Modul Matek 2 [PDF]

Citation preview

MODUL MATEMATIKA EKONOMI 2 LABORATORIUM MANAJEMEN DASAR



FAKULTAS EKONOMI UNIVERSITAS GUNADARMA PERIODE ATA 12/13



DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL………………………………………………………… 1 DAFTAR ISI………………………………………………………………… 2 KATA PENGANTAR…………………………………………………….... 5 DERIVATIF…………………………………………………………………. 5 1. Konsep Dasar Derivatif………………………………………………... 5 2. Hubungan Antara Fungsi Dan Derivatifnya………………………. 9 3. Penerapan Ekonomi………………………………………………….. 10 3.1 elastisitas ………………………………………………………….. 10 3.1.1 Elastisitas Harga………………………………………………. 10 3.1.2 Elastisitas Permintaan…………………………………………11 3.1.3 Elastisitas Penawaran………………………………………… 15 3.1.4 Elastisitas Produksi……………………………………………. 20 3.1.5 Elastisitas Biaya……………………………………………….. 24 3.1.6 Elastisitas Penerimaan……………………………………….. 29 3.1.7 Laba Maksimum……………………………………………….. 35 INTEGRAL TAK TENTU…………………………………………………. 35 1. Konsep Dasar Integral…………………………………………………. 35 2. Penerapan Ekonomi…………………………………………………… 36 2.1 Fungsi Biaya……………………………………………………….. 36 2.2 Fungsi Penerimaan……………………………………………….. 38 2.3 Fungsi Utilitas……………………………………………………… 41 2.4 Fungsi Produksi…………………………………………………… 42 2.5 Fungsi Konsumsi dan Tabungan……………………………….. 45 INTEGRAL TENTU……………………………………………………… 52 MATEK 2



Hal. 2



Periode ATA 12/13



1. Konsep Dasar Integral Tentu……………………………………….. 52 2. Penerapan Ekonomi………………………………………………… 52 a. Surplus Konsumen……………………………………………… 53 b. Surplus Produsen……………………………………………….. 60 FUNGSI TRANSEDENTAL 1…………………………………………. 70 1. Konsep Dasar Transedental……………………………………….. 70 2. Penerapan Ekonomi………………………………………………... 72 2.1 Model Bunga Majemuk………………………………………… 73 2.2 Model Pertumbuhan……………………………………………. 78 FUNGSI TRANSEDENTAL 2…………………………………………. 82 1. Kurva Gompertz……………………………………………………... 82 2. Kurva Belajar………………………………………………………… 85 DAFTAR PUSTAKA……………………………………………………. 90



MATEK 2



Hal. 3



Periode ATA 12/13



KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas rahmat, hidayah,



dan



karunia



yang



diberikan-Nya,



sehingga



penulis



dapat



menyelesaikan modul ini tepat pada waktunya. Dalam usaha meningkatkan kegunaan modul ini kepada mahasiswa dan meningkatkan mutu pengajaran dalam perkuliahan, maka modul ini dapat digunakan untuk memenuhi kebutuhan mahasiswa dalam pembelajaran. Modul



praktikum



ini



merupakan



penyempurnaan



dari



modul



praktikum sebelumnya dan diharapkan dengan adanya modul praktikum ini dapat



meningkatkan pemahaman dasar materi praktikum serta sebagai



pedoman bagi mahasiswa dalam melakukan penelitian-penelitian ekonomi. Selain itu, modul ini juga dapat digunakan sebagai dasar suatu pandangan mahasiswa melihat keadaan perekonomian dan disesuaikan dengan teoriteori ekonomi yang ada. Dengan penuh kesadaran, bahwa modul praktikum ini masih perlu disempurnakan lagi, sehingga saran dan kritik untuk penyajian serta isinya sangat diperlukan. Akhir kata, kami ucapkan terimakasih kepada tim Litbang Matematika Ekonomi 2 - Laboratorium Manajemen Dasar yang turut berpartisipasi dalam penulisan modul praktikum ini. Akhir kata, penyusun mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu baik secara langsung maupun tidak langsung.



Jakarta,



2012



Tim Litbang ATA 12/13 MATEK 2



Hal. 4



Periode ATA 12/13



DERIVATIF 1. KONSEP DASAR TURUNAN Turunan sehubungan



(derivatif)



membahas



tingkat



perubahan



suatu



fungsi



dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang



bersangkutan. Turunan diperoleh dengan menentukan limit dari hasil bagi diferensi, dimana : x 0. y Jika y = f ( x ), maka Δy = f ( xo + Δx ) - f ( xo ) Δx



x



Δy / Δx merupakan hasil bagi perbedaan atau koefisien diferensi dan menggambarkan tingkat perubahan variabel terikat dari fungsi y = f ( x ), dirumuskan : y = f (x) = lim Δy/Δx = lim f (x + Δx) f(x) Δx 0 Δx  0



1.1



Δx



Kaidah Diferensiasi Berikut ini kaidah diferensiasi dalam berbagai bentuk fungsi :



1. Diferensiasi fungsi konstanta Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka y’ = 0 Contoh : y = 4 maka y’ = 0 2. Diferensiasi fungsi linear Jika y = a + bx, dimana a adalah konstanta, maka y’ = b Contoh : y = 25 + 12x maka y’ = 12 3. Diferensiasi fungsi pangkat Jika y = axn, dimana a adalah konstanta, maka y’ = n.a xn-1 MATEK 2



Hal. 5



Periode ATA 12/13



Contoh : y = 5x4 maka y’ = 5.4x4-1 = 20x3 4. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi Jika y = Jika y = u ± v dimana u = g(x) dan v = n (x), maka y’ = u’ ± v’ Contoh : y = 8x3 – 8x2 u = 8X3 , u’ = 8.3x3-1 = 24x2 v = – 8x2, v’ = -8.2x2-1 = -16x karena y’= u’ ± v’ maka y’ = 24x2 – 16x 5. Diferensiasi perkalian a. Perkalian fungsi dan konstanta Jika y = k.u , dimana u = g (x), maka y’= k.u’ Contoh : y = 8.7x2 u = 7x2 u’ = 7.2x = 14x karena y’ = k.u’ maka y’ = 8.14x = 112x b. Perkalian fungsi Jika y = u.v , dimana u = g (x) dan v = h (x), maka y’ = u’.v + u.v’ Contoh : y = ( 2x6 – 2 )( 3x3 – 7 ) u = ( 2x6 – 2 ) u’ = 2.6x6-1 = 12x5 v = ( 3x3 – 7 ) u’ = 3.3x3-1 = 9x2 karena y’ = u’.v + u.v’ maka y’ = (12x5)(3x3 – 7) + (2x6 – 2)(9x2) = 36x8 – 84x5 + 18x8 – 18x2 y’ = 54x8 – 84x5 – 18x2 6. Diferensiasi hasil bagi fungsi Jika y = u , dimana u = g (x) dan v = h (x), maka y’ = u’.v – u.v’ v



v2



Contoh : y = (9x2 – 5) maka y’ = (18x)(4x3 – 6) – (9x2 – 5)(12x2) (4x3 – 6) MATEK 2



(4x3 – 6)2 Hal. 6



Periode ATA 12/13



y’ = 72x4 – 108x – 108x5 + 60x3 (4x3 – 6)2 y’ = -108x5 – 72x4 – 60x3 -108x (16x6 – 48x3 + 36) 7. Diferensiasi fungsi komposisi ( dalil rantai ) Jika y = f (u) sedangkan u = g (x) , dengan kata lain y = f [ g (x) ], maka dy = dy . du dx du dx contoh : y = ( 6x2 + 4 )2 misalkan : u = 6x2 +4 , sehingga y = u2 du / dx = 12x dy / du = 2u maka dy = dy . du = 2u . 12x = 2 (6x2 + 4) (12x) = 144x3 + 96x dx



du dx



contoh: y = √3x2 + 4x – 5 y = (3x2 + 4x - 5)1/2 misalkan : u = 3x2 + 4x -5 , sehingga y = u1/2 du/dx = 6x + 4 dy/du = ½ u-1/2 maka dy = dy . du dx



du dx = ½ u-1/2. (6x + 4) = ½ (3x2+ 4x -5)-1/2 . (6x + 4) = 1 . 1 . (6x + 4) 2 √3x2 + 4x – 5 = 6x + 4 2√3x2 + 4x – 5



8. Derivatif tingkat tinggi Derivatif ke-n dari fungsi y = f (k) diperoleh dengan mendiferensiasikan sebanyak n kali. Derivatif ke-n dilambangkan : dny atau fn(x) atau dn (y) dxn MATEK 2



Hal. 7



dx Periode ATA 12/13



Contoh : y = 5x5 + 4x4 + 3x3 + 2x2 + x maka y’ atau dy / dx = 25x4 + 16x3 + 9x2 + 4x + 1 y’’atau d2y/+ d2y = 100x3 + 48x2 + 18x + 4 ………..dst 9. Diferensiasi implisif Adalah suatu metode diferensiasi dengan mendiferensiasikan f (x,y) = 0 suku demi suku dengan memandang y sebagai fungsi x, kemudian dari persamaan tersebut ditentukan nilai dy/dx . Contoh : xy2 - x2 + y = 0 didiferensiasikan terhadap x, maka : 1.y2 + x.2y dy/dx – 2x + dy / dx = 0 ( 2xy + 1 ) dy/dx = - y2 + 2x dy/dx



= - y2 + 2x 2xy + 1



10. Derivatif fungsi logaritmik 



y = ln x  dy/dx = 1/x y = ln u , dimana u = g (x) dy



= du . 1 = u



dx



dx u







u



y = alog x dy/dx = 1/ aln a



Contoh : jika y = ln ( 3 – 3x2 ) maka tentukan dy / dx u = 3 – 3x2 du / dx = u’ = -6x dy = u’ = dx



u



-6x



3 – 3x2



11. Derivatif fungsi eksponensial 



y = ex dy/dx = ex







y = ax dy/dx = ax ln a



12. Derivatif fungsi trigonometrik Beberapa turunan fungsi trigonometrik yang penting adalah :  MATEK 2



y = sin x dy/dx = cos x Hal. 8



Periode ATA 12/13







y = cos x dy/dx = - sin x







y = tg x dy/dx = sec2 x







y = ctg x dy/dx = - cosec2 x







y = sec x dy/dx = sec x . tg x







y = cosec x dy/dx = - cosec x . ctg x







Catatan : sec x = 1 / cos x cos x = 1 / sin x



2. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA 2.1. Menentukan persamaan Garis singgung dan Garis Normal Langkah – langkah untuk mencari Garis singgung dan Garis normal adalah : 1. Tentukanlah titik singgung ( Xo , Yo ) 2. Cari koefisien arah m = f ‘ (x) 3. Cari Garis singgung dengan rumus : y - yo = m (x – xo) 4. Cari Garis Normal dengan rumus : y - yo = -1 ( x – xo ) m 



Catatan : Garis Normal adalah garis yang tegak lurus pada Garis Singgung kurva



2.2. Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun 1. Fungsi y = f (x) monoton naik jika f (x) > 0 2. Fungsi y = f (x) monoton turun jika f (x) < 0 3. Nilai stasioner Jika diketahui y = f (x) , maka pada f (x) = 0 , titik (x , y) merupakan Nilai Stasioner Jenis – jenis Titik Stasioner adalah : Jika f (x) > 0, maka (x , y) merupakan titik balik minimum Jika f (x) < 0, maka (x , y) merupakan titik balik maksimum Jika f (x) = 0, maka (x , y) merupakan titik balik belok MATEK 2



Hal. 9



Periode ATA 12/13



Contoh : Diketahui TR = 100Q - 5Q2 , tentukanlah nilai maksimum



atau



minimum dari fungsi tsb ! Jawab : Karena TR’ = 0 Maka TR’ = 100 – 10Q = 0 10Q = 100 jadi Q = 10 TR = -10 (TR < 0, merupakan titik balik maksimum) Nilai Maksimum TR = 100Q - 5Q2 = 100(10) - (10)2 = 900



3. PENERAPAN EKONOMI 3.1 ELASTISITAS 3.1.1 Elastisitas harga Adalah perbandingan antara perubahan relative dari jumlah dengan perubahan relative dari harga. Untuk menentukan elastisitas harga, ada dua macam cara yang digunakan yaitu : 1. Elastisitas titik ( point elasticity) ƞ=



=



∙



2. Elastisitas busur ( Arc Elasticity) Merupakan elastisitas pada dua titik atau elastisitas pada busur kurva. Kelemahannya : timbulnya tafsiran ganda. ƞ=



∙



ƞ=



∙



ƞ=



∙



Elastisitas titik dan busur dipakai untuk menghitung : a. Elastisitas harga permintaan, ƞd < 0 (negative) MATEK 2



Hal. 10



Periode ATA 12/13



b. Elastisitas harga penawaran, ƞs > 0 (positif )



Dari hasil perhitungan, nilai elastisitas akan menunjukkan : 



ƞ>1



= elastis







ƞ Qe = -5 + P



= -5 + P Hal. 57



Qe = -5 + 9 Periode ATA 12/13



3P = 27



Qe = 4



Pe = 9



Karena fungsi permintaan masih dalam bentuk fungsi (P) : Qd = 22 – 2P , untuk mengunakan rumus pertama kita ubah dulu menjadi fungsi (Q) => Pd = 11 – 0,5Q , sehingga : Pd = 11 – 0,5Q Jika



Q = 0 => ˆP = 11 P = 0 => Q = 22



Qe



Cs =



f (Q) dQ – Qe . Pe 0



=



4



0



11 – 0,5Q dQ – (4 . 9)



= [-0,25Q2 + 11Q]40 - 36 = [-0,25 (4)2 + 11 (4) ] – [-0,25 (0)2 + 11(0) ] - 36 = 40 – 36 = 4 Analisis : Jadi, Bapak Sukimin memperoleh surplus sebesar Rp. 4 karena bapak Sukimin dapat membeli barang dengan harga Rp. 9 , Padahal sebenarnya ia sanggup membayar lebih tinggi dari harga keseimbangan pasar.



LANGKAH–LANGKAH MENGGUNAKAN SOFTWARE EC-MATH : a. Klik software EC-Math pada desktop,kemudian akan muncul tampilan seperti dibawah ini :



MATEK 2



Hal. 58



Periode ATA 12/13



b. Kemudian klik materi Integral Tentu untuk menyelesaikan soal diatas,lalu akan muncul tampilan seperti dibawah ini :



MATEK 2



Hal. 59



Periode ATA 12/13



c. Untuk menyelesaikan soal diatas dengan Cara 1 (fungsi (Q) ), pilihlah submateri Surplus Konsumen 1 dengan cara diklik, kemudian inputlah data yang diperlukan sesuai dengan soal diatas ke dalam software seperti dibawah ini :



* Keterangan : - Untuk menggunakan Surplus Konsumen 1, apabila pada soal yang diketahui adalah fungsi (P), ubahlah fungsi tersebut menjadi fungsi (Q) terlebih dahulu. - Pilih jumlah variabel Q sesuai dengan banyaknya



koefesien yang



ada pada fungsi (Q). - Nilai Qe dan Pe dihitung secara manual jika pada soal belum diketahui.



d. Setelah data yang dibutuhkan diinput ke dalam software,klik hitung untuk mengetahui hasilnya, maka akan muncul outputnya seperti berikut : MATEK 2



Hal. 60



Periode ATA 12/13



-



Cara 2 Dik



: Qd = 22 – 2P dan Qs = -5 + P



Dit



: Cs?



Jawab



: Qd = Qs



Pe = -9 => Qe = -5 + P



22 - 2P = -5 + P



Qe = -5 + 9



3P = 27



Qe = 4



Pe = 9 Qd = 22 – 2P



Jika



Q = 0 => ^P = 11 P = 0 => Q = 20



^P



Cs =



f (P) dP Pe



= 119[22 - 2P] dP = [22P – P2]119 MATEK 2



= [22 (11) – 1 (11)2] – [22 (9) – 1 (9)2] Hal. 61



Periode ATA 12/13



= 121 – 117 = 4 Analisis : Jadi, Bapak Sukimin memperoleh surplus sebesar Rp. 4 karena Bapak Sukimin dapat membeli barang dengan harga Rp. 9 , Padahal sebenarnya ia sanggup membayar lebih tinggi dari harga keseimbangan pasar. LANGKAH – LANGKAH MENGGUNAKAN SOFTWARE ECMATH : a. Klik software EC-Math pada desktop,kemudian akan muncul tampilan seperti dibawah ini :



b. Kemudian klik materi Integral Tentu untuk menyelesaikan soal diatas,lalu akan muncul tampilan seperti dibawah ini :



MATEK 2



Hal. 62



Periode ATA 12/13



c. Untuk menyelesaikan soal diatas dengan Cara 2 (fungsi (P) ), pilihlah submateri Surplus Konsumen 2 dengan cara diklik, kemudian inputlah data yang diperlukan sesuai dengan soal diatas ke dalam software seperti dibawah ini :



MATEK 2



Hal. 63



Periode ATA 12/13



* Keterangan : - Untuk menggunakan Surplus Konsumen 2, apabila pada soal yang diketahui adalah fungsi (Q), ubahlah fungsi tersebut menjadi fungsi (P) terlebih dahulu. - Pilih jumlah variabel Q sesuai dengan banyaknya



koefesien yang



ada pada fungsi (Q). - Nilai ^P dan Pe dihitung secara manual jika pada soal belum diketahui.



d. Setelah data yang dibutuhkan diinput ke dalam software,klik hitung untuk mengetahui hasilnya, maka akan muncul outputnya seperti berikut :



MATEK 2



Hal. 64



Periode ATA 12/13



Gambar kurva Cs : P Surplus konsumen atau luas area berikut sebesar 4 11



9



0



b.



Q 22



4



Surplus Produsen Yaitu mencerminkan suatu keuntungan lebih yang dinikmati oleh produsen tertentu dimana ia sebenarnya mampu mejual barang yang ditawarkan lebih rendah dari harga pasar (Pe). Besarnya surplus produsen (Ps) ditunjukkan oleh luas area diatas kurva penawaran (P = f(Q)) tetapi dibawah tingkat harga pasar (Pe) rentang wilayahnya dibatasi oleh Q = 0 sebagai batas bawah dan Q = Qe sebagai batas atas. Catatan : Untuk mencari besarnya suplus konsumen yang digunakan adalah fungsi penawaran. Rumus Surplus Produsen : Qe



Pe



Ps = Qe . Pe – f (Q) dQ = f (P) dP 0



MATEK 2



Hal. 65



^P



Periode ATA 12/13



Keterangan : Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan di pasar Pe = Tingkat Harga keseimbangan di pasar ^P = Tingkat harga pada saat Q=0 Contoh soal: Dalam sebuah Toko AlayMart diketahui fungsi penawaran alat kosmetik ditunjukkan oleh persamaan Ps = 25 + Q dan kuaantitas keseimbangan 5 pack. Berapakah besarnya surplus yang diperoleh oleh Miss. Cihuy sebagai penjual kosmetik serta Analisilah ! Jawab : -



Cara 1 Dik : P = 25 + Q , Qe = 5 Dit : Ps? Jawab



:



Qe = 5 => P



= 25 + Q = 25 + 5



Pe = 30 P = 25 + Q Jika Q = 0 => ˆP = 25 P = 0 => Q = - 25 Qe



Ps = Qe . Pe -



f (Q) dQ 0



= (5 . 30) - 50 25 + Q dQ = 150 - 0,5Q2 + 25Q50 = 150 - [0,5 (5)2 + 25 (5)] – [0,5 (0)2 + 25 (0)] = 150 – (12,5 + 125) = 12,5  13 MATEK 2



Hal. 66



Periode ATA 12/13



Analisis : Jadi, Miss. Cihuy memperoleh surplus sebesar Rp. 13 karena Miss. Cihuy dapat menjual barang dengan harga Rp. 30. Padahal sebenarnya ia sanggup menjual dengan harga yang lebih rendah dari harga keseimbangan pasar. LANGKAH – LANGKAH MENGGUNAKAN SOFTWARE ECMATH : a. Klik software EC-Math pada desktop,kemudian akan muncul tampilan seperti dibawah ini :



b. Kemudian klik materi Integral Tentu untuk menyelesaikan soal diatas,lalu akan muncul tampilan seperti dibawah ini :



MATEK 2



Hal. 67



Periode ATA 12/13



c. Untuk menyelesaikan soal diatas dengan Cara 1 (fungsi (Q) ), pilihlah submateri Surplus Produsen 1 dengan cara diklik, kemudian inputlah data yang diperlukan sesuai dengan soal diatas ke dalam software seperti dibawah ini :



MATEK 2



Hal. 68



Periode ATA 12/13



* Keterangan : - Untuk menggunakan Surplus Produsen 1, apabila pada soal yang diketahui adalah fungsi (P), ubahlah fungsi tersebut menjadi fungsi (Q) terlebih dahulu. - Pilih jumlah variabel Q sesuai dengan banyaknya



koefesien yang



ada pada fungsi (Q). - Nilai Qe dan Pe dihitung secara manual jika pada soal belum diketahui.



d. Setelah data yang dibutuhkan diinput ke dalam software,klik hitung untuk mengetahui hasilnya, maka akan muncul outputnya seperti berikut :



MATEK 2



Hal. 69



Periode ATA 12/13



-



Cara 2 Dik



: P = 25 + Q , Pe = 5



Dit



: Ps?



Jawab : Qe = 5 => P



= 25 + Q = 25 + 5



Pe = 30 Karena fungsi penawaran masih dalam bentuk fungsi (Q) : P = 25 + Q , untuk mengunakan rumus kedua kita ubah dulu menjadi fungsi (P) => Qs = P – 25 , sehingga : Qs = P – 25 Jika Q = 0 => ˆP = 25 P = 0 => Q = -25 Pe



Ps =



f (P) dP ^P



MATEK 2



Hal. 70



Periode ATA 12/13



= 30 25[P - 25] dP = [-25P + 0,52]3025 = [-25 (30) – 0,5 (30)2] – [-25 (25) – 0,5 (25)2] = -300 – (-312,5) = 12,5  13 Analisis : Jadi, Miss. Cihuy memperoleh surplus sebesar Rp. 13 karena Miss. Cihuy dapat menjual barang dengan harga Rp. 30. Padahal sebenarnya ia sanggup menjual dengan harga yang lebih rendah dari harga keseimbangan pasar. LANGKAH – LANGKAH MENGGUNAKAN SOFTWARE ECMATH : a. Klik software EC-Math pada desktop,kemudian akan muncul tampilan seperti dibawah ini :



b. Kemudian klik materi Integral Tentu untuk menyelesaikan soal diatas,lalu akan muncul tampilan seperti dibawah ini :



MATEK 2



Hal. 71



Periode ATA 12/13



c. Untuk menyelesaikan soal diatas dengan Cara 2 (fungsi (P) ), pilihlah submateri Surplus Produsen 2 dengan cara diklik, kemudian inputlah data yang diperlukan sesuai dengan soal diatas ke dalam software seperti dibawah ini :



MATEK 2



Hal. 72



Periode ATA 12/13



* Keterangan : - Untuk menggunakan Surplus Produsen 2, apabila pada soal yang diketahui adalah fungsi (Q), ubahlah fungsi tersebut menjadi fungsi (P) terlebih dahulu. - Pilih jumlah variabel Q sesuai dengan banyaknya



koefesien yang



ada pada fungsi (Q). - Nilai ^P dan Pe dihitung secara manual jika pada soal belum diketahui.



d. Setelah data yang dibutuhkan diinput ke dalam software,klik hitung untuk mengetahui hasilnya, maka akan muncul outputnya seperti berikut :



MATEK 2



Hal. 73



Periode ATA 12/13



Gambar kurva Ps : P



30



25



Q - 25



MATEK 2



0



Hal. 74



5



Periode ATA 12/13



c. Surplus Konsumen dan Surplus Produsen Dalam Grafik



MATEK 2



Hal. 75



Periode ATA 12/13



FUNGSI TRANSEDENTAL 1 1. KONSEP TRANSEDENTAL Konsep transedental merupakan hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan. Konsep ini berguna untuk menentukan tingkat pertumbuhan pada periode yang akan datang. Yang termasuk ke dalam fungsi transedental adalah fungsi eksponensial, fungsi logaritmik, fungsi trigonometric, fungsi siklometrik, dan fungsi berpangkat irrasional. Namun, pokok pembahasan dalam modul ini hanya pada fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik.



1.1.



FUNGSI EKSPONENSIAL Fungsi eksonensial adalah fungsi dari suatu konstanta berpangkat variabel bebas. 



Bentuk fungsi eksponensial yang paling sederhana adalah : dimana :



y = nx 



n>0



Bentuk fungsi eksponensial yang lebih umum adalah :



y = ne



kx



+c



dimana : n ≠ 0 e = 2,71828 k, c adalah konstanta



Ln e = 1 Ln 1 = 0 Contoh soal : Tentukanlah titik potong kurva eksponensial y = e0,45x - 2 pada masingmasing sumbu dan hitunglah f(2)! Jawab : 



Pada sumbu x ; y = 0 e0,45x – 2



MATEK 2



=0 Hal. 76



Periode ATA 12/13



e0,45x



=2



0,45x



Ln e



= Ln 2



0,45x Ln e



= Ln 2



0,45x



= 0,693



x



= 1,54



Titik potongnya (1,54 ; 0) 



Pada sumbu y ; x = 0 y = e0,45(0) – 2 y = e0 – 2 y=1–2 y = -1 Titik potongnya (0 , -1)







Untuk x = 2 y = e0,45(2) – 2 y = e0,9 – 2 y = 2,46 – 2 y = 0,46 Ttitik potongnya (2 ; 0,46)



1.2.



FUNGSI LOGARITMIK Fungsi logaritmik merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial, Dengan kata lain, fungsi logaritmik merupakan fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan logaritma. 



Bentuk funngsi logaritmik yang paling sederhana : dimana : n



y = logx 



n≠1



Bentuk fungsi logaritmik yang lebih umum :



y = a ln(1+x) + b



MATEK 2



n>0



Hal. 77



dimana :



x > -1



Periode ATA 12/13



Contoh Soal : Tentukanlah titik potong kurva logaritmik y = -0,2 Ln(1 + x) + 0,4 pada masing-masing sumbu dan hitunglah f(2)! Jawab : 



Pada sumbu x ; y = 0 -0,2 Ln(1 + x) + 0,4



=0



-0,2 Ln(1 + x)



= -0,4



Ln(1 + x)



=2



1+x



= e2



1+x



= 7,389



x



= 6,389



Titik potongnya (6,389 ; 0) 



Pada sumbu y ; x = 0 y = -0,2 Ln(1 + 0) + 0,4 y = -0,2 Ln 1 + 0,4 y = -0,2 (0) + 0,4 y = 0,4 Titik potongnya (0 ; 0,4)







Untuk x = 2 y = -0,2 Ln(1 + 2) + 0,4 y = -0,2 Ln 3 + 0,4 y = -0,2 (1,099) + 0,4 y = -0,22 + 0,4 y = 0,18 Titik potongnya (2 ; 0,18)



2. PENERAPAN EKONOMI Banyak model-model bisnis dan ekonomi sangat relevan ditelaah dengan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik, khususnya model-model yang



MATEK 2



Hal. 78



Periode ATA 12/13



berkenaan



dengan



aspek



pertumbuhan.



Model-model



tersebut



diantaranya :



2.1 Model Bunga Majemuk Modul bunga majemuk tidak lain merupakan bentuk fungsi eksponensial. Model ini digunakan untuk menghitung jumlah di masa mendatang dari jumlah sekarang suatu pinjaman atau tabungan. Jika suatu modal awal P dibunga majemukkan secara tahunan pada suku bunga i selama n tahun, maka jumlah di masa mendatang Fn adalah :



Fn = P(1 + i)n Tetapi jika bunga dimajemukkan sebanyak m kali dalam setahun, maka jumlah di masa mendatang Fn adalah :



F n = P(1 + ) m.n dimana : Fn



= Jumlah pinjaman atau tabungan setelah n tahun



P



= Jumlah sekarang (tahun ke – 0)



I



= Tingkat bunga per tahun



m



= Frekuensi pembayaran bunga dalam setahun



n



= Jumlah tahun



Dalam hal ini Fn merupakan variabel terikat (dependent variable) dan n sebagai variabel bebas (independent variable). Dengan demikian, prinsip-prinsip penyelesaian persamaan eksponensial relevan diterapkan terhadap model ini.



MATEK 2



Hal. 79



Periode ATA 12/13



Selanjutnya, apabila bunga dimajemukkan secara kontinu selama satu tahun (m sangat besar / bunga diperhitungkan secara terus menerus atau sering), maka jumlah di masa mendatang Fn adalah : dimana : e = 2,71828



Fn ≈ P.ei.n



Bentuk ini dinamakan model bunga majemuk sinambung (continuous compound interest). Bunga majemuk sinambung dalam kasus pinjammeminjam seringkali dipraktekkan oleh para “pelepas uang” atau “rentenir” atau “lintah darat” yang kadang-kadang menetapkan atau memperhitungkan bunga atas uang yang dipinjamkannya secara harian (m = 360). Oleh karena itu, model ini dapat pula disebut “model lintah darat” Contoh soal : Pak Hasan menabung di Bank sebesar Rp. 5.000.000 dengan bunga 5% per tahun. Berapakah besarnya nilai uang pak Hasan setelah 4 tahun, jika bunga diperhitungkan : a. setiap semester b. setiap per jam Jawaban : Dik :



P = 5.000.000 i = 5% = 0,05 m = 2 (semester) n=4



Dit : F4 semester dan per jam Jawab : a. setiap semester Tanpa menggunakan logaritma F4 = 5.000.000 (1 + (0,05/2))2*4 F4 = 5.000.000 (1,025)8 F4 = 5.000.000 (1,2184) MATEK 2



Hal. 80



Periode ATA 12/13



F4 = 6.092.000 Dengan menggunakan logaritma F5 = 5.000.000 (1,025)8 F5 = 5.000.000 (1,218) Log F4 = log 5.000.000 + log 1,2184 Log F4 = 6,699 + 0,0857 Log F4 = 6,7847 F4 = 6.091.159 Analisis : Jadi, besarnya nilai uang pak Hasan setelah 4 tahun, jika bunga diperhitungkan setiap semester adalah Rp. 6.092.000



b. Bunga dibayar setiap jam Tanpa menggunakan logaritma F4 = P . ei.n F4 = 5.000.000 x (2,71828)0,05*4 F4 = 5.000.000 x (2,71828)0,2 F4 = 5.000.000 x 1,2214 F4 = 6.107.000 Dengan menggunakan logaritma natural F5 = 5.000.000 x (2,71828)0,2 F5 = 5.000.000 x 1,2214 Ln F4 = ln 5.000.000 + ln 1,2214 Ln F4 = 15,425 + 0,1999 Ln F4 = 15,6249 ≈ 15,625 F4 = 6.107.328,491 Analisis : Jadi, besarnya nilai uang pak Hasan setelah 4 tahun, jika bunga diperhitungkan setiap semester adalah Rp. 6.092.000, dan jika bunga diperhitungkan setiap jam adalah Rp 6.107.000 MATEK 2



Hal. 81



Periode ATA 12/13



LANGKAH-LANGKAH



PENGERJAAN



MENGGUNAKAN



SOFTWARE EC-MATH 1. Buka software EC-Math, lalu klik Transedental



2. Klik lagi Transedental, lalu pilih Model Bunga Majemuk



MATEK 2



Hal. 82



Periode ATA 12/13



3. Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu klik hasil maka akan muncul jawaban dari data yang diketahui.



Catatan : MATEK 2



Hal. 83



Periode ATA 12/13



Hasil perhitungan secara manual dengan menggunakan software ECMath mengalami perbedaan karena pada perhitungan secara manual menggunakan 3 angka dibelakang koma, sedangkan pada software EC-Math tidak.



2.2 Model Pertumbuhan Model



pertumbuhan



tak



lain



juga



merupakan



bentuk



fungsi



eksponensial. Model ini tidak saja relevan bagi penaksiran variabel kependudukan, tetapi juga dapat diterapkan untuk menaksir variabelvariabel lain yang berkenaan dengan pertumbuhannya.



Pt = P1 . Rt-1



R=1+r



dimana : Pt



= Jumlah penduduk pada tahun ke - t



t



= Jumlah tahun



P1 = Jumlah pada tahun pertama (basis) r



= Persentase pertumbuhan per tahun



Agar model di atas dapat diterapkan secara umum terhadap segala macam variabel sehingga jalan pikiran kita tidak semata-mata terpaku pada persoalan kependudukan, maka perlu sedikit perubahan notasi menjadi :



Nt = N1 . Rt-1



R=1+r



dimana :



MATEK 2



N



= Variabel yang sedang diamati



r



= persentase pertumbuhan per satuan waktu



t



= indeks tahun



Hal. 84



Periode ATA 12/13



Contoh soal : Produk Domestik Bruto Indonesia pada tahun 1985 menurut harga konstan tahun 1971 tercatat sebesar Rp. 20.504 milyar. Jika dalam periode 1985 – 1989 perekonomian bertumbuh dengan rata-rata 4% per tahun, berapa PDB Indonesia pada tahun 1989? Dik :



N1 = 20.504 t=5 r = 4% = 0,04 R = 1 + 0,04 = 1,04



Dit : N5 = … ? Jawab : Tanpa menggunakan logarima Nt = N1 x R(t-1) N5 = 20.504 x 1,04(5-1) N5 = 20.504 x 1,17 N5 = 23.989 Dengan menggunakan logaritma N5 = 20.504 x 1,04(5-1) N5 = 20.504 x 1,17 Log N5 = log 20.504 + log 1.17 Log N5 = 4,312 + 0,068 Log N5 = 4,38 N5 = 23.988,33 Analisis : Jadi, PDB Indonesia pada tahun 1989 adalah Rp, 23.989 milyar.



LANGKAH-LANGKAH



PENGERJAAN



MENGGUNAKAN



SOFTWARE EC-MATH 1. Buka software EC-Math, lalu klik Transedental



MATEK 2



Hal. 85



Periode ATA 12/13



2. Klik lagi Transedental, lalu pilih Model Pertumbuhan Majemuk



MATEK 2



Hal. 86



Periode ATA 12/13



3. Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu klik hasil maka akan muncul jawaban dari data yang diketahui.



Catatan : Hasil perhitungan secara manual dengan menggunakan software ECMath mengalami perbedaan karena pada perhitungan secara manual menggunakan 3 angka dibelakang koma, sedangkan pada software EC-Math tidak.



MATEK 2



Hal. 87



Periode ATA 12/13



Fungsi Transedental 2 1. Kurva Gompertz Metode ini digunakan untuk menganalisis variabel yang meningkat secara eksponensial selama jangka waktu tertentu, tetapi sesudah itu peningkatannya sangat kecil atau bahkan tidak berarti meskipun waktu terus berjalan.



N = c . a^(r^t) di mana : N = Jumlah variabel yang diamati. c = Batas jenuh pertumbuhan. a = Proporsi pertumbuhan awal. r = Tingkat pertumbuhan rata-rata (0 < r 0



Konstanta m melambangkan batas jenuh y, atau y tertinggi yang dapat tercapai . 



Prilaku Produksi : P = Pm – Ps. e – r.t



di mana : P



= Produksi persatuan waktu setelah t satuan waktu.



Pm = Kapasitas produksi maksimum persatuan waktu. Ps = Sisa kapasitas produksi pada permulaan kegiatan produksi (pada t = 0). t



= Indeks waktu.



r



= Tingkat pertumbuhan produksi. 



MATEK 2



Prilaku Biaya : Hal. 91



Periode ATA 12/13



C = Cm – Cs . e – r.t



di mana : C



= Biaya total persatuan waktu.



Cm =Biaya maksimum yang diperkenankan (anggaran yang disediakan) persatuan waktu. Cs = Sisa anggaran pada permulaan periode (pada t = 0). t



= Indeks waktu.



r



= Persentase kenaikan biaya persatuan waktu.



Contoh Soal : Sebuah mesin pencetak batu bata dapat memproduksi maksimal 200 unit batu bata. Pada awalnya mesin tersebut hanya mampu beroperasi 54% dari kapasitas yang ditentukan. Joko yang mempunyai mesin tersebut yakin bahwa produksi dapat ditingkatkan 4% setiap bulannya. Tentukanlah : a. Bentuklah persamaan perilaku produksi bulanan mesin cetak tersebut ! b. Berapa kaleng batu bata yang dihasilkan pada produksi perdananya ? c. Berapa produksi batu bata per bulan setelah mesin tersebut dioperasikan selama 5 bulan ? d. Analisislah !



Dik : Pm = 200 Ps = 46 % (200) = 92



r = 0,04 t=5



Dit : a. Persamaan P ? b. Produksi Perdana ? c. P12 ? d. Analisis ! Jawab : MATEK 2



Hal. 92



Periode ATA 12/13



a. Persamaan Prilaku Produksi Cetakan. P = Pm - Ps . e - r. t P = 200 – 92 . e – 0,04. t b. Jumlah perdana cetakan / produksi. 54 % x 200 = 108 c. Jumlah produksi batu bata yang dapat dioptimalkan P = 200 – 92 . e – 0,04. t = 200 – 92 . e – 0,04. 5 = 200 – 92 . ( 0,8187 ) = 200 – 75,3204 = 124,68 d. Analisis : Jadi hasil produksi batu bata yang dioptimalkan setelah 5 bulan adalah sebanyak 125 unit batu bata dari awal produksi sebanyak 108 unit. Hal ini berarti ada peningkatan dalam optimalisasi produksi selama 5 bulan sebanyak 17 unit.



LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE ECMATH 1. Buka materi software EC MATH, lalu klik materi transendental, klik transendental.



MATEK 2



Hal. 93



Periode ATA 12/13



2. Lalu pilih icon model kurva belajar (learning curve)



MATEK 2



Hal. 94



Periode ATA 12/13



3. Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu kilk hitung maka akan muncul jawaban dibawah data diketahui.



Catatan Hasil pada cara manual dibandingkan dengan software mengalami perbedaan, hal itu di karenakan bahwa pada software menggunakan angka di belakang koma sedangkan pada cara manual tidak menggunakan pembulatan.



MATEK 2



Hal. 95



Periode ATA 12/13



DAFTAR PUSTAKA Dumairy (1995). Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, edisi kedua. Penerbit : BPFE Yogyakarta



Universitas Gunadarma, Buku Diktat Matematika Ekonomi, 2002.



Alpha C.Chiang , Kevin Wainwraight .Dasar-dasar Matematika Ekonomi .Jilid 1 Bambang Kustituanto, 1994 , “Matematika Ekonomi” , Yogyakarta ; Gunadarma Hedwigis Esti Riyanti, “Matematika Ekonomi Bisnis” , Grasindo



Kalangi, Joseph Bintang. 2006. Matematika Ekonomi dan Bisnis. Jakarta : Salemba Empat.



Johannes dan Budiono Sri Handoko. 1986. Pengantar Matematika untuk Ekonomi. Jakarta : LP3ES



Modul Matematika Ekonomi 2, Lab. Manajemen Dasar Periode ATA 2011/2012.



MATEK 2



Hal. 96



Periode ATA 12/13