![Bab Viii-Momen Kemiringan & Kurtosis [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/bab-viii-momen-kemiringan-amp-kurtosis.jpg)
5 0 596 KB
BAB VIII MOMEN, KEMIRINGAN DAN KURTOSIS Momen Misalkan diberikan variabel x dengan harga-harga x1, x2, ... xn. Jika A = sebuah bilangan tetap dan r = 0, 1, 2, ...., maka momen ke-r sekitar A, disingkat didefinisikan oleh hubungan: r n ∑ ⎛⎜ x j - A ⎞⎟ r ⎠ j=1⎝ ∑ (x - A ) m'r = = N N
m1r
.......... (1)
Untuk A = 0 didapat momen ke-r sekitar nol atau disingkat momen ke-r : n r ∑ xj r r r r x + x 2 + ... + x N j=1 ∑ x .......... (2) momen ke - r x r = 1 = = N N N Dari rumus di atas, maka untuk r = 1 di dapat rata-rata x Jika A = x diperoleh momen ke-r sekitar rata-rata, disingkat dengan mr, didapat:
r n ∑ ⎛⎜ x j - x ⎞⎟ r ⎠ j=1⎝ ∑ x-x mr = = N N
( )
.......... (3)
Untuk r = 2 rumus (3) memberikan varians s2 Untuk membedakan apakah momen itu untuk sampel atau untuk populasi, maka dipakai simbol: mr dan m1r untuk momen sampel µr dan µ1r
untuk momen populasi
Jadi mr dan m1r adalah statistik sedangkan µr dan µ1r merupakan parameter.
Andiani / Statistik / Desember 2013
1
Momen Untuk Data Kelompok Jika data disusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka rumus di atas menjadi: r k ∑ f j⎛⎜ x j - A ⎞⎟ r ⎠ j=1 ⎝ ∑ f (x - A ) .......... (4) m'r = = N N
k r ∑ f jx j r r r r f x + f x + ... + f x ∑ fx .......... (5) k k = j=1 momen ke - r x r = 1 1 2 2 = N N N r k ⎛ ⎞ ∑ f ⎜x - x⎟ r j=1 j⎝ j ⎠ ∑f x - x mr = = N N
(
Dengan
)
.......... (6)
n = Σfi xi = tanda kelas interval fi = frekuensi yang sesuai dengan xi
Dengan menggunakan cara coding (metode pengkodean) rumus (4) menjadi:
⎛ ∑ f cr ⎞ m'r = p r ⎜ i i ⎟ ⎜ n ⎟ ⎝ ⎠ Dengan
..........
(7)
p = panjang kelas interval ci = variabel coding
Dari ,
harga-harga mr dapat ditentukan berdasarkan hubungan: m2 = m2¹ - (m1¹)2 m3 = m3¹ - 3m1¹m2¹ + 2(m1¹)3 m4 = m4¹ - 4m1¹m3¹ + 6(m1¹)2 m2¹ - 3(m1¹)4
Contoh: Untuk menghitung empat buah momen sekitar rata-rata untuk data dalam daftar distribusi frekuensi, lakukan sebagai berikut:
Andiani / Statistik / Desember 2013
2
DATA
fi
ci
fi ci
fi ci2
fi ci3
fi ci4
60 – 62
5
-2
-10
20
-40
80
63 – 65
18
-1
-18
18
-18
18
66 – 68
42
0
0
0
0
0
69 – 71
27
1
27
27
27
27
72 – 74
8
2
16
32
64
128
Jumlah
100
-
15
97
33
253
Dengan menggunakan rumus (7), maka:
⎛ fc m'1 = p ⎜⎜ ∑ i i ⎝ n
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ 15 ⎞ 3⎜ ⎟ ⎝ 100 ⎠
=
0,45
=
⎛ ∑ fici2 ⎞ ⎟ m'2 = p ⎜⎜ ⎟ n ⎝ ⎠
=
⎛ 97 ⎞ 32 ⎜ ⎟ ⎝ 100 ⎠
=
8,73
⎛ f c3 ⎞ m'3 = p3 ⎜⎜ ∑ i i ⎟⎟ ⎝ n ⎠
=
⎛ 33 ⎞ 33 ⎜ ⎟ ⎝ 100 ⎠
=
8,91
⎛ ∑ fici4 ⎞ ⎟ m'4 = p ⎜⎜ ⎟ n ⎝ ⎠
=
⎛ 253 ⎞ 34 ⎜ ⎟ ⎝ 100 ⎠
=
204,93
2
4
Sehingga dengan menggunakan hubungan di atas: m2
= m’2 - (m1¹)2 = 8,73 - (0,45)2 = 8,53
m3 = m’3 - 3 m1¹ m2¹ + 2(m1¹)3 = 8,91 - 3(0,45)(8,73) + 2(0,45)3 = -2,69 m4 = m¹4 - 4 m1¹ m3¹ + 6(m1¹)2(m2¹) - 3(m1)4 = 204,93 - 4(0,45)(8,91) + 6(0,45)2(8,73) - 3(0,45)4 = 199,38 Dari hasil ini didapat varians s2 = m2 = 8,53
Andiani / Statistik / Desember 2013
3
Kemiringan Kemiringan (skewness) merupakan derajat ketidaksimetrian (keasimetrisan), atau dapat juga didefiniskan sebagai penyimpangan dari kesimetrian, dari suatu distribusi. Kurva halus (poligon frekuensi) atau model yang positif, negatif dan simetrik. Model positif terjadi bila kurvanya mempunyai ekor yang memanjang ke sebelah kanan. Sebaliknya, jika ekornya memanjang ke sebelah kiri didapat model negatif. Untuk mengetahui derajat taksimetri sebuah model, digunakan ukuran kemiringan yang ditentukan oleh:
kemiringan =
mean - modus X - modus = standar deviasi s
.......... (8)
mean = rata-rata deviasi standar = simpangan baku Untuk menghindari penggunaan modus dapat digunakan rumus empiris:
kemiringan =
3(mean - median) 3( X - median) = deviasi standar s
.......... (9)
Rumus-rumus (8) dan (9) berturut-turut dinamakan koefisien kemiringan Pearson macam pertama dan macam kedua. Disebut model positif jika kemiringan positif, negatif jika kemiringan negatif dan simetrik jika kemiringan = 0 Contoh: Data nilai ujian 80 mahasiswa (lihat catatan lalu) menghasilkan:
X = 76,62 Me = 77,3 Mo = 77,17 Simpangan Baku s = 13,07 Maka:
kemiringan =
mean - modus 76,62 - 77,17 = = - 0,04 deviasi standar 13,07
Karena kemiringan negatif dan dekat dengan nol, modelnya sedikit miring ke kiri.
Andiani / Statistik / Desember 2013
4
Kurtosis Kurtosis ialah derajat ketinggian puncak atau keruncingan suatu distribusi. Bertitik tolak dari kurva model normal atau distribusi normal, tinggi rendahnya atau runcing datarnya bentuk kurva dapat ditentukan. Kurva distribusi normal, yang rucing dinamakan leptokurtik, yang datar disebut platikurtik, sedangkan yang tidak terlalu runcing atau tidak terlalu datar disebut mesokurtik.
Mesokurtik
Platikurtik
Leptokurtik
Salah satu ukuran yang digunakan untuk menyatakan derajat keruncingan kurva distribusi atau kurtosis ini menggunakan momen keempat disekitar nilai mean yang dinyatakan dalam bentuk tanpa dimensi dan dirumuskan sebagai:
koefisien momen kurtosis = a 4 =
m4 m = 42 4 s m2
.......... (10)
Dengan m2 dan m4 didapat dari rumus (3) Kriteria yang didapat dari rumus adalah: •
a4 = 3 à distribusi normal
•
a4 > 3 à distribusi Leptokurtik
•
a4 < 3 à distribusi Platikurtik
Untuk menyelidiki apakah distribusi normal atau tidak, sering dipakai koefisien kurtosis persentil, diberi simbol k (kappa-huruf Yunani) yang rumusnya:
k =
SK = P90 - P10
1 2
( K 3 - K1 ) P90 - P10
.......... (11)
Dengan: SK = rentang semi antar kuartil K
= kuartil
P
= persentil
Andiani / Statistik / Desember 2013
5
P90 – P10 = rentang 10 – 90 persentil Untuk model Distribusi Normal harga k = 0,263 Contoh1: Telah dihitung (lihat ctt di atas): m2 = 8,53 m3 = -2,69 m4 = 199,38 Dengan rumus (10), koefisien kurtosis besarnya:
a4 =
m4 199,38 = = 2,74 2 m2 (8,53)2
dan ini kurang dari 3, jadi kurvanya cenderung
akan Platikurtik.
Contoh2(kerjakan): Daftar berikut menyatakan upah tiap jam untuk 65 pegawai di suatu pabrik. Berapakah besarnya koefisien kurtosis? Upah (rupiah)
Fi
50,00 - 59,99
8
60,00 - 69,99
10
70,00 - 79,99
16
80,00 - 89,99
14
90,00 - 99,99
10
100,00 - 109,99
5
110,00 - 119,99
2
Jumlah
65
Andiani / Statistik / Desember 2013
6
Jawab: DATA
fi
ci
fi ci
fi ci2
fi ci3
fi ci4
50,00 - 59,99
8
-2
-16
32
-64
128
60,00 - 69,99
10
-1
-10
10
-10
10
70,00 - 79,99
16
0
0
0
0
0
80,00 - 89,99
14
1
14
14
14
14
90,00 - 99,99
10
2
20
40
80
160
100,00- 109,99
5
3
15
45
135
405
110,00- 119,99
2
4
8
32
128
512
Jumlah
65
-
31
173
283
1229
p = 10, n = 65
⎛ fc m'1 = p ⎜⎜ ∑ i i ⎝ n
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ 31 ⎞ 10⎜ ⎟ ⎝ 65 ⎠
=
=
4,77
⎛ ∑ fici2 ⎞ ⎟ m'2 = p ⎜⎜ ⎟ n ⎝ ⎠
=
⎛ 173 ⎞ 10 2 ⎜ ⎟ ⎝ 65 ⎠
=
266,15
⎛ f c3 ⎞ m'3 = p3 ⎜⎜ ∑ i i ⎟⎟ ⎝ n ⎠
=
⎛ 283 ⎞ 103 ⎜ ⎟ ⎝ 65 ⎠
=
4353,85
⎛ ∑ fici4 ⎞ ⎟ m'4 = p ⎜⎜ ⎟ n ⎝ ⎠
=
⎛ 1229 ⎞ 10 4 ⎜ ⎟ ⎝ 65 ⎠
2
4
=
189076,92
Maka m2
= m' 2 - (m' 1)2 = 266,15 - (4,77)2 = 266,15 – 22,75 = 243,40
m3 = m' 3 - 3m' 1m' 2 + 2(m'1)3 = 4353,85 – 3. 4,77 . 266,15 + 2 (4,77)3 = = 4353,85 – 3808,61 + 217,06 = 762,30 Andiani / Statistik / Desember 2013
7
m4 = m'4 - 4m'1m' 3 + 6(m'1)2(m' 2) - 3(m'1)4 = 189076,92 – 4. 4,77 . 4353,85 + 6(4,77)2(266,15) – 3(4,77)4 = 189076,92 – 83071,46 + 36334,11 – 1553,08 = 140786,49 Dari hasil ini didapat varians s2 = m2 = 243,40 Simpangan Baku s = 15,60
koefisien momen kurtosis = a 4 =
m4 m 140786,49 140786,49 = = 2,38 = 42 = 4 s m2 (243,40 )2 59243,56
Jadi a4 < 3 à distribusi Platikurtik
Tugas 1. Carilah momen-momen pertama, kedua , ketiga dan keempat dari himpunan bilangan 2, 3, 7, 8, 10. 2. Carilah momen-momen pertama, kedua , ketiga dan keempat dari mean himpunan bilangan 2, 3, 7, 8, 10. 3. Carilah momen-momen pertama, kedua , ketiga dan keempat dari titik asal yang sama dengan 4 himpunan bilangan 2, 3, 7, 8, 10. 4. Dengan menggunakan hasil-hasil yang diperoleh di soal no.2 dan no.3 ujilah hubungan antara momen-momen: a. m2 = m2’ - (m1’)2 b. m3 = m3’ - 3m1’m2’ + 2(m1’)3 c. m4 = m4’ - 4m1’m3’ + 6(m1’)2(m2’) - 3(m1)4 5. Diketahui tinggi badan dari 100 orang mahasiswa Universitas XYZ X f 61 5 64 18 67 42 70 27 73 8 Jumlah 100 Carilah empat momen pertama dari mean untuk distribusi tinggi badan mahasiswa.
Andiani / Statistik / Desember 2013
8
