BAHAN AJAR DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS - SOLIHIN NURYANTO-dikonversi PDF [PDF]

Citation preview

BAHAN AJAR



2019



DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS



SOLIHIN NURYANTO SMA YP UNILA 6/2/2019



DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS 1. Determinan Matriks Ordo 2x2 Determinan matriks A didefinisikan sebagai selisih antara perkalian elemen-elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder. Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det A atau |A|. Nilai dari determinan suatu matriks berupa bilangan real. Diagonal sekunder



A22



a b  =  c d 



maka



det A = |A|= ad −bc



Diagonal utama



Contoh Soal 1:



 2 3 Jika matriks A =   cari determinan matriks A !  4 6 Jawab: det A = |A|= ad −bc = 26−34 = 12 – 12 = 0 Contoh Soal 2:



2a − 10 4 Diketahui matriks A =  . a   −3 Hitunglah nilai-nilai a yang memenuhi det A = 0. Jawab: det A = 0 det A =



2a − 10 4 −3 a



= ((2 a – 10) × a) – (–3 × 4) = 2a 2 – 10a + 12



Oleh karena det A = 0 maka 2a 2 – 10a + 12 = 0 a 2 – 5a + 6 = 0 (a – 3)( a – 2) = 0



a – 2 = 0 atau a – 3 = 0



a =2



a =3



Jadi, nilai a yang memenuhi adalah 2 dan 3. 2. Minor dan Kofaktor Matriks Minor unsur aij adalah determinan yang berasal dari determinan ordo ke-n dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j. Minor dinotasikan dengan Mij. Kofaktor unsur 𝑎𝑖𝑗 adalah minor dari 𝑎𝑖𝑗 dikalikan dengan (−1)𝑖+𝑗 .



Kofaktor dinyatakan dengan 𝑪𝒊𝒋 = (−𝟏)𝒊+𝒋 𝑴𝒊𝒋 . Jika:



a12  a A22 =  11  a21 a22 



A3 x 3



 a11 = a21 a31



a12 a22 a32



M 11 = a13  a23  a33 



a11 a12 = a22 a21 a22



M 21



a11 a12 = a 21 a 22 a31 a32



C11 = (−1)1+1 M 11 = (−1) 2 a22 = a22



a13 a a 23 = 12 a32 a33



a13 a33



C21 = (−1) 2+1 M 21 = (−1)(a11.a22 − a12 .a21 ) = a12 .a21 − a11.a22



Contoh Soal 3:



 2 1 4 Tentukan matriks kofaktor dari matriks A = 4 2 1 ! 5 1 3 Jawab:



2 1 4 A= 4 2 1 5 1 3



M 11 =



2 1 = 6 −1 = 5 1 3



C11 = (−1)1+1 M 11 = (1) 5 = 5



Dengan cara yang sama:



M 12 =



4 1 =12 − 5 = 7 5 3



M 13 =



4 2 = 4 − 10 = −6 5 1



C12 = (−1)1+2 M 12 = (−1) 7 = −7 C13 = (−1)1+3 M 13 = (1) (−6) = −6



M 21 =



1 4 = 3 − 4 = −1 1 3



M 22 =



2 4 = 6 − 20 = −14 5 3



M 23 =



2 1 = 2 − 5 = −3 5 1



C 23 = (−1) 2+3 M 23 = (−1) (−3) = 3



M 31 =



1 4 =1 − 8 = −7 2 1



C31 = (−1) 3+1 M 31 = (1) (−7) = −7



M 32 =



2 4 = 2 − 16 = −14 4 1



M 33 =



2 1 =4 − 4 = 0 4 2



C21 = (−1) 2+1 M 21 = (−1) (−1) = 1 C22 = (−1) 2+2 M 22 = (1) (−14) = −14



C32 = (−1) 3+ 2 M 32 = (−1) (−14) = 14



C33 = (−1) 3+3 M 33 = (1) (0) = 0



Jadi Matriks kofaktor dari matriks A adalah :



C11 C12 C = C 21 C 22 C31 C32



C13   5 − 7 − 6 C 23  =  1 − 14 3  C33  − 7 14 0 



3. Adjoint Matriks Adjoint suatu matriks bujur sangkar disingkat Adj adalah transpose matriks kofaktor dari setiap unsur-unsurnya.



a Jika matriks A22 =  11 a21 Jika matriks A3 x 3



 a11 = a21 a31



C21  a12  C , maka Adj A22 =  11   a22  C12 C22  a12 a22 a32



a13  C11 C21 C31   a23  , maka Adj A33 = C12 C22 C32  C13 C23 C33  a33 



 d − b a b  Dengan kata lain jika A22 =  , maka Adj A22 =    − c a  c d  Contoh Soal 4: Tentukan matriks adjoint dari :



4 7  a) X =   1 2 



 2 −1 c) Z =   , maka − 7 4 



 10 3 b) Y =    − 2 1



d)



 2 1 4 A = 4 2 1 5 1 3



Jawab:



 2 − 7  −1 4 



a) Adj X = 



− 3  1 = − (−2) 10 



b) Adj Y= 



1 − 3 2 10   



4 − (−1) 4 1  =    2  − (−7) 7 2 







c) Adj Z = 



d) Adj A = transpose matriks kofaktornya (lihat contoh soal 3)



1 − 7 C11 C21 C31   5     Adj A = CT = C12 C 22 C32 = − 7 − 14 14     C13 C23 C33  − 6 3 0 



4. Determinan Matriks Ordo 3x3 a. Metode Sarrus



A33



 a11 a12 = a21 a22  a31 a32



 a11 a12 det A =|A|= a21 a22 a31 a32



a13  a23  a33 



_



_



_



a13  a11 a12 a23  a21 a22 a33  a31 a32



+



+



+



det A=|A|= a11  a12  a33 + a12  a23  a31 + a13  a21  a32 − a31  a22  a13 − a32  a23  a11 − a33  a21  a12 b. Metode Kofaktor



Untuk menentukan determinan matriks A dapat digunakan ekspansi Laplace yang menyatakan bahwa nilai determinan merupakan jumlah dari hasil kali unsur-unsur pada suatu baris



(atau suatu kolom) dengan kofaktor-kofaktor yang bersesuaian. Secara matematis, 𝐝𝐞𝐭 𝑨 = ∑𝒏𝒌=𝟏 𝒂𝒊𝒋 𝑪𝒊𝒋 aij = elemen matriks A baris ke-i kolom ke-j Cij = Kofaktor matriks A baris ke-i kolom ke-j Sehingga jika menggunakan baris ke-1 rumus determinan A adalah: det A = a11C11 + a12C12 + a13C13



Contoh Soal 5:



 2 1 4 Tentukan determinan matriks A = 4 2 1 dengan : 5 1 3 a. Metode Sarrus b. Metode Kofaktor



Jawab: a. Metode Sarrus



 2 1 4 2 1 det A = 4 2 1 4 2 5 1 3 5 1



det A



_



+ = 223+115+ 441−524−112−341 = 12 + 5 + 16 – 40 – 2 – 12 = -21



b. Metode Kofaktor (untuk mencari matriks kofaktornya lihat contoh soal 3) det A = a11C11 + a12C12 + a13C13 = 2 . 5 + 1 (-7)+ 4 (-6) = 10 - 7 - 24 = -21



5. Invers Matriks



Jika A sebuah matriks dan invers matriks A adalah A–1 , maka:



A–1 =



1 Adj A det A



dengan det A ≠ 0



Berikut ini adalah syarat suatu matriks A mempunyai invers: •



Jika |A| = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers. Oleh karena itu, dikatakan matriks A sebagai matriks singular.



•



Jika |A|≠ 0, maka matriks A mempunyai invers. Oleh karena itu, dikatakan matriks A sebagai matriks nonsingular.



Contoh Soal 6:



2 7  Tentukan invers matriks A =   1 4  Jawab: A–1



=



1 Adj A det A



A–1



=



1  d − b ad − bc − c a 



=



1  4 − 7 24 − 71 −1 2 



=



1  4 − 7 8 − 7 −1 2 



1  4 − 7 =  1 −1 2   4 − 7 =  −1 2  Contoh Soal 7:



 2 1 4 Tentukan invers matriks A = 4 2 1 5 1 3 Jawab :



Det A = -21 (lihat contoh soal 5)



1 − 7 C11 C 21 C31   5     Adj A = CT = C12 C 22 C32 = − 7 − 14 14     C13 C 23 C33  − 6 3 0  (lihat contoh soal 4) Jadi, A–1



1 − 7 5 1 1  Adj A = = − 7 − 14 14   det A − 21 − 6 3 0 



6. Sifat-Sifat Determinan dan Invers suatu Matriks • Nilai determinan tidak berubah apabila baris dan kolomnya dipertukarkan, maka det 𝐴 = det 𝐴𝑇 .



• Jika A dan B dua matriks bujur sangkar yang berukuran sama, maka det(𝐴𝐵) = det 𝐴 . det 𝐵 • Jika semua unsur dalam suatu baris (atau kolom) matriks bujur sangkar ordo n dikalikan dengan sebuah bilangan k, maka det (k A) = kn det A • Jika A sebuah matriks dan invers matriks A adalah A–1 maka det (A–1) =



1 det 𝐴



• Jika A sebuah matriks dan invers matriks A adalah A–1 maka A  A–1 = I, dimana I adalah matriks identitas. • Misalkan A dan B adalah matriks sebarang yang memiliki invers, AB dan BA juga memiliki invers maka berlaku hubungan (AB) (BA)



–1



=A



–1



·B



–1



Contoh Soal 7:



Diketahui matriks :



 4 3 A=  1 2



dan



Tentukan : a. det A + det BT b. det (AB) c. det (3A-1) d. det (2B)-1 e. det (AB)-1



3 1  B=  0 − 2 



–1



=B



–1



·A



–1



dan



Jawab: a. det A = 4.2 – 3.1 = 8 – 3 = 5 det BT = det B = 3 (-2) – 1 . 0 = -6 – 0 = -6



Jadi det A + det BT = 5 + (-6) = -1 b. det (AB) = det A . det B = 5 (-6) = -30 c. Karena Matriks A adalah matriks bujur sangkar ordo 2, maka: 1 det 𝐴



det (3A-1)= 32 . det A-1 = 9 .



=9.



1 5



=



9 5



d. Karena Matriks A adalah matriks bujur sangkar ordo 2, maka: det (2B)-1 =



1 det(2𝐵)



=



1 22 𝑑𝑒𝑡 𝐵



e. det (AB)-1 =



1 det(𝐴𝐵)



=



1 −30



=



=-



1 4(−6)



1



= − 24



1 30



7. Persamaan Matriks



Penyelesaian persamaan matriks A X = B ditentukan oleh 𝑋 = 𝐴−1 . 𝐵 Penyelesaian persamaan matriks X A = B ditentukan oleh 𝑋 = 𝐵. 𝐴−1 Contoh Soal 8: Jika 𝑃. [6 7] = [2 3], tentukan matriks P! Jawab:



8



9



6 𝑃. [ 8



4 5



7 2 3 ]=[ ] 9 4 5 𝑃. A =B 𝑃 = 𝐵. 𝐴−1 1 2 3 9 −7 =[ ]. [ ] 4 5 6.9−7.8 −8 6 1 2 3 9 −7 = −2[ ][ ] 4 5 −8 6 1 −6 4 = −2[ ] −4 2 3 −2 =[ ] 2 −1



8. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier dengan Menggunakan Matriks Untuk Sistem Persamaan Linear dua variabel : ax + by = P cx + dy = Q



Bila ditulis dalam bentuk matriks :



a b   x   P   c d   y  = Q        Maka untuk menentukan variabel x dan y dapat menggunakan sifat penyelesaian persamaan metode invers:



 x a b   y  = c d     



−1



P Q   



Sedangkan: 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑟1 𝑎 𝑥 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑟2 { 21 1 …. 𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑟𝑛 Jika 𝑟1 = 𝑟2 = ⋯ = 𝑟𝑛 = 0, sistem persamaan linear di atas disebut homogen. Sebaliknya, jika 𝑟𝑛 ≠ 0 dinamakan takhomogen. Sistem persamaan linear di atas dapat dinyatakan dalam bentuk matriks, yaitu 𝑎11 𝑎 21 ( … 𝑎𝑚1



𝑎12 𝑎22 … 𝑎𝑚2



… 𝑎1𝑛 𝑟1 𝑥1 𝑥2 … 𝑎2𝑛 𝑟2 … … ) ( … ) = (…) 𝑥𝑛 𝑟𝑛 … 𝑎𝑚𝑛



atau A X = R Untuk menyelesaian system persamaan linear di atas digunakan dua cara, yaitu metode reduksi baris dan aturan Cramer (lihat Bambang Ruwanto. 2002. Matematika untuk Fisika dan Teknik I. Yogyakarta: Adicita hal. 131-135) Aturan Cramer : Jika A X = R maka x1 =



A1 A



, x2 =



A2 A



, ..., xn =



An A



An matriks yang didapat dengan mengganti elemen-elemen pada kolom-n



dari matriks A dengan elemen-elemen matriks B. Contoh Soal 9: Tentukan nilai x dan y dari persamaan berikut dengan cara invers matriks dan aturan cramer !



2 x+ y



=8



5 x + 3 y = 21



Jawab : Cara invers matriks:



2 1  x   8  5 3  y  = 21      −1



 x  2 1  P   y  = 5 3 Q        =



1  3 −1  8  23− 51 − 5 2  21



1  3 −1 =  1 − 3 2 



8 21  



 3 −1  8  =1     − 3 2  21 38 + (−1) 21 =   − 58 + 2 21   24 − 21  =  − 40 + 42 3 =  2 Cara Cramer : A=



2 1 = 2.3 − 1.5 = 6 − 5 = 1 5 3



A1 =



8 1 = 8.3 − 1.21 = 24 − 21 = 3 21 3



A2 =



2 8 = 2.21 − 8.5 = 42 − 40 = 2 5 21



Jadi, x =



A1 A



=



A 3 2 = 3 dan y = 2 = = 2 1 A 1



Contoh 10 Ibu membeli 5 kg tepung dan 3 kaleng mentega dan harus membayar Rp. 30.500,-. Kakak membeli 2 kg tepung dan 1 kaleng mentega dan ia



harus membayar Rp. 7.500,- tulis pernyataan di atas dalam bentuk matriks ! Jawab : 5 x + 3 y = 30.500 2 x+ y = 7.500



Dalam bentuk matriks :



5 3  x  30500 2 1  y  =  7500       Latihan Soal



 2x



1. Diketahui A =  2 x







1  − 6 − 7 , B =   , jika det A = det B maka tentukan −3 − x 5 



nilai x !



2 1 −3 𝑎 3 1 ) B= ( )C=( ) , jika det (A + B – 5 6 2 3 2 4



2. Diketahui Matriks A= (



C) = 1 maka tentukan nilai 3a! 3 2 1 0 3. Diketahui Matriks A = ( ) , B= ( ) dan C = A + B jika C-1 −1 0 −2 1 adalah invers matriks C, maka tentukan C-1 ! 3 2 1 4. Diketahui Matriks A = ( ) , B= ( −1 0 4



9 ) dan C = A.B jika C-1 adalah 8



invers matriks C, Tentukan det (C-1)! 1 2



3 − 2  . Jika At adalah 4 



 dan B =  5. Diketahui matriks A =  1 3 5



transpose dari matriks A dan AX = B + At, maka tentukan determinan matriks X !



 − 2 1 0 2 3 , tentukan: 6. Diketahui matriks Z =  4  5 − 1 3 a. det Z b. Z-1 c. det (2Z-1) 7. X adalah matriks persegi berordo 2x2 yang memenuhi persamaan (



2 1 3 4 ) X= ( ) , tentukan matriks X! 4 3 1 2



8. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan cara invers matriks:



3x − 4 y = 9 a.   2x + y = 6



 2x + 3 y − z = 1  b.  x + 2 y + z = −3  x − y − 2z = 6 9. Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan aturan Cramer.



 2x − 3y = 0 a.  3 y − 4 x + 12 = 0



 2x − y = 0  b.  3x + 2 z = 5  x + 3 y + z = 8 10. Adi membeli 3 buah buku dan 2 buah pensil seharga Rp26.000,00. Sedangkan Ali membeli 4 buah buku dan 3 buah pensil di toko yang sama seharga Rp36.000,00. Jika harga buku dimisalkan x dan harga buku dimisalkan y, Tentukan harga buku dan pensil dengan cara matriks!