7 0 557 KB
BAHAN AJAR
2019
DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
SOLIHIN NURYANTO SMA YP UNILA 6/2/2019
DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS 1. Determinan Matriks Ordo 2x2 Determinan matriks A didefinisikan sebagai selisih antara perkalian elemen-elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder. Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det A atau |A|. Nilai dari determinan suatu matriks berupa bilangan real. Diagonal sekunder
A22
a b = c d
maka
det A = |A|= ad −bc
Diagonal utama
Contoh Soal 1:
2 3 Jika matriks A = cari determinan matriks A ! 4 6 Jawab: det A = |A|= ad −bc = 26−34 = 12 – 12 = 0 Contoh Soal 2:
2a − 10 4 Diketahui matriks A = . a −3 Hitunglah nilai-nilai a yang memenuhi det A = 0. Jawab: det A = 0 det A =
2a − 10 4 −3 a
= ((2 a – 10) × a) – (–3 × 4) = 2a 2 – 10a + 12
Oleh karena det A = 0 maka 2a 2 – 10a + 12 = 0 a 2 – 5a + 6 = 0 (a – 3)( a – 2) = 0
a – 2 = 0 atau a – 3 = 0
a =2
a =3
Jadi, nilai a yang memenuhi adalah 2 dan 3. 2. Minor dan Kofaktor Matriks Minor unsur aij adalah determinan yang berasal dari determinan ordo ke-n dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j. Minor dinotasikan dengan Mij. Kofaktor unsur 𝑎𝑖𝑗 adalah minor dari 𝑎𝑖𝑗 dikalikan dengan (−1)𝑖+𝑗 .
Kofaktor dinyatakan dengan 𝑪𝒊𝒋 = (−𝟏)𝒊+𝒋 𝑴𝒊𝒋 . Jika:
a12 a A22 = 11 a21 a22
A3 x 3
a11 = a21 a31
a12 a22 a32
M 11 = a13 a23 a33
a11 a12 = a22 a21 a22
M 21
a11 a12 = a 21 a 22 a31 a32
C11 = (−1)1+1 M 11 = (−1) 2 a22 = a22
a13 a a 23 = 12 a32 a33
a13 a33
C21 = (−1) 2+1 M 21 = (−1)(a11.a22 − a12 .a21 ) = a12 .a21 − a11.a22
Contoh Soal 3:
2 1 4 Tentukan matriks kofaktor dari matriks A = 4 2 1 ! 5 1 3 Jawab:
2 1 4 A= 4 2 1 5 1 3
M 11 =
2 1 = 6 −1 = 5 1 3
C11 = (−1)1+1 M 11 = (1) 5 = 5
Dengan cara yang sama:
M 12 =
4 1 =12 − 5 = 7 5 3
M 13 =
4 2 = 4 − 10 = −6 5 1
C12 = (−1)1+2 M 12 = (−1) 7 = −7 C13 = (−1)1+3 M 13 = (1) (−6) = −6
M 21 =
1 4 = 3 − 4 = −1 1 3
M 22 =
2 4 = 6 − 20 = −14 5 3
M 23 =
2 1 = 2 − 5 = −3 5 1
C 23 = (−1) 2+3 M 23 = (−1) (−3) = 3
M 31 =
1 4 =1 − 8 = −7 2 1
C31 = (−1) 3+1 M 31 = (1) (−7) = −7
M 32 =
2 4 = 2 − 16 = −14 4 1
M 33 =
2 1 =4 − 4 = 0 4 2
C21 = (−1) 2+1 M 21 = (−1) (−1) = 1 C22 = (−1) 2+2 M 22 = (1) (−14) = −14
C32 = (−1) 3+ 2 M 32 = (−1) (−14) = 14
C33 = (−1) 3+3 M 33 = (1) (0) = 0
Jadi Matriks kofaktor dari matriks A adalah :
C11 C12 C = C 21 C 22 C31 C32
C13 5 − 7 − 6 C 23 = 1 − 14 3 C33 − 7 14 0
3. Adjoint Matriks Adjoint suatu matriks bujur sangkar disingkat Adj adalah transpose matriks kofaktor dari setiap unsur-unsurnya.
a Jika matriks A22 = 11 a21 Jika matriks A3 x 3
a11 = a21 a31
C21 a12 C , maka Adj A22 = 11 a22 C12 C22 a12 a22 a32
a13 C11 C21 C31 a23 , maka Adj A33 = C12 C22 C32 C13 C23 C33 a33
d − b a b Dengan kata lain jika A22 = , maka Adj A22 = − c a c d Contoh Soal 4: Tentukan matriks adjoint dari :
4 7 a) X = 1 2
2 −1 c) Z = , maka − 7 4
10 3 b) Y = − 2 1
d)
2 1 4 A = 4 2 1 5 1 3
Jawab:
2 − 7 −1 4
a) Adj X =
− 3 1 = − (−2) 10
b) Adj Y=
1 − 3 2 10
4 − (−1) 4 1 = 2 − (−7) 7 2
c) Adj Z =
d) Adj A = transpose matriks kofaktornya (lihat contoh soal 3)
1 − 7 C11 C21 C31 5 Adj A = CT = C12 C 22 C32 = − 7 − 14 14 C13 C23 C33 − 6 3 0
4. Determinan Matriks Ordo 3x3 a. Metode Sarrus
A33
a11 a12 = a21 a22 a31 a32
a11 a12 det A =|A|= a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33
_
_
_
a13 a11 a12 a23 a21 a22 a33 a31 a32
+
+
+
det A=|A|= a11 a12 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a31 a22 a13 − a32 a23 a11 − a33 a21 a12 b. Metode Kofaktor
Untuk menentukan determinan matriks A dapat digunakan ekspansi Laplace yang menyatakan bahwa nilai determinan merupakan jumlah dari hasil kali unsur-unsur pada suatu baris
(atau suatu kolom) dengan kofaktor-kofaktor yang bersesuaian. Secara matematis, 𝐝𝐞𝐭 𝑨 = ∑𝒏𝒌=𝟏 𝒂𝒊𝒋 𝑪𝒊𝒋 aij = elemen matriks A baris ke-i kolom ke-j Cij = Kofaktor matriks A baris ke-i kolom ke-j Sehingga jika menggunakan baris ke-1 rumus determinan A adalah: det A = a11C11 + a12C12 + a13C13
Contoh Soal 5:
2 1 4 Tentukan determinan matriks A = 4 2 1 dengan : 5 1 3 a. Metode Sarrus b. Metode Kofaktor
Jawab: a. Metode Sarrus
2 1 4 2 1 det A = 4 2 1 4 2 5 1 3 5 1
det A
_
+ = 223+115+ 441−524−112−341 = 12 + 5 + 16 – 40 – 2 – 12 = -21
b. Metode Kofaktor (untuk mencari matriks kofaktornya lihat contoh soal 3) det A = a11C11 + a12C12 + a13C13 = 2 . 5 + 1 (-7)+ 4 (-6) = 10 - 7 - 24 = -21
5. Invers Matriks
Jika A sebuah matriks dan invers matriks A adalah A–1 , maka:
A–1 =
1 Adj A det A
dengan det A ≠ 0
Berikut ini adalah syarat suatu matriks A mempunyai invers: •
Jika |A| = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers. Oleh karena itu, dikatakan matriks A sebagai matriks singular.
•
Jika |A|≠ 0, maka matriks A mempunyai invers. Oleh karena itu, dikatakan matriks A sebagai matriks nonsingular.
Contoh Soal 6:
2 7 Tentukan invers matriks A = 1 4 Jawab: A–1
=
1 Adj A det A
A–1
=
1 d − b ad − bc − c a
=
1 4 − 7 24 − 71 −1 2
=
1 4 − 7 8 − 7 −1 2
1 4 − 7 = 1 −1 2 4 − 7 = −1 2 Contoh Soal 7:
2 1 4 Tentukan invers matriks A = 4 2 1 5 1 3 Jawab :
Det A = -21 (lihat contoh soal 5)
1 − 7 C11 C 21 C31 5 Adj A = CT = C12 C 22 C32 = − 7 − 14 14 C13 C 23 C33 − 6 3 0 (lihat contoh soal 4) Jadi, A–1
1 − 7 5 1 1 Adj A = = − 7 − 14 14 det A − 21 − 6 3 0
6. Sifat-Sifat Determinan dan Invers suatu Matriks • Nilai determinan tidak berubah apabila baris dan kolomnya dipertukarkan, maka det 𝐴 = det 𝐴𝑇 .
• Jika A dan B dua matriks bujur sangkar yang berukuran sama, maka det(𝐴𝐵) = det 𝐴 . det 𝐵 • Jika semua unsur dalam suatu baris (atau kolom) matriks bujur sangkar ordo n dikalikan dengan sebuah bilangan k, maka det (k A) = kn det A • Jika A sebuah matriks dan invers matriks A adalah A–1 maka det (A–1) =
1 det 𝐴
• Jika A sebuah matriks dan invers matriks A adalah A–1 maka A A–1 = I, dimana I adalah matriks identitas. • Misalkan A dan B adalah matriks sebarang yang memiliki invers, AB dan BA juga memiliki invers maka berlaku hubungan (AB) (BA)
–1
=A
–1
·B
–1
Contoh Soal 7:
Diketahui matriks :
4 3 A= 1 2
dan
Tentukan : a. det A + det BT b. det (AB) c. det (3A-1) d. det (2B)-1 e. det (AB)-1
3 1 B= 0 − 2
–1
=B
–1
·A
–1
dan
Jawab: a. det A = 4.2 – 3.1 = 8 – 3 = 5 det BT = det B = 3 (-2) – 1 . 0 = -6 – 0 = -6
Jadi det A + det BT = 5 + (-6) = -1 b. det (AB) = det A . det B = 5 (-6) = -30 c. Karena Matriks A adalah matriks bujur sangkar ordo 2, maka: 1 det 𝐴
det (3A-1)= 32 . det A-1 = 9 .
=9.
1 5
=
9 5
d. Karena Matriks A adalah matriks bujur sangkar ordo 2, maka: det (2B)-1 =
1 det(2𝐵)
=
1 22 𝑑𝑒𝑡 𝐵
e. det (AB)-1 =
1 det(𝐴𝐵)
=
1 −30
=
=-
1 4(−6)
1
= − 24
1 30
7. Persamaan Matriks
Penyelesaian persamaan matriks A X = B ditentukan oleh 𝑋 = 𝐴−1 . 𝐵 Penyelesaian persamaan matriks X A = B ditentukan oleh 𝑋 = 𝐵. 𝐴−1 Contoh Soal 8: Jika 𝑃. [6 7] = [2 3], tentukan matriks P! Jawab:
8
9
6 𝑃. [ 8
4 5
7 2 3 ]=[ ] 9 4 5 𝑃. A =B 𝑃 = 𝐵. 𝐴−1 1 2 3 9 −7 =[ ]. [ ] 4 5 6.9−7.8 −8 6 1 2 3 9 −7 = −2[ ][ ] 4 5 −8 6 1 −6 4 = −2[ ] −4 2 3 −2 =[ ] 2 −1
8. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier dengan Menggunakan Matriks Untuk Sistem Persamaan Linear dua variabel : ax + by = P cx + dy = Q
Bila ditulis dalam bentuk matriks :
a b x P c d y = Q Maka untuk menentukan variabel x dan y dapat menggunakan sifat penyelesaian persamaan metode invers:
x a b y = c d
−1
P Q
Sedangkan: 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑟1 𝑎 𝑥 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑟2 { 21 1 …. 𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑟𝑛 Jika 𝑟1 = 𝑟2 = ⋯ = 𝑟𝑛 = 0, sistem persamaan linear di atas disebut homogen. Sebaliknya, jika 𝑟𝑛 ≠ 0 dinamakan takhomogen. Sistem persamaan linear di atas dapat dinyatakan dalam bentuk matriks, yaitu 𝑎11 𝑎 21 ( … 𝑎𝑚1
𝑎12 𝑎22 … 𝑎𝑚2
… 𝑎1𝑛 𝑟1 𝑥1 𝑥2 … 𝑎2𝑛 𝑟2 … … ) ( … ) = (…) 𝑥𝑛 𝑟𝑛 … 𝑎𝑚𝑛
atau A X = R Untuk menyelesaian system persamaan linear di atas digunakan dua cara, yaitu metode reduksi baris dan aturan Cramer (lihat Bambang Ruwanto. 2002. Matematika untuk Fisika dan Teknik I. Yogyakarta: Adicita hal. 131-135) Aturan Cramer : Jika A X = R maka x1 =
A1 A
, x2 =
A2 A
, ..., xn =
An A
An matriks yang didapat dengan mengganti elemen-elemen pada kolom-n
dari matriks A dengan elemen-elemen matriks B. Contoh Soal 9: Tentukan nilai x dan y dari persamaan berikut dengan cara invers matriks dan aturan cramer !
2 x+ y
=8
5 x + 3 y = 21
Jawab : Cara invers matriks:
2 1 x 8 5 3 y = 21 −1
x 2 1 P y = 5 3 Q =
1 3 −1 8 23− 51 − 5 2 21
1 3 −1 = 1 − 3 2
8 21
3 −1 8 =1 − 3 2 21 38 + (−1) 21 = − 58 + 2 21 24 − 21 = − 40 + 42 3 = 2 Cara Cramer : A=
2 1 = 2.3 − 1.5 = 6 − 5 = 1 5 3
A1 =
8 1 = 8.3 − 1.21 = 24 − 21 = 3 21 3
A2 =
2 8 = 2.21 − 8.5 = 42 − 40 = 2 5 21
Jadi, x =
A1 A
=
A 3 2 = 3 dan y = 2 = = 2 1 A 1
Contoh 10 Ibu membeli 5 kg tepung dan 3 kaleng mentega dan harus membayar Rp. 30.500,-. Kakak membeli 2 kg tepung dan 1 kaleng mentega dan ia
harus membayar Rp. 7.500,- tulis pernyataan di atas dalam bentuk matriks ! Jawab : 5 x + 3 y = 30.500 2 x+ y = 7.500
Dalam bentuk matriks :
5 3 x 30500 2 1 y = 7500 Latihan Soal
2x
1. Diketahui A = 2 x
1 − 6 − 7 , B = , jika det A = det B maka tentukan −3 − x 5
nilai x !
2 1 −3 𝑎 3 1 ) B= ( )C=( ) , jika det (A + B – 5 6 2 3 2 4
2. Diketahui Matriks A= (
C) = 1 maka tentukan nilai 3a! 3 2 1 0 3. Diketahui Matriks A = ( ) , B= ( ) dan C = A + B jika C-1 −1 0 −2 1 adalah invers matriks C, maka tentukan C-1 ! 3 2 1 4. Diketahui Matriks A = ( ) , B= ( −1 0 4
9 ) dan C = A.B jika C-1 adalah 8
invers matriks C, Tentukan det (C-1)! 1 2
3 − 2 . Jika At adalah 4
dan B = 5. Diketahui matriks A = 1 3 5
transpose dari matriks A dan AX = B + At, maka tentukan determinan matriks X !
− 2 1 0 2 3 , tentukan: 6. Diketahui matriks Z = 4 5 − 1 3 a. det Z b. Z-1 c. det (2Z-1) 7. X adalah matriks persegi berordo 2x2 yang memenuhi persamaan (
2 1 3 4 ) X= ( ) , tentukan matriks X! 4 3 1 2
8. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan cara invers matriks:
3x − 4 y = 9 a. 2x + y = 6
2x + 3 y − z = 1 b. x + 2 y + z = −3 x − y − 2z = 6 9. Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan aturan Cramer.
2x − 3y = 0 a. 3 y − 4 x + 12 = 0
2x − y = 0 b. 3x + 2 z = 5 x + 3 y + z = 8 10. Adi membeli 3 buah buku dan 2 buah pensil seharga Rp26.000,00. Sedangkan Ali membeli 4 buah buku dan 3 buah pensil di toko yang sama seharga Rp36.000,00. Jika harga buku dimisalkan x dan harga buku dimisalkan y, Tentukan harga buku dan pensil dengan cara matriks!