NICOLSON Quin Fiks Print [PDF]

Citation preview

Fisika Komputasi II-2 Samarinda, 18 Oktober 2018



Lembar Pengesahan “FISIKA KOMPUTASI II” “Koveksi-Difusi Menggunakan Crank-Nicholson”



Nama



: Quintiza Anugerah



NIM



: 1507045018



Kelas



:B



Mengetahui, Asisten



Satria Al-Huda Nim: 1507045009



Samarinda, 18 Oktober 2018 Praktikan



Quintiza Anugerah Nim: 1507045018 FMIPA-Fisika Kelompok-2B



Fisika Komputasi II-2 Samarinda, 18 Oktober 2018



KONVEKSI-DIFUSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE FTCS Disusun Oleh Nama : Quintiza Anugerah (1507045018) Laboratorium Fisika Komputasi Dan Pemodelan Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Mulawarman ABSTRAK Telah dilakukan praktikum tentang “Konveksi-Difusi Dengan Menggunakan Metode BTCS” pada hari Selasa, 28 September 2018 oleh Firgienila Dora, Mutiara Ayu, Radila Mawarsari, Sunarti dan Quintiza Anugerah dari kelompok 2 dibawah bimbingan Asisten Satria Al Huda. Praktikum ini dilakukan untuk mengetahui penyebaran panas secara konveksi-difusi dengan menggunakan metode Crank-Nicholson. Skema Crank-Nicolson adalah pengembangan dari metode beda hingga skema eksplisit dengan metode beda hingga maju skema implisit. Namun bentuk dari skema Crank-Nicolson adalah skema implisit. Kata Kunci :Implisit, Difusi, Konveksi ABSTRACK Practicum has been carried out on "Konveksi-Difusi Using BTCS Method" on Tuesday, September 28 2018 by Firgienila Dora, Mutiara Ayu, Radila Mawarsari, Sunarti dan Quintiza Anugerah from group 2 under the guidance of Assistant Satria Al Huda. This practicum is carried out to determine the heat distribution by convectiondiffusion by using the Crank-Nicholson method. The Crank-Nicolson scheme is the development of the finite difference method, explicit



FMIPA-Fisika Kelompok-2B



Fisika Komputasi II-2 Samarinda, 18 Oktober 2018



schemes with finite difference methods, and implicit schemes. But the form of the CrankNicolson scheme is an implicit scheme. Keywords: Implicit, Diffusion, Convection



FMIPA-Fisika Kelompok-2B



Fisika Komputasi II-2 Samarinda, 18 Oktober 2018 diinginkan. Dengan pemotongan order yang



I. PENDAHULUAN error



ke n, maka hasil perhitungan akan mendekati



didapatkan dari ekspansi daret Taylor yang



solusi. Jadi dalam estimasi error akan



dipotong



yang



dihasilkan suatu solusi yang akurat. Solusi



diinginkan. Dengan pemotongan order yang



akurat yaitu dekatnya suatu solusi pendekatan



ke n, maka hasil perhitungan akan mendekati



terhadap nilai sebenarnya.



solusi. Jadi dalam estimasi error akan



II. DASAR TEORI



Dalam



prosesnya,



setelah



estimasi



suku



turunan



dihasilkan suatu solusi yang akurat. Solusi



Persamaan diferensial parsial (Partial



akurat yaitu dekatnya suatu solusi pendekatan



Differential



terhadap nilai sebenarnya



bagian utama Fisika Komputasi karena



Estimasi error adalah suatu proses yang bertujuan untuk



mencari solusi



terbaik



Equation/PDE)



menempati



berbagai gejala penting dalam fisika dapat dinyatakan



dalam



bentuk



persamaan



dengan mempertimbangkan besarnya nilai



diferensial parsial (PDP). Bentuk umum



error



persamaan diferensial parsial yang sering



yang



dihasilkan



dengan



metode



numerik.



ditemukan dalam problema fisika adalah



Dalam



prosesnya,



dibutuhkan



suatu



metode numerik yang akan menghasilkan solusi pendekatan terbaik. Solusi pendekatan salah satunya adalah skema Crank-Nicolson. Skema



Crank-Nicolson



adalah



pengembangan dari metode beda hingga skema eksplisit dengan metode beda hingga maju skema implisit. Namun bentuk dari skema



Crank-Nicolson



adalah



skema



implisit. Kelebihan metode ini dibandingkan dengan metode beda hingga yang lain adalah stabil tanpa syarat



orde-2 sebagai berikut: 𝑎



𝜕2 𝑉 𝜕𝑥 2



+ 2𝑏



𝜕2 𝑉 𝜕𝑥𝜕𝑦



−𝑐



𝜕2 𝑉 𝜕𝑦 2



+ 𝑑



𝜕𝑉 𝜕𝑥



+𝑒



𝜕𝑉 𝜕𝑦



+ 𝑓𝑉 + 𝑔 = 0



Kemudian berdasarkan nilai koefisien a, b, c, d, e, f, dan g, bentuk umum ini dapat dibedakan atas beberapa bentuk khusus, yang kemudian dikenal atau popular sebagai bentuk PDP parabolik, hiperbolik, eliptik (Suarga, 2007). Salah satu pengembangan dari skema eksplisit dan skema implisit, yaitu skema Crank-Nicholson. Dalam skema eksplisit, ruas kanan pada waktu ke n. Dalam skema implisit, ruas kanan dapar ditulis untuk waktu



Dalam



prosesnya,



estimasi



error



didapatkan dari ekspansi daret Taylor yang dipotong



setelah



suku



turunan



n+1. Dalam kedua skema tersebut diferensial terhadap waktu ditulis dalam bentuk:



yang FMIPA-Fisika Kelompok-2B



Fisika Komputasi II-2 Samarinda, 18 Oktober 2018 T (Ti n 1  Ti n  t t



kualitas produk dengan memperhatikan efek geometrinya. Secara umum, senuah unit



Yang berarti diferensial terpusat terhadap



proses dikendalikan oleh hukum konvermasi



waktu



massa, momentum dan energi. Persamaan-



n=1/2.



Skema



Crank-Nicholson



menulis ruas kanan pada waktu n=1/2 yang



persamaan



merupakan nilai rerata dari skema eksplisit



dibentuk oleh suku trasien, suku difusi dan



dan implisit (Triatmodjo, 2016).



suku generasi (Bindar, 1998).



perpindahan



ini



biasanya



Kebanyakan permasalahan dalam ilmu pengetahuan



dan



teknologi



dapat



dipresentasikan dalam bentuk persamaan diferensia



parsiil.



Persamaan



tersebut



merupakan laju perubahan terhadap dua atau



III. METODE PRAKTIKUM Kasus



lebih variabel bebas yang biasanya adalah



L= 10



waktu dan jarak (ruang 0. Bentuk umum



dx= 0.1



persamaan diferensial parsiil order dua dan 2



ft= 60



dimensi adalah :



dt= 0.02



𝑎



𝜕2𝑢 𝜕𝑥 2



+ 2𝑏



𝜕2𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦



Dengan



+𝑐



𝜕2𝑢 𝜕𝑦 2



+𝑑



𝜕𝑢 𝜕𝑢 +𝑒 + 𝑓. 𝑢 + 𝑔 = 0 𝜕𝑥 𝜕𝑦



𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑓



dan



𝑔



bisa



merupakan fungsi dari variabel 𝑥 dan 𝑦 dan variabel tidak bebas 𝑢 (Triadmodjo, 2016). Persamaan



diferensial



parsiil



alpha= 0.5



dapat



3.1 Algoritma 1. Dimulai program 2. Dideklarasikan variabel 3. Membuat matriks dengan perulangan



dibedakan menjadi 3 tipe yaitu1. Persamaan Elips jika: 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 < 0



yang disesuaikan kondisi awal dan



2. Persamaan Parabola jika: 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 0



syarat batas .



3. Persamaan Hiperbola jika: 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 > 0 Proses



pemanasan



atau



pendinginan



untuk keperluan reaksi kimia untuk proses metalurgi dilangsungkan melalui tahaptahap tertentu. Persyaratan proses terhadap hasil pemanasan atau pendinginan seperti



4. Dihitung penyebaran panas konvesidifusi dengan rumus Crank-Nicholson : t t  n 1 t  .uin11  1  2. .ui .uin11 2x 2 2x 2  2x 2    t t  n t    1. .uin11  1  .ui  .uin1  2 2  2 2x  2x    2x



keseragaman temperatur sangat menentukan FMIPA-Fisika Kelompok-2B



Fisika Komputasi II-2 Samarinda, 18 Oktober 2018 5. Ditampilkan dalam bentuk grafik 6. Diakhiri program.



Flowchart Mulai



Script program crank



Deklarasikan variabel



implicit none integer :: i,n,j,ps real :: dy,dt,nn,pu,k,lm,c,h,t real,dimension(1000,1000) :: u



Menampilkan Matriks kondisi awal dan syarat batas



open(10,file='p.txt',status='unknown') open(12,file='s.txt',status='unknown') t=0 dy=0.001



Menentukan dx dan dt



ps=541 j=41



Perhitungan penyebaran panas konveksidifusi menggunakan rumus CrankNicholson



nn=0.000217 pu=40 dt=0.002 k=(nn*dt)/(dy**2) u(1,1)=pu



Menampilkan hasil perhitungan dan grafik kontur



do i=2,j u(1,i)=0 end do do n=1,ps



selesai



u(n,1)=pu u(n,j)=0. end do do n=1,ps do i=2,m-1



FMIPA-Fisika Kelompok-2B



Fisika Komputasi II-2 Samarinda, 18 Oktober 2018 u(n+1,i)= u(n,i) + (k * ( u(n,i+1) 2*u(n,i) + u(n,i-1) ) )



dimana beda mundur sebagai fungsi waktu dan beda tengah sebagai fungsi ruang,



end do



metode ini merupakan metode dari metode



end do



implisit dan Metode FTCS adalah suatu



do n=1,ps



metode yang dapat menyelesaikan persamaan



write(10,50)(u(n,i),i=1,j)



differensial



end do



persamaan beda hingga dimana beda maju



do i=1,j



sebagai fungsi waktu dan beda tengah



write(12,50)dy*i



sebagai fungsi ruang, metode ini merupakan



end do



metode dari metode emplisit.



48 format(548f8.3)



dengan



mengaproksimasikan



Laju Plat secara konveksi terjadi jika



end program



penyebaran panas pada plat yang bergerak dengan batas permukaan ketika keduanya berada temperatur yang berbeda sedangan



IV. HASIL DAN PEMBAHASAN



perpindahan secara difusi adalah penyebaran



Hasil program



panas pada plat dari bagian berkonsentrasi tinggi ke bagian berkosentrasi rendah. V. PENUTUP Kesimpulan Jadi dapat disimpulkan bahwa CrankNicholson



merupan



salah



satu



pengembangan dari skema eksplisit dan skema implisit. Pembahasan Crank-Nicholson



merupan



salah



satu



DAFTAR PUSTAKA



pengembangan dari skema eksplisit dan



Bindar, Y., Pemodelan Numerik Fenomena



skema implisit. Dimana metode BTCS adalah



Tiga Dimensi Aliran Fluida, Reaksi



suatu metode yang dapat menyelesaikan



Kimia, Perpindahan Panas, dan



persamaan



dengan



Massa Secara Simultan, Proceeding



mengaproksimasikan persamaan beda hingga



Seminar Sehari Aplikasi Metoda



differensial



FMIPA-Fisika Kelompok-2B



Fisika Komputasi II-2 Samarinda, 18 Oktober 2018 Numerik



Dalam



Rekayasa,.



Bandung, hal 24-41. Suarga. 2007. Fisika Komputasi Solusi Problem Fisika dengan METLB. Yogjakarta: Penerbit Andi. Triatmodjo,



Bambang.2016,.



Metode



Numerik.. Yogyakarta: Beta Offset



FMIPA-Fisika Kelompok-2B