Modul Kelas VIII SM 2 [PDF]

Citation preview

Modul Matematika kelas VIII Semester Genap



Alfa Education Center



TEOREMA PYTHAGORAS PETA KONSEP Teorema Pythagoras



Segitigasegita khusus



Tripel Pythagoras



Segitiga sikusiku sama kaki



Penerapan Teorema Pythagoras



Segitiga siku-siku dengan sudut 30°-60°-90°



Teorema Pythagoras



Sifat teorema phytagoras 1. Hanya untuk segitiga siku-siku 2. Minimal 2 sisinya dapat diketahui terlebih dahulu



 Mengidentifikasi sebuah segitiga siku-siku



Rumus Phytagoras merupakan rumus yang diperoleh dari materi Teorema Phytagoras. Adapun bunyi atau dalil Teorema Phytagoras adalah sebagai berikut: “Pada suatu segitiga siku-siku, kuadrat dari sisi terpanjang yaitu sama dengan hasil jumlah dari kuadrat sisi-sisi penyikunya” Dari teorema tersebut bisa kita buat suatu rumus yang bisa kita gambarkan seperti di bawah ini:



Keterangan: c = sisi miring a = tinggi b = alas



 Pembuktian Teorema pythagoras



Luas persegi C = Luas persegi (A+B) Karena 𝑎, 𝑏, 𝑐 merupakan sisi dari persegi A, B, C maka 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2



Contoh soal: 



Panjang t pada segitiga siku-siku di bawah ini adalah...



Pembahasan =√ 2 = √ 22 =√ =2 Jadi, panjang t adalah 21cm



Tripel Pythagoras Merupakan rangkaian tiga bilangan positif yang merupakan sisi-sisi dari segitiga siku-siku yang memenuhi dalil Phytagoras.Bilangan yang terbesar merupakan sisi miringnya. Berikut adalah Tripel Pythagoras



Pasangan tripel ini berlaku untuk kelipatannya:misal 6, 8 , 10 merupakan kelipatan dari 3, 4, 5 yang berarti juga merupakan tripel Phytagoras



Penerapan Teorema Pythagoras Dalam kehidupan sehari-hari banyak permasalahan-permasalahan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema Pythagoras. Contoh permasalahan-permasalahan tersebut antara lain adalah sebagai berikut. 1. Sebuah kapal berlayar sejauh 100 km ke arah barat, kemudian berbelok ke arah selatan sejauh 75 km. Jarak terpendek kapal tersebut dari titik keberangkatan adalah Pembahasan: Perhatikan gambar di bawah.



Jarak terpendek kapal tersebut dari titik keberangkatan dapat dicari dengan menggunakan teorema phytagoras jarak = √ + =√ + 2 =√ 2 = 2 Jadi, jarak terpendek kapal tersebut dari titik keberangkatan adalah 125 km. 2. Sebuah tangga yang panjangnya 5 meter bersandar pada pohon. Jarak ujung bawah tangga terhadap pohon = 3 meter. Hitunglah tinggi pohon yang dapat dicapai oleh tangga. Pembahasan: Perhatikan gambar berikut: Berdasarkan gambar di samping, tinggi pohon dapat dicari dengan menggunakan teorema pythagoras. Tinggi =√ = √2 =√ = Jadi, tinggi pohon yang dapat dicapai oleh tangga adalah 4 meter.



3. Rumah pak Widodo berlantai dua seperti gambar dibawah ini



Jika alas tangga terletak 2m dari tembok dan tinggi tembok 4,5m, maka berapakah panjang tangga yang harus dibuat? 4. Seorang anak mempunyai tinggi badan 150cm. Ia berdiri 12m dari tiang bendera. Jika jarak antara kepala anak tersebut dengan puncak tiang bendera adalah13m, maka hitunglah tinggi tiang bendera tersebut!



Jawab



Jenis segitiga



c



a



b



c



b a



a



c



b



Segitiga-segitiga khusus Terdapat dua segitiga siku-siku khusus yaitu segitiga siku-siku sama kaki dan segitiga siku-siku dengan salah satu sudutnya 30°. Bagaimana perbandingan sisi-sisi kedua segitiga tersebut? Dengan konsep Teorema Pythagoras, kita akan menemukan perbandingannya. A. Segitiga Siku-siku sama kaki Salah satu dari segitiga siku-siku adalah segitiga siku-siku sama kaki dengan besar ketiga sudutnya adalah 45° - 45° - 90°. Setiap segitiga siku-siku sama kaki adalah setengah dari persegi.



Panjang sisi siku-siku adalah 8cm Panjang sisi miring = √



+



= √2



jika sisi segitiga tersebut adalah s maka, panjang sisi miring adalah s√2



sehingga dapat disimpulkan bahwa perbandingan sisi dari segitiga siku-siku sama kaki adalah 1:1:√2 Contoh:



Perhatikan gambar disamping. Diketahui segitiga siku-siku ABC dengan panjang AB = 12 cm, dan ∠ABC = 45°. Tentukan panjang BC ! Alternatif Penyelesaian:



AB : BC 12 : BC BC x 1 BC



= 1 : √2 = 1: √2 = 12 x √2 = 12√2



B. Segitiga Bersudut 60°-60°-60°



Perhatikan segitiga sama sisi diatas lalu cobalah menjawab beberapa pertanyaan berikut.   



Berapakah besar masing-masing sudut segitiga ABC? Berapakah besar sudut ∠CBD, ∠BDC, dan ∠BCD? Bagaimanakah perbandingan panjang ruas garis BD dengan AB dan BD dengan BC?



Dapat disimpulkan bahwa perbandingan sisi segitiga siku-siku dengan sudut 30°60°-90° adalah CD:BD:BC = √3:1:2 Bandingkan jawaban kalian dengan media dibawah ini.



Contoh:



Perhatikan segitiga tersebut. Berapakah panjang sisi CD dan BC? Alternatif Penyelesaian:



BD : CD 5 : CD CD x 1 CD BD : BC 5 : BC BC x 1 BC



= 1 : √3 = 1 : √3 = 5 x √3 = 5√3 =1:2 =1:2 =5x2 = 10



LINGKARAN PETA KONSEP Mengenal lingkaran



Hubungan sudut pusat sudut keliling



GSPL



Luas juring dan panjang busur



Lingkaran



GSPD



Mengenal Lingkaran Lingkaran merupakan kurva tertutup sederhana yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Unsur-unsur lingkaran



Luas dan keliling Lingkaran



Hubungan sudut pusat & sudut keliling



Segiempat Tali Busur



Sudut antara dua Tali Busur



contoh 1. Sebuah lingkaran berpusat di titik O seperti gambar berikut. Tentukan besar sudut AOB!



Pembahasan Sudut AOB adalah sudut pusat yang menghadap busur yang sama dengan sudut ACB yang merupakan sudut keliling. Hubungan antara sudut AOB dan sudut ACB dengan demikian adalah: ∠AOB = 2 × ∠ACB Sehingga, ∠AOB = 2 × 55° = 110°



2. Diberikan sebuah lingkaran sebagai berikut!



∠DFE besarnya adalah 70° dan ∠ DPE adalah (5x − 10)°. Tentukan nilai x. Pembahasan Hubungan antara sudut DPE dan sudut DFE dengan demikian adalah: ∠DPE = 2 ∠DFE Sehingga (5x − 10)° 5x − 10 5x 5x x x



= 2 × 70° = 140 = 140 + 10 = 150 = 150/5 = 30



3. Perhatikan gambar!



Tentukan besar: a) ∠BCD b) x Pembahasan a. ∠BCD Pada kasus ini ∠BCD berhadapan dengan ∠ BAD sehingga jumlahnya adalah 180°



∠BCD + ∠BCD = 180° ∠BCD = 180° − ∠ BAD = 180 − 60° = 120° b. x 5x = 120° x = 120° / 5 = 24°



Luas Juring dan Panjang Busur



contoh 1. Pada gambar di bawah ini, panjang jari-jari OA adalah 20 cm. Berapakah panjang busur AB jika π = 3,14?.



Pembahasan



2. Pada gambar berikut, luas juring AOB adalah 231 cm2 dan besar sudut AOB adalah 60°.



Hitunglah:  



panjang jari-jari lingkaran keliling lingkaran



Penyelesaian:



3. Pada gambar berikut ini, luas lingkaran adalah 48 cm2.



Berapakah luas juring AOB?



Penyelesaian:



Garis singgung Lingkaran



A. Garis Singgung Persekutuan Luar dua lingkaran (GSPL)



B. Garis Singgung Persekutuan Dalam dua Lingkaran (GSPD)



contoh 1. Perhatikan gambar lingkaran berikut. PQ adalah garis singgung lingkaran O yang berjari-jari 5 cm. Jika panjang garis QR adalah 8 cm, t entukan luas segitiga QOS Pembahasan PQ garis singgung lingkaran, sehingga PQ tegak lurus dengan OS. Dengan phytagoras didapat:



Sehingga luas segitiga QOS adalah



2. Diketahui dua buah lingkaran dengan pusat A dan B, dengan panjang jari-jari masing masing 7 cm dan 2 cm. Jika jarak AB = 13 cm, maka panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut adalah Pembahasan Garis singgung persekutuan luar dua buah lingkaran



Garis singgung kedua lingkaran sejajar dan sama panjang dengan garis CB yaitu 12 cm 3. Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran 8 cm. Jika jarak titik pusat kedua lingkaran 17 cm dan panjang jari-jari salah satu lingkaran 10 cm, maka panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah



Pembahasan Misalkan lingkaran A dan B dengan jarak titik pusat AB dan panjang garis



singgung persekutuan dalam adalah PQ: AB = 17 cm PQ = 8 cm RA = 10 cm RB = ?



4. Diketahui dua buah lingkaran dengan pusat di A dan B, masing-masing berjari-jari 34 cm dan 10 cm. Garis CD merupakan garis singgung persekutuan luar. Bila CD = 32 cm, tentukan panjang AB Pembahasan Menentukan jarak pusat dua lingkaran, diketahui garis singgung persekutuan luarnya:



Bangun Ruang Sisi datar PETA KONSEP Bangun Ruang sisi datar



Luas Permukaan



Kubus



Volume



Kubus



Kubus



Kubus



Bangun Ruang sisi Datar Gabungan



Bangun ruang sisi datar merupakan suatu bangun tiga dimensi yang memiliki ruang/ volume/ isi dan juga sisi-sisi yang membatasinya.



Keterangan: ABCD: Sisi AB: Rusuk A: Titik Sudut BH: Diagonal Ruang AC: Diagonal Bidang BCEH: Bidang Diagonal



Penjelasan: a. Bidang (Sisi) merupakan daerah yang membatasi bagian luar dengan bagian dalam dari sbeuah bangun ruang. b. Rusuk merupakan suatu perpotongan dua buah bidang yang berwujud garis. c. Titik sudut adalah perpotongan tiga buah rusuk. d. Diagonal bidang merupakan diagonal yang terletak dalam bidang bidang pembentuk bangun ruang atau pada sisi bangun ruang. e. Diagonal ruang merupakan garis yang melintasi ruang yang menghubungkan dua titik sudut yang tidak sebidang. f. Bidang diagonal merupakan suatu bidang yang melintasi ruang dalam bangun ruang



Kubus Kubus merupakan suatu bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh enam sisi serupa yang berwujud bujur sangkar. Kubus juga dikenal dengan nama lain yaitu bidang enam beraturan. Kubus sebetulnya adalah bentuk khusus dari prisma segiempat, sebab tingginya sama dengan sisi alas.



1. Sisi kongruen ada sebanyak 6 buah yang terdiri atas: o bidang alas kubus: ABCD o bidang atas kubus: EFGH o sisi tegak kubus: ABEF, CDGH, ADEH, dan BCFG. 2. Rusuk sama panjang ada sebanyak 12 buah (AB = BC = CD = DA = EF = FG = GH = HE = AE = BF = CG = DH). 3. Titik sudut berjumlah 8 titik (A, B, C, D, E, F, G, H).



4. Diagonal bidang yang sama panjang sebanyak 6 buah (AC = BD = EG = FH = AF = BE = CH = DG = AH = DE = BG = CF). 5. Diagonal ruang yang sama panjang sebanyak 4 buah (AG = BH = CE = DF). 6. Bidang diagonal kongruen berjumlah 6 buah (ABGH, EFCD, BCHE, FGDA, BFHG, dan AEGC).



Sifat bangun Kubus 1. Seluruh sisi kubus berbentuk persegi dengan mempunyai luas yang sama. 2. Seluruh rusuk kubus memiliki panjang yang sama. 3. Masing-masing diagonal bidang pada kubus mempunyai panjang yang sama. Perhatikan ruas garis BG dan CF pada gambar di atas. Kedua garis tersebut adalah diagonal bidang kubus ABCD.EFGH yang mempunyai ukuran sama panjang. 4. Masing-masing diagonal ruang pada kubus memiliki panjang yang sama. Dari kubus ABCD.EFGH pada gambar di atas , ada dua diagonal ruang, yakni HB dan DF di mana keduanya berukuran sama panjang. 5. Masing-masing bidang diagonal pada kubus berbentuk persegi panjang..



Rumus Pada Kubus



Volume: s x s x s = s3 Luas permukaan: 6 s x s = 6 s2 Panjang diagonal bidang: s√2 Panjang diagonal ruang: s√3 Luas bidang diagonal: s2√2



Balok Balok adalah suatu bangun ruang yang mempunyai tiga pasang sisi segi empat. Di mana pada masing-masing sisinya yang berhadapan mempunyai bentuk serta ukuran yang sama. Berbeda halnya dengan kubus di mana seluruh sisinya kongruen berbentuk persegi, dan pada balok hanya sisi yang berhadapan yang sama besar



1. Sisi berbentuk persegi dan juga persegi panjang sebanyak 6 buah, antara lain yaitu: o bidang alas kubus: ABCD o bidang atas kubus: EFGH o sisi tegak kubus: ABEF, CDGH, ADEH, dan BCFG. 2. Rusuk sebanyak 12 buah yang dapat dibagi menjadi 3 kelompok, antara lain: o panjang (p) yakni rusuk terpanjang dari alas balok serta rusuk lainnya yang sejajar: AB, DC, EF dan HG o lebar (l) adalah rusuk terpendek dari alas balok dan juga rusuk lainnya yang sejajar: BC, AD, FG, dan EH o tinggi (t) adalah rusuk yang tegak lurus terhadap panjang dan lebar balok: AE, BF, CG, dan DH. 3. Titik sudut berjumlah 8 titik (A, B, C, D, E, F, G, H). 4. Diagonal bidang sebanyak 6 buah (AC, BD, EG, FH, AF, BE, CH, DG, AH, DE, BG, dan CF). 5. Diagonal ruang yang berjumlah 4 buah (AG, BH, CE, dan DF).



6. Bidang diagonal yang berbentuk persegi panjang dengan jumlah 6 buah, antara lain: ABGH, EFCD, BCHE, FGDA, BFHG, dan AEGC.



Sifat Balok 1. Sedikitnya sebuah balok mempunyai dua pasang sisi yang berbentuk persegi panjang. 2. Rusuk-rusuk yang sejajar memiliki ukuran yang sama panjang: AB = CD = EF = GH, dan AE = BF = CG = DH. 3. Pada masing-masing diagonal bidang pada sisi yang berhadapan berukuran sama panjang, yakni: ABCD dengan EFGH, ABFE dengan DCGH, dan BCFG dengan ADHE yang mempunyai ukuran sama panjang. 4. Masing-masing diagonal ruang pada balok mempunyai ukuran sama panjang. 5. Masing-masing bidang diagonalnya berbentuk persegi panjang



Prisma



Prisma merupakan suatu bangun ruang tiga dimensi di mana alas dan juga tutupnya kongruen serta sejajar berbentuk segi-n. Sisi-sisi tegak dalam prisma memiliki beberapa bentuk, antara lain: persegi, persegi panjang, atau jajargenjang. Dilihat dari tegak rusuknya, prisma terbagi menjadi dua macam, yaitu: prisma tegak dan prisma miring. Prisma tegak merupakan prima di mana rusuk-rusuknya tegak lurus dengan alas dan juga tutupnya. Sementara untuk prisma miring merupakan prisma di mana rusuk-rusuk tegaknya tidak tegak lurus pada alas dan juga tutupnya. Apabila kita lihat dari bentuk alasnya, prisma terbagi lagi menjadi beberapa macam, yaitu: prisma segitiga, prisma segi empat, prisma segi lima, dan lain sebagainya.



Prisma terdiri atas bidang alas dan juga bidang atas yang sama serta kongruen, sisi tegak, titik sudut, dan tinggi. Tinggi prisma adalah jarak antara bidang alas serta bidang atas.



Sifat Prisma Memuat hubungan antara jumlah titik sudut ( T ), sisi ( S ), dan juga rusuk ( R ) pada prisma: S + T = R + 2



Jaring-Jaring Prisma



Limas



Limas merupakan suatu bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh alas berbentuk segi-n (dapat berupa segi tiga, segi empat, segi lima, dll) serta bidang sisi tegak berbentuk segitiga yang berpotongan di satu titik puncak



Bangun ruang limas terdiri atas bidang alas, sisi tegak, rusuk, titik puncak, dan juga tinggi. 











Jumlah sisi tegaknya sama dengan jumlah sisi alas. Apabila alasnya segitiga maka jumlah sisi tegaknya juga ada sebanyak 3 sisi, apabila alasnya berbentuk segi lima maka jumlah sisi tegaknya terdapat 5 sisi. Jumlah rusuknya adalah kelipatan dua dari bentuk alas. Apabila alasnya segitiga maka jumlah rusuknya sebanyak 6 rusuk, apabila alasnya berupa segiempat maka jumlah rusuknya sebanyak 8 rusuk. Tinggi limas adalah jarak terpendek dari titik puncak limas ke bidang alas. Tinggi limas selalu tegak lurus dengan titik potong sumbu simetri pada bidang alas.



Jaring-Jaring Limas



CONTOH 1. Suatu kubus mempunyai panjang rusuk 6 cm. Rusuk itu kemudian akan diperpanjang sebesar k kali panjang rusuk semula, sehingga volumenya berubah menjadi 1.728 cm3 Hitunglah nilai k dari panjang rusuk tersebut! Jawab: S kubus semula = 6 cm Vkubus akhir =SxSxS = S3 S = ∛1.728 = 12 cm Nilai k = 12 cm / 6 cm =2



Sehingga, Nilai k nya yaitu 2 kali. 2. Rusuk-rusuk balok bertemu pada suatu balok sebuah pojok balok berbanding 4:4:1 apabila volume balok 432 liter, luas permukaan balok yaitu Jawab: Total perbandingan dari volume = 4 x 4 x 1 = 16 R1 = 4/16 x 432 = 108 dm R2 = 4/16 x 432 = 108 dm R3 = 1/16 x 432 = 27 dm R1 : R2 : R3 = 108 : 108 : 27 = 12 : 12 : 3 Luas Permukaan = 2 Luas alas + (Keliling alas x tinggi) = 2 (12 x 12) + (4 x 12 x 3) (Sebab alas berbentuk persegi) = 288 + 144 = 432 dm2 Sehingga, luas permukaannya yaitu sama dengan volume yakni 432 dm. 3. Suatu balok mempunyai luas alas 48 cm2, luas sisi samping 30 cm2, serta luas sisi depan 40 cm2. Berapakah volume dari Balok tersebut? Jawab: Luas alas = 48 cm2 p x l = 48 …………………………….. persamaan (1) Luas samping = 30 cm2 l x t = 30 ……………………….persamaan (2) Luas depan = 40 cm2 p x t = 40 ……………………………persamaan (3)



Mencari Panjang



Ganti persamaan (1) dan (3) menjadi: p x l = 48 => l = 48/p ……….persamaan (4) p x t = 40 => t = 40/p ………..persamaan (5) Isikan ke persamaan (4 & 5) ke persamaan (2) lxt = 30 48/p x 40/p =30 1920/p2 = 30 p2 = 1920/30 p2 = 64 p = 8 cm Mencari Lebar dari persamaan (4) l = 48/p = 48/8 = 6 cm Mencari tinggidari persamaan (5)



t



= 40/p = 40/8 = 5 cm Sehingga, volume dari balok tersebut adalah: V =pxlxt = (8 x 6 x 5) x cm3 = 240 cm3 4. Alas dari suatu prisma berbentuk segitiga siku-siku dengan memiliki panjang sisi miring 35 cm serta panjang salah satu sisi siku-sikunya 21 cm. Jika tinggi prisma 20 cm, maka luas sisi prismanya yaitu … Jawab: Sisi tegak = A A2 = C2 – B2 = 352 – 212 = 1225 – 441 = 784 A = 28 cm Luas sisi Prisma = 2 x Luas alas + Keliling alas x tinggi = 2 x (1/2 x A x B) + (A + B + C) x tinggi = (2 x ½ x 21 x 28) + (28 + 21 + 35) x 20 = 588 + (84 x 20) = 2268 cm2 5. Tersedia kawat dengan panjang 2 m. Jika dibuat balok kerangka yang berukuran 18 cm x 12 cm x 9 cm, maka sisa dari kawat yang tidak terpakai yaitu Jawab: Panjang kawat yang tersedia = 2 m = 200 cm Panjang Kawat Balok yang diperlukan yaitu: = (4 x panjang) + (4 x lebar) + (4 x tinggi) = (4 x 18) + (4 x 12) + (4 x 9) = 72 + 48 + 36 = 156 cm Sehingga sisa kawat yang tidak terpakai yaitu = 200 cm – 156 cm = 44 cm 6. Tangki air berbentuk prisma persegi panjang memiliki panjang 3 m, lebar 80 cm, dan tingginya 60 cm. Tentukan volume tangki dalam satuan liter! Jawab: V



= = 3m×80cm×60cm = 300cm×80cm×60cm = 24.000cm2×60cm = 1.440.000km3



Statistika PETA KONSEP



Statistika



Pengukuran data



Ukuran Penyebaran data



   



Jangkauan Kuartil Jangkauan Interkuartil SimpanganKuartil



Ukuran Pemusatan data



  



Mean Median Modus



Data Data adalah kumpulan informasi yang diperoleh dari suatu pengamatan. Informasi ini bisa berupa angka, lambang, atau keadaan objek yang sedang diamati. Berdasarkan jenisnya, data dikelompokkan menjadi dua, yaitu: Data kualitatif, merupakan data yang menunjukkan sifat atau keadaan suatu objek dan tidak bisa diukur secara numerik. Contohnya, data kualitas beras bulan Februari 2020 yang kurang baik. Data kuantitatif, merupakan data yang menunjukkan ukuran suatu objek, disajikan dalam bentuk angka, dan nilainya dapat berubah-ubah. Contohnya, data pertumbuhan panjang tanaman kacang hijau pada percobaan Biologi.



Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana cara mengumpulkan, menyusun, menyajikan, menganalisis, dan merepresentasikan data. Untuk mengumpulkan dan mengolah data, kita perlu objek yang mau kita amati. Objek ini dibedakan menjadi dua, yaitu populasi dan sampel. Populasi merupakan keseluruhan objek yang menjadi sumber data penelitian. Populasi ini bisa berupa manusia, hewan, tumbuhan, peristiwa, dan lain sebagainya. Sementara itu, sampel adalah bagian dari populasi yang dapat menggambarkan sifat atau ciri populasi tersebut.



Penyajian data ini bertujuan untuk menyederhanakan bentuk dan jumlah data, sehingga dapat mudah dipahami oleh pembaca. Terdapat dua cara untuk menyajikan data, yaitu dalam bentuk tabel dan diagram. Di bawah ini, terdapat tabel yang menyediakan data 20 siswa dengan pilihan rasa es krim yang mereka sukai



Penyajian Data dalam Bentuk Tabel Penyajian data dalam bentuk tabel berarti mengumpulkan data-data ke dalam kelompok yang sama pada suatu baris atau kolom, sehingga setiap kelompok memiliki frekuensi (jumlah). TABEL FREKUENSI RASA ES KRIM YANG DISUKAI SISWA



Penyajian Data dalam Bentuk Diagram Penyajian data dalam bentuk diagram akan lebih menarik dibandingkan dalam bentuk tabel karena berbentuk gambar-gambar. Penyajian data bentuk ini dibedakan menjadi dua, yaitu diagram lingkaran dan diagram batang. 



Diagram Lingkaran



Pada diagram lingkaran, data-data akan disajikan dalam bentuk lingkaran. Data-data ini telah dibagi menjadi juring-juring berdasarkan kelompoknya masing-masing. DIAGRAM LINGKARAN RASA ES KRIM YANG DISUKAI SISWA



t







Diagram Batang



Pada diagram batang, data-data akan disajikan dalam bentuk persegi panjang yang memanjang ke atas dan memiliki lebar yang sama. Setiap batang tidak boleh saling menempel dan harus memiliki jarak yang sama. DIAGRAM BATANG RASA ES KRIM YANG DISUKAI SISWA



Pemusatan Data



1. Rata-rata atau Mean Rata-rata disebut juga mean dengan lambang ̅ (dibaca x bar). Kita bisa menghitung nilai rata-rata atau mean dari data tunggal dan data tunggal berkelompok atau berfrekuensi. Untuk data tunggal, kita mengumpulkan atau memperoleh data apa adanya dan tidak mengelompokkannya ke tabel frekuensi. Contoh: Nilai Ujian Matematika kelas VIII-A 5 9 7 8 6 5 6 8 9 5 7 8 7 9 8 6 6 5 8 8 6 5 7 5 7 8 6 5 5 7 5,6,7,8,9 dari data diatas disebut datum atau bisa dibilang kalo datum itu masing-masing angka yang ada pada suatu data. Untuk memperoleh nilai rata-rata kita bisa membagi jumlah semua nilai atau datum-nya dengan banyaknya data.



Rumus menghitung Mean data tunggal



Data diatas dapat dijadikan data berkelompok sebagai berikut:



Rumus menghitung Mean data tunggal berkelompok



Contoh Data nilai ulangan harian IPA kelas VIII-1. Berapa banyak siswa di kelas itu yang nilainya lebih dari rata-rata?



Penyelesaian: Cari nilai rata-rata pakai rumus data tunggal berkelompok



Maka, nilai di atas 6,625 adalah 7 sampai 10 sebanyak 21 siswa.



2. Median (Me) Median adalah datum yang letaknya di tengah dari suatu data, tapi dengan syarat datanya sudah diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar. Pada materi median, tiap rumus ada perbedaannya.



Contoh 1. Median dari data: 7, 8, 8, 9, 4, 3, 7, 9, 5, 7, 6, 5, 6 Penyelesaian: urutkan nilainya dari terkecil sampai terbesar 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9 (n =13 termasuk data ganjil)



Maka diperoleh hasilnya adalah 7. 2. Median dari data berikut adalah ...



Penyelesaian: Hitung banyaknya data yang ada



Jadi diperoleh nilai mediannya yaitu 7



3. Modus (Mo) modus atau nilai yang sering muncul, biasanya dilambangkan dengan Mo. Kalau data yang diperoleh merupakan data tunggal berkelompok atau data yang dikelompokkan ke dalam tabel maka bisa langsung lihat datum atau nilai dengan frekuensi paling tinggi. Tapi kalo data tunggal biasa bisa menggunakan tabel turus/ tally.



Contoh Modus dari data berikut adalah : 102, 108, 106, 107, 108 105, 107, 105, 108, 106 106, 106, 107, 102, 105 105, 102, 106, 105, 106 107, 106, 105, 106, 102 105, 107, 107, 106, 105 106, 106, 105, 107, 102 Penyelesaian : Agar lebih mudah, buat dalam bentuk tabel turus seperti ini:



Lihat dari frekuensi yang paling tinggi 11, jadi modus dari data itu adalah 106.



Penyebaran Data 1. Jangkauan Jangkauan suatu data adalah selisih antara datum tertinggi dan datum terendah. Misalkan jangkauan dilambangkan dengan J, datum tertinggi dilambangkan dengan xmax, dan datum terendah dilambangkan dengan xmin, sehingga diperoleh rumus:



= Contoh Diketahui tinggi badan siswa laki-laki kelas IX C sebagai berikut. 165, 160, 155, 170, 183, 160, 161, 162, 163, 163, 170. Tentukan jangkauan dari data di atas.



Penyelesaian: Untuk menentukan jangkauan, urutkan data tersebut dari yang terendah ke yang tinggi. 155, 160, 160, 161, 162, 163, 163, 165, 170, 170, 183. Setelah diurutkan, ternyata datum tertinggi adalah 183 dan datum terendah adalah 155, sehingga: = =



=2



2. Kuartil Ukuran yang membagi data menjadi empat kelompok yang sama banyak disebut kuartil. Dalam suatu data ada tiga jenis kuartil, yaitu kuartil bawah, kuartil tengah, dan kuartil atas. Untuk lebih jelasnya, perhatikan ilustrasi di bawah ini.



Langkah-langkah untuk menentukan kuartil dari suatu data adalah sebagai berikut.    



Urutkan data dari yang terendah ke yang tertinggi. Tentukan median (Q2) dari data tersebut. Tentukan kuartil bawah (Q1) dengan membagi data di bawah median (Q2) menjadi dua bagian sama banyak. Tentukan kuartil atas (Q3) dengan cara membagi data di atas median (Q2) menjadi dua bagian sama banyak.



Contoh Diketahui hasil pengukuran berat badan beberapa orang siswa (dalam kilogram) adalah sebagai berikut. 45, 56, 60, 68, 72, 78, 80, 54, 53, 52. Tentukan:   



kuartil bawah kuartil tengah (median) kuartil atas



Penyelesaian:



Untuk menentukan kuartil suatu data, urutkan data dari yang terendah ke yang tertinggi. 45, 52, 53, 54, 56, 60, 68, 72, 78, 80.



3. Jangkauan Interkuartil Jangkauan interkuartil merupakan selisih antara kuartil atas dan kuartil bawah dari suatu data. Jika jangkauan interkuartil dinotasikan QR, maka diperoleh persamaan:



4. Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (jangkauan semiinterkuartil) adalah setengah dari jangkauan interkuartil. Jika jangkauan semiinterkuartil dinotasikan dengan QD, maka diperoleh persamaan:



Peluang PETA KONSEP



Peluang



Peluang Teoritik



Peluang Empirik



Perhitungan rumus



Percobaan



Peluang 1. Pengertian Percobaan, Ruang Sampel, dan Titik Sampel



2. Menyusun Anggota Ruang Sampel



Peluang Empirik Apakah kamu tahu tentang peluang empirik? Sebelum kita memulai pembahasan coba kamu perhatikan gambar berikut!



Berapa peluang tim sepak bola Indonesia akan menang melawan Singapura? Bagaimana cara mencari peluang kemenangannya? Nah, cara mencari peluang kemenangan tim Indonesia melawan Singapura itu yang disebut dengan peluang empirik. Untuk memahami pengertian peluang empirik suatu kejadian dari suatu percobaan, marilah kita coba simulasi menggunakan sebuah dadu berikut



Nah, dari simulasi diatas, kita dapatkan kesimpulan bahwa: peluang empirik adalah “perbandingan antara frekuensi kejadian terhadap percobaan yang dilakukan”.



Contoh 1. Penyelesaian



2.



Penyelesaian



Peluang Teoritik Banyak anggota ruang sampel untuk 2 buah dadu adalah 36 buah. Lalu apa hubungannya dengan peluang teoritik? Ternyata, ruang sampel merupakan dasar untuk menentukannya.



Peluang teoritik adalah perbandingan antara frekuensi kejadian yang diharapkan terhadap frekuensi kejadian yang mungkin (ruang sampel). Biasanya peluang teoritik digunakan saat percobaan yang dilakukan hanya satu kali.



Contoh 1.



Penyelesaian



2.



Penyelesaian



Membandingkan Peluang Empirik dan Teoretik Peluang empirik atau peluang eksperimental adalah kemungkinan suatu kejadian berdasarkan hasil percobaan. Misalnya dari percobaan melempar koin sebanyak 3 kali, didapatkan hasil muncul angka 1 kali dan gambar 2 kali. Maka dari itu, peluang empirik munculnya angka adalah sebagai berikut.



Sementara itu, peluang teoretik digunakan untuk memprediksi banyak kemunculan suatu kejadian pada percobaan besar tanpa benar-benar melakukan percobaan tersebut. Rumus dari peluang teoretik adalah sebagai berikut.



Contoh Sebuah mata dadu dilempar 100 kali dengan frekuensi kemunculan tiap mata dadu sebagai berikut. Mata Dadu 1 2 3 4 5 6 Frekuensi 15 13 24 20 17 11 Tentukan peluang empirik dan peluang teorik dari kemunculan setiap mata dadu!



Misalkan kejadian munculnya tiap mata dadu sebagai berikut. E1 = Kejadian munculnya mata dadu „1‟ E2 = Kejadian munculnya mata dadu „2‟ E3 = Kejadian munculnya mata dadu „3‟ E4 = Kejadian munculnya mata dadu „4‟ E5 = Kejadian munculnya mata dadu „5‟ E6 = Kejadian munculnya mata dadu „6‟ Menggunakan rumus yang telah dipelajari sebelumnya, kita memperoleh hasil sebagai berikut.



Dari tabel tersebut, didapatkan kesimpulan bahwa semakin banyak percobaan yang dilakukan, maka nilai peluang empirik akan semakin mendekati nilai peluang teoretik.