Paket 3 - Matematika Aljabar 3 [PDF]

Citation preview

1 3 1 1



PO ALC PAKET 1



PELATIHAN ONLINE 2017 MATEMATIKA – PAKET 3



TIMELINE PELATIHAN ONLINE 2017 ALC INDONESIA (GELOMBANG 1)



Paket 1 2 3 Paket 4 5 6 7 Paket 8 9 10 11 12 Paket 13 14 15



Open Time Akses Materi Soal Agustus Hari Tanggal Jam Sabtu 13-Agt 09.00 WIB Sabtu 20-Agt 09.00 WIB Sabtu 27-Agt 09.00 WIB September Sabtu 03-Sep 09.00 WIB Sabtu 10-Sep 09.00 WIB Sabtu 17-Sep 09.00 WIB Sabtu 24-Sep 09.00 WIB Oktober Sabtu 01-Okt 09.00 WIB Sabtu 08-Okt 09.00 WIB Sabtu 15-Okt 09.00 WIB Sabtu 22-Okt 09.00 WIB Sabtu 29-Okt 09.00 WIB November Sabtu 05-Nov 09.00 WIB Sabtu 12-Nov 09.00 WIB Sabtu 19-Nov 09.00 WIB



Close Time (Deadline) Input Agustus Hari Tanggal Jam Kamis 18-Agt 23.59 WIB Kamis 25-Agt 23.59 WIB Kamis 01-Sep 23.59 WIB September Kamis 08-Sep 23.59 WIB Kamis 15-Sep 23.59 WIB Kamis 22-Sep 23.59 WIB Kamis 29-Sep 23.59 WIB Oktober Kamis 06-Okt 23.59 WIB Kamis 13-Okt 23.59 WIB Kamis 20-Okt 23.59 WIB Kamis 27-Okt 23.59 WIB Kamis 03-Nov 23.59 WIB November Kamis 10-Nov 23.59 WIB Kamis 17-Nov 23.59 WIB Kamis 24-Nov 23.59 WIB



Waktu Pengumuman Ranking Agustus Hari Tanggal Jam Minggu 21-Agt 20.00 WIB Minggu 28-Agt 20.00 WIB Minggu 04-Sep 20.00 WIB September Minggu 11-Sep 20.00 WIB Minggu 18-Sep 20.00 WIB Minggu 25-Sep 20.00 WIB Minggu 02-Okt 20.00 WIB Oktober Minggu 09-Okt 20.00 WIB Minggu 16-Okt 20.00 WIB Minggu 23-Okt 20.00 WIB Minggu 30-Okt 20.00 WIB Minggu 06-Nov 20.00 WIB November Minggu 13-Nov 20.00 WIB Minggu 20-Nov 20.00 WIB Minggu 27-Nov 20.00 WIB



PELATIHAN ONLINE 2017 MATEMATIKA – PAKET 3



Aljabar (III) PERSAMAAN Ada beberapa persamaan yang akan dibahas, yaitu : A. Persamaan Kuadrat Bentuk persamaan kuadrat adalah Ax2 + Bx + C = 0. Misalkan x1 dan x2 adalah nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat di atas. Nilai x1 dan x2 dikenal juga dengan akar-akar. Maka berlaku. Ax12 + Bx1 + C = 0 Ax22 + Bx2 + C = 0 B. Persamaan Eksponen Dalam pembahasan hanya akan disinggung tentang sifat-sifat pada eksponen, yaitu : (i) a0 = 1 untuk a ≠ 0 (ii) ⏟ untuk n ∈ N. (iii) ab . ac = ab+c (iv) (v) (vi) (vii) √ (viii) √ C. Persamaan Logaritma Pengertian : Jika ab = c maka b = alog c



D. Persamaan Nilai mutlak Nilai mutlak dari x ditulis dengan ⏐ x⏐ dan memiliki pengertian ⏐ x⏐ = x jika x ≥ 0 dan ⏐ x⏐ = −x jika



PELATIHAN ONLINE 2017 MATEMATIKA – PAKET 3 x < 0. Jika hanya memuat satu tanda mutlak maka penyelesaian persamaan dapat dengan menggunakan pengertian nilai mutlak atau dapat juga dengan mengkuadratkan tanda mutlak. E. Sistem Persamaan Linier Sistem persamaan umum yang dikenal adalah sistem persamaan linier, yaitu sistem persamaan yang pangkat variabelnya tidak lebih dari satu. Untuk menyelesaikan n buah variabel dibutuhkan n buah persamaan. Penyelesaian sistem persamaan dapat dilakukan dengan menggunakan subtitusi, eliminasi maupun dengan memanfaatkan matriks. F. Sistem Persamaan Tak Linier Dalam sistem persamaan tak linier pangkat variabel bisa lebih dari satu atau merupakan perkalian di antara variabel-variabel yang ada. Dalam sistem persamaan tak linier maka persoalan menjadi lebih sulit dan membutuhkan teknik penyelesaian yang lebih tinggi. KETAKSAMAAN A. Konsep Urutan dan Sifat-sifat dasar dari konsep urutan Sifat penting pada bilangan-bilangan real adalah adanya urutan sehingga dapat membandingkan dua bilangan sehingga didapat apakah kedua bilangan tersebut sama atau tidak sama. Sifat-sifat dari dari konsep urutan pada sistem bilangan real : (1) Setiap bilangan real a hanya memenuhi satu dan hanya satu dari kemungkinan (i) a = 0 (ii) a > 0 (iii) a < 0 (2) Setiap bilangan real a dan b hanya memenuhi satu dan hanya satu dari kemungkinan (i) a = b (ii) a > b (iii) a < b (3) Jika a > 0 dan b > 0 maka a + b > 0 (4) Jika a > 0 dan b > 0 atau a < 0 dan b < 0 maka ab > 0 (5) Jika a < b dan b < c maka a < c (6) Jika a < b maka a ± c < b ± c untuk setiap bilangan real c (7) Jika a < b dan c < d maka a + c < b + d (8) Jika a < b dan c > 0 maka ac < bc (9) Jika a < b dan c < 0 maka ac > bc (10) Jika a > 0 maka > 0 (11) Jika a > 0 dan b > 0 maka



>0



(12) Jika 0 < a < b atau a < b < 0 maka 2



< .



2



(13) Jika a > 0 dan b > 0 serta a > b maka a > b. Sifat-sifat tersebut juga berlaku jika tanda < diganti dengan tanda ≤ kecuali untuk sifat (12) yang mensyaratkan bahwa a dan b keduanya tak nol. B. Ketaksamaan Rataan Kuadrat (QM), Rataan Aritmatik (AM), Rataan Geometri (GM) dan Rataan Harmonik (HM) Perlu dijelaskan terlebih dahulu pengertian masing-masing rataan. Misalkan x1, x2, x3, ⋅⋅⋅, xn adalah bilangan real positif.



PELATIHAN ONLINE 2017 MATEMATIKA – PAKET 3 √



√



PELATIHAN ONLINE 2017 MATEMATIKA – PAKET 3 SOAL 1. Diketahui



√ dan



√ , maka nilai



adalah



a. b. c. d. e. 2. Nilai dari ( a. 2 b. 4 c. 6 d. 8 e. 10



)(



)(



)



(



3. Dari sistem persamaan di bawah ini, nilai dari



) adalah



adalah



a+b+c+d=0 a+b+c+e=5 a+b+d+e=1 a+c+d+e=2 b+c+d+e=4 a. 1 b. 4 c. 7 d. 8 e. 12 4. Dari persamaan di bawah, penyelesaian untuk a, b, c, d, dan e adalah ab = 1 ; bc = 2 ; cd = 3 ; de = 4 dan ae = 6 a. (3/2, 2/3, 3, 1, 4) b. (2/3, 3/2, 3, 1, 4) c. (3/2, 2/3, 3, 1/2, 4) d. (2, 1/2, 3, 1/3, 4) e. (3/2, 3/2, 3, 1, 4) 5. Diketahui a, b, c > 0 serta a + b + c = 2. Maka ab + bc a. Lebih dari 1 b. Sama dengan -1 c. Sama dengan 1 d. Tidak lebih dari 1 e. Tidak kurang dari 1 6. Jika a, b dan c adalah bilangan real yang memenuhi (a − 3)2 + (b − 4)2 + (c − 5)2 = 0 maka nilai dari a + b + c adalah a. 0 b. 1 c. 4 d. 6 e. 12



PELATIHAN ONLINE 2017 MATEMATIKA – PAKET 3 7. Nilai minimum dari



adalah



a. b. c. d. e. 8. JIka



maka nilai dari



adalah



a. 168 b. 1008 c. 1789 d. 1997 e. 2017 9. Jika a, b dan c bilangan real positif, maka nilai a2b + ab2 + b2c + bc2 + a2c + ac2 a. ≥ 6(a+b+c) b. ≥ 6abc c. ≤ 3abc d. ≤ 3(a+b+c) e. ≥ 3abc 10. Jika p, q, dan r adalah bilangan real positif sedemikian sehingga , tentukan nilai dari a. b. c. d. e.



1002 1008 2004 2014 2018



PELATIHAN ONLINE 2017 MATEMATIKA – PAKET 3 SOLUSI DAN PEMBAHASAN PAKET 2 √



1.



√



)



(



Jawaban (a) 2. f(x + y) = x + f(y) dan f(0) = 1993 Cara 1 : f(x) = f(x + 0) = x + f(0) f(x) = x + 1993 Maka f(2017) = 2017 + 1993 = 4010 Cara 2 : 1993 = f(0) = f(−2017 + 2017) = −2017 + f(2017) Maka 1993 + 2017 = f(2017) = 4010 Jawaban (c) 3.



4.



5.



6.



7.



(



)



(



)



(



)



, maka



( ) Jawaban (e) p(x + 1) + q(x − 1) ≡ 7x − 3 px + p + qx − q ≡ 7x − 3 (p + q)x + p − q ≡ 7x − 3 Berdasarkan kesamaan dua suku banyak maka p + q = 7 dan p − q = −3 yang menghasilkan p = 2 dan q = 5 Jadi, p + 2q = (2) + 2(5) = 12 Jawaban (e) Dari persamaan , dengan teorema Vieta didapat dan ( ) ( ) ( ) Karena , diperoleh ( ) , diperoleh ) ( Jadi, ( ) ( ) ( ) ( ) Jawaban (d) Dengan teorema Vieta, diperoleh: a+b+c+d=5 ab + ac + ad + bc + bd + cd = −16 abc + abd + acd + bcd = −41 abcd = −15 a2 + b2 + c2 + d2 = (a + b + c + d)2 − 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) = 52 − 2(−16) = 57 Jawaban (b) Dengan melihat Ax3 + Bx2 + Cx + D = 0 dan x3 − x − 1 = 0 didapat A = 1, B = 0, C = −1 dan D = −1. Maka, dengan teorema Vieta:



PELATIHAN ONLINE 2017 MATEMATIKA – PAKET 3



(



)(



)(



)



( (



)( )( ) )



( ) ( ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )



)( )(



) )



Jawaban (b) 8. Masih dengan teorema Vieta, jika



(



)(



)(



)



adalah akar dari persamaan maka,



Jawaban (b) 9. Perhatikan bahwa (x − 1)2= x 2 – 2x + 1 membagi habis ax4 + bx3 + 1, maka ax4 + bx3 + 1 = (x2 – 2x + 1)(cx 2 + dx + 1), ini yang paling mungkin. Sehingga ax4 + bx3 + 1 = ax4 + bx3 + 0x2 + 0x + 1 = cx4 + (d – 2c)x3 + (1 + c – 2d)x2 + (d – 2)x + 1. Dengan kesamaan nilai dari masing masing ruas diperoleh •a=c • b = d – 2c • 0 = 1 + c – 2d •0=d−2 Dari 4 persamaan di atas diperoleh nilai a = c = 3 , d = 2 dan b = −4 Jadi , nilai ab = (3)(−4) = −12 Jawaban (d)



((



10. (



) )



) (



Jadi f(2017) = 20174 Jawaban (d)



( )



)



(



(



)



)



( (



)



)



(



)



PELATIHAN ONLINE 2017 MATEMATIKA – PAKET 3 KISAH PERJALANAN MEDALIS Alfino Rahel (Teknik Kimia ITB 2014) – Bidang Kimia Saya baru mengenal apa itu OSN saat saya berada di SMA. Ketika saya mengenyam pendidikan SMP saya tidak tahu banyak tentang OSN. Saat di SMA pun tidak mudah untuk bisa mengikuti OSN dan tembus sampai meraih medali, karena di daerah saya tidak terlalu concern dengan OSN itu sendiri. Namun, berbeda dengan SMA lain yang tidak begitu antusias dengan OSN, SMA saya bahkan menjadikan OSN ini salah satu target lomba yang harus ditingkatkan peraihannya setiap tahunnya. Satu lagi, SMA saya adalah sebuah sekolah berasrama full beasiswa sehingga saya bisa bersekolah gratis disana. Dengan lingkungan yang mendukung serta rasa ingin membalas budi kepada pemerintah provinsi yang telah membiayai sekolah saya, saya bertekad untuk medapatkan medali kimia di OSN. Tentunya tidak mudah untuk mendapatkan medali karena jelas sekali siswa-siswi di Pulau Jawa lebih hebat bila di bandingkan dengan anak daerah seperti saya. Namun, hal itu tidak menjadi halangan bagi saya untuk bermimpi. Saya menempel tulisan ‘GO GET GOLD’ di setiap sudut kamar asrama saya dengan tujuan untuk menyadarkan bahwa saya punya kesempatan yang sama besar dengan semua orang. Walaupun tidak berhasil di tahun pertama, saya tidak berputus asa. Saya tidak lulus ke tingkat nasional di tahun pertama. Ini menjadikan saya lebih bersemangat di tahun kedua. Saya tidak membuang waktu sia-sia. Belajar, berdoa dan menyerahkan semuanya kepada yang diatas. Apapun hasilnya semua itu adalah bonus. Karena yang terpenting adalah prosesnya. Alhamdulillah, walaupun bukan medali emas, melainkan perunggu, saya sangat bangga. Karena saya anak daerah dan saya bisa!



‘Jangan pedulikan mereka yang tak mempercayaimu, tapi percayai dirimu untuk mereka yang kau pedulikan’