Modul 3 Determinan Dan Invers Matriks [PDF]

Citation preview

MODUL PERKULIAHAN



ALJABAR LINEAR DETERMINAN DAN INVERS MATRIK



Fakultas



Program Studi



Tatap Muka



Ilmu Komputer



Sistem informasi



03



Kode MK



Disusun Oleh



F061700006



Ir. Pranto Busono M.Kom.



Abstract



Kompetensi



Transpose (putaran) matriks A yaitu matriks yang diperoleh dari matriks A dengan menukarkan elemenelemen pada baris menjadi kolom dan sebaliknya elemenelemen pada kolom menjadi baris. Determinan matriks A di definisikan sebagai selisih antara perkalian elemenelemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder. Misalkan A dan B adalah dua matriks yang berordo 2 × 2 dan memenuhi persamaan AB = BA = I2 maka matriks A adalah matriks invers dari matriks B atau matriks B adalah matriks invers dari matriks A.



Mahasiswa mampu untuk memahami pengertian determinan dan invers matrik.



TRANSPOSE MATRIKS Transpose (putaran) matriks A yaitu matriks yang diperoleh dari matriks A dengan menukarkan elemen-elemen pada baris menjadi kolom dan sebaliknya elemen-elemen pada kolom menjadi baris. Transpose matriks A dinyatakan dengan AT atau A’.



1 2 4 maka tentukan P T  7 3 9



Contoh 3: Jika P = 



Jawab



1 7 : P =  2 3   4 9 T



DETERMINAN MATRIKS 1. Determinan Matriks Persegi a. Determinan matriks ordo 2 x 2 Matriks berordo 2 × 2 yang terdiri atas dua baris dan dua kolom. Pada bagian ini akan dibahas determinan dari suatu matriks berordo 2 × 2. Misalkan A adalah matriks persegi ordo 2 × 2 dengan bentuk



a b   c d 



A= 



Determinan matriks A di definisikan sebagai selisih antara perkalian elemenelemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder. Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det A atau |A|. Nilai dari determinan suatu matriks berupa bilangan real. Berdasarkan



definisi



determinan



suatu



matriks,



Anda



nilaideterminan dari matriks A, yaitu:



a b   = a × d – b × c = ad – bc c d 



det A = |A| =  Contoh :



1 2  , maka det A = |A| = 3 4



A= 



‘2019



2



Aljabar Linear Ir. Pranto Busono M.Kom.



1 2 3 4 = 1.4 – 2.3 = 4 – 6 = -2  



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



bisa



mencari



b. Determinan matriks ordo 3 x 3 Pada bagian ini, Anda akan mempelajari determinan mariks berordo 3 × 3. Misalkan A matriks persegi berordo 3 × 3 dengan bentuk



 a11 A = a 21  a31



a13  a 23  a33 



a12 a 22 a32



Untuk mencari determinan dari matriks persegi berordo 3 × 3, akan digunakan suatu metode yang dinamakan metode Sarrus. Adapun langkah-langkah yang harus di lakukan untuk mencari determinan matriks berordo 3 × 3 dengan metode Sarrus adalah sebagai berikut: 1.



Salin kembali kolom pertama dan kolom kedua matriks A di



sebelah



kanan tanda determinan.



2.



Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal utama (lihat gambar). Nyatakan jumlah hasil kali tersebut dengan Du



a11 a 21



a12 a 22



a13 a11 a 23 a 21



a12 a 22



a31



a32



a33 a31



a32



Du = a11 a 22 a33 + a12 a 23 a31 + a13 a 21 a32 3.



Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal sekunder (lihar gambar). Nyatakan jumlah hasil harga tersebut dengan Ds.



a11 a 21



a12 a 22



a13 a11 a 23 a 21



a12 a 22



a31



a32



a33 a31



a32



Ds = a31 a 22 a13 + a32 a 23 a11 + a33 a 21 a12



4.



Sesuai dengan defi nisi determinan matriks maka determinan dari matriks A adalah selisih antara Du dan Ds yaitu Du – Ds.



‘2019



3



a11 det A = a 21



a12 a 22



a13 a11 a 23 a 21



a12 a 22



a31



a32



a33 a31



a32



Aljabar Linear Ir. Pranto Busono M.Kom.



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



( a11 a 22 a33 + a12 a 23 a31 + a13 a 21 a32 )



=



-



( a31 a 22 a13 + a32 a 23 a11 + a33 a 21 a12 ) Contoh :



− 3 4 2  Diketahui matriks A =  2 1 3  Tentukan nilai determinan matriks A.    1 0 − 1 Jawab :



− 3 4 2  − 3 4   det A = 2 1 3 2 1    1 0 − 1 1 0 = [(–3 × 1 × (–1)) + (4 × 3 × 1) + (2 × 2 × 0)] – [(1 × 1 × 2) + (0 × 3 × (–3)) + (–1 × 2 × 4)] = (3 + 12 + 0) – (2 + 0 – 8) = 21 Jadi, nilai determinan matriks A adalah 21.



INVERS MATRIKS Definisi Invers Matriks Misalkan A dan B adalah dua matriks yang berordo 2 × 2 dan memenuhi persamaan AB = BA = I2 maka matriks A adalah matriks invers dari matriks B atau matriks B adalah matriks invers dari matriks A. Contoh : Perhatikanlah perkalian matriks-matriks berikut.



− 3 − 1 − 2 − 1 dan B =   2 3  5 5



• Misalkan A = 



− 3 − 1 − 2 − 1 2   5 3  5



AB = 



3−3   6−5  − 10 + 10 − 5 + 6



= 



1 0  0 1



=  =



‘2019



4



I2



Aljabar Linear Ir. Pranto Busono M.Kom.



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



Perkalian AB menghasilkan I 2 (matriks identitas berordo 2 × 2)



 − 7 2  dan Q =  4 1



• Misalkan P = 



1 − 2  4 − 7  



 − 7 2  1 − 2      4 1 4 − 7



PQ= 



 − 7 + 8 14 − 14  − 4 + 4 8 − 7 



= 



1 0  0 1



=  =



I2



Perkalian PQ menghasilkan I 2 . Berdasarkan perkalian-perkalian tersebut, ada hal yang harus Anda ingat, yaitu perkalian matriks A dan matriks B menghasilkan matriks identitas (AB = I ). Ini menunjukkan matriks B merupakan matriks invers dari matriks A, yaitu B = A–1 atau bisa juga dikatakan bahwa matriks A merupakan invers dari matriks B, yaitu A = B–1. Begitu pula untuk perkalian matriks P dan matriks Q berlaku hal serupa. Contoh :



 − 1 − 2 1  1



Diketahui matriks A = 



dan



2 1  − 1 − 1



B = 



tentukan Apakah matriks B



merupakan invers dari matriks A? Jawab : Matriks B merupakan invers dari matriks A jika memenuhi persamaan AB = I



2  − 1 − 2  1   1  − 1 − 1 1



AB = 



 − 1 + 2 − 2 + 2 2 − 1   1−1



= 



1 0  0 1



=  =I



Oleh karena AB = I maka matriks B merupakan invers dari matriks A.



‘2019



5



Aljabar Linear Ir. Pranto Busono M.Kom.



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



1. INVERS MATRIKS ORDO 2 x 2



1 0  maka A dan B dikatakan 0 1  



Jika AB = BA = I , dimana I matriks satuan yaitu I =  saling invers. Invers matriks A dinotasikan A−1 .



a b   p q dan B =    maka : c d   r s



Misal A = 



ap + br aq + bs  1 0 a b   p q  1 0  =    =   cp + dr cq + ds  0 1  c d   r s  0 1



AB = I   ap + br = 1



 p=



d −c dan r = ad − bc ad − bc



 q=



−b a dan s = ad − bc ad − bc



cp + dr = 0 aq + bs = 0



cq + ds = 1



 p q  maka  r s



Karena B = A−1 = 



A−1 =



1  d − b ad − bc − c a 



ad – bc disebut Determinan (D) atau A atau det(A). Jadi D = A = det( A) = ad − bc . Jika D = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers dan matriks A disebut matriks Singular.



‘2019



6



Jika ad – bc  0 maka matriks A disebut matriks Non Singular.



Aljabar Linear Ir. Pranto Busono M.Kom.



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



Penurunan rumus invers matriks ordo 2 × 2 Rumus Invers Matriks Berordo 2 × 2



a b  -1  invers dari A adalah A , yaitu c d  



Misalkan A =  A -1=



1  d − b , dengan det A ≠ 0 det A − c a 



Contoh :



 3 − 6  − 7 11 



Tentukan invers dari matriks D =  Jawab :



 3 − 6  = 3(11) – (–7)(–6) = 33 – 42 = –9 − 7 11 



det D =  D -1=



=



1 11 6 det A  7 3 1 11 6 − 9  7 3



6  11 − 9 − 9  =  7 3 − −  9  9 2  11 − 9 − 3  =  7 1 − −  3  9 2 − 3  5 − 1



Contoh 1: Tentukan determinan A =  Jawab : A = ....



2 5  − 3 − 1



Contoh 2: Tentukan invers dari P = 



Jawab



‘2019



7



−1 : P = ....



Aljabar Linear Ir. Pranto Busono M.Kom.



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



 5 6  merupakan matriks singular ! − 2 x 



Contoh 3: Tentukan x jika A =  Jawab



: ad – bc = 0  …



2 − 1  13 − 3 =   3 2   − 3 − 2



Contoh 4: Tentukan matriks X jika X 



Jawab



: XA = B  X = BA −1 = …



Jika ada persamaan matriks berbentuk : AX = B maka X = A−1B XA = B maka X = BA −1



2. INVERS MATRIKS ORDO 3 x 3



2.1 DETERMINAN MATRIKS ORDO 3 X 3 Cara menentukan determinan matriks ordo 3 x 3 dengan menggunakan diagram SARRUS, yaitu : 1. Salin kolom ke-1 dan ke-2 pada kolom ke-4 dan ke-5 2. Kurangkan jumlah perkalian elemen-elemen pada diagonal ke bawah dengan jumlah perkalian elemen-elemen pada diagonal ke atas.



 a11 a12 A = a21 a22 a31 a32



a13  a11 a12 a23   det (A) = A = a21 a22 a33  a31 a32 =( -(



‘2019



8



Aljabar Linear Ir. Pranto Busono M.Kom.



a13 a11 a12 a23 a21 a22 a33 a31 a32



….. ) + (



….



)+(



…



)–(



…



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



…. )



)–(



…



)



1 2 3 Contoh 1: Jika P = 1 3 4 maka tentukan P   1 4 3



Jawab



:



.... .... .... .... .... P = .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....



=…



=…



2.2 MINOR, KOOFAKTOR DAN ADJOINT Minor yaitu sebuah determinan yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j, dan ditulis dengan M ij . Sedangkan koofaktor diperoleh dari perkalian



M ij dengan (− 1)



i+ j



dan ditulis dengan Aij . Sedangkan adjoint yaitu koofaktor yang



ditransposekan dan ditulis dengan Adj(A).



 1 2 − 1  Contoh 2: Diketahui M = − 1 1 2  . Tentukan :   2 − 1 1  a. M12



Jawab



a. M12 =



b. M 22 =



c. A31 =



‘2019



9



b. M 22



c. A31



d. A23



:



.... .... .... .... .... .... .... ....



(− 1)... +....



Aljabar Linear Ir. Pranto Busono M.Kom.



= ....



= ....



.... .... .... ....



= ....



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



e. Adj(M)



d. A23 =



(− 1)... +....



 ...   ...  ... a. Adj(M) = −  ...  ...  ... 



... ... ... ... ... ...



.... .... .... ....



−



= ....



... ...



... ... ... ...



... ... ... ... − ... ...



... ... ...   = ... ... ...   ... ... ...



... ...   ... ...  ... ...  −  ... ...  ... ...  ... ... 



T



T



... ... ...   = ... ... ...   ... ... ... 2.3 INVERS MATRIKS ORDO 3 X 3 Untuk menentukan invers matriks A ordo 3 x 3 dengan menggunakan rumus :



A−1 =



1 Adj ( A) A



1 2 3   Contoh 3: Tentukan invers dari P = 1 3 4   1 4 5



Jawab



... ... ... ... ... : P = ... ... ... ... ... = .... ... ... ... ... ...



‘2019



10



Aljabar Linear Ir. Pranto Busono M.Kom.



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id



 ...   ...  ... Adj (P ) = −  ...  ...  ... 



... ... ... ... ... ...



−



... ...



... ... ... ...



... ... ... ... − ... ...



... ...   ... ...  ... ...  −  =…. ... ...  ... ...  ... ... 



... ... ... ... P −1 = ... ... ... = .... ... ... ... ...



Daftar Pustaka 1. Howard Anton, Aljabar Linear 2. Seymour Lipschutz, Ph.D Aljabar Linear 3. Cipta Science Team. 1997. Rangkuman Matematika Untuk Siswa SMU. Yustadi, Indonesia 4. Idel, A dan Hariyono, R. Pintar Matematika SMU. Gitamedia Press, Surabaya 5. Palouras, J.D. dan Gunawan, W. 1987. Peubah kompleks untuk Ilmuan dan Insinyur. Erlangga. Jakarta 6. Stroud, K.A. dan Edwin, S. 1989. Matematika Untuk Teknik. Ed. Ke-3. Erlangga Jakarta. 7. Tampomas, H. 1999 Seribu Pena Matematika SMU Kelas 3. Erlangga, Jakarta



‘2019



11



Aljabar Linear Ir. Pranto Busono M.Kom.



Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id