Pertemuan 7 Skor Baku Koefisien Variasi Kemiringan Dan Kurtosis [PDF]

Citation preview

PROGRAM STUDI AGRIBISNIS HORTIKULTURA



UKURAN PENYEBARAN DATA Mata kuliah : Statistika Terapan Pengajar : Dany Juhandi, S.P, M.Sc Semester : II Pertemuan : VII Pokok Bahasan : Ukuran Penyebaran Data



Sub Pembahasan 1. 2. 3. 4.



Skor Baku Koefisien Variasi Kemiringan Kurtosis



SKOR BAKU • Skor baku merupakan suatu ukuran relatif yang menyatakan penyimpangan data dari nilai rata-rata yang diukur berdasarkan nilai standar deviasi. • Skor baku digunakan untuk menghitung luas kurva normal baku dan untuk membandingkan data pengamatan dari dua atau lebih populasi berbeda dalam rangka menentukan tingkat atau ranking relatifnya. 𝑥−𝜇 • Formula untuk populasi: z = 𝜎 𝑥 − 𝑥ҧ 𝑠



• Formula untuk sampel: z = Contoh 1: Diketahui 𝜇 = 0,6140 𝜎 = 0,0025. Tentukanlah luas kurva normal yang dibatasi x = 0,610 dan x = 0,613 Penyelesaian:  Untuk x = 0,610, didapat z =



0,610 −0,614



 Untuk x = 0,613, didapat z =



0,613 −0,614



0,0025



0,0025



• Lihat tabel Z negatif (-0,4) = 0,3446 0,5 – 0,3446 = 0,1554 • Lihat tabel Z negatif (-1,6) = 0,0548 0,5 – 0,0548 = 0,4452 Luas daerah antara x = 0,610 dan x = 0,613 adalah P (-1,6 ≤ z ≤ -0,4) P (-1,6 ≤ z ≤ -0,4) = P (-1,6 ≤ z ≤ 0) – P (-0,4 ≤ z ≤ 0) = 0,4452 – 0,1554 = 0,2898 Jadi luas kurva normal yang dibatasi oleh x = 0,610 dan x =0613 adalah 0,2898 satuan luas (=28.98%) 0.2898



= −1,6 = −0,4 -1.6 -0,4



Contoh 2: • Seorang wiraniaga mampu menjual produk sebanyak 86 unit ketika yang bersangkutan ditempatkan di wilayah Bogor. Adapun rata-rata dan standar deviasi penjualan wiraniaga di bogor adalah 78 unit dan 10 unit. Wiraniaga yang sama mampu menjual 92 unit produk dalam interval waktu yang sama, ketika yang bersangkutan ditugaskan ke Bandung. Rata-rata dan standar deviasi penjualan seluruh wiraniaga di Bandung adalah 84 unit dan 18 unit. Di kota manakah wiraniaga tersebut secara relatif lebih berhasil? Penyelesaian: Karena untuk kedua daerah penjualan tersebut nilai rata-rata dan standar deviasi produknya berbeda, maka untuk melihat relativitas kemampuan wiraniaga tersebut dapat dibandingkan skor bakunya. 86 −78 92 −84 𝑧𝐵𝑜𝑔𝑜𝑟 = = 0,8 𝑧𝐵𝑎𝑛𝑑𝑢𝑛𝑔 = = 0,44 10 18 Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa ZBogor lebih besar dari ZBandung dengan demikian prestasi wiraniaga tersebut lebih baik ketika ditempakan di Bogor.



KOEFISIEN VARIASI • Koefisien variasi merupakan ukuran variasi relatif yang bertujuan membandingkan variasi dari beberapa gugus data yang mempunyai satuan berbeda. • Koefisien variasi (KV) untuk populasi diperoleh dengan formula:



• Koefisien variasi (KV) untuk populasi diperoleh dengan formula:



𝜎 𝐾𝑉 = 𝜇 × 100% 𝑠 KV = ҧ × 100% 𝑥



Contoh: Sekumpulan data memiliki rata-rata 400 dan standar deviasi 80. Maka koefisien varians dari data tersebut adalah: 80 𝐾𝑉 = × 100% = 20% 400



KEMIRINGAN • Ukuran kemiringan adalah suatu ukuran yang dapat digunakan untuk menentukan miring tidaknya suatu kurva distribusi. Kecondongan suatu distribusi data, selain dapat dilihat tampilan secara visual, tingkat kecondongan distribusi dapat diketahui melalui besarnya koefisien kecondongan (𝑆𝑘 ) dan memalui besarnya koefisien moment ketiga (𝛼3 ) • Kecondongan menunjukkan penyimpangan dari bentuk distribusi simetris. • Jika distribusi frekuensi mempunyai ekor ke kanan yang lebih panjang dibanding ekor kiri, maka dikatakan distribusi condong ke kanan atau mempunyai kecondongan positif. Jika sebaliknya dikatakan condong ke kiri atau memiliki kecondongan negatif. • Untuk distribusi yang tidak simetris, rata-rata, median dan modusnya mempunyai nilai yang bebeda.



1. Koefisien Kecondongan (Metode Pearson): 3. (𝑥ҧ − 𝑀𝑒 ) 𝑥ҧ − 𝑀𝑂 𝑆𝑘 = 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑆𝑘 = 𝜎 𝜎 • Jika distribusi simetris, maka Sk=0 karena 𝜎 = Me = Mo. Jika distribusinya tidak simetris, maka koefisien kecondongan akan berkisar antara -1 dan +1, kadang-kadang melebih 1. Makin dekat dengan 0 berarti makin simetris. • Sk = 0  Distribusi data simetris • Sk > 0  Distribusi data condong ke kanan • Sk < 0  Distribusi data condong ke kiri



2. Koefisien kecondongan dengan Metode(𝛼3 ) • Koefisien alpha ketiga merupakan ratarata penyimpangan data dari rata-ratanya dipangkatkan tiga, di bagi dengan simpangan baku pangkat tiga. • Rumus untuk data yang belum dikelompokkan: 𝑛



1 (𝑥𝑖 − 𝑥)ҧ 2 𝛼3 = ෍ 𝑛 𝑠3 𝑖=1



• Rumus untuk data yang dikelompokkan: 𝑛



1 𝑓. (𝑥𝑖 − 𝑥)ҧ 3 𝛼3 = ෍ 𝑛 𝑠3 𝑖=1



Di mana: 𝛼3 𝑥ҧ 𝑥𝑖 n s



= Koefisien alpha ketiga = Rata-rata sampel = Nilai data ke-i = Jumlah data = simpangan baku



Ketentuan: 𝛼3 = 0  distribusi data simetris 𝛼3 > 0  distribusi data condong ke kanan (+) 𝛼3 < 0  distribusi data condong ke kiri (-)



Contoh: • Diketahui distribusi frekuensi sebagai berikut: Kelas Interval



f



31 – 40



1



41 – 50



2



51 – 60



5



61 – 70



15



71 – 80



20



81 – 90



25



91 – 100



12



Ʃf=80



Tentukanlah koefisien kecondongannya!



Penyelesaian dengan Metode Pearson Kelas Interval



fi



Xi



fi.Xi



ഥ )𝟐 (𝑿𝒊 − 𝑿



ഥ )𝟐 𝒇𝒊. (𝑿𝒊 − 𝑿



31 – 40



1



35,5



35,5



1743,06



1743,06



41 – 50



2



45,5



91



1008,06



2016,13



51 – 60



5



55,5



277,5



473,06



2365,31



61 – 70



15



65,5



982,5



138,06



2070,94



71 – 80



20



75,5



1510



3,06



61,25



81 – 90



25



85,5



2137,5



68,06



1701,56



91 – 100



12



95,5



1146



333,06



3996,75



Ʃf=80



Ʃ=6180



Berdasarkan data di atas diperoleh: σ 𝑓𝑖 𝑥𝑖 6180 𝑠= 𝑥ҧ = = = 77,25 σ 𝑓𝑖 80 40 − 23 𝑀𝑒 = 70,5 + 10 = 79 20



Ʃ=13955



σ 𝑓 (𝑥𝑖 − 𝑥)ҧ 2 13955 = = 176,6456 = 13,29081 𝑛 −1 79



3. (𝑥ҧ − 𝑀𝑒 ) 3. (77,25 − 79) 𝑆𝑘 = = = −0,395 𝜎 13,29 (𝑐𝑜𝑛𝑑𝑜𝑛𝑔 𝑘𝑒 𝑘𝑖𝑟𝑖)



Penyelesaian dengan Metode (𝛼3 ) ഥ )𝟑 𝒇𝒊. (𝑿𝒊 − 𝑿 ഥ )𝟑 (𝑿𝒊 − 𝑿



Kelas Interval



fi



Xi



31 – 40



1



35,5



-72772,9



-72772,9



41 – 50



2



45,5



-32006



-64012



51 – 60



5



55,5



-10289,1



-51445,5



61 – 70



15



65,5



-1622,23



-24333,5



71 – 80



20



75,5



-5,35938



-107,188



81 – 90



25



85,5



561,5156



14037,89



91 – 100



12



95,5



6078,391



72940,69



Ʃf=80



Berdasarkan data di atas diperoleh: σ 𝑓𝑖 𝑥𝑖 6180 𝑠= 𝑥ҧ = = = 77,25 σ 𝑓𝑖 80 40 − 23 𝑀𝑒 = 70,5 + 10 = 79 20



σ 𝑓 (𝑥𝑖 − 𝑥)ҧ 2 13955 = = 176,6456 = 13,29081 𝑛 −1 79



3. (𝑥ҧ − 𝑀𝑒 ) 3. (77,25 − 79) 𝑆𝑘 = = = −0,395 𝜎 13,29 (𝑐𝑜𝑛𝑑𝑜𝑛𝑔 𝑘𝑒 𝑘𝑖𝑟𝑖)



KURTOSIS • Kurtosis merupakan tingkat menggunungnya suatu distribusi, yang umumnya dibandingkan dengan distribusi normal. Bentukbentuk kurtosis, yaitu: 1. Leptokurtik yaitu distribusi yang berpuncak tinggi dan ekornya relatif panjang. 2. Platikurtik yaitu distribusi yang berpuncak agak mendatar dan ekornya relatif pendek. 3. Mesokurtik yaitu distribusi normal, puncaknya tidak begitu tinggi dan tidak begitu mendatar.



Leptokurtik



Mesokurtik



Platikurtik



• Rumus kurtosis untuk data belum dikelompokkan: 𝑛



− 𝑥)ҧ 2



1 (𝑥𝑖 𝛼4 = ෍ 𝑛 𝑠4 𝑖=1



Di mana: 𝛼4 𝑥ҧ 𝑥𝑖 n s



= Koefisien kurtosis = Rata-rata sampel = Nilai data ke-i = Jumlah data = Simpangan baku



• Rumus kurtosis untuk data dikelompokkan: 𝑛



1 𝑓. (𝑥𝑖 − 𝑥)ҧ 4 𝛼4 = ෍ 𝑛 𝑠4 𝑖=1



Di mana: fi



= Frekuensi kelas ke-i



Ketentuan: 𝛼4 = 3 atau mendekati 3  Bentuk Mesokurtik 𝛼4 > 3  Bentuk Leptokurtik



𝛼4 < 3  Bentuk Platikurtik



Contoh Soal: • Diketahui tabel distribusi frekuensi di bawah ini: Kelas Interval



f



31 – 40



1



41 – 50



2



51 – 60



5



61 – 70



15



71 – 80



20



81 – 90



25



91 – 100



12 Ʃf=80



• Tentukan lah jenis kurtosisnya!



Penyelesaian Kelas Interval



fi



Xi



ഥ )𝟒 (𝑿𝒊 − 𝑿



ഥ )𝟒 𝐟𝐢. (𝑿𝒊 − 𝑿



31 – 40



1



35,5



3038267



3038267



ഥ )𝟒 𝐟𝐢. (𝑿𝒊 − 𝑿 𝒔𝟒 97,3639



41 – 50



2



45,5



1016190



2032380



65,1327



51 – 60



5



55,5



223788



1118941



35,8593



61 – 70



15



65,5



19061,3



285919



9,1630



71 – 80



20



75,5



9,37891



187,578



0,0060



81 – 90



25



85,5



4632,5



115813



3,7115



91 – 100



12



95,5



110931



1331168



42,6606



Ʃf=80



Ʃ=253,9020



Berdasarkan data di atas diperoleh: 𝑛 σ 𝑓𝑖 𝑥𝑖 6180 1 𝑓. (𝑥𝑖 − 𝑥)ҧ 4 1 𝑥ҧ = = = 77,25 𝛼4 = ෍ = 253,9020 = 3,1738 4 𝑛 𝑠 80 σ 𝑓𝑖 80 𝑖=1 𝑠=



σ 𝑓 (𝑥𝑖 − 𝑥)ҧ 2 13955 = = 176,6456 = 13,29081 𝑛 −1 79



Latihan Soal: • Soal 1



• Soal 2



Interval Kelas



fi



Interval Kelas



fi



20 – 29



1



60 – 62



5



30 – 39



4



63 – 65



18



40 – 49



7



66 – 68



42



50 – 59



13



69 – 71



27



60 – 69



25



72 – 74



8



70 – 79



15



80 – 89



5



Tentukan: a. Koefisien variasi b. Kemiringan c. Jenis kurtosis



100



Tentukan: a. Koefisien kecondongan dengan pendekatan Pearson b. Koefisien kecondongan dengan pendekatan 𝛼3



Referensi: • Somantri, Ating et al.2006.Aplikasi Statistika Dalam Penelitian.Bandung:Pustaka Setia • Mulyono, Sri.1998.Statistika Untuk Ekonomi.Universitas Indonesia:Lembaga Penerbit Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia