12 0 508 KB
BAB I. PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL DENGAN DERET KUASA / PANGKAT Metode ini sesuai untuk digunakan menyelesaikan persamaan diferensial linear dengan koefisien variable. Penyelesaian persamaan diferensial yang diperoleh dengan metode ini berbentuk deret pangkat (power series). Metode ini merupakan sesuatu yang penting dalam praktek, karena power series dapat digunakan untuk menghitung nilai numerik, mengkarakterisasi berbagai sifat umum dari suatu penyelesaian PD dan mendapatkan representasi dalam bentuk lain penyelesaian PD. 1. Deret Kuasa / Pangkat (Power Series) Deret pangkat adalah deret tak hingga yang berbentuk: â
â đđ (đĨ â đĨ0 )đ = đ0 + đ1 (đĨ â đĨ0 ) + đ2 (đĨ â đĨ0 )2 + đ3 (đĨ â đĨ0 )3 + ââââââââ đ=0
(1)
Dengan: đĨ : variable đĨ0 : center of series đđ : koefisien deret pangkat, merupakan bilangan real Dalam kebanyakan pemakaian x0 = 0, dan kita mendapatkan deret pangkat dalam x, â
â đđ đĨ đ = đ0 + đĨ + đ2 đĨ 2 + đ3 đĨ 3 + ââââââââ đ=0
(2)
Karakteristik utama dari deret pangkat adalah mengandung sebuah variable dan konvergensinya tergantung pada nilai variable tersebut. karena itu penting untuk mengetahui pada nilai variable berapakah deret pangkat akan konvergen. Perhatikan: 1. Deret pangkat akan konvergen bila x = x0 2. Sembarang jumlahan parsial dari deret diatas adalah polynomial Untuk sembarang deret pangkat yang berbentuk : đ0 + đ1 (đĨ â đĨ0 ) + đ1 (đĨ â đĨ0 )1 + đ2 (đĨ â đĨ0 )2 + âââââââ
Sejumlah bilangan dimana deret pangkat konvergen merupakan suatu interval pada garis bilangan real dengan pusat x0. Teorema: Untuk sembarang deret pangkat dengan bentuk (1), berlaku salah satu dari kondisi berikut. 1. Deret hanya konvergen pada x = x0. 2. Deret konvergen pada semua nilai x 3. Terdapat suatu interval bilangan R sehingga: - deret konvergen ketika īŧx â x0īŧ < R, dan - deret divergen ketika īŧx â x0īŧ > R Sehingga kita mempunyai definisi sebagai berikut: Himpunan īģpīR: deret pangkat konvergen bila x digantikan dengan pīŊ, disebut sebagai interval konvergensi dari deret pangkat. R disebut sebagai jari-jari konvergensi. Kasus no 1 mempunyai jari-jari konvergensi 0 dan kasus no 2 mempunyai jari-jari konvergensi īĨ. Perhitungan untuk menentukan jari-jari konvergensi: Untuk deret pangkat yang berbentuk â
â đđ (đĨ â đĨ0 )đ = đ0 + đ1 (đĨ â đĨ0 ) + đ2 (đĨ â đĨ0 )2 + đ3 (đĨ â đĨ0 )3 + ââââââââ đ=0
jari-jari konvergensinya ditentukan dengan salah satu dari rumus berikut: đ
=
1
(3)
đ
lim â|đđ |
đââ
Atau đ
=
1 đ lim | đ+1 | đââ đđ
Contoh: tentukan jari â jari konvergensi dari deret berikut: â
â đ! đĨ đ = 1 + đĨ + 2đĨ 2 + 6 đĨ 3 + ââââââââ đ=0
(4)
đđ = đ!;
đđ+1 đđ
=
(đ+1)! đ!
= đ + 1 â â, untuk đ â â , sehingga deret ini hanya
konvergen pada x = x0. Deret yang seperti ini tidak berguna. â
1 = â đĨ đ = 1 + đĨ + đĨ 2 + đĨ 3 + ââââââââ 1âđĨ đ=0
am= 1 untuk semua m, dari persamaan (3) didapat R=1, yaitu deret pangkat konvergen bila īŧxīŧ < 1 â đĨ
đ = â đ=0
đĨđ đĨ2 đĨ3 = 1+ đĨ+ + + ââââââââ đ! 2! 3!
am= 1/m!, dari persamaan (4) didapat đđ+1 1/(đ + 1)! 1 = = â 0, untuk đ đđ 1/đ! đ+1 â â, deret konvergen untuk semua nilai x
2. Operasi â operasi pada Power Series Termwise differentiation Deret pangkat dapat diturunkan suku demi suku. Bila â
đĻ = â đđ (đĨ â đĨ0 )đ konvergen untuk |đĨ â đĨ0 | < R, dengan R > 0, đ=0
maka deret yang diperoleh dengan menurunkan setiap sukunya juga konvergen pada interval tersebut dan menunjukkan turunan (yâ) dari y terhadap x. â
đĻⲠ= â đ đđ (đĨ â đĨ0 )đâ1 đ=0
Termwise addition Dua deret pangkat dapat ditambahkan suku demi suku. Bila â
â
đ(đĨ) = â đđ (đĨ â đĨ0 đ=0
)đ
dan
đ(đĨ) = â đđ (đĨ â đĨ0 )đ , maka
â
đ=0
đ(đĨ) + đ(đĨ) = â (đđ + đđ ) (đĨ â đĨ0 )đ đ=0
Deret yang diperoleh konvergen pada interval yang terletak dalam interval konvergensi f(x) dan g(x).
Termwise multiplication Deret pangkat dapat dikalikan suku demi suku. Perkalian dari deret pangkat yang jumlahannya adalah f(x) dan g(x) adalah: â
â (đ0 đđ + đ1 đđâ1 + ⯠+ đđ đ0 ) (đĨ â đĨ0 )đ = đ0 đ0 + (đ0 đ1 + đ1 đ0 )(đĨ â đĨ0 ) đ=0
+ (đ0 đ2 + đ1 đ1 + đ2 đ1 )(đĨ â đĨ0 )2 + đ3 (đĨ â đĨ0 )3 + ââââ Vanishing of all coefficients Jika suatu deret pangkat mempunyai jari-jari konvergensi positif dan jumlahnya adalah nol dalam seluruh interval konvergensinya, maka semua koefisien dalam deret pangkat adalah nol. Sifat â sifat dari deret pangkat membentuk teori dasar dari Power series method. Bagian berikut adalah menentukan apakah suatu persamaan diferensial mempunyai penyelesaian yang dapat dinyatakan dalam bentuk deret pangkat. Suatu fungsi f(x) dikatakan analitik pada satu titik x = x0 jika fungsi ini dapat dinyatakan dengan suatu deret pangkat dari x â x0 dengan jari â jari konvergensi R > 0. Teorema 1. Eksistensi penyelesaian dalam bentuk deret pangkat Jika fungsi p,q, dan r dalam persamaan diferensial yâ + p(x) yâ + q(x) y = r(x) (5) adalah analitik pada x = x0, maka setiap penyelesaian y(x) dari persamaan (5) adalah analitik pada x = x0 dan dapat dinyatakan dengan deret pangkat dari x = x0 dengan jari â jari konvergensi R > 0. Catatan penting: ketika menggunakan teorema ini koefisien yâ dalam persamaan (5) harus 1. Soal latihan. 1. xyâ â 3y = 6 2. yâ â 3yâ + 2y = 0 3. yâ â 4xyâ + (4x2 â 2)y = 0 4. (1-x2)yâ â 2xyâ + 2y = 0 5. yâ â xyâ + y = 0 6. Tunjukkan bahwa yâ = (y/x) + 1 tidak mempunyai penyelesaian dalam bentuk deret pangkat dari x. Selesaikan persamaan ini dalam y sebagai deret pangkat dari x â 1 (misalkan t = x â 1, selesaikan y sebagai deret pangkat dari t). 7. Selesaikan yâ + y = 0 sebagai deret pangkat dalam x â 1. 8. Tentukan jari â jari konvergensi dari deret berikut: â
đĨđ đ. â đ 3 đ=0
â
đ(đ â 1) đ đ. â đĨ 3đ đ=2
â
đ. â (â1)đ đĨ 2đ đ=2
9. Shift of summation index. Tunjukkan bahwa â
â
â đ(đ â 1)đđ đĨ
đâ2
â
= â(đ + 1)đđđ+1 đĨ
đ=2
đâ1
= â(đ + 2)(đ + 1)đđ +2 đĨ đ
đ=1
đ =0
10. Ganti index dalam deret berikut sehingga pangkat dalam tanda sigma adalah xs. â
đ(đ + 1) đâ1 đ. â đĨ đ2 + 1 đ=2
â
â
5đ+2 đ+2 đ. â đĨ đ+3
đ. â đ(đ â 1)đĨ đâ2
đ=0
đ=2
3. Persamaan Legendre dan Polinomial Legendre Pn(x). Persamaan diferensial Legendre: (1 â x2) yâ - 2xyâ + n(n+1)y = 0
(6)
n adalah bilangan real. Persamaan ini timbul dalam banyak masalah fisik, terutama pada masalah nilai batas untuk benda berbentuk bola (dapat dilihat dalam pennyelesaian PD parsial). Penyelesaian persamaan (6) disebut sebagai fungsi / polynomial Legendre. Untuk mendapatkan bentuk standart, persamaan (5), persamaan (6) dibagi dengan 1 â x2 dan tampak bahwa p, q dan r analitik pada x = 0, sehingga PD mempunyai penyelesaian dalam bentuk deret: â
(7)
đĻ = â đđ đĨ đ đ=0
Substitusikan y dan turunan-turunannya ke persamaan (6), nyatakan n(n+1) dengan k didapatkan: â
â
2
(1 â đĨ ) â đ(đ â 1)đđ đĨ
đâ2
đ=2
â
â 2đĨ â đđđ đĨ
đâ1
+ đ â đđ đĨ đ = 0
đ=1
đ=0
Atau: â
â đ(đ â 1)đđ đĨ đ=2
â đâ2
â đ
â
â â đ(đ â 1)đđ đĨ â 2 â đđđ đĨ + đ â đđ đĨ đ = 0 đ=2
đ
đ=1
Ekspansikan deret: [2.1. đ2 + 3.2. đ3 đĨ1 + 4.3. đ4 đĨ 2 + âĻ + (đ + 1)(đ + 2)đđ +2 đĨ đ + âĻ ] â [1.2. đ2 đĨ 2 + 2.3. đ3 đĨ 3 + âĻ + đ (đ â 1)đđ đĨ đ + âĻ ] â [2.1. đ1 đĨ + 2.2. đ2 đĨ 2 + âĻ + âĻ + 2đ đđ đĨ đ + âĻ ] + [đđ0 + đđ1 đĨ + đđ2 đĨ 2 + âĻ + âĻ + đđđ đĨ đ + âĻ ] = 0
đ=0
Jumlahkan deret: đĨ 0 (2đ2 + đ) + đĨ(6đ3 â 2đ1 + đđ1 ) + đĨ2 (12đ4 â 2đ2 â 4đ2 + đđ2 ) + âĻ
+đĨ đ {(đ + 1)(đ + 2)đđ +2 + [âđ (đ â 1) â 2đ + đ(đ + 1)]đđ } + âĻ = 0 Samakan koefisien deret: koefisien x0: 2đ2 + đ(đ + 1) = 0 â đ2 = â
đ(đ+1) 2!
đ0
koefisien x1: 6đ3 â 2đ1 + đ(đ + 1)đ1 = 0 â đ3 = â
(đâ1)(đ+2) 3!
koefisien x2: 12đ4 â 2đ2 â 4đ2 + đ(đ + 1)đ2 = 0 â đ4 = â (đâ2)đ(đ+1)(đ+3) 4!
đ1
(đâ2)(đ+3) 4.3
đ2 =
đ0
. . . Koefisien xs: (đ + 1)(đ + 2)đđ +2 + [âđ (đ â 1) â 2đ + đ(đ + 1)]đđ = 0 â đđ +2 = â
âđ (đ â 1) â 2đ + đ(đ + 1) đđ (đ + 1)(đ + 2)
(đ â đ )(đ + đ + 1) (8) đđ , đ = 0,1,2, âĻ. (đ + 2)(đ + 1) Persamaan (8) disebut sebagai persamaan rekursi, yaitu persamaan yang digunakan untuk menentukan koefisien deret. â đđ +2 = â
Penyelesaian persamaan Legendre: đĻ(đĨ) = đ0 đĻ1 (đĨ) + đ1 đĻ2 (đĨ) Dimana: đĻ1 (đĨ) = 1 â
đ(đ + 1) 2 (đ â 2)đ(đ + 1)(đ + 3) 4 đĨ + đĨ + âĻ 2! 4!
đĻ2 (đĨ) = đĨ â
(đ â 1)(đ + 2) 3 (đ â 3)(đ â 1)(đ + 2)(đ + 4) 5 đĨ + đĨ + âĻ 3! 5!
Polinomial Legendre Dalam banyak aplikasi, parameter n dalam persamaan Legendre adalah bilangan bulat positif. Sisi kanan persamaan (7) adalah nol ketika s = n, sehingga đđ+2 = đđ+4 = ⯠= 0. Bila n bilangan genap, đĻ1 (đĨ) tereduksi menjadi polynomial derajat n; bila n bilangan ganjil,
đĻ2 (đĨ) tereduksi menjadi polynomial derajat n. Polinomial â polinomial tersebut, dikalikan dengan suatu konstanta, dinamakan polynomial Legendre. Berikut adalah penurunan persamaan untuk menyusun polynomial Legendre. (đ + 2)(đ + 1) (9) đ , đ â¤đâ2 (đ â đ )(đ + đ + 1) đ +2 Koefisien-koefisien dalam deret dapat dinyatakan dalam an (yaitu koefisien dari suku dengan pangkat tertinggi). Mula â mula an sembarang, kemudian ditentukan an = 1 untuk n = 0 dan (2đ)! 1.3.5 âĻ . . (2đ â 1) (10) đđ = đ = , đ = 1,2, 3, âĻ 2 2 (đ!) đ! Dengan koefisien seperti tersebut diatas polynomial akan mempunyai nilai = 1 untuk x = 1. Dari persamaan (9) dan (10) diperoleh: đđ = â
đđâ2 = â
đ(đ â 1) đ(đ â 1)(2đ)! đđ = â 2(2đ â 1) 2(2đ â 1)2đ (đ!)2
đđâ2 = â
đ(đ â 1)2đ(2đ â 1)(2đ â 2)! 2(2đ â 1)2đ đ(đ â 1)! đ(đ â 1)(đ â 2)!
đđâ2 = â
(2đ â 2)! 2đ (đ â 1)! (đ â 2)!
Dengan cara yang sama diperoleh: đđâ4 = â
(2đ â 4)! (đ â 2)(đ â 3) đđâ2 = â đ 4(2đ â 3) 2 2! (đ â 2)! (đ â 4)!
Dan seterusnya, rumus tersebut dapat digeneralisasi untuk n â 2m īŗ 0: đđâ2đ = (â1)đ
(2đ â 2đ)! â đ)! (đ â 2đ)!
(11)
2đ đ! (đ
Rumus umum untuk polynomial Legendre: đ
đđ (đĨ) = â (â1)đ đ=0
=
(12) (2đ â 2đ)! đ đâ2đ đĨ ; đ = đđĄđđĸ (đ â 1)/2 2đ đ! (đ â đ)! (đ â 2đ)! 2
(2đ)! đ (2đ â 2)! đĨ â đ đĨ đâ2 + â ⯠đ 2 2 (đ!) 2 1! (đ â 1)! (đ â 2)!
Beberapa contoh Polinomial Legendre: đ0 (đĨ) = 1 đ1 (đĨ) = đĨ đ2 (đĨ) =
1 2
(3đĨ 2 â 1)
đ3 (đĨ) =
1 2
(5đĨ 3 â 3đĨ)
đ4 (đĨ) =
1 8
(35đĨ 4 â 30đĨ 2 + 3)
đ5 (đĨ) =
1 8
(63đĨ 5 â 70đĨ 3 + 15đĨ)