Pertemuan-4-Bidang Singgung Dan Garis Normal PDF [PDF]

Citation preview

Kalkulus Peubah Banyak



Pertemuan 4



Bidang Singgung Dan Garis Normal



.



Persamaan bidang yang menyinggung fungsi z = f(x, y) di titik T (x0, y0, z0) adalah:  z   z  z  zo    ( x  xo )    ( y  yo )  x T  y T



garis normal bidang singgung



Sedangkan, persamaan garis normalnya adalah: X = ( xo, yo, zo )  t N dimana: X = vektor garis normal t = parameter  z  N = (1, 0,   ) X (0, 1,  x  T



 z     y T



T (x0, y0, z0)



bidang permukaan z = f(x, y)



X = perkalian cross (silang) vektor



Contoh: Diketahui bidang permukaan z = x3 + x2y + y3 + y2x + 1. Tentukan : a. Persamaan bidang singgung melalui titik T (1, 1, 5) pada permukaan tersebut. b. Persamaan Garis Normal Jawab: a.



z x



 z   =3+2+1=6  x T



= 3x2 + 2xy + y2 maka 



 z  z = x2 + 3y2 + 2xy maka   = 1 + 3 + 2 = 6 y  y T



maka persamaan bidang singgung:  z   z  z  zo    ( x  xo )    ( y  yo )  x T  y T



z – 5 = 6 (x – 1) + 6 (y – 1) maka z = 6x + 6y – 7



b. Persamaan garis normal : X = ( xo, yo, zo )  t N  z   ) X (0, 1,  x T



N = (1, 0, 



=



i j j 1 0 6 0 1 6



 z     y T



= (1, 0, 6) X (0, 1, 6)



= – 6i – 6j + k = (– 6, – 6, 1)



Jadi X = (1, 1, 5) + t (– 6, – 6, 1) dengan t = parameter



Bidang Singgung dan Garis Normal



1



Kalkulus Peubah Banyak



Tugas: 1. Diketahui persamaan z =



xy dan titik T (1, 1, 2) terletak pada permukaan tersebut. x



Tentukan persamaan bidang singgung dan persamaan garis normal yang melalui T. 2. Sama dengan soal No. 1 untuk persamaan z = x3 – 2xy + y2 dan titik T (1, – 1, 4) 3. Sama dengan soal No. 1 untuk persamaan z = 4. Sama dengan soal No. 1 untuk persamaan z = 5. Sama dengan soal No. 1 untuk persamaan z =



3.1



x 2  y 2 dan titik T (4, – 3, 5) x y2







x y2



y x2



dan titik T (1, – 1, 2)



dan titik T (2, – 1, 2)



Menentukan Jenis Titik Ekstrim Dengan Turunan Parsial Orde Dua



Jika titik T (x0, y0, z0) adalah titik stasioner dari fungsi z = f (x, y) dan berlaku  z    = 0 dan  x T



 z     y T



= 0



  2f     = –  x y  x 2 y 2    2f



serta Diskriminan fungsi f = , dimana



 2f



2



maka berlaku ketentuan sebagai berikut: 1. Jika di T berlaku  > 0, dan 2. Jika di T berlaku  > 0, dan



 2f x 2  2f x 2



< 0 atau > 0 atau



 2f y 2  2f y 2



< 0, maka T adalah titik maksimum > 0, maka T adalah titik minimum



3. Jika di T berlaku  < 0, maka T bukan titik ekstrim 4. Jika di T berlaku  = 0, maka tidak dapat ditarik kesimpulan mengenai T



Contoh : Tentukan titik-titik ekstrim dan jenisnya dari persamaan z = x2 + y2



Jawab: Hitung turunan parsialnya, yaitu: = 2x



 2z =0 y x



 2z



z = 2y y



 2z =0 x y



 2z



z x



x 2 y 2



=2 =2



2



  2f    = 2.2 – 0 =4>0  = –  x y  x 2 y 2    2f



 2f



Bidang Singgung dan Garis Normal



2



Kalkulus Peubah Banyak



z x



Titik stasioner didapat dari



= 0 dan



z = 0, diperoleh 2x = 0 atau x = 0 dan 2y = 0 atau y



y = 0, sedangkan z = x2 + y2 = 0 + 0 = 0. Jadi titik stasioner (0, 0, 0). Karena di titik (0, 0, 0) diperoleh  = 4 > 0,



 2z x 2



= 2 > 0 maka sesuai ketentuan di atas,



disimpulkan titik tersebut minimum.



Tugas : 1. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya (jika ada) untuk fungsi-fungsi berikut:



2. Akan dibuat sebuah kotak tanpa tutup atas dengan volume 108 cm3. Berapa ukuran kotak tersebut agar luas permukaannya minimum? volume 108 cm



3



Z



Y X



Bidang Singgung dan Garis Normal



3