Momen, Kemiringan, Dan Kurtosis Kelompok 1 [PDF]

Citation preview

BAB I PENDAHULUAN



A. Latar Belakang Pengetahuan tentang berbagai macam ukuran sangat diperlukan, agar dapat memperoleh gambaran lebih lengkap dalam memahami tentang data-data yang telah terkumpul. Macam-macam ukuran diantaranya adalah momen, kemiringan, dan kurtosis. Momen adalah gabungan antara rata-rata dan varians. Kemiringan adalah tingkat ketidaksimetrisan atau kejauhan simetri dari sebuah distribusi. Sedangkan kurtosis adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi yang biasanya diambil secara relatif terhadap suatu distribusi normal. Makalah ini akan membahas mengenai momen, kemiringan, dan kurtosis.



B. Rumusan Masalah Adapun masalah yang akan dibahas adalah : 1. Bagaimana cara menentukan momen dari sebuah distribusi? 2. Bagaimana cara menentukan kemiringan dari sebuah distribusi? 3. Bagaimana cara menentukan kurtosis dari sebuah distribusi?



C. Tujuan Adapun tujuan penulisan makalah ini adalah : 1. Untuk memahami cara menentukan momen dari sebuah distribusi. 2. Untuk memahami cara menentukan kemiringan dari sebuah distribusi. 3. Untuk memahami cara menentukan kurtosis dari sebuah distribusi.



PETA KONSEP



Momen



STATISTIK Koefisien Kemiringan Pearson Kemiringan Koefisien Kemiringan Bowley Koefisien Kemiringan Persentil Koefisien Kemiringan Momen



Koefisien Kurtosis Kurtosis Koefisien Kurtosis Persentil



BAB II PEMBAHASAN A. MOMEN Data Tunggal



1. momen ke r =



Σ 𝑥𝑟 𝑁



2. momen sekitar rata-rata ( m r ) =



Σ (𝑋− 𝑋)𝑟 𝑁



contoh : 1. carilah momen pertama, kedua ,ketiga ,dan keempat untuk himpunan bilangan 2, 3, 7, 8, 10 ! jawab : diketahui : N=5



momen ke r =



Σ 𝑥𝑟 𝑁



a) momen ke 1 ∑ 𝑥1 𝑁



=



2+3+7+8+10 5



=6



momen ke 1 sama dengan rata-rata b) momen ke 2 ∑ 𝑥2 𝑁



=



22 +32 +72 + 82 +102 5



=



226 5



= 45,2



c) momen ke 3 ∑ 𝑥3 𝑁



=



23 + 33 +73 +83 +103



d) momen ke 4 =



5



=



1890 5



= 378



∑ 𝑥 4 24 + 34 + 74 + 84 + 104 16594 = = = 3318,8 𝑁 5 5



2. carilah momen pertama,kedua ,ketiga,dan keempat disekitar nilai tengah pada data 2, 3, 7, 8, 10



jawab :



momen sekitar rata-rata ( m r ) =



a)



𝑚1 =



b)



𝑚2 =



Σ (𝑋− 𝑋)1 𝑁 Σ (𝑋− 𝑋)2 𝑁



= =



Σ (𝑋− 𝑋)𝑟 𝑁



(2−6)+(3−6)+(7−6)+(8−6)+(10−6) 5



0



= =0 5



(2−6)2 + (3−6)2 + (7−6)2 + (8−6)2 +(10−6)2 5



=



46 5



= 9,2



Data Kelompok Jika data telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka persamaan-persamaan di atas berturut-turut berbentuk:



1) Momen ke- r =



∑ 𝑓𝑥 𝑟 𝑁



2) Momen disekitar rata-rata



𝑚𝑟 =



∑ 𝑓 ( 𝑥−𝑥 )𝑟 𝑁



dengan n =∑ f , x = tanda kelas interval dan f = frekuensi yang sesuai dengan x.



Contoh: Untuk menghitung empat buah momen sekitar rata-rata untuk data sebagai berikut: Nilai ujian Statistik mahasiswa Universitas Sriwijaya tahun 2016 70



75



80



73



77



79



74



75



85



64



80



84



66



79



70



82



76



86



72



75



74



89



90



75



83



75



82



69



75



91



81



87



83



76



78



84



94



73



80



77



80



69



65



83



75



86



84



75



72



71



94



73



82



79



68



75



71



85



78



81



74



62



74



60



84



73



88



79



78



72



Diketahui : N = 70 R = X max – X min = 96 – 60 = 34



K = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 70 = 1 + 3.3 (1,84) = 1 + 6,072 = 7,072 ( dibulatkan 7)



𝑅



P =𝐾=



34 7



= 4,9 ( 𝑑𝑖𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡𝑘𝑎𝑛 5)



Tabel distribusi frekuensi Nilai Ujian Statistik Mahasiswa Universitas Sriwijaya tahun 2016 No 1 2 3 4 5 6 7



Nilai 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 90-94



f 3 5 15 20 16 7 4



Jumlah



100



x 62 67 72 77 82 87 92



fx 186 335 1080 1540 1312 609 368 ∑ 𝑓𝑥 = 5430



x2 3844 4489 5184 5929 6724 7569 8464



fx2 11532 22445 77760 118500 107584 52983 33856 ∑ 𝑓𝑥2 = 424660



Dari data diatas , tentukan : a) Momen pertama dan kedua b) Momen ke dua di sekitar rata-rata



Penyelesaian :



Σ 𝑓𝑥 𝑟



a) Momen ke r =



𝑁 Σ 𝑥𝑟



momen ke-1 = =



𝑁 5430



70 = 77,57



Momen ke-2 = =



Σ 𝑥2 𝑁 424660



70 = 6066,5



b) Momen ke-2 disekitar rata-rata Σ 𝑓(𝑋− 𝑥̅ )𝑟 mr= 𝑁



No 1 2 3 4 5 6 7



𝑥̅ = =



Nilai 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 90-94



f 2 6 15 20 16 7 4



Jumlah



100



𝑥1 +𝑥2 +⋯+ 𝑥70 𝑛



70+75+80+⋯+72 70



x 62 67 72 77 82 87 92



x-𝑥̅ -15, 5 -10,5 -5, 5 -0, 5 4, 5 9, 5 14, 5



(x -𝑥̅ )2 240,25 110,25 30,25 0,25 20,25 90,25 210,25



f(x – 𝑥̅ )2 480, 5 661, 5 453,75 5 324 631,75 841 ∑ 𝑓(𝑥 − 𝑥)2 = 3397,5



=



5428 70



= 77,5



mr= m2= =



Σ (𝑋− 𝑋)𝑟 𝑁 Σ (𝑋− 𝑋)2 𝑁 3397,5 70



= 48, 5357



Latihan Soal Perhatikan data berikut ! 6



5



8



7



9



1. Hitunglah momen ketiga 2. Hitunglah momen-momen ke 3 disekitar rata-rata Penyelesaian : n = 5 1. Momen ke 3



=



∑ 𝑥3 𝑁



=



63 +53 +83 +73 +93 5



216 + 125 + 512 + 343 + 729 = = 1.1341,8 5



2. ( m r ) = m3 =



Σ (𝑋− 𝑥̅ )𝑟



𝑥̅ =



𝑁 Σ (𝑋− 𝑥̅ )3



=



𝑁 (6−7)3 +(5−7)3 +(8−7)3 +(7−7)3 +(9−7)3 5



= =



(−1)3 +(−2)3 +(1)3 +(0)3 +(2)3 5 −1+ −8+1+0+8



=0



5



𝑥1 +𝑥2 +..+𝑥𝑛 𝑁



=



6+5+8+7+9 5



=7



Perhatikan data berikut ini : Daftar Nilai Ujian Statistika 70 Mahasiswa Universitas Sriwijaya 37 66 35 62



49 78 46 74



63 43 61 43



74 53 73 56



41 69 38 70



50 79 50 79



65 35 64 45



76 45 75 58



42 60 36 70



52 71 47 80



Hitunglah : 1. Momen kedua dari data diatas 2. Momen-momen ke 2 disekitar nilai tengah dati data diatas Penyelesaian : Diketahui : N = 40 R = X max – X min = 80 – 35 = 45



K = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 40 = 1 + 3.3 (1,6) = 1 + 5,28 = 6,28 (6)



𝑅



P =𝐾=



45 6



= 7,5 ( 𝑑𝑖𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡𝑘𝑎𝑛 8)



Tabel distribusi frekuensi Nilai Ujian Statistik Mahasiswa Universitas Sriwijaya tahun 2016 No 1 2 3 4 5 6



Nilai 35-42 43-50 51-58 59-66 67-74 75-82



F 7 9 4 7 7 6



x 38,5 46,5 54,5 62,5 70,5 78,5



fx 269,5 418,5 218 437,5 493,5 471



x2 1.482,25 2.162, 25 2970, 25 3.906, 25 4.970, 25 6162, 25



f.x2 10.375,75 19.460,25 11.881 27.343,75 34.791,75 36973, 5



Jumlah 1. Momen ke r = momen ke-2 = =



∑ 𝑓𝑥2 = 140.826



∑ 𝑓𝑥 = 2.308



40



Σ 𝑓𝑥 𝑟 𝑁 Σ 𝑓𝑥 2 𝑁 140.826



40 = 3520,65



2. Momen ke-2 disekitar rata-rata Σ (𝑋− 𝑋)𝑟 mr= 𝑁



No 1 2 3 4 5 6



𝑥̅ = =



Nilai 35-42 43-50 51-58 59-66 67-74 75-82



F 7 9 4 7 7 6



Jumlah



40



∑ 𝑓𝑥 𝑁 2308 40



= 57,7



mr= m2=



=



Σf (𝑋− 𝑋)𝑟 𝑁 Σ𝑓 (𝑋− 𝑋)2 𝑁



7.654,4



40 = 191,36



x 38,5 46, 5 54, 5 62, 5 70, 5 78, 5



fx 269,5 418,5 218 437, 5 493, 5 471



x-𝑥̅ -19,2 -11,2 -3,2 4,8 12.8 20.8



(x -𝑥̅ )2 368,64 125,44 10,24 23.04 163,84 432,64



f(x – 𝑥̅ )2 2580,48 1128,96 40,96 161,28 1146,88 2595,84 ∑ 𝑓(𝑥 − 𝑥)2 = 7.654,4



B. KEMIRINGAN Kemiringan atau kecondongan (skewness) adalah tingkat ketidak simetrisan atau kejauhan simetri dari sebuah distribusi. Atau dengan kata lain kemiriangan adalah ukuran yang menyatakan sebuah model distribusi yang mempunyai kemiringan tertentu. Apabila diketahui nilai ukuran ini maka dapat diketahui pula bagaimana model distribusinya, apakah distribusinya simetri, positif, atau negatif. Sebuah distribusi yang tidak simetris akan memiliki rata-rata, median, dan modus yang tidak sama besarnya (𝑋̅ ≠ 𝑀𝑜 ≠ 𝑀𝑒 ), sehingga distribusi akan terkonsentrasi pada salah satu sisi dan kurvanya akan menceng atau miring. Jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kanan daripada kiri maka distribusi disebut menceng ke kanan atau memiliki kemencengan positif. (gambar 0.1)



(a. Distribusi menceng ke kanan. Gambar 0.1) Jika jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kiri daripada yang ke kanan maka distribusi disebut menceng ke kiri atau memiliki kemencengan negatif. (gambar 0.2)



(b. Distribusi menceng ke kiri. Gambar 0.2) Tetapi jika nilai distribusi sama rata maka distribusi disebut simetris (gambar 0.3)



(c. Distribusi simetris. Gambar 0.3)



Untuk mengetahui apakah sekumpulan data mengikuti model distribusi positif, negatif, atau simetrik, hal ini dapat dilihat berdasarkan nilai koefisien kemiringannya. Ada beberapa rumus untuk mengukur kemiringan, yaitu: 1. Rumus Koefisien Kemiringa Yang Pertama Dari Karl Pearson 𝑆𝐾 =



𝑋̅ − 𝑀𝑜 𝑆



Keterangan: 𝑆𝐾 = Koefisien Kemiringan 𝑋̅



= Rata-Rata



𝑀𝑜 = Modus 𝑆



= Simpangan Baku



2. Rumus Koefisien Kemiringan Yang Ke Dua Dari Karl Pearson



𝑆𝐾 =



3(𝑋̅ − 𝑀𝑒 ) 𝑆



Keterangan: 𝑆𝐾 = Koefisien Kemiringan 𝑋̅



= Rata-Rata



𝑀𝑒 = Median 𝑆



= Simpangan Baku



Menurut pearson, dari hasil koefisien kemiringan diatas, ada tiga kriteria untuk mengetahui model distribusi dari sekumpulan data (baik data tidak berkelompok maupun data kelompok), yaitu:



a. Jika koefisien kemiringan lebih kecil dari nol maka bentuk distribusinya negatif. b. Jika koefisien kemiringan lebih besar dari nol maka bentuk distribusinya positif. c. Jika koefisien kemiringannya sama dengan nol maka bentuk distribusinya simetrik. Jika nilai 𝑆𝐾 dihubungkan dengan keadaan kurva, maka: 1. 𝑆𝐾 = 0 kurva memiliki bentuk simetris 2. 𝑆𝐾 > 0 nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah kanan (𝑋̅ terletak di sebelah kanan 𝑀𝑜 ), sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kanan, kurva menceng ke kanan atau positif nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah kiri (𝑋̅ terletak di sebelah kiri 𝑀𝑜 ), sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kiri, kurva menceng ke kiri atau negatif.



3. 𝑆𝐾 < 0



3. Contoh Soal a. Soal data tunggal Data nilai statistika 10 mahasiswa PGSD kelas 5A tahun 2015 65 70 90 40 35 45 70 80 75 50 1. Carilah koefisien kemiringannya dengan dua rumus peason 2. Gambarkan model distribusinya Penyelesaian: Langkah pertma kita cari tahu nilai median,modus, rata-rata, dan simpangan baku. Urutkan data dari yang terbesar ke yang terkecil 35 40 45 50 65 70 70 75 80 90



Tabel Distribusi Frekuensi Nilai Statistika 10 Mahasiswa PGSD Kelas 5A Tahun 2015 Nilai Frekuensi (𝑋 − 𝑋̅)2 𝑋 − 𝑋̅ 35 40 45 50 65 70 75 80 90



1 1 1 1 1 2 1 1 1 10



26,15 31,15 36,15 41,15 56,15 61,15 66,15 71,15 81,15



683,82 970,32 1306,82 1693,32 3152,82 3739,32 4375,82 5065,32 6585,32 27569,87



Tentukan rata-rata 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + ⋯ + 𝑋𝑛 𝑋̅ = 𝑛 35 + 40 + 45 + 50 + 65 + 70 + 70 + 75 + 80 + 90 𝑋̅ = 10 260 𝑋̅ = 10 𝑋̅ = 8,85 Tentukan nilai median 65 + 70 𝑀𝑒 = 2 135 𝑀𝑒 = 2 𝑀𝑒 = 67,5 Tentukan modus 𝑀𝑜 = 70 Tentukan simpangan baku Karena 𝑛 < 30 maka rumus yang digunakan 𝑆= √



∑(𝑋 − 𝑋̅)2 𝑛−1



𝑆= √



27569,87 10 − 1



𝑆= √



27569,87 9



𝑆 = √3063,31 𝑆 = 55,34 Sekarang mencari koefisien kemiringan Dik: 𝑆 = 535,34 𝑋̅ = 8,85 𝑀𝑒 = 67,5 𝑀𝑜 = 70 Dit: 𝑆𝐾 = ⋯ ? Peyelesaian Rumus pearson 1



𝑋̅ − 𝑀𝑜 𝑆 8,85 − 70 𝑆𝐾 = 55,34 −61,15 𝑆𝐾 = 55,34 𝑆𝐾 = −1,10 𝑆𝐾 =



Rumus pearson 2 3(𝑋̅ − 𝑀𝑒 ) 𝑆𝐾 = 𝑆 3(8,85 − 67,5) 𝑆𝐾 = 55,34 −175,95 𝑆𝐾 = 55,34 𝑆𝐾 = −3,17 Jadi dari data diatas dapat dilihat koefisien kemiringannya adalah -1,10 dan -3,17 jadi model distribusi kemiringannya adalah ke kiri atau negatif.



𝑋̅ 𝑀𝑒 𝑀𝑜



b. Soal data kelompok Data nilai ujian statistika mahasiswa Universitas Sriwijaya tahun 2015 70 75 80 73 77 79 74 75 85 64 80 84 66 79 70 82 76 86 72 75 74 89 90 75 83 75 82 69 75 91 81 87 83 76 78 84 94 73 80 77 80 69 65 83 75 86 84 75 72 71 94 73 82 79 68 75 71 85 78 81 74 62 74 60 84 73 88 79 78 77



1. Carilah koefisien kemiringannya dengan dua rumus peason 2. Gambarkan model distribusinya Penyelesaian: Langkah pertma buat tabel distribusi frekuensi untuk mencari tahu nilai median,modus, rata-rata, dan simpangan baku. 𝑛 = 70 𝑅 = 𝑋𝑚𝑎𝑥 − 𝑋𝑚𝑖𝑛 𝑅 = 94 − 60 𝑅 = 34 𝐾 𝐾 𝐾 𝐾 𝐾



= 1 + 3,3 log 𝑛 = 1 + 3,3 log 70 = 1 + 3,3(1,84) = 1 + 6,072 = 7,072 dibulatkan menjadi 7



𝑅 𝐾 34 𝑃= 7 𝑃 = 4,85 dibulatkan menjadi 5 𝑃=



Tabel Nilai Ujian Statistika Mahasiswa Universitas Sriwijaya Tahun 2015 No Nilai (𝑋 − 𝑋̅)2 𝑓 𝑋 𝑓𝑋 𝑋 − 𝑋̅ 𝑓(𝑋 − 𝑋̅)2 1 2 3 4 5 6 7



60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 85 – 89 90 – 94



3 5 15 2 16 7 4



62 67 72 77 82 87 92



186 335 1080 1540 1312 609 368 5430



𝑋̅ =



∑ 𝑓𝑋 5430 = = 77,57 𝑛 70



-15,57 -10,57 -5,57 -0,57 4,43 9.43 14.43



242,42 111,72 31,02 0,32 19,62 88,92 108,22



727,26 558,6 465,3 6,4 313,92 622,44 832,88



702,24



3526,8



Menentukan median 1 𝑛−𝐹 𝑀𝑒 = 𝑏 + 𝑃 (2 ) 𝑓 Menentukan kelas median ∑ 𝑓 70 = = 35 2 2 Jadi kelas median terletak pada kelas ke-4 Dik: 𝑏 = 75 − 0,5 = 74,5 𝑃=5 𝐹 = 23 𝑓 = 43 𝑛 = 70 1 𝑛−𝐹 𝑀𝑒 = 𝑏 + 𝑃 (2 ) 𝑓 1 70 − 23 𝑀𝑒 = 74,5 + 5 (2 ) 43 𝑀𝑒 = 74,5 + 5 (0,27) 𝑀𝑒 = 74,5 + 1,35 𝑀𝑒 = 75,85 Menentukan modus 𝑏1 𝑀𝑜 = 𝑏 + 𝑃 ( ) 𝑏1 + 𝑏2 Kelas modus terletak pada kelas ke-4 Dik: 𝑏 = 75 − 0,5 = 74,5 𝑃=5 𝑏1 = 20 − 15 = 5 𝑏2 = 20 − 16 = 4 𝑀𝑜 = 𝑏 + 𝑃 (



𝑏1 ) 𝑏1 + 𝑏2



5 𝑀𝑜 = 74,5 + 5 ( ) 5+4 𝑀𝑜 = 74,5 + 5 (0,55)



𝑀𝑜 = 74,5 + 2,75 𝑀𝑜 = 77,25 Menentukan simpangan baku Karena 𝑛 > 30 maka rumus yang digunakan 𝑆=√



∑ 𝑓(𝑋 − 𝑋̅)2 𝑛



𝑆=√



3526,8 70



𝑆 = √50,38 𝑆 = 7,09 Menentukan koefisien kemiringan dengan menggunakan kedua rumus pearson Dik: 𝑋̅ = 77,57 𝑀𝑒 = 75,85 𝑀𝑜 = 77,25 𝑆 = 7,09 Dit: 𝑆𝑘 = ⋯ ? Rumus 1 𝑋̅ − 𝑀𝑜 𝑆𝐾 = 𝑆 77,57 − 77,25 𝑆𝐾 = 7,09 0,32 𝑆𝐾 = 7,09 𝑆𝐾 = 0,04 Rumus 2 3(𝑋̅ − 𝑀𝑒 ) 𝑆𝐾 = 𝑆 3(77,57 − 75,85) 𝑆𝐾 = 7,09 5,16 𝑆𝐾 = 7,09 𝑆𝐾 = 0,72 Jadi dari data diatas dapat dilihat koefisien kemiringannya adalah 0,04 dan 0,72 jadi model distribusi kemiringannya adalah ke kanan atau positif.



𝑀𝑜 𝑀𝑒 𝑋̅ 4. Latihan Soal a. Soal data tunggal Data nilai matematika 15 siswa kelas V SD Harapan Mulia 6 5 8 7 9 4 5 8 4 5 8 5 8 4 5 1. Carilah koefisien kemiringannya dengan dua rumus peason 2. Gambarkan model distribusinya Penyelesaian: Langkah pertma kita cari tahu nilai median,modus, rata-rata, dan simpangan baku. Urutkan data dari yang terbesar ke yang terkecil 4 4 4 5 5 5 5 5 6 7 8 8 8 8 9



Tabel Distribusi Frekuensi nilai matematika 15 siswa kelas V SD Harapan Mulia Nilai



Frekuensi



𝑋 − 𝑋̅



(𝑋 − 𝑋̅)2



4 5 6 7 8 9



3 5 1 1 4 1



-2.07 -1.07 -0.07 0.93 1.93 2.93



4,28 1.14 0.0049 0.86 3,72 8,58



15



18,5849



Tentukan rata-rata 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + ⋯ + 𝑋𝑛 𝑋̅ = 𝑛 4+4+4+5+5+5+5+5+6+7+8+8+8+8+9 𝑋̅ = 15 91 𝑋̅ = 15 𝑋̅ = 6,07 Tentukan nilai median 𝑀𝑒 = 5 Tentukan modus 𝑀𝑜 = 5 Tentukan simpangan baku Karena 𝑛 < 30 maka rumus yang digunakan 𝑆= √



∑(𝑋 − 𝑋̅)2 𝑛−1



𝑆= √



18,5849 15 − 1



𝑆= √



18,5849 14



𝑆 = √1,33 𝑆 = 1,15 Sekarang mencari koefisien kemiringan Dik: 𝑆 = 1,15 𝑋̅ = 6,07 𝑀𝑒 = 5 𝑀𝑜 = 5 Dit: 𝑆𝐾 = ⋯ ? Peyelesaian Rumus pearson 1 𝑋̅ − 𝑀𝑜 𝑆𝐾 = 𝑆



6,07 − 5 1,15 1,07 𝑆𝐾 = 1,15 𝑆𝐾 = 0,93 𝑆𝐾 =



Rumus pearson 2 3(𝑋̅ − 𝑀𝑒 ) 𝑆𝐾 = 𝑆 3(6,07 − 5) 𝑆𝐾 = 1,15 3,21 𝑆𝐾 = 1,15 𝑆𝐾 = 2,79 Jadi dari data diatas dapat dilihat koefisien kemiringannya adalah 0,93 dan 2,79 jadi model distribusi kemiringannya adalah ke kanan atau positif.



𝑀𝑜 𝑀𝑒 𝑋̅



b. Latian soal kelompok Data nilai matematika 40 siswa di kelas V SD Harapan Mulia tahun 2016 37 49 63 74 41 50 65 76 42 52 66 78 43 53 69 79 35 45 60 71 35 46 61 73 38 50 64 75 36 47 62 74 43 56 70 79 45 58 70 80 1. Carilah koefisien kemiringannya dengan dua rumus peason 2. Gambarkan model distribusinya Penyelesaian: Langkah pertma buat tabel distribusi frekuensi untuk mencari tahu nilai median,modus, rata-rata, dan simpangan baku. 𝑛 = 40 𝑅 = 𝑋𝑚𝑎𝑥 − 𝑋𝑚𝑖𝑛 𝑅 = 80 − 35



𝑅 = 45 𝐾 𝐾 𝐾 𝐾 𝐾



= 1 + 3,3 log 𝑛 = 1 + 3,3 log 40 = 1 + 3,3(1,60) = 1 + 5,28 = 6,28 dibulatkan menjadi 6



𝑅 𝐾 45 𝑃= 6 𝑃 = 7,5 dibulatkan menjadi 8 𝑃=



Tabel Nilai Ujian Statistika Mahasiswa Universitas Sriwijaya Tahun 2015 No Nilai (𝑋 − 𝑋̅)2 𝑓 𝑋 𝑓𝑋 𝑋 − 𝑋̅ 𝑓(𝑋 − 𝑋̅)2 1 2 3 4 5 6



35 – 42 43 – 50 51 – 58 59 – 66 67 – 74 75 – 82



7 9 4 7 7 6



38,5 46,5 54,5 62,5 70,5 78,5



269,5 418,5 218 437,5 493,5 471 2308



𝑋̅ =



∑ 𝑓𝑋 2308 = = 57,7 𝑛 40



Menentukan median 1 𝑛−𝐹 𝑀𝑒 = 𝑏 + 𝑃 (2 ) 𝑓 Menentukan kelas median ∑ 𝑓 40 = = 20 2 2 Jadi kelas median terletak pada kelas ke-3 Dik: 𝑏 = 51 − 0,5 = 50,5 𝑃=8 𝐹 = 16 𝑓 = 20 𝑛 = 40



-19,2 -11,2 -3,2 4,8 12,8 20,8



368,64 125,44 10,24 23,04 163,84 432,64



2580,48 1128,96 40,96 161,28 1146,88 2595,84 7654,4



1 𝑛−𝐹 𝑀𝑒 = 𝑏 + 𝑃 (2 ) 𝑓 1 40 − 16 𝑀𝑒 = 50,5 + 8 (2 ) 20 𝑀𝑒 = 50,5 + 8 (0,2) 𝑀𝑒 = 50,5 + 1,6 𝑀𝑒 = 52,1 Menentukan modus 𝑏1 𝑀𝑜 = 𝑏 + 𝑃 ( ) 𝑏1 + 𝑏2 Kelas modus terletak pada kelas ke-2 Dik: 𝑏 = 43 − 0,5 = 42,5 𝑃=8 𝑏1 = 9 − 7 = 2 𝑏2 = 9 − 4 = 5 𝑀𝑜 = 𝑏 + 𝑃 (



𝑏1 ) 𝑏1 + 𝑏2



2 𝑀𝑜 = 42,5 + 8 ( ) 2+5 𝑀𝑜 = 42,5 + 8 (0,28) 𝑀𝑜 = 42,5 + 2,24 𝑀𝑜 = 44,74 Menentukan simpangan baku Karena 𝑛 > 30 maka rumus yang digunakan 𝑆=√



∑ 𝑓(𝑋 − 𝑋̅)2 𝑛



𝑆=√



7654,4 40



𝑆 = √186,36 𝑆 = 13,65 Menentukan koefisien kemiringan dengan menggunakan kedua rumus pearson



Dik: 𝑋̅ = 57,7 𝑀𝑒 = 52,1 𝑀𝑜 = 44,74 𝑆 = 13,65 Dit: 𝑆𝑘 = ⋯ ? Rumus 1 𝑋̅ − 𝑀𝑜 𝑆𝐾 = 𝑆 57,7 − 44,74 𝑆𝐾 = 13,65 12,96 𝑆𝐾 = 13,65 𝑆𝐾 = 0,94 Rumus 2 3(𝑋̅ − 𝑀𝑒 ) 𝑆𝐾 = 𝑆 3(57,7 − 52,1) 𝑆𝐾 = 13,65 16,8 𝑆𝐾 = 13,65 𝑆𝐾 = 1,23 Jadi dari data diatas dapat dilihat koefisien kemiringannya adalah 0,94 dan 1,23 jadi model distribusi kemiringannya adalah ke kanan atau positif.



𝑀𝑜 𝑀𝑒 𝑋̅



2. Koefisien Kemiringan Bowley Koefisien kemiringan bowley berdasarkan pada hubungan kuartil (Q1, Q2, Q3) dari sebuah distribusi. Koefisien kemiringan Bowley dirumuskan sebagai berikut. (Q3 - Q2) – (Q 2 - Q1 ) skB =



( Q3 - Q2) + (Q2 – Q1 )



Atau Q3 - 2 Q2 + Q1 skB =



Q3 – Q1



Dengan skB



= Koefisien Kemencengan Bowley



Q1



=



Q2



= Kuartil kedua



Q3



= Kuartil ketiga



Kuartil kesatu



Koefisien kemiringan Bowley sering disebut juga Kuartil koefisien kemiringan. Apabila nilai skB dihubungkan dengan distribusinya, didapat: 1. Jika Q3 - Q2 ˃ Q2 - Q1 maka bentuk distribusi akan miring ke kanan atau miring secara positif. 2. Jika Q3 - Q2 ˂ Q2 - Q1 maka bentuk distribusi akan miring ke kiri atau miring secara negatif. 3. Jika koefisien kemiringan sama dengan nol maka bentuk distribusinya simetrik. 4. skB positif, berarti distribusi miring ke kanan. 5. skB negatif, berarti distribusi miring ke kiri.



Data tunggal Contoh soal Tentukan skB dari nilai matematika dari 15 siswa kelas V SD Unggul berikut 30, 40, 42, 50, 57, 60, 62, 70, 71, 72, 77, 80, 88, 95, 100



Jawab: •



Tentukan letak kuartil a. Kuartil Bawah b. Kuartil Tengah c. Kuartil Atas



30, 40, 42, 50, 57, 60, 62, 70, 71, 72, 77, 80, 88, 95, 100



Q1



Q2



Q3



Q1 = 50 Q2 = 70 Q3 = 80 Mencari nilai skB Q3 - 2 Q2 + Q1 skB =



Q3 – Q1



skB = skB = skB =



80−2(70)+50 80−50 80−140+50 30 −60 +50 30



skB = - 0,33 Karena skB negatif maka distribusinya miring ke kiri.



Data kelompok Contoh soal: Tentukan skB nilai matematika dari 40 siswa kelas V SD Harapan Mulia tahun 2015 berikut ini. 37



49



63



74



41



50



65



76



42



52



66



78



43



53



69



79



35



45



60



71



35



46



61



73



38



50



64



75



36



47



62



74



43



56



70



79



45



58



70



80



Jawab Dik: N = 40 Xmax = 80 Xmin =35



R = Xmax – Xmin



𝑅



K = 1 + 3,3 log n



P=



= 80 – 35



K = 1 + 3,3 log 40



P=



= 45



K = 1 + 3,3 ( 1,6 )



P = 7,5



𝐾 45 6



8



K = 1 + 5,28 K = 6,28 (dibulatkan 6)



Tabel Nilai Matematika Siswa Kelas V SD Harapan Mulia Tahun 2015 No



Nilai



Frekuensi



1.



35 - 42



7



2.



43 - 50



9



3.



51 - 58



4



4.



59 - 66



7



5.



67 - 74



7



6.



75 - 82



6



Jumlah



Nilai Qi = Q1 = Q1 =



1 4 1 4



𝑖 4



40



n



n



Q2 =



. 40



Q2 =



Q1 = 10



2 4 2 4



n



Q3 =



. 40



Q3 =



Q2 = 20



Q1 terdapat pada data ke-10 Q2 terdapat pada data ke-20 Q3 terdapat pada data ke-30 Mencari nilai kuartil dengan rumus: Qi = Bb + p [



𝑖 𝑛 4



−F



𝑓𝑘𝑖



]



1. Mencari nilai kuartil pertama Bb = 42,5; p= 8; F = 7; fki = 9



3 4 3 4



n



. 40



Q3 = 30



Qi = Bb + p [



𝑖 𝑛 4



−F



𝑓𝑘𝑖



Q1 = 42,5 + 8 [



1 4



]



40 −7



]



9



Q1 = 42,5 + 8 (0,33) Q1 = 42,5 + 2,64 Q1 = 45,14



2. Mencari nilai kuartil kedua Bb = 50,5; p = 8; F = 16; fki = 4 Qi = Bb + p [



𝑖 𝑛 4



−F



𝑓𝑘𝑖



Q2 = 50,5 + 8 [



2 4



]



40 −16 4



]



Q2 = 50,5 + 8 (1) Q2 = 58,5



3. Mencari nilai kuartil ketiga Bb = 66,5; p = 8; F = 27; fki = 7 Qi = Bb + p [



𝑖 𝑛 4



−F



𝑓𝑘𝑖



Q3 = 66,5 + 8 [



3 4



]



40 −27 7



]



Q3 = 66,5 + 8 (0,43) Q3 = 66,5 + 3,44 Q3 = 69,94



Dik : Q1 = 45,14 Q2 = 58,5 Q3 = 69,94 Untuk mengetahui nilai kemiringan digunakan rumus:



skB =



skB =



Q3 - 2 Q2 + Q 1 Q3 – Q1 69,94 - 2 (58,5 ) + 45,14 69,94 - 45,14



skB = skB =



69,94 – 117 + 45,14 24,8 -1,92 24,8



skB = - 0,07 Karena skB negatif maka distribusinya miring kekiri.



Latihan soal Tentukan skB dari nilai matematika dari 12 siswa kelas VI SD Unggul berikut 50, 40, 70, 77, 75, 72, 65, 30, 85, 82, 80, 55 Jawab: •



Susun data menurut urutan nilainya Data sebelum di susun



50, 40, 70, 77, 75, 72, 65, 30, 85, 82, 80, 55 Data sesudah di susun 30, 40, 50, 55, 65, 70, 72, 75, 77, 80, 82, 85 •



Tentukan letak kuartil a. Kuartil Bawah b. Kuartil Tengah c. Kuartil Atas



•



Tentukan nilai kuartil Masukan rumus 𝑖 (𝑛+1) Qi = 4



n= 12 Mencari posisi Q1 Qi = Q1 =



𝑖 (𝑛+1) 4 1 (12+1) 4



13 Q1 = 4



Q1 = 3,25 Letak Q1 terletak antara data ke-3 dan data ke-4, sehingga nilai Q1 adalah sebagai berikut. Q1 = data ke-3 + 0,25 (data ke-4 – data ke-3) = 50 + 0,25 (55 – 50) = 50 + 1,25 = 51,25



Mencari posisi Q2 Qi = Q2 =



𝑖 (𝑛+1) 4 2 (12+1) 4



26 Q2 = 4



Q2 = 6,5 Letak Q2 terletak antara data ke-6 dan data ke-7, sehingga nilai Q2 adalah : Q2 = data ke-6 + 0,5 (data ke-7 – data ke-6) = 70 + 0,5 (72 – 70) = 70 + 1 = 71



Mencari posisi Q3 Qi = Q3 =



𝑖 (𝑛+1) 4 3 (12+1) 4



39 Q3 = 4



Q3 = 9,75 Letak Q3 terletak antara data ke-9 dan data ke-10, sehingga nilai Q3 adalah : Q3 = data ke-9 + 0,75 (data ke-10 – data ke-9) = 77 + 0,75 (80 – 77) = 77 + 2,25



= 79,25



Mencari nilai skB Dik : Q1 =51,25 Q2 = 71 Q3 = 79,25 Mencari nilai skB dengan rumus berikut skB = Q3 - 2 Q2 + Q 1 Q3 – Q1 skB =



skB = skB =



79,25−2(71)+51,25 79,25−51,25 79,25−142+51,25 28 −62,75+51,25 28



skB = - 0,41 Karena skB negatif maka distribusinya miring kekiri.



Data kelompok Tentukan skB dari nilai matematika dari 80 siswa kelas VI SD Unggul berikut 70



75



80



73



77



79



74



75



85



64



80



84



66



79



70



82



76



86



72



75



74



89



90



75



83



75



82



69



75



91



81



87



83



76



78



84



94



73



80



77



80



69



65



83



75



86



84



75



72



71



94



73



82



79



68



75



71



85



78



81



74



62



74



60



84



73



88



79



78



72



Jawab Dik : N= 70 Nmax = 94



Nmin = 60 Jangkauan R



= Xmaks - Xmin



R



= 94 – 60 = 34



Banyak kelas K



= 1 + 3,3 . Log n



K



= 1 + 3,3 . Log70 = 1 + 3,3 . 1,8 = 1 + 5,94 = 6,94 dibulatkan 7



Panjang kelas P



=R K = 34 7 = 4,9 dibulatkan 5 No 1. 2. 3. 4. 5. 6 7.



Nilai Qi = Q1 = Q1 =



1 4 1 4



Nilai Kelas Interval 60 - 64 65 - 69 70 - 74 75 - 79 80 - 84 85 - 89 90 - 94 Jumlah 𝑖 4



Frekuensi 2 6 15 20 16 7 4 70



n



n



Q2 =



. 70



Q2 =



Q1 = 17,5



2 4 2 4



Q3 =



. 70



Q3 =



Q2 = 35



Mencari nilai kuartil dengan rumus: Qi = Bb + p [



n



𝑖 𝑛 4



−F



𝑓𝑘𝑖



]



3 4 3 4



n



. 70



Q3 = 52,5



1. Mencari nilai kuartil pertama Bb = 69,5; p= 5; F = 8; fki = 15 Qi = Bb + p [



𝑖 𝑛 4



−F



𝑓𝑘𝑖



Q1 = 69,5 + 5 [



1 4



]



70 −8 15



]



Q1 = 69,5 + 5 (0,63) Q1 = 69,5 + 3,15 Q1 = 72,65



2. Mencari nilai kuartil kedua Bb = 74,5; p = 5; F = 23; fki = 20 Qi = Bb + p [



𝑖 𝑛 4



−F



𝑓𝑘𝑖



Q2 = 74,5 + 5 [



2 4



]



70 −23 20



]



Q2 = 74,5 + 5 (0,6) Q2 = 77,5



3. Mencari nilai kuartil ketiga Bb = 79,5; p = 5; F = 43; fki = 16 Qi = Bb + p [



𝑖 𝑛 4



−F



𝑓𝑘𝑖



Q3 = 79,5 + 5 [



3 4



]



70 −43 16



Q3 = 79,5 + 5 (0,59) Q3 = 79,5 + 2,95 Q3 = 82,45



]



Dik : Q1 = 72,65 Q2 = 77,5 Q3 = 82,45 Untuk mengetahui nilai kemiringan digunakan rumus: skB =



skB =



skB = skB =



Q3 - 2 Q2 + Q 1 Q3 – Q1 82,45 - 2 (77,5 ) + 72,65 82,45 – 72,65 82,45 – 155 + 72,65 9.8 0,1 9,8



skB = 0,01 Karena skB positif maka distribusinya miring kekanan.



3. Koefisien Kemiringan Persentil Koefisien kemiringan persentil didasarkan atas hubungan antarpersentil (𝑃90 , 𝑃50 , dan 𝑃10 ) dari sebuah distribusi. Koefisien kemiringan persentil dirumuskan : 𝑠𝑘𝑝 =



(𝑃90 − 𝑃50 ) − (𝑃50 − 𝑃10 ) 𝑃50 − 𝑃10



𝑠𝑘𝑝 =



𝑃90 − 2𝑃50 + 𝑃10 𝑃50 − 𝑃10



Keterangan : 𝑠𝑘𝑝 P90



: Koefisien kemiringan persentil : Persentil ke-90



P50 P10



: Persentil ke-50 : Persentil ke-10



CONTOH SOAL Nilai Ujian Statistik Mahasiswa Universitas Sriwijaya Tahun 2015 70



75



80



73



77



79



74



75



85



64



80



84



66



79



70



82



76



86



72



75



74



89



90



75



83



75



82



69



75



91



81



87



83



76



78



84



94



73



80



77



80



69



65



83



75



86



84



75



72



71



94



73



82



79



68



75



71



85



78



81



74



62



74



60



84



73



88



79



78



72



Tentukan nilai 𝑠𝑘𝑝 dari data di atas! Diketahui :



Ditanya



n = 70 Xmaks = 94 Xmin = 60 : 𝑠𝑘𝑝 ?



Penyelesaian : a. Buat tabel distribusi frekuensi. R = Xmaks- Xmin = 94-60 = 34 K = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 70 = 1 + 3,3 (1,8) =: 1 + 5, 94 = 6, 94, di bulatkan menjadi 7.



𝑃= 𝑃=



𝑅 𝐾 34 7



= 4,9, dibulatkan menjadi 5.



Tabel Distribusi Frekuensi Nilai Statistik Mahasiswa Universitas Sriwijaya Tahun 2015 No.



Nilai



Frekuensi



Frekuensi Komulatif



1.



60-64



2



2



2



65-69



6



8



3



70-74



15



23



4



75-79



20



43



5



80-84



16



59



6



85-89



7



66



7.



90-94



4



70



n = 70



b. Mencari nilai 𝑃90 , 𝑃50 , dan 𝑃10 . 𝑃𝑠𝑥 = 𝐵𝑏𝑘 + 𝑃 (



𝑟𝑖 − 𝐹 ) 𝑓



Keterangan : 𝑃𝑠𝑥 : Persentil ke x Bbk : Batas bawah P : Panjang kelas F : Frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil f : Frekuensi ri : r% dari n 𝑥 𝑟𝑖 = 𝑛 100







𝑃90



𝑃𝑠𝑥 =



𝐷𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒 𝑥 𝑛 100



𝑃90 =



90 70 100



𝑃90 = 63 𝑃90 terletak di kelas interval ke-6. Berdasarkan tabel distribusi di atas, maka untuk 𝑃90 : Diketahui : Bbk = Bb-0,5 P=5 = 85-0,5 F = 59 = 84,5 f=7 𝑃𝑠𝑥 = 𝐵𝑏𝑘 + 𝑃 (



𝑃90



𝑟𝑖 − 𝐹 ) 𝑓



90 70 − 59 = 84,5 + 5 ( 100 ) 7



𝑃90 = 84,5 + 5 (



63 − 59 ) 7



𝑃90 = 84,5 + 5 (



4 ) 7



𝑃90 = 84,5 + 2,85 𝑃90 = 87,35







𝑃50 𝑃𝑠𝑥 =



𝐷𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒 𝑥 𝑛 100



𝑃50 =



50 70 100



𝑃50 = 35 𝑃50 terletak di kelas interval ke-4. Berdasarkan tabel distribusi di atas, maka untuk 𝑃50 : Diketahui : Bbk = Bb-0,5 P=5 = 75-0,5 F = 23 = 74,5 f = 20 𝑃𝑠𝑥 = 𝐵𝑏𝑘 + 𝑃 (



𝑟𝑖 − 𝐹 ) 𝑓



𝑃50



50 70 − 23 100 = 74,5 + 5 ( ) 20



𝑃50 = 74,5 + 5 (



35 − 23 ) 20



𝑃50 = 74,5 + 5 (



12 ) 20



𝑃50 = 74,5 + 3 𝑃50 = 77,5







𝑃10 𝑃𝑠𝑥 =



𝐷𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒 𝑥 𝑛 100



𝑃10 =



10 70 100



𝑃10 = 7 𝑃10 terletak di kelas interval ke-2. Berdasarkan tabel distribusi di atas, maka untuk 𝑃10 : Diketahui : Bbk = Bb-0,5 P=5 = 65-0,5 F=2 = 64,5 f=6 𝑃𝑠𝑥 = 𝐵𝑏𝑘 + 𝑃 (



𝑃10



𝑟𝑖 − 𝐹 ) 𝑓



10 70 − 2 100 = 64,5 + 5 ( ) 6 𝑃10 = 64,5 + 5 (



7 −2 ) 6



5 𝑃10 = 64,5 + 5 ( ) 6 𝑃10 = 64,5 + 4,17



𝑃10 = 68,67



a. Mencari nilai 𝑠𝑘𝑝 𝑃90 − 2𝑃50 + 𝑃10 𝑠𝑘𝑝 = 𝑃 − 𝑃10 (77,5) + 68,67 87,35 − 2 50 𝑠𝑘𝑝 = 77,5 − 68,67 𝑠𝑘𝑝 =



87,35 − 155 + 68,67 8,83 𝑠𝑘𝑝 =



1,02 8,83



𝑠𝑘𝑝 = 0,115 Karena nilai 𝑠𝑘𝑝 bernilai positif, maka distribusinya miring ke kanan atau disebut memiliki kemiringan yang positif.



LATIHAN SOAL 1. Data Tunggal Nilai Matematika 15 Siswa PGSD Kelas V SD Harapan Mulia 6



5



8



7



9



4



5



8



4



5



8



5



8



4



5



Tentukan nilai 𝑠𝑘𝑝 dari data di atas! Diketahui : n = 15 Ditanya



: 𝑠𝑘𝑝 ?



Penyelesaian : a. Urutkan data terkecil sampai terbesar. 6



5



8



7



9



4



5



8



4



b. Mencari posisi dan nilai 𝑃90 , 𝑃50 , dan 𝑃10 . 



𝑃90



𝐷𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒 𝑥 (𝑛 + 1) 𝐷𝑎𝑡𝑎100 𝑘𝑒 𝑥 𝑃𝑠𝑥 = (𝑛 + 1) 100 𝑃𝑠𝑥 =



5



8



5



8



4



5



𝑃90 =



90 (15 + 1) 100



𝑃90 =



90 (16) 100



𝑃90 = 14,4 Posisi 𝑃90 terletak pada data ke-14. 𝑃90 = 𝐷𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒 14 + 0,4 (𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒 15 − 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒 14) = 8 + 0,4 (9-8) = 8 + 0,4 = 8,4 Jadi, nilai 𝑃90 adalah 8,4. 



𝑃50 𝑃𝑠𝑥 =



𝐷𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒 𝑥 (𝑛 + 1) 100



𝑃50 =



50 (15 + 1) 100



𝑃50 =



50 (16) 100



𝑃50 = 8 Posisi 𝑃50 terletak pada data ke-8. Data ke-8 adalah 6. Jadi, nilai 𝑃50 adalah 6.







𝑃10 𝑃𝑠𝑥 =



𝐷𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒 𝑥 (𝑛 + 1) 100



𝑃10 =



10 (15 + 1) 100



𝑃10 =



10 (16) 100



𝑃10 = 1,6 Posisi 𝑃10 terletak pada data ke-1.



𝑃10 = 𝐷𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒 1 + 0,1 (𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒 2 − 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒 1) = 4 + 0,6 (4-4) = 4 + 0,6 (0) = 4 Jadi, nilai 𝑃10 adalah 4.



c. Mencari nilai 𝑠𝑘𝑝 𝑠𝑘𝑝 =



𝑠𝑘𝑝 =



𝑃90 − 2𝑃50 + 𝑃10 𝑃50 − 𝑃10



8,4 − 2 (6) + 4 6−4



𝑠𝑘𝑝 =



89 − 12 + 4 2



𝑠𝑘𝑝 =



0,4 2



𝑠𝑘𝑝 = 0,2 Karena nilai 𝑠𝑘𝑝 bernilai positif, maka distribusinya miring ke kanan atau disebut memiliki kemiringan yang positif.



2. Data Kelompok Nilai Matematika Siswa Kelas V SD Harapan Mulia Tahun 2015 37



49



63



74



41



50



65



76



42



52



66



78



43



53



69



79



35



45



60



71



35



46



61



73



38



50



64



75



36



47



62



74



43



56



70



79



45



58



70



80



Tentukan nilai 𝑠𝑘𝑝 dari data di atas! Diketahui :



Ditanya



n = 40 Xmaks = 80 Xmin = 35 : 𝑠𝑘𝑝 ?



Penyelesaian : a. Buat tabel distribusi frekuensi. R = Xmaks- Xmin = 80-35 = 45



K = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 40 = 1 + 3,3 (1,6) =: 1 + 5, 28 = 6, 28 dibulatkan menjadi 6. 𝑃= 𝑃=



𝑅 𝐾 45 6



= 7,5 dibulatkan menjadi 8.



Tabel Distribusi Frekuensi Nilai Matematika Kelas V SD Harapan Mulia Tahun 2015 No.



Nilai



Frekuensi



Frekuensi Komulatif



1.



35-42



7



7



2



43-50



9



16



3



51-58



4



20



4



59-66



7



27



5



67-74



7



34



6



75-82



6



40



n = 40



b. Mencari nilai 𝑃90 , 𝑃50 , dan 𝑃10 . 𝑃𝑠𝑥 = 𝐵𝑏𝑘 + 𝑃 (



Keterangan : 𝑃𝑠𝑥 : Persentil ke x



𝑟𝑖 − 𝐹 ) 𝑓



Bbk P F f ri



: Batas bawah : Panjang kelas : Frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil : Frekuensi : r% dari n 𝑥 𝑟𝑖 = 𝑛 100 



𝑃90 𝑃𝑠𝑥 =



𝐷𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒 𝑥 𝑛 100



𝑃90 =



90 40 100



𝑃90 = 36 𝑃90 terletak di kelas interval ke-6. Berdasarkan tabel distribusi di atas, maka untuk 𝑃90 : Diketahui : Bbk = Bb-0,5 P=8 = 75-0,5 F = 34 = 74,5 f=6 𝑃𝑠𝑥 = 𝐵𝑏𝑘 + 𝑃 (



𝑃90



𝑟𝑖 − 𝐹 ) 𝑓



90 40 − 34 100 = 74,5 + 8 ( ) 6



𝑃90 = 74,5 + 8 (



36 − 34 ) 6



𝑃90 = 74,5 + 8 (



2 ) 6



𝑃90 = 74,5 + 2,67 𝑃90 = 77,17







𝑃50 𝑃𝑠𝑥 =



𝐷𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒 𝑥 𝑛 100



𝑃50 =



50 40 100



𝑃50 = 20 𝑃50 terletak di kelas interval ke-3. Berdasarkan tabel distribusi di atas, maka untuk 𝑃50 : Diketahui : Bbk = Bb-0,5 P=8 = 51-0,5 F = 16 = 50,5 f=4 𝑃𝑠𝑥 = 𝐵𝑏𝑘 + 𝑃 (



𝑃50



𝑟𝑖 − 𝐹 ) 𝑓



50 40 − 16 = 50,5 + 8 ( 100 ) 20



𝑃50 = 50,5 + 8 (



20 − 16 ) 20



𝑃50 = 50,5 + 8 (



4 ) 4



𝑃50 = 58,5







𝑃10 𝑃𝑠𝑥 =



𝐷𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒 𝑥 𝑛 100



𝑃10 =



10 40 100



𝑃10 = 4 𝑃10 terletak di kelas interval ke-1. Berdasarkan tabel distribusi di atas, maka untuk 𝑃10 : Diketahui : Bbk = Bb-0,5 P=8 = 35-0,5 F=0 = 34,5 f=7 𝑃𝑠𝑥 = 𝐵𝑏𝑘 + 𝑃 (



𝑃10



𝑟𝑖 − 𝐹 ) 𝑓



10 40 − 0 100 = 34,5 + 8 ( ) 2



𝑃10 = 34,5 + 8 (



4 −0 ) 7



4 𝑃10 = 34,5 + 8 ( ) 7 𝑃10 = 34,5 + 4,57 𝑃10 = 39,07



c. Mencari nilai 𝑠𝑘𝑝 𝑠𝑘𝑝 =



𝑠𝑘𝑝 =



𝑃90 − 2𝑃50 + 𝑃10 𝑃50 − 𝑃10



77,17 − 2 (58,5) + 39,07 58,5 − 39,07



𝑠𝑘𝑝 =



87,35 − 155 + 62 −19,43



𝑠𝑘𝑝 =



− 0,76 19,43



𝑠𝑘𝑝 = −0,039 Karena nilai 𝑠𝑘𝑝 bernilai negatif, maka distribusinya miring ke kanan atau disebut memiliki kemiringan yang negatif.



4. Koefisien Kemiringan/Kemencengan Momen Koefisien kemiringan/kemencengan momen didasarkan pada perbandingan momen ke3 dengan pangkat tiga simpangan baku. Koefisien kemiringan/kemencengan momen dilambangkan dengan 𝛼3 . Koefisien kemiringan/kemencengan momen disebut juga kemencegan relatif. Apabila nilai 𝛼3 dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan: a. Untuk distribusi simetris (normal), nilai 𝛼3 = 0 b. Untuk distribusi miring ke kanan, nilai 𝛼3 = +



c. Untuk distribusi miring ke kiri, nilai 𝛼3 = d. Menurut Karl Pearson, distribusi yang memiliki nilai 𝛼3 > ± 0,50 adalah distribusi yang sangat miring. e. Menurut Kenney dan Keeping, nilai 𝛼3 bervariasi antara ± 2 bagi distribusi yang miring.



Untuk mencari nilai 𝛼3 , dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok a. Untuk data tunggal Koefisien kemiringan momen untuk data tunggal dirumuskan:



𝛼3 =



𝑀3 𝑠3



=



1 𝑛



Σ ( 𝑋 – 𝑋̅ )3 𝑠3



Cari dulu nilai 𝑠 3 dengan rumus: s = √ Keterangan: 𝛼3 = koefisien kemiringan momen s = simpangan standar n = banyak data 𝑋̅ = nilai rata-rata



Contoh soal: Tentukan nilai 𝛼3 dari data berikut! 2,3,5,9,11 Penyelesaian: 𝑋̅ =



2+3+5+9+11 5



=6



Σ ( 𝑋−𝑋̅ )2 𝑛−1



s =√



=√



= =



X - 𝑋̅



( X - 𝑋̅ )2



( X - 𝑋̅ )3



2



-4



16



-64



3



-3



9



-27



5



-1



1



-1



9



3



9



27



11



5



25



125



Jumlah



-



60



60



Σ ( 𝑋−𝑋̅ )2 𝑛−1



60 5−1



=√



𝛼3 =



X



60 4



= 3,873



1 Σ ( 𝑋− 𝑋̅ )3 𝑛 𝑠3 1 (60) 5 (3,87)3



12 57,96



= 0,21



b. Untuk data berkelompok koefisien kemiringan momen untuk data berkelompok dirumuskan:



𝛼3 =



𝑀3 𝑠3



=



1 𝑛



Σ ( 𝑋 − 𝑋̅ )3 𝑓 𝑠3



Cari dulu nilai 𝑠 3 dengan rumus s =C√



Σ 𝑓𝑢2 𝑛



− (



Σ 𝑓𝑢 2



)



𝑛



Atau:



𝛼3 =



𝐶3 𝑠3



Σfu3



=[



𝑛



Σ𝑓𝑢2



− 3(



𝑛



Σ𝑓𝑢



)(



𝑛



)+ 2 (



Σ𝑓𝑢 3 𝑛



) ]



Keterangan: s = simpangan baku C = panjang kelas n = banyak data fu= frekuensi kelas ke u Dalam pemakaiannya, rumus kedua lebih praktis dan lebih mudah perhitungannya.



Contoh Soal: Tentukan tingkat kemencengan dari distribusi frekuensi dibawah ini! Nilai Ujian Statistik Mahasiswa Universitas Sriwijaya Tahun 2015 70



75



80



73



77



79



74



75



85



64



80



84



66



79



70



82



76



86



72



75



74



89



90



75



83



75



82



69



75



91



81



87



83



76



78



84



94



73



80



77



80



69



65



83



75



86



84



75



72



71



94



73



82



79



68



75



71



85



78



81



74



62



74



60



84



73



88



79



78



72



Diketahui : n



Ditanya



= 70



Xmaks



= 94



Xmin



= 60



: Tingkat kemencengan?



Penyelesaian : b. Buat tabel distribusi frekuensi. R = Xmaks- Xmin = 94-60 = 34 K = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 70 = 1 + 3,3 (1,8) =: 1 + 5, 94 = 6, 94, di bulatkan menjadi 7.



𝑃=



𝑃=



𝑅 𝐾 34 7



= 4,9, dibulatkan menjadi 5.



Tabel Distribusi Frekuensi Nilai Statistik Mahasiswa Universitas Sriwijaya Tahun 2015 No.



Nilai



Frekuensi



1.



60-64



2



2



65-69



6



3



70-74



15



4



75-79



20



5



80-84



16



6



85-89



7



7.



90-94



4



Jumlah



n = 70



Jawab: Nilai



X



F



U



Fu



𝑓𝑢2



𝑓𝑢3



60-64



62



2



-3



-6



18



-54



65-69



67



6



-2



-12



24



-48



70-74



72



15



-1



-15



15



-15



75-79



77



20



0



0



0



0



80-84



82



16



1



16



16



16



85-89



87



7



2



14



28



56



90-94



92



4



3



12



36



108



70



-



9



137



63



s =C√



=5√



Σ 𝑓𝑢2 𝑛



137 70



− (



Σ 𝑓𝑢 2 𝑛



)



9 2



− ( ) 70



= 5 √1,9571 − 0.0165 = 5 √1,9406 = 6,97



𝑋̅ =



𝛼3 = =



=



124 + 402 + 1080 + 1540 + 1312 + 609 + 368 70



1 𝑛



X



F



X - 𝑋̅



( X - 𝑋̅ )3



f ( X - 𝑋̅ )3



62



2



-15,64



-3.825,6941



-7.651,3882



67



6



-10,64



-1.204,5501



-7.227,3006



72



15



-5,64



-179,4061



-2.691,0915



77



20



-0,64



-0,2621



-5,242



82



16



4,36



82,8818



1.326,1088



87



7



9,36



820,0258



5.740,1806



92



4



14,36



2.961,1698



11.844,6792



Jumlah



70



-



-



1.335,9463



Σ ( 𝑋 − 𝑋̅)3 𝑓 𝑠3



1 70



( 1.335,9463 ) (6,97)3



1 70



= 77,64



( 1.335,9436 ) 338,6088



=



19,0849 338,6088



= 0,05 Atau dengan rumus yang ke 2 Nilai



X



F



U



Fu



𝑓𝑢2



𝑓𝑢3



60-64



62



2



-3



-6



18



-54



65-69



67



6



-2



-12



24



-48



70-74



72



15



-1



-15



15



-15



75-79



77



20



0



0



0



0



80-84



82



16



1



16



16



16



85-89



87



7



2



14



28



56



90-94



92



4



3



12



36



108



70



-



9



137



63



s =C√



=5√



Σ 𝑓𝑢2 𝑛



137 70



− (



Σ 𝑓𝑢 2



)



𝑛



9 2



− ( ) 70



= 5 √1,9571 − 0.0165 = 5 √1,9406 = 6,97



𝛼3 =



𝐶3 𝑠3



Σfu3



=[



𝑛



Σ𝑓𝑢2



− 3(



𝑛



Σ𝑓𝑢



)(



𝑛



)+ 2 (



Σ𝑓𝑢 3 𝑛



) ]



=



=



3



53



63



125



[0,9 − 3 (1,957) (0,129) + 2 (0,129)3 ]



𝛼3 = (6,97)3 [



338,609 125 338,609



137



9



9



− 3 ( ) ( )+ 2 ( ) ] 70 70 70 70



[0,9 − 0,757 + 0,007]



= 0,369 ( 0,147 ) = 0,05



Latihan Soal: Data tunggal Nilai Statistika 10 Mahasiswa PGSD Kelas 5 A 65



70



90



40



35



45



70



80



75



50



Penyelesaian: 𝑋̅ =



35+40+45+50+65+70+70+75+80+90 10



= 62



X



X - 𝑋̅



( X - 𝑋̅ )2



( X - 𝑋̅ )3



35



-27



729



-19.683



40



-22



484



-10.648



45



-17



289



-4913



50



-12



144



-1728



65



3



9



27



70



8



64



512



s =√



=√



=



=



=



8



64



512



75



13



169



2197



80



18



324



5832



90



28



784



21.952



Jumlah



-



3060



-5940



Σ ( 𝑋−𝑋̅ )2 𝑛−1



3.060 10−1



=√



𝛼3 =



70



3.060 9



= 18,43



1 Σ ( 𝑋− 𝑋̅ )3 𝑛 𝑠3 1 (−5940 ) 10 (18,43)3 1 (−5940 ) 10



6.260,02 −594 6260,02



= 0,09



Data kelompok 65 67 68 69 70 68 70 74 75 76 76 76 77 78 79 77 80 82 71 73 71 73 71 73 71 72 71 72 75 75 75 75 74 76 74 74 74 72 72 72 Diketahui : n



Ditanya



= 40



Xmaks



= 82



Xmin



= 65



: tingkat kemencengan momen?



Penyelesaian : a. Buat tabel distribusi frekuensi. R = Xmaks- Xmin = 82-65 = 17



K = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 40 = 1 + 3,3 (1,6) =: 1 + 5, 28 = 6, 28, di bulatkan menjadi 6.



𝑃=



𝑃=



𝑅 𝐾 17 6



= 2,83, dibulatkan menjadi 3.



Tabel Distribusi Frekuensi Nilai Mahasiswa Universitas Sriwijaya Tahun 2015 No.



Nilai



Frekuensi



1.



65-67



2



2



68-70



5



3



71-73



13



4



74-76



14



5



77-79



4



6



80-82



2



Jumlah



40



Nilai



X



F



U



Fu



𝑓𝑢2



𝑓𝑢3



65-67



66



2



-3



-6



18



-54



68-70



69



5



-2



-10



20



-40



71-73



72



13



-1



-13



13



-13



74-76



75



14



0



0



0



0



77-79



78



4



1



4



4



4



80-82



81



2



2



4



8



16



40



-



-21



63



-87



s =C√



=3√



Σ 𝑓𝑢2



63



𝑛



− (



Σ 𝑓𝑢 2 𝑛



−21 2



− ( ) 40 40



)



= 3 √1,575 − 0,276 = 3 √1.1397 = 3,20



X



F



X - 𝑋̅



( X - 𝑋̅ )3



f ( X - 𝑋̅ )3



66



2



-7,425



-409,3448



-818,6896



69



5



-4,425



-86,6442



-433,221



72



13



1,425



2,8936



37,6168



75



14



1,575



3.9069



54,6966



78



4



4,575



95,7576



383,0304



81



2



7,575



434,6582



869,3164



-



-



92,7496



Jumlah



𝛼3 = =



=



1 𝑛



Σ ( 𝑋 − 𝑋̅)3 𝑓 𝑠3



1 40



(92,7496 ) (3,20)3



1 40



( 92,7496 ) 32,77



= 0,07



Dengan rumus kedua: Nilai



X



F



U



Fu



𝑓𝑢2



𝑓𝑢3



65-67



66



2



-3



-6



18



-54



68-70



69



5



-2



-10



20



-40



71-73



72



13



-1



-13



13



-13



74-76



75



14



0



0



0



0



77-79



78



4



1



4



4



4



80-82



81



2



2



4



8



16



40



-



-21



63



-87



s =C√



=3√



Σ 𝑓𝑢2 𝑛



− (



Σ 𝑓𝑢 2



)



𝑛



−21 2



63



− ( ) 40 40



= 3 √1,575 − 0,276 = 3 √1.1397 = 3,20



𝛼3 =



𝐶3 𝑠3



Σfu3



=[ 33



𝑛



−87



𝛼3 = (3,20)3 [ =



=



=



27 32,768 27 32,768 27 32,768



Σ𝑓𝑢2



− 3(



40



𝑛 63



Σ𝑓𝑢



)(



𝑛



)+ 2 (



−21



Σ𝑓𝑢 3 𝑛



) ]



−21 3



− 3 ( ) ( )+ 2 ( ) ] 40 40 40



[−2,175 − 3 (−1,575) (−0,525) + 2 (−0,525)3 ] [−2,175 − 3 (−0,827) + 2 (0,145)] [−2,175 + 2,481 + 0,29]



= 0,824 ( 0,596) = 0,07



C. KURTOSIS Keruncingan atau kurtosis adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi yang biasanya diambil secara relatif terhadap suatu distribusi normal. Berdasarkan keruncingannya, kurva distribusi dapat dibedakan atas tiga macam, yaitu : 1) Leptokurtik Leptokurtik merupakan kurva distribusi yang sangat runcing memiliki puncak relatif lebih tinggi dan nilai-nilai datanya sangat terpusat di sekitar nilai rata-rata. 2) Mesokurtik Mesokurtik merupakan kurva distribusi yang kemiringannya sedang memiliki puncak yang tidak tinggi dan tidak mendatar penggambaran dari suatu distribusi normal. 3) Platikurtik Platikurtik merupakan kurva distribusi yang bentuknya mendatar memiliki puncak hamper mendatar dan nilai-nilai datanya tersebar secara merata sampai jauh dari rata-ratanya.



Gambar Kurva Leptokurtik



Gambar Kurva Mesokurtik



Gambar Kurva Platikurtik



1. Koefisien Keruncingan Koefisien keruncingan atau koefisien kurtosis dilambangkan dengan 𝛼4 (alpha 4). Jika hasil perhitungan koefisien keruncingan diperoleh : a. Nilai lebih kecil dari 3 (< 3) maka distribusinya adalah distribusi platikurtik. b. Nilai lebih besar dari 3 (> 3) maka distribusinya adalah distribusi leptokurtik. c. Nilai yang sama dengan 3 (=3) maka distribusinya adalah distribusi mesokurtik. Untuk mencari nilai koefisien keruncingan, dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok. a) Data tunggal



𝛼4 =



1 𝑛



∑ (𝑋 − 𝑋)4 𝑠4



Keterangan : 𝛼4 : Koefisien kurtosis 𝑛



: Banyaknya data



𝑋 : Nilai data 𝑋 : nilai rata-rata S



: Simpangan standar



Contoh soal 1 : Tentukan keruncingan kurva dari data : 2, 3, 6, 8, 11 !



Penyelesaian : Diketahui : 𝑋 =6



X



X–X



(𝑋 − 𝑋)2



(𝑋 − 𝑋)4



2



-4



16



256



3



-3



9



81



6



0



0



0



8



2



4



16



11



5



25



625



0



54



978



Jumlah



S = √∑(𝑋 − 𝑋)2 n–1 =√



=



54 5−1



√



54 4



= √13,5 = 3,67 Maka s didapat 3,67 𝛼4 =



1 𝑛



∑ (𝑋 − 𝑋)4 𝑠4



=



1 ( 978) 5 (36,7)4



=



195,6 181,4



= 1,08 Karena nilainya lebih kecil dari 3 maka distribusinya adalah platikurtik.



Contoh Soal 2 : Tentukan keruncingan kurva dari data : 2, 5, 7, 8, 10, 13, 15, 30 ! Penyelesaian : Diketahui : 𝑋 =8



X



X–X



(𝑋 − 𝑋)2



(𝑋 − 𝑋)4



2



-6



36



1.296



5



-3



9



81



7



-1



1



1



8



0



0



0



10



2



4



16



13



5



25



625



15



7



49



2.401



30



22



484



234.256



26



608



236.515



Jumlah



S = √∑(𝑋 − 𝑋)2 n–1 =√



608 8−1



=



√



608 7



= √86,8 = 9,31 Maka s didapat 9,31



1



𝛼4 =



𝑛



∑ (𝑋 − 𝑋)4 𝑠4



1 ( 236,515) 8 (9,31)4



=



=



29,56 7,512



= 3,93 Karena nilainya lebih besar dari 3 maka distribusinya adalah leptokurtik.



b. Data berkelompok Untuk menghitung tingkat keruncingan suatu kurva( koefisien kurtosis) dipergunakan rumus α4 yang dirumuskan sebagai berikut.







4







1  ( x  x) 4 f n s4



Keterangan:  4 = Koefisien kurtosis



x = Nilai data ke-i



x = Nilai rata-rata f = Frekuensi nilai ke-i n = Banyaknya data S = Simpangan standar



Berdasarkan koefisien kurtosisnya, maka jenis kurvanya dikategorikan sebagai berikut :  4 > 3, kurvanya runcing (leptokurtik)  4 = 3, kurvanya distribusi normal (mesourtik)  4 < 3, kurvanya agak datar (platikurtik) Jika dipakai skala cara sederhana, rumus di atas berubah menjadi :



      fu 2 3    fu    fu  4      c 4   f u   6  4   4  4 n n n  S  n   



   fu    n



Keterangan :  4 = Koefisien keruncingan n = Banyaknya data c = Panjang kelas S = Simpangan standar fu = Frekuensi kelas ke-i Contoh soal 1 Berikut ini adalah data dari pengukuran dari pengukuran diameter pipa 65 67 68 68 69 70 70 71 71 71 71



72



72



72



72



73



73



73



73



73



74



74



74



74



74



74



75



75



75



76



76



76



76



76



77



78



79



79



80



81



a. Tentukan nilai koefisien keruncingannya dan bentuknya! b. Gambarlah grakiknya! Penyelesaian Diket: N= 40 Xmaks = 81 Xmin = 65 Ditanya: a. Tentukan nilai koefisien keruncingannya dan bentuknya! b. Gambarlah grakiknya! Jawab: Range ( Jangkauan ) R= Xmaks – Xmin R= 81- 65



2



    fu    3 n



   



4



       



= 16 Banyak kelas K = 1+3.3 log n K= 1+3.3 log n K= 1+3.3 log 40 K= 1+ 3.3 ( 1,60 ) K= 1+ 5,28 K= 6,28 dibulatkan 6 Interval kelas R P= K 16 P= 6 = 2,6 . Dibulatkan 3 Tabel DistribusiFrekuensi Pengukuran Diameter Pipa Diameter(mm)



Frekuensi



65-67



2



68-70



5



71-73



13



74-76



14



77-79



4



80-82



2



Jumlah



40



Diameter



X



𝑓



𝑢



𝑢2



𝑢3



𝑢4



𝑓𝑢



𝑓𝑢2



𝑓𝑢3



𝑓𝑢4



65-67



66



2



-3



9



-27



81



-6



18



-54



162



68-70



69



5



-2



4



-8



16



-5



20



-40



80



71-73



72



13



-1



1



-1



1



-13



13



-13



13



74-76



75



14



0



0



0



0



0



0



0



0



77-79



78



4



1



1



1



1



4



4



4



4



80-82



81



2



2



4



8



16



4



8



16



32



-21



63



-87



291



Jumlah



40



 fu



sC



2



n



C



  fu     n   



63   21    40  40 



2



2



= 3 1,575  0,276 = 3,42 Kita gunakan rumus kedua :       fu 2    fu 3    fu  4      4  f u c     6  4   4  4 n n n  S  n   







34 (3,43) 4



   fu    n



2



    fu    3 n



   



4



       



 291   87   21   63   21  2   21  4    4    6    3    40 40 40 40 40 40            



81 (2,7075  2,6046  0,2279) 136,81 = 3,0102







Kita gunakan rumus pertama : Dari perhitungan didapat: s =3,42 











XX



( X  X )4



f ( X  X )4



2



-7,425



3.039,3858



6.078,7716



69



5



-4,425



383,4009



1.917,0044



72



13



-1,425



4,1234



53,6047



75



14



1,575



6,1535



86,1490



78



4



4,575



438,0911



1.752,3642



81



2



7,575



3.292,5361



6.585,0722



Jumlah



40



-



-



16.472,9661



X



𝑓



66







4







1  ( x  x) 4 f n s4



1 x16.472,9661  40 (3,42) 4







411,8241 136,8058



 3,01 Karena nilai keruncingannya ( 4 ) hampir sama atau sama dengan 3 maka bentuk kurvanya adalah mesokurtik.



Gambar grafiknya adalah : 14 13



5 4



2



66



69



72



75



78



81



Keruncingan kurva diameter pipa



Soal Latihan 1. Nilai matematika 40 siswa kelas V di SD Harapan Mulia Tahun 2016 37



49



63



74



41



50



65



76



42



52



66



78



43



53



69



79



35



45



60



71



35



46



61



73



38



50



64



75



36



57



62



74



43



56



70



79



45



58



70



80



a. Tentukan nilai koefisien keruncingannya dan bentuknya! b. Gambarlah grafiknya Penyelesaian: Diket: N= 40 Xmaks = 80 Xmin = 35 Ditanya: Tentukan nilai koefisien keruncingannya dan bentuknya! c. Gambarlah grafiknya! Jawab: Range( Jangkauan ) R= Xmaks – Xmin R= 80- 35 = 45 Bayak kelas K = 1+3.3 log n K= 1+3.3 log n K= 1+3.3 log 40 K= 1+ 3.3 ( 1,60 ) K= 1+ 5,28 K= 6,28 dibulatkan 7 Interval kelas R P= K 45 P= 7 = 6,42 . Dibulatkan 7



Tabel Distribusi Frekuensi Nilai Matematika Kelas V SD Harapan Mulia Nilai



Frekuensi



Frekuensi Kumulatif



1



35-41



6



6



2



42-48



6



12



3



49-55



6



18



4



56-62



5



23



5



63-69



5



28



6



70-76



8



36



7



77-83



4



40



Jumlah



40



Nilai



X



𝑓



𝑢



𝑢2



𝑢3



𝑢4



𝑓𝑢



𝑓𝑢2



𝑓𝑢3



𝑓𝑢4



35-41



38



6



-3



9



-27



81



-18



54



-162



486



42-48



45



6



-2



4



-8



16



-12



24



-48



96



49-55



52



6



-1



1



-1



1



-6



6



-6



6



56-62



59



5



0



0



0



0



0



0



0



0



63-69



66



5



1



1



1



1



5



5



5



5



70-76



73



8



2



4



8



16



16



32



64



128



77-83



80



4



3



9



27



81



12



36



108



324



-3



157



-39



1.045



40



Jumlah



sC



No



 fu n



2



  fu     n   



157   3  C   40  40 



= 3 1,575  0,276



2



2



= 3,48



Kita gunakan rumus kedua :       fu 2    fu 3    fu  4      4  f u c     6  4   4  4 n n n  S  n   



74  (3,48) 4



   fu    n



2



    fu    3 n



   



4



       



 1.045   39   3   157   3  2   3  4    4    6    3    40 40 40 40 40 40            



2401 (25,8325  0,005625  0,00003164) 146.66 2401  25,838 146.66 







62037,262 146.66



= 4.22 Kita gunakan rumus pertama : Dari perhitungan didapat: s =3.48















Nilai



fi



xi



f i xi



Xi  X



(X i  X )4



fi ( X i  X )4



35-41



6



38



228



-20,47



175,578.51



1,053,471.06



42-48



6



45



270



-13,47



32,920.80



197,524.8



49-55



6



52



312



-6,47



1,752.33



56-62



5



59



295



0,53



0.0789



63-69



5



66



330



7,53



3,214.99



70-76



8 73



584



14,53



10,513.98 0,3945 16,074.95 356,576.24



44,572.03



77-83



4 80



Jumlah







x



40



fx f i



21,53



320



859,480.64 214,870.16



2339



-



-



2,497,586.67



i



i



2339 40  58,47











4







1 ( x  x) 4 f  n s4



1 x 2,497,586.67  40 (3.48) 4 



62037,262 146.66



= 4.22 Karena nilai keruncingannya ( 4 ) >3 maka bentuk kurvanya adalah leptokurtik. Gambar grafiknya adalah :



8



6 5 4



38



45



52



59



66



73



80



2. Koefisien Kurtosis Persentil Koefisien kurtosis persentil dilambangkan dengan K (kappa). Untuk distribusi normal, nilai K = 0,263. Koefisien kurtosis persentil, dirumuskan:



1 Q3  Q1  2  P90  P10 Keterangan:  Q3



: Koefisien kurtosis persentil : Kuartil ketiga



Q1 P90 P10



: Kuartil pertama : Persentil ke-90 : Persentil ke-10



Contoh Soal 1: Diketahui data nilai Ulangan Matematika Kelas XII SMA 1 Pemali ialah sebagai berikut: 84



84



82



71



74



60



55



75



74



62



57



67



80



77



73



67



67



66



82



83



70



72



73



67



76



64



74



56



61



68



75



76



65



68



66



69



a. Tentukan koefisien kurtosis persentil! b. Apakah distribusinya termasuk distribusi normal?



JAWAB: Buat tabel distribusi frekuensi. Diketahui Xmaks



= 84



Xmin = 55 n



= 36 R = Xmaks- Xmin = 84-55 = 29 K = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 36 = 1 + 3,3 (1,57) =: 1 + 5, 18 = 6, 18, di bulatkan menjadi 6. 𝑃=



𝑅 𝐾



P



29 6



= 4,83, dibulatkan menjadi 5.



Nilai Ulangan Matematika Kelas XII SMA 1 Pemali No



Nilai



Frekuensi (f)



1



55-59



3



2



60-64



4



3



65-69



10



4



70-74



8



Ditanya



5



75-79



5



6



80-84



6



Jumlah



36



?



:



Penyelesaian:



1 Q3  Q1  2  P90  P10 1. Menentukan Q1 Kelas Q1 adalah



1  36  9 , berada di data ke-9 4



Berada di interval kelas ke-3, Diketahui:



Tb  65  0,5  64,5



F  f1  f 2 F  3 4  7 f  10



c5 n  36 Ditanya



: Q1 ?



Penyelesaian:



i   n F  c Qi  Tb   4 f       1    36  7  4 5 Q1  64,5   10       97 Q1  64,5   5  10  2 Q1  64,5   5  10 



Q1  64,5  1 Q1  65,5



2. Menentukan Q3



Kelas Q3 adalah



3  36  27 , berada di data ke-27 4



Berada di interval kelas ke-5, Diketahui:



Tb  75  0,5  74,5



F  f1  f 2  f 3  f 4 F  3  4  10  8  25 f 5



c5 n  36



: Q3 ?



Ditanya Penyelesaian:



i   n F  c Qi  Tb   4 f       3    36  25  5 Q3  74,5   4 5        27  25  Q3  74,5   5  5  2 Q3  74,5   5 5



Q3  74,5  2 Q3  76,5



3. Menentukan P10 Kelas P10 adalah



10  36  3,6 , berada di data ke-3,6 100



Berada di interval kelas ke-2, Diketahui:



Tb  60  0,5  59,5



F  f1 F 3 f 4



c5



n  36 : P10 ?



Ditanya Penyelesaian:



 i  n F   c Pi  Tb   100 f        10   360  3   5 P10  59,5   100 4        3,6  3  P10  59,5   5  4 



3 P10  59,5    4



P10  59,5  0,75



P10  60,25



4. Menentukan P90 Kelas P90 adalah



90  36  32,4 , berada di data ke-32,4 100



Berada di interval kelas ke-6, Diketahui:



Tb  80  0,5  79,5



F  f1  f 2  f 3  f 4  f 5 F  3  4  10  8  5  30 f 6



c5 n  36 Ditanya



: P90 ?



Penyelesaian:



 i  n F   c Pi  Tb   100 f        90   36  30   5 P90  79,5   100 6        32,4  30  P90  79,5   5 6  



 2,4  P90  79,5   5  6 



P90  79,5  2



P90  81,5



Diketahui:



Q1  65,5 Q3  76,5 P10  60,25



P90  81,5 Koefisien kurtosis persentil   adalah



1 Q3  Q1  2  P90  P10



1 76,5  65,5  2 81,5  60,25 1 11  2 21,25 



5,5 21,25



  0,259



Karena   0,259   0,263 , Maka, distribusinya bukan distribusi normal



Contoh Soal 2: Nilai Ujian Statistik Mahasiswa Universitas Sriwijaya Tahun 2015 70



75



80



73



77



79



74



75



85



64



80



84



66



79



70



82



76



86



72



75



74



89



90



75



83



75



82



69



75



91



81



87



83



76



78



84



94



73



80



77



80



69



65



83



75



86



84



75



72



71



94



73



82



79



68



75



71



85



78



81



74



62



74



60



84



73



88



79



78



72



a. Tentukan koefisien kurtosis persentil! b. Apakah distribusinya termasuk distribusi normal?



Diketahui :



n



= 70



Xmaks



= 94



Xmin Ditanya



= 60



: ?



Penyelesaian : c. Buat tabel distribusi frekuensi. R = Xmaks- Xmin = 94-60 = 34 K = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 70 = 1 + 3,3 (1,8) =: 1 + 5, 94 = 6, 94, di bulatkan menjadi 7. 𝑃= 𝑃=



𝑅 𝐾 34 7



= 4,9, dibulatkan menjadi 5.



Tabel Distribusi Frekuensi Nilai Statistik Mahasiswa Universitas Sriwijaya Tahun 2015



No.



Nilai



Frekuensi



Frekuensi Komulatif



1.



60-64



2



2



2



65-69



6



8



3



70-74



15



23



4



75-79



20



43



5



80-84



16



59



6



85-89



7



66



7.



90-94



4



70



n = 70



1 Q3  Q1  2  P90  P10 1. Menentukan Q1 Kelas Q1 adalah



1  70  17,5 , berada di data ke-17,5 4



Berada di interval kelas ke-3, Diketahui:



Tb  70  0,5  69,5



F  f1  f 2 F  26 8 f  15



c5 n  70 Ditanya



: Q1 ?



Penyelesaian:



i   n F  c Qi  Tb   4 f       1    70  8  4 5 Q1  69,5   15        17,5  8  Q1  69,5   5  15   9,5  Q1  69,5   5  15 



Q1  69,5  3,17 Q1  72,67



2. Menentukan Q3



Kelas Q3 adalah



3  70  52,5 , berada di data ke-52,5 4



Berada di interval kelas ke-5, Diketahui:



Tb  80  0,5  79,5



F  f1  f 2  f 3  f 4 F  2  6  15  20  43 f  16



c5 n  70



: Q3 ?



Ditanya Penyelesaian:



i   n F  c Qi  Tb   4 f       3    70  43  5 Q3  79,5   4 16        52,5  43  Q3  79,5   5  16   9,5  Q3  79,5   5  16 



 47,5  Q3  79,5     16 



Q3  79,5  2,97



Q3  82,47 3. Menentukan P10 Kelas P10 adalah



10  70  7 , berada di data ke-7 100



Berada di interval kelas ke-2, Diketahui:



Tb  65  0,5  64,5



F  f1 F 2 f 6



c5



n  70 : P10 ?



Ditanya Penyelesaian:



 i  n F   c Pi  Tb   100 f        10   70  2   5 P10  64,5   100 6       72 P10  64,5   5  6 



5 P10  64,5   5 6



P10  64,5  4,17



P10  68,67



4. Menentukan P90 Kelas P90 adalah



90  70  63 , berada di data ke-63 100



Berada di interval kelas ke-6, Diketahui:



Tb  85  0,5  84,5



F  f1  f 2  f 3  f 4  f 5 F  2  6  15  20  16  59 f 7



c5 n  70 Ditanya



: P90 ?



Penyelesaian:



 i  n F   c Pi  Tb   100 f        90   70  59   5 P90  84,5   100 7        63  59  P90  84,5   5  7 



4 P90  84,5   5 7



P90  84,5  2,86



P90  87,36



Diketahui:



Q1  72,67 Q3  82,47 P10  68,67



P90  87,36 Koefisien kurtosis persentil   adalah



1 Q3  Q1  2  P90  P10



1 82,47  72,67  2 87,36  68,67 1 9,8  2 18,69 



4,9 18,69



  0,262



Karena   0,262   0,263 Maka, distribusinya bukan distribusi normal



Latihan Soal



Nilai Matematika Siswa Kelas V SD Harapan Mulia Tahun 2015 37



49



63



74



41



50



65



76



42



52



66



78



43



53



69



79



35



45



60



71



35



46



61



73



38



50



64



75



36



47



62



74



43



56



70



79



45



58



70



80



a. Tentukan koefisien kurtosis persentil! b. Apakah distribusinya termasuk distribusi normal? Diketahui :



n



= 40



Ditanya



Xmaks



= 80



Xmin



= 35



: ?



Penyelesaian : a. Buat tabel distribusi frekuensi. R = Xmaks- Xmin = 80-35 = 45 K = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 40 = 1 + 3,3 (1,6) =: 1 + 5, 28 = 6, 28 dibulatkan menjadi 6. 𝑃= 𝑃=



𝑅 𝐾 45 6



= 7,5 dibulatkan menjadi 8.



Tabel Distribusi Frekuensi Nilai Matematika Kelas V SD Harapan Mulia Tahun 2015 No.



Nilai



Frekuensi



Frekuensi Komulatif



1.



35-42



7



7



2



43-50



9



16



3



51-58



4



20



4



59-66



7



27



5



67-74



7



34



6



75-82



6



40



n = 40



1 Q3  Q1   2 P90  P10 1. Menentukan Q1 Kelas Q1 adalah



1  40  10 , berada di data ke-10 4



Berada di interval kelas ke-2, Tb  43  0,5  42,5



Diketahui:



F  f1 F 7 f 9



c 8 n  40 Ditanya



: Q1 ?



Penyelesaian:



i   n F  c Qi  Tb   4 f       1    40  7  8 Q1  42,5   4 9        10  7  Q1  42,5   8  9 



 24  Q1  42,5     9 



Q1  42,5  2,67 Q1  45,17



2. Menentukan Q3 Kelas Q3 adalah



3  40  30 , berada di data ke-30 4



Berada di interval kelas ke-5, Tb  67  0,5  66,5



Diketahui:



F  f1  f 2  f 3  f 4 F  7  9  4  7  27 f 9



c 8



n  40 Ditanya



: Q3 ?



Penyelesaian:



i   n F  c Qi  Tb   4 f       3    40  27  4 8 Q3  66,5   7      



 30  27  Q3  66,5   8  7  3 Q3  66,5   8 7



Q3  66,5  3,43 Q3  69,93 3. Menentukan P10 Kelas P10 adalah



10  40  4 , berada di data ke-4 100



Berada di interval kelas ke-1, Tb  35  0,5  34,5



Diketahui:



F 0 f 7



c 8



n  40 Ditanya



: P10 ?



Penyelesaian:



 i  n F   c Pi  Tb   100 f        10   40  0   8 P10  34,5   100 7      



 40 P10  34,5   8  7  4 P10  34,5   8 7



P10  34,5  4,57 P10  39,07



4. Menentukan



P90



Kelas P90 adalah



90  40  36 , berada di data ke-36 100



Berada di interval kelas ke-6, Tb  75  0,5  74,5



Diketahui:



F  f1  f 2  f 3  f 4 f 5 F  34 f 6



c 8 n  40 Ditanya



: P90 ?



Penyelesaian:



 i  n F   c Pi  Tb   100 f      



 90   40  34   8 P90  74,5   100 6        36  34  P90  74,5   8  6   16  P90  74,5    6



P90  74,5  2,67 P90  77,17



Diketahui:



Q1  45,17 Q3  69,93 P10  39,07 P90  77,17 Koefisien kurtosis persentil   adalah



1 Q3  Q1   2 P90  P10



1 69,93  45,17 2  77,17  39,07 1 24,76 2  38,1







12,38   0,325 38,1



Karena   0,325   0,263 Maka, distribusinya bukan distribusi normal, melainkan distribusi leptokurtik.



BAB III PENUTUP KESIMPULAN 



Momen adalah gabungan antara rata-rata dan varians.







Kemiringan adalah tingkat ketidaksimetrisan atau kejauhan simetri dari sebuah distribusi. Untuk mengetahui bahwa konsentrasi distribusi miring ke kanan atau miring ke kiri dapat digunakan metode seperti Koefisien Kemiringan Pearson, Koefisien Kemiringan Bowley, Koefisien Kemiringan Persentil, Koefisien Kemiringan Momen.







Kurtosis adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi yang biasanya diambil secara relatif terhadap suatu distribusi normal.



DAFTAR PUSTAKA



Hamid, Akib, dkk. 2014. Statistika Pendidikan. Tanggerang : Universitas Terbuka Iqbal, Hasan. 2013. Pokok-Pokok Materi Statistik 1. Jakarta : PT. Bumi Aksara Spiegel, R. Murray, dkk. 1988. Statistika. Jakarta : Erlangga Sudjana. 2005. Metode Statistika. Bandung : Tarsito Subana, dkk. 2000. Statistik Pendidikan. Bandung : CV Pustaka Setia



96