah atau valid bila konjungsi dari premis-premis berimplikasi dengan konklusi (kesimpulan) atau merupakan tautologi. Selanjutnya kriteria apa saja yang diperlukan agar suatu argumen dikatakan valid dan bagaimana kriteria validitas itu sendiri?  Ketika suatu argumen dikatakan valid, kebenaran dari premisnya menjamin kebenaran kesimpulannya.  Suatu argumen dikatakan valid jika tidak mungkin semua premisnya bernilai benar namun kesimpulannya salah.  Validitas tidak bergantung kepada kumpulan fakta-fakta.  Validitas tidak bergantung kepada hokum-hukum alam.  Validitas tidak bergantung kepada makna dari ekspresi personal yang spesifik.  Validitas bergantung secara alami terhadap bentuk dari argumen. jalurppg.blogspot.com



92



Kegitan Belajar 4 Logika



Berikut diberikan contoh argumen yang valid dan tidak valid. ➢ Contoh Argumen yang Tidak Valid o Zeno adalah seekor kura-kura. o Oleh karena itu, Zeno ompong. Catatan: kebenaran premisnya tidak menyediakan jaminan yang kuat untuk kebenaran kesimpulannya. ➢ Contoh Argumen yang Valid o Zeno adalah seekor kura-kura. o Semua kura-kura ompong. o Oleh karena itu, Zeno ompong. Kemudian bagaimana struktur penulisan argumen itu? Berikut akan diberikan salah satu cara menuliskan premis-premis beserta kesimpulannya. Bentuk argumen: Premis 1 Premis 2 . . . Premis n Oleh karena itu, Simpulan (Konklusi) Terdapat tiga jenis penarikan kesimpulan yang sering digunakan. Ketiga jenis penarikan kesimpulan itu adalah sebagai berikut. 1. Modus Ponens Modus Ponens merupakan suatu kaidah penarikan kesimpulan dengan premis 1 menyatakan 𝑝 → 𝑞 dan premis 2 menyatakan 𝑝 sehingga diperoleh kesimpulan pernyataan 𝑞. 2. Modus Tollens Modus Tonens merupakan suatu kaidah penarikan kesimpulan dengan premis 1 menyatakan 𝑝 → 𝑞 dan premis 2 menyatakan ~𝑞 sehingga diperoleh kesimpulan pernyataan ~𝑝. 3. Silogisme Silogisme merupakan suatu kaidah penarikan kesimpulan dengan premis 1 menyatakan 𝑝 → 𝑞 dan premis 2 menyatakan 𝑞 → 𝑟 sehingga diperoleh kesimpulan pernyataan 𝑝 → 𝑟 .



jalurppg.blogspot.com



93



Kegitan Belajar 4 Logika



Rangkuman KEGIATAN BELAJAR 4 1. Pernyataan adalah suatu kalimat matematika terbuka yang jelas nilai kebenarannya. 2. Negasi dari suatu pernyataan 𝑝 adalah pernyataan yang bernilai salah saat 𝑝 bernilai benar. 3. Pernyataan-pernyataan dapat dikonstruksi dengan menggunakan perakit/penghubung “dan” dan “atau”. 4. Dua pernyataan dikatakan ekivalen jika keduanya mempunyai hasil tabel kebenaran yang sama. Yakni ~(𝑝 ∧ 𝑞) ≡∼ 𝑝 ∨∼ 𝑞 dan ~(𝑝 ∨ 𝑞) ≡∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞. 5. Pada bentuk implikasi 𝑝 → 𝑞, pernyataan 𝑝 disebut sebagai hipotesis atau asumsi, sedangkan pernyataan 𝑞 disebut sebagai kesimpulan. 6. Bentuk 𝑝 → 𝑞 dapat ditulis sebagai Jika 𝑝, maka 𝑞. 7. Pernyataan 𝑝 mengimplikasikan 𝑞 berarti bahwa jika 𝑝 benar, maka 𝑞 benar. Tidak ada yang lain. Jika 𝑝 salah, maka 𝑞 bisa benar dan bisa juga salah. 8. Negasi dari 𝑝 → 𝑞 adalah bukan 𝑝 atau 𝑞. 9. Pernyataan “ hanya jika 𝑞” sama dengan 𝑝 → 𝑞. 10. Pernyataan “𝑞 jika 𝑝” sama juga dengan 𝑝 → 𝑞. 11. Dari implikasi 𝑝 → 𝑞, kita dapat membentuk berbagai pernyataanpernyataan, yaitu: (i) ∼ 𝑝 → ~𝑞 yang disebut invers, (ii) 𝑞 → 𝑝 disebut konvers, (iii) ~𝑞 →∼ 𝑝 disebut kontra posisi/kontra positif. 12. Biimplikasi dari pernyataan 𝑝 dan 𝑞 (dinotasikan dengan 𝑝 ↔ 𝑞 dan dibaca “𝑝 jika dan hanya jika (jhj) 𝑞" atau “𝑝 bila dan hanya bila (bhb) 𝑞") adalah pernyataan yang bernilai benar jika komponenkomponennya bernilai sama, serta bernilai salah jika komponenkomponennya bernilai tidak sama. 13. Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar (dalam segala hal) tanpa memandang nilai kebenaran komponenkomponennya. 14. Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah jalurppg.blogspot.com



94



Kegitan Belajar 4 Logika



15. 16. 17.



18. 19. 20. 21.



22.



(dalam segala hal) tanpa bergantung nilai kebenaran dari komponennya. Kuantor universal, dinotasikan dengan ∀, adalah sebuah frasa “untuk semua”. Kuantor eksistensial, dinotasikan dengan ∃, adalah sebuah frasa “terdapat” atau “beberapa” atau “ada”. Jika kita ingin menegasikan suatu pernyataan 𝑝 yang berkuantor, maka ubah setiap ∀ ke ∃ dan setiap ∃ ke ∀, dan juga gantilah 𝑝 dengan negasinya. Premis adalah pernyataan-pernyataan yang diketahui yang akan ditarik kesimpulannya. Konklusi adalah kesimpulan dari beberapa pernyataan. Argumentasi adalah penarikan kesimpulan. Penarikan kesimpulan dikatakan sah atau valid bila konjungsi dari premis-premis berimplikasi dengan konklusi (kesimpulan) atau merupakan tautologi. Terdapat tiga jenis metode penarikan kesimpulan yang paling sering digunakan, yakni Modus Ponens, Modus Tollens, dan Silogisme.



jalurppg.blogspot.com



95



Kegitan Belajar 4 Logika



Tugas KEGIATAN BELAJAR 4 1. Buatlah tabel kebenaran untuk perakit konjungsi (“dan”), perakit disjungsi (“atau”), dan bentuk implikasi. 2. Negasikan pernyataan-pernyataan berkuantor berikut. a) Terdapat seekor kucing berwarna abu-abu. b) Terdapat seorang pemelihara untuk setiap kucing. c) Terdapat seekor kucing abu-abu untuk setiap pemelihara kucing d) Setiap mesin pemadam kebakaran berwarna merah dan setiap mobil ambulan berwarna putih. 3. Buatlah tabel kebenaran dari bentuk invers, konvers, dan kontrapositif. 4. Buatlah tabel kebenaran dari bentuk biimplikasi. 5. Berikan satu contoh argumen yang valid dan argumen yang tidak valid, serta berikan alasan mengapa dikatakan tidak valid! 6. Buat penarikan simpulan masing-masing untuk Modus Ponens, Modus Tollens, dan Silogisme.



jalurppg.blogspot.com



96



Kegitan Belajar 4 Logika



Tes Formatif KEGIATAN BELAJAR 4 1. Di bawah ini yang merupakan contoh pernyataan adalah … . A. Pemerintah berharap agar masyarakat tertib membayar pajak untuk kesejahteraan bersama. B. Jangan sampai terlambat mengikuti ujian akhir! C. Ada bilangan ganjil yang habis dibagi 2. D. Apakah bilangan prima itu ada yang genap? E. Untuk menghindari kemacetan sebaiknya kamu berangkat pagipagi sekali. 2. Negasi/ingkaran adalah … . A. Pernyataan yang membenarkan pernyataan yang diberikan B. Pernyataan yang menyangkal pernyataan yang diberikan C. Pernyataan yang menyangkal dan membenarkan pernyataan yang diberikan D. Pernyataan yang bernilai benar E. Pernyataan yang bernilai salah 3. Negasi dari pernyataan “Ada hewan yang berkaki dua dan semua hewan di sini tidak bertanduk” adalah … . A. Semua hewan berkaki dua dan ada hewan di sini yang bertanduk B. Ada hewan yang tidak berkaki dua dan ada hewan di sini yang bertanduk C. Semua hewan tidak berkaki dua dan ada hewan di sini yang bertanduk D. Semua hewan tidak berkaki dua atau ada hewan di sini yang tidak bertanduk E. Semua hewan tidak berkaki dua atau ada hewan di sini yang bertanduk 4. Negasi dari pernyataan “Pada rumah atau hotel itu terdapat pintu yang didesain dengan sangat bagus” adalah … . A. Pada rumah dan hotel itu semua pintunya didesain dengan sangat bagus. B. Pada rumah dan hotel itu terdapat pintu yang didesain dengan sangat tidak bagus. jalurppg.blogspot.com



97



Kegitan Belajar 4 Logika



5.



6.



7.



8.



9.



C. Pada rumah dan hotel itu semua pintunya didesain dengan sangat tidak bagus. D. Pada rumah atau hotel itu semua pintunya didesain dengan sangat tidak bagus. E. Pada rumah dan hotel itu terdapat pintu yang didesain dengan sangat bagus. Jika 𝑝: semua dokter berbadan sehat dan 𝑞: semua dokter berumur panjang, maka ∼ (𝑝 → 𝑞) adalah … . A. Semua dokter berbadan sehat dan terdapat dokter yang berumur pendek. B. Semua dokter berbadan sehat atau terdapat dokter yang berumur pendek. C. Terdapat dokter yang berbadan sehat dan berumur panjang. D. Terdapat dokter yang berbadan sehat atau berumur pendek. E. Ada dokter berbadan sehat sehat dan berumur pendek. Negasi dari pernyataan “Aku akan datang jika kamu berjanji akan datang” adalah … . A. Kamu tidak berjanji akan datang dan aku tidak akan datang. B. Aku tidak akan datang jika kamu tidak berjanji akan datang. C. Kamu berjanji akan datang atau aku akan datang D. Kamu berjanji akan datang dan aku tidak akan datang E. Kamu tidak berjanji akan datang dan aku tidak akan datang Bentuk kontrapositif dari pernyataan “Jika dia tidak menjawab, maka dia tidak tahu” adalah … . A. Jika dia menjawab, maka dia tahu. B. Jika dia tahu, maka dia menjawab. C. Jika dia tidak tahu, maka dia tidak menjawab. D. Jika dia menjawab, maka belum tentu dia tahu. E. Jika dia tahu, maka dia bisa saja tidak menjawab. Negasi dari pernyataan “Ada rumah yang tidak dihuni” adalah … . A. Ada rumah yang dihuni B. Semua rumah tidak dihuni C. Beberapa rumah tidak dihuni D. Semua rumah dihuni E. Ada rumah yang berpenghuni dan ada yang tidak berpenghuni Berikut argumen yang valid adalah … . A. Ikbal adalah seorang TNI. Oleh karena itu badan Ikbal kekar. B. Ikbal adalah seorang TNI. Beberapa TNI berbadan kekar. Oleh karena itu badan Ikbal kekar. jalurppg.blogspot.com



98



Kegitan Belajar 4 Logika



C. Ikbal adalah seorang TNI. Jadi Ikbal setiap hari menjunjung tinggi kedisiplinan. D. Ikbal adalah seorang TNI. Semua TNI berbadan kekar. Oleh karena itu badan Ikbal kekar E. Ikbal adalah seorang TNI. Beberapa TNI suka makan pedas. Oleh karena itu badan Ikbal kekar 10. Kesimpulan dari dua premis berikut: (1) Jika kamu datang maka aku tidak akan pergi, (2) Aku akan pergi atau tinggal di rumah adalah … . A. Jika kamu tidak datang maka aku akan tidak tinggal di rumah B. Kamu tidak datang atau aku tinggal di rumah C. Kamu tidak datang dan aku tidak tidak tinggal di rumah D. Kamu datang dan aku tinggal di rumah E. Jika kamu datang maka aku tidak tinggal di rumah



jalurppg.blogspot.com



99



Tugas Akhir Setelah Bapak/Ibu memahami materi dan mengerjakan tugas/soal-soal pada Kegiatan Belajar 1, 2, 3, dan 4, maka Anda dapat mengerjakan tugas akhir. Dalam tugas akhir ini, Anda diminta untuk membuat buku mini (mini book) pada suatu jenjang kelas tertentu di MI (Pilih satu jenjang kelas). Buku mini tersebut diintegrasikan dengan muatan islami. Tunjukkan kreativitas yang tinggi dalam pembuatan produk buku mini tersebut.



Tes Sumatif 1. Banyak ayat dalam surat berikut adalah bilangan komposit, kecuali … . a. Surat Al-Zalzalah b. Surat Al-Bayyinah c. Surat Al-Layl d. Surat Al-Humazah e. Surat Al-Qori’ah 2. (−12) + 648 ∶ (−3) × (−4) = … . c. a. (−66) b. (−52)



d. 852



e. 864



3. Diberikan bilangan 4, 5, 6, 7, dan 8.Di antara kelima bilangan tersebut, bilangan yang jika dikuadratkan akan meningkat 500% adalah … . d. 7 e. 8 a. 4 b. 5 c. 6 4. Pak Ihsan mengangkut buah apel dari Malang ke Surabaya sebanyak 636 peti. Buah apel tersebut akan diangkut oleh 6 mobil dengan ketentuan banyak peti yang dimuat setiap mobil sama dan setiap peti berisi 35 kg apel. Berat semua apel yang diangkut setiap mobil adalah … kg. c. 3710 d. 3800 e. 3950 a. 560 b. 3560



jalurppg.blogspot.com



100



5. Aslikah sedang melaksanakan sholat Ashar. 2018 sholat fardhu kemudian adalah sholat ... . b. Dhuhur c. Ashar d. Maghrib e. Isya a. Shubuh 6. Ibu Yanti berbelanja ke pasar setiap 4 hari sekali, ibu Lisa setiap 5 hari sekali, dan Ibu Kholisoh setiap 6 hari sekali. Jika mereka berbelanja untuk pertama kalinya pada tanggal 17 April, maka mereka akan berbelanja bersama-sama lagi untuk yang kedua kalinya pada tanggal ... . b. 17 Mei c. 15 Juni d. 16 Juni e. 17 Juni a. 16 Mei 1



1



1



1



1



1



2



2



3



4



5



2018



7. Hasil dari 1 − ÷ 1 ÷ 1 ÷ 1 ÷ 1 ÷ … ÷ 1



adalah ... .



a. 0 b. c. d.



1 2018 1 2019 2018 2019



e. Semua jawaban salah 8. Perbandingan tabungan Ikhwan dan tabungan Hilda adalah 3:7. Jumlah tabungan Ikhwan dan Hilda adalah Rp700.000,00. Besar tabungan Hilda adalah ... . a. Rp 450.000,00 d. Rp 480.000,00 b. Rp 460.000,00 e. Rp 490.000,00 c. Rp 470.000,00 9. Sebuah keluarga terdiri dari abi, umi dan anggota keluarga. Dalam keluarga tersebut, terdapat 7 saudara laki-laki. Masing-masing mempunyai 1 saudara perempuan. Jumlah seluruh anggota dalam keluarga tersebut adalah … . c. 12 d. 14 e. 16 a. 8 b. 10 10. Kelereng Hendra 12 butir lebih banyak dari kelereng Alwi. Banyak kelereng Alwi dibanding dengan banyak kelereng Hendra adalah 4: 7. Banyak kelereng Alwi adalah ... . c. 24 d. 28 e. 32 a. 16 b. 20 11. Bentuk sederhana dari a. 5𝑎2 𝑏



52𝑎5𝑏 3 2𝑎3 𝑏2



b. 26𝑎2 𝑏



adalah ... . c. 5𝑎8 𝑏5



jalurppg.blogspot.com



101



d. 26𝑎2 𝑏5



e. 26𝑎8 𝑏5



12. Nilai 𝑝 yang memenuhi −17 = 32 + 𝑝 adalah ... . a. −59 b. −49 c. −15 d. 15 13. Jika 𝑎 = −3, maka 8 − 𝑎 − 𝑎2 = ... . a. −14 b. −4 c. 2 d. 4



e. 49 e. 28



14. Jumlah dari tiga bilangan berbeda adalah 20. Bilangan pertama besarnya 4 kali dari jumlah bilangan kedua dan bilangan ketiga. Hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah ... . d. 64 e. 96 a. 36 b. 48 c. 56 15. Perhatikan gambar di samping! Diketahui keliling persegi sama dengan keliling segitiga. Jika keliling persegi 20 cm, maka keliling gabungan kedua bangun tersebut adalah ... . a. Tidak bisa ditentukan b. 25 cm c. 30 cm d. 35 cm e. 40 cm 16. Luas daerah yang diarsir adalah .... 𝑐𝑚2 . 10 cm 4 cm



a. 80



b. 82



c. 84



d. 86



e. 88



17. Trapesium ABCD dengan panjang AD = 25 cm dan BC = 16 cm. Jika luas trapesium adalah 246 cm2, panjang BE adalah ... .



a. 10 cm



b. 11 cm



c. 12 cm



jalurppg.blogspot.com



102



d. 13 cm



e. 14 cm



18. Kebun pak Arif berbentuk persegi dengan luas 4.225 𝑚2 . Keliling kebun paman Arif adalah ... 𝑚. c. 240 d. 250 e. 260 a. 220 b. 230 19. Perhatikan gambar di samping! Titik P, Q, R, dan S A berada tepat di tengah-tengah AB, BC, CD, dan AD. Jika AB = 10 cm, maka luas daerah lingkarannya adalah ... . S a. 𝜋 (5√2 – 5)2



P



B



Q



b. 𝜋 (5√3 – 5)2 c.



25 9



𝜋 D



d. 25𝜋 e. Tidak bisa ditentukan



R



20. Sebuah kotak berbentuk kubus mempunyai volume 46.656 𝑐𝑚3 . Kotak tersebut diisi pasir hingga setengah bagian. Tinggi pasir dalam kotak tersebut adalah ... . b. 19 cm c. 26 cm d. 30 cm e. 36 cm a. 18 cm 21. Lima segitiga siku-siku sama kaki yang kongruen disusun seperti gambar di bawah ini.



A



B



Jika panjang AB adalah 30 cm, maka luas daerah yang diarsir adalah …. b. 35 cm2 c. 40 cm2 d. 45 cm2 e. 50 cm2 a. 30 cm2



22. Hasil ulangan susulan Matematika dari 12 siswa adalah 10, 4, 10, 5, 7, 8, 7, 9, 8, 8, 3, 5. Median dari data tersebut adalah … . b. 6 c. 6,5 d. 7 e. 7,5 a. 5,5 23. Hasil tes Matematika 14 siswa sebagai berikut: 7, 6, 5, 9, 5, 8, 4, 7, 6, 7, 5, 9, 7, 8. Banyak siswa yang mempunyai nilai di atas rata-rata adalah … . b. 6 c.7 d. 8 e. 9 a. 5 jalurppg.blogspot.com



103



C



24. Data nilai ulangan Matematika kelas VI MI Bustanul Ulum yang berjumlah 30 siswa menunjukkan bahwa 4 siswa mendapat nilai 100, 7 siswa mendapat nilai 90, 6 siswa mendapat nilai 80, 7 siswa mendapat nilai 75, dan sisanya mendapat nilai 70. Jadi modus nilai dari data tersebut adalah ... . b. 80 c. 75 dan 90 d. 90 e. 100 a. 70 25. Rata-rata usia tiga pria adalah 26 tahun. Usia mereka tidak lebih dari 30 tahun. Usia terendah yang mungkin dari pria-pria tersebut adalah... . b. 16 c. 17 d. 18 e. 19 a. 15 26. Pernyataan-pernyataan berikut bernilai benar, kecuali … . a. (−3,89) > (−4,1) b. 63 < √47.089 c. 349 adalah bilangan prima d. Setiap bilangan cacah pasti bilangan rasional e. Untuk semua bilangan real 𝑥 , berlaku 𝑥 2 > 0 27. Invers dari pernyataan ”jika matahari terbit, maka semua ayam jantan berkokok ” adalah ... . a. Jika beberapa ayam jantan tidak berkokok, maka matahari tidak terbit b. Jika beberapa ayam jantan berkokok, maka matahari tidak terbit c. Jika beberapa ayam jantan berkokok, maka matahari terbit d. Jika matahari tidak terbit, maka beberapa ayam jantan tidak berkokok e. Jika matahari terbit, maka beberapa ayam jantan tidak berkokok 28. Pernyataan yang ekivalen dengan ”Jika Anda rajin membaca AlQur’an, maka Anda segera khatam” adalah ... . a. Jika Anda segera khatam, maka Anda rajin membaca Al-Qur’an b. Jika Anda tidak rajin membaca Al-Qur’an, maka Anda tidak segera khatam c. Anda tidak rajin membaca Al-Qur’an, tetapi Anda segera khatam d. Anda tidak segera khatam, tetapi Anda rajin membaca Al-Qur’an e. Jika Anda tidak segera khatam, maka Anda tidak rajin membaca Al-Qur’an jalurppg.blogspot.com



104



29. Negasi dari pernyataan kuantor ∀𝑥(𝑥 + 4 < 9) adalah ... . a. ∀𝑥(𝑥 + 4 = 9) b. ∃𝑥(𝑥 + 4 < 9) c. ∀𝑥(𝑥 + 4 ≥ 9) d. ∃𝑥(𝑥 + 4 ≥ 9)



e.∃𝑥(𝑥 + 4 ≤ 9)



30. Perhatikan argumen berikut. Premis 1: Jika besar sudut X lancip , maka besar sudut pelurusnya tumpul. Premis 2: Besar sudut pelurusnya tidak tumpul. Simpulan: Jadi, besar sudut X tidak lancip. Jenis argumen di atas adalah ... . a. Modus ponens b. Modus tollens c. Silogisme d. Konjungsi e. Kontradiksi



jalurppg.blogspot.com



105



KUNCI TES FORMATIF Kunci Jawaban Kegiatan Belajar 1 (Bilangan dan Aljabar) 1. C 2. B 3. D 4. E 5. B 6. C 7. D 8. A 9. E 10. A Kunci Jawaban Kegiatan Belajar 2 (Geometri) 1. C 2. B 3. D 4. E 5. B 6. C 7. D 8. A 9. E 10. A Kunci Jawaban Kegiatan Belajar 3 (Statistika) 1. D 2. B 3. E 4. A 5. C 6. B 7. D 8. C 9. E 10. A



jalurppg.blogspot.com



106



Kunci Jawaban Kegiatan Belajar 4 (Logika) 1. C 2. B 3. C 4. C 5. A 6. D 7. B 8. D 9. D 10. B KUNCI TES SUMATIF 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.



E D C C A D D E A A



11. B 12. B 13. C 14 B 15. C 16. C 17. C 18. E 19. A 20. A



jalurppg.blogspot.com



107



21. D 22. E 23. D 24. C 25. C 26. E 27. E 28. E 29. D 30. B



Daftar Pustaka Bennet, A., Burton, L., & Nelson, L. 2011. Mathematics for Elementary Teachers. USA: Mc Graw Hill. Kennedy, L.M, & Tipps, S. 1994. Guiding Children’s Learning of Mathematics. California: Wadsworth Publishing Company. Nisfulaila, I. 2018. Modul Logika dan Pembuktian. Malang: UIN Maulana Malik Ibrahim. Oberste-Vorth, R.W., & Mouzakitis, A. 2003. Bridge to Abstract Mathematics. Florida: University of South Florida.



NCTM. 2000. Principles and Standards for School Mathematics. USA: The National Council of Teachers of Mathematics, Inc. Mukmin, M. I. 2018. Modul Statistika Pendidikan (Statistika Deskriptif Berbasis Microsoft Excel 2010). Malang: UIN Maulana Malik Ibrahim. Musser, G., Burger, W., & Peterson, B. 2011. Mathematics for Elementary Teachers: A Contemporary Approach. USA: John Willey & Sons. Riedesel, C.A., Schwartz J.E., & Clements, D.H. 1996. Teaching Elementary School Mathematics. Boston: Allyn & Bacon. Rofiki, I. 2018. Modul Logika Matematika. Malang: UIN Maulana Malik Ibrahim. Walpole, R. E., & Myers, R. H. 1983. Probability and Statistics for Engineers and Scientists. New York: Macmillan Publishing Co.



jalurppg.blogspot.com



108



Glosarium Anggota himpunan Belah ketupat Bilangan asli Bilangan bulat Bilangan rasional Bilangan irasional Bilangan real Bilangan prima



Bilangan komposit



Desimal berulang Derajat



Suatu objek dalam himpunan Suatu jajargenjang dengan empat sisi yang sama panjang. Bilangan 1, 2, 3, 4, … Bilangan yang terdiri dari bilangan nol, bilangan asli, dan lawan-lawannya. 𝒑 Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk 𝒒 dengan 𝒑 dan 𝒒 adalah bilangan bulat, serta 𝑞 ≠ 0. Bilangan yang bukan rasional. Gabungan bilangan rasional dan irasional Bilangan asli lebih dari 1 yang memiliki tepat 2 faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Contoh: 2, 3, 5, 7, dan 11. Bilangan asli lebih dari 1 yang bukan merupakan bilangan prima. Contoh: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, dan 21. Desimal yang satu atau serangkaian angkanya terus berulang. Contoh 0,34343434… . Satuan ukuran sudut, dengan 1 derajat adalah ukuran sudut yang sama dengan



Jarak antar dua titik Kongruen



Kontradiksi Rata-rata (mean) Median (nilai tengah) Modus Pernyataan Radian



1 360



ukuran sudut



satu putaran penuh. Panjang ruasgaris terpendek antara kedua titik tersebut Dua bangun geometri atau lebih dikatakan kongruen jika dan hanya jika bangun-bangun tersebut memiliki bentuk dan ukuran yang sama. Suatu pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah untuk setiap komponen-komponennya. Jumlah data dibagi banyaknya data. Data yang letaknya paling tengah setelah data tersebut diurutkan. Data yang paling sering muncul. Kalimat yang bernilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak keduanya. Satuan ukuran sudut, dengan 1 radian adalah ukuran sudut di pusat lingkaran yang panjang busur di hadapannya sama panjang dengan panjang jarijalurppg.blogspot.com



109



Sebangun



Sudut Tautologi



Teorema



jari lingkarannya. Bangun-bangun geometri dikatakan sebangun jika dan hanya jika bangun-bangun geometri tersebut mempunyai bentuk sama, tetapi tidak harus berukurannya sama. Gabungan dua sinar garis yang titik pangkalnya berhimpit. Suatu pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar untuk setiap nilai kebenaran komponenkomponennya Pernyataan yang kebenarannya harus dibuktikan.



jalurppg.blogspot.com



110