Rangkuman Materi Kuliah Peluang [PDF]

Citation preview

RANGKUMAN MATERI KULIAH STATISTIKA PELUANG



OLEH



I.



NAMA



: Venansia Eno Tangi



NIM



: 20111501007



KELAS



: AKUNTANSI B



Pengertian dan Konsep Peluang Peluang suatu kejadian adalah suatu ukuran tentang kemungkinan terjadinya suatu kejadian di masa yang akan datang.



Nilai peluang suatu kejadian berkisar antara nol (nol persen) sampai dengan 1 (100 persen. Misalnya untuk suatu kejadian A berlaku: (0 ≤ P (A) ≤ 1)



II.



Pendekatan Peluang Suatu Kejadian Terdapat tiga metode atau pendekatan untuk menjelaskan peluang suatu kejadian, yaitu pendekatan klasik, pendekatan empiric dan pendekatan subyektif, (Berenson dan Levine; 1996). Sementara itu ada dau metode pendekatan peluang suatu kejadian yaitu, pendekatan obyektif dan pendekatan subyektif, pendekatan klasik dan empiric digolongkan kedalam pendekatan obyektif (Lind, Marchal dan Wathen;2008). 1) Pendekatan Klasik atau Matematika a. Koin Memiliki dua sisi yaitu sisi gambar (G) dan sisi angka (A). b. Dadu Adalah suatu kubus yang homogeny yang permukaannya/sisinya diberi bintik dimulai dari tanda satu yang disebut sis mata satu (●, ●●, …, ●●●●●●) sampai tanda enam bintik yang disebut sisi mata enam. c. Kartu Bridge Satu set kartu bridge berisi 52 kartu. Kelimapuluh dua kartu tersebut terbagi dalam empat (4) jenis kartu yaitu jenis skop (13 kartu), jenis cengkeh (13 kartu), jenis intan (13 kartu), jenis jantung (13 kartu). Warna dari jenis kartu tersebut adalah: jenis intan dan jantung berwarna merah. Jenis skop dan cengkeh berwarna hitam. Menurut pendekatan klasik peluang terjadinya suatu kejadian adalah perbandingan dari kejadian yang menguntungkan/diharapkan terhadap seluruh kejadian yang mungkin, apabila setiap kejadian mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi.



Yang dapat dinyatakan sebagai berikut: P=



Banyaknya kejadian uang menguntungkan Banyaknya seluruhkejadian yang mungkin



Contoh: bila sebuah koin dilantunkan sekali, maka salahsatu dari dua kejadian dapat terjadi. Kejadian pertama muncul sisi gambar,. Kejadian kedua muncul sisi bukan angka atau bukan gambar. Ini berarti banyaaknya/seluruh kejadian yang mungkin terjadi=2 kejadian. Selanjutnya bila A= kejadian yang menguntungkan = 1 kejadian sehingga, peluang terjadi kejadian A, Banyaknya kejadian yang menguntungkan banyaknya seluruh kejadian yang mungkin



P= =



1 2



Bisa disimpulkan bahwa perhitungan peluang suatu kejadian yang didasarkan atas pendekatan klasik, dapat dilakukan dengan terlebih dahulu mengetahiu keseluruhan kejadian mungkin terjadi. Pendekatan ini juga disebut pendekatan apiori. 2) Pendekatan empiris Juga disebut pendekatan frekuensi, karena perhitungannya didasarkan pada pengalaman empiris dan didasarkan pada atas frekuensi relative. Peluang suatu kejadian dalam jangka panjang (percobaan dilakukan berulang-ulang) ditentukan dengancara mengamati beberapa bagian total pengamatan. Peluaang suatu kejadian juga merupakan limit dari frekuensi relatifnya. Dapat dinyatakan sebagai berkut: P(A) = lim



n→∞



m n



ATAU



P(A) =



m n



P (A) = Peluang kejadian A m



= banyaknya kejadian A



n



= banyaknya percobaan



Contoh: mislakan menurut catatan produksi sebuah perusahaan dalam satu kali produksi menhasilkan 5.000 unit barang. Setelah diperiksa ternyata ❑ tedapat 50 unti barang yang cacat. Bila m=barang yang cacat dan m adalah barang yang baik, dan A=kejadian terambilnya barang yang cacat maka, ❑ N=5000, m=50, m =5.000-50= 4.950 Sehingga, P(A) =



m 50 = =0,01 n 5000



´ 4950 ´)= m Dan P( A = = 0,9 n 5000 3) Pendekatan subyektif Adalah pendekatan yang menggunakan intuisi, keyakinan diri dan informs tidak langsung lainnya. Bersifat pribadi, cara mengartikan informasi berbeda sehingga pelaung dari suatu kejadian yang disimpulkan juga berbeda-beda. III.



Percobaan dan Ruang Sampel Percobaan adalah suatu proses dengan hasil dari suatu kejadian bergantung pada kesempatan. Ruang sampel adalah adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Ruang sampel dinotasikan dengan S. Banyaknya anggota ruang sampel dinyatakan dengan n(S). Kejadian adalah bagian dari hasil percobaan yang dipilih atau yang menajdi perhatian kita; atau himpunan bagian dari ruang sampel yang ada. Titik sampel adalah unsur-unsur yang membentuk ruang sampel. Contoh: Pada percobaan melempar sebuah dadu bersisi enam sebanyak satu kali. Tentukan ruang sampel, titik sampel, dan banyak anggota ruang sampel. Penyelesaian: Pada pelemparan sebuah dadu bersisi enam satu kali, maka hasil yang mungkin muncul adalah salah satu dari enam sisi mata dadu itu, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6, maka: Ruang sampel (S) = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Titik sampel adalah 1, 2, 3, 4, 5 dan 6. Banyak anggota ruang sampel, n(S)= 6



IV.



Menghitung Peluang Suatu Kejadian 



Berdasarkan pendekatan frekuensi relative/emoiris yaitu: P (A) =



m n



P (A) =



n( A) n (S)



n(A)= banyak anggota kejadian A n(S)= banyak anggota ruang sampel/populasi P(A)= peluang kejadian A Kaitan antara peluang kejadianA dengan kejadian bukan A, ditunjukan oleh aturan komplemen sebagai beriku:



P(A) + P( A´ ¿ ¿= 1 ´ ) =peluang kejadian bukan A P( A m= banyak nya kejadian A n= banyaknya hasil percobaan yang mungkin 1. Peluang kejadian sederhana Dapat dihitung menggunakan rumus peluang empiris dengan notasi himpunan. Contoh Soal : Bila dua buah koin dilantunkan sekaligus, hitunglah peluang munculnya kedua sisi angka (AA). Ada 4 kejadian yang mungkin terjadi yaitu: Kejadian 1 2 3 4



Koin1 G G A A



Koin2



Titik



G A G A



Sampel GG GA AG AA



Ruang sampel adalah S = { GG, GA, AG, AA}. Banyaknya anggota ruang sampel n(S) = 4. Kejadian A (muncul kedua sisi angka) adalah A = {AA}. Banyaknya anggota kejadian A, n(A) = 1. Jadi, peluang kejadian A (muncul keduanya sisi angka) P (A) =



n( A) 1 = n (S) 4



2. Peluang kejadian majemuk Kejadian majemuk dibentuk oleh dua kejadian atau lebih, baik secara gabungan (union) atau perpotongan (interseksi) ataupun keduanya. Sifat hubungan dalam kejadian majemuk terdiri dari (i)Kejadian yang saling lepas (mutually exclusive event) yaitu kejadian yang satu dan kejadian yang lainnya tidak dapat terjadi secara serempak dalam waktu yang sama. (ii) Kejadian yang independen (Independen Event) dua kejadian dikatakan independen jika terjadi- tidaknya kejadian yang satu tidak mempengaruhi kejadian yang lain. (iii) Kejadian bersyarat (Conditional Event) dua kejadian dikatakan bersyarat jika terjadinya salah satu kejadian akan mempengaruhi terjadinya kejadian yang lain. V.



Aturan- Aturan Peluang Suatu Kejadian 1) Aturan Komplementer



Bila A dan A’ adalah dua kejadian yang satu merupakan komplemen lainnya. ´)=1 Rumus: P(A) + P( A P(A) = peluang terjadinya kejadian A



´ ) = peluang terjadinya kejadian bukan A P (A Dengan diagram venn, kejadian komplemen dapat dinyatakan sebagai berikut:



S A



2) Aturan Penjumlahan 



Aturan umum penjumlahan Jika A dan B merupakan dua kejadian sembarang maka peluang terjadinya kejadian A atau kejadian B, adalah: P( A∪B ) = P(A) + P(B) – P(A∩B) Dimana, P( A∪ B ) = Peluang terjadinya kejadian A atau kejadian B. P(A ∩ B)= Peluang terjadinya kejadian A dan B. P(A)= peluang terjadinya kejadian A. P(B)= Peluang terjadinya kejadian B. Contoh soal : Survei yang dilakukan terhadap mahasiswa jurusan Akuntansi Fakultas Ekonomi dan Bisnis Universitas Udayana mengenai refrensi yang digunakan dalam membuat tugas yaitu internet dan buku, ternyata hasilnya 50% menggunakan internet sebagai sumber refrensi,40% menggunakan buku, dan 30% dari mereka menggunakan keduanya. Jika seorang dari mahasiswa tersebut dipilih secara acak. (a)berapa peluang mahasiswa menggunakan paling sedikit satu dari sumber refrensi tersebut. (b)berapa peluang mahasiswa tersebut tidak menggunakan internet atau buku sebagai sumber refrensi. Penyelesaian: A= Kejadian mahasiswa menggunakan internet. B= Kejadian mahasiswa menggunakan buku Maka, P(A) = 50% = 0,5 P(B) = 40%= 0,4 P(A ∩ B)= 30%=0,3



(a) P( A ∪



B ) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 0,5 + 0,4 – 0,3 = 0,6



jadi, peluang bahwa seorang mahasiswa menggunakan paling sedikit satu dari kedua sumber refrensi tersebut adalah 0,6 (b) P (A ∪´B ) = …? P ( A ∪´B ) = 1- P( A ∪



B )= 1 - 0,6 = 0,4



Jadi peluang bahwa mahasiswa tersebut tidak menggunakan sumber refrensi dari internet atau buku adalah 0,4. 



Aturan penjumalahan khusus Bila A dan B dua kejadian yang saling lepas maka peluang terjadinya kejadian A atau B adalah P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Contoh soal : Didalam sebuah karung terdapat sejumlah kelereng yang berwarna merah, berwarna kuning dan berwarna hijau. Dengan peluang masing-masing kelereng berurutan sebesar 70%, 20% dan 10%. Bila sebuah kelereng diambil maka tentukanlah (a) Peluang bahwa kelereng yang diambil berwarna merah atau kuning (b) Peluang bahwa kelereng yang diambil berwarna merah atau berwarna kuning atau berwarna hijau. Penyelesaian : Misalkan P(A) = Peluang kelereng yang diambil berwarna merah. P(B) = Peluang kelereng yang diambil berwarna kuning. P(C) =Peluang kelereng yang diambil berwarna hijau. Diketahui: P(A) = 70%



P(B)= 20%



P(C)=10% (a) P( A ∪



B )= P(A) + P(B) = 0,7 + 0,2 = 0,9



Jadi peluang terambilnya kelereng berwarna merah atau kuning adalah 0,9 (b) P( A ∪



B ∪ C)= P(A) + P(B)+ P(C) = 0,7 + 0,2 + 0,1 = 1



Jadi peluang terambilnya kelereng warna merah atau kuning atau hijau yaitu 1=100% 3) Aturan perkalian Digunakan untuk mengentukan peluang kejadian gabungan. 



Aturan umum perkalian, jika dalam percobaan kejadian A dan B dapat terjadi sekaligus, maka :



P(A ∩ B) = P(A) x P(B|A) atau P(A ∩ B) = P(B) x P(A|B)



Dimana, P(B|A)= Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A telah terjadi. P(A|B)= peluang kejadian A dengan syarat kejadian B telah terjadi. P(A ∩ B)= peluang kejadian A dan B secara bersamaan. Contoh soal:



Sebuah kotak berisi 20 pulpen, lima diantaranya tintanya habis. Bila 2 pulpen diambil secara acak (satu persatu tanpa pemulihan), tentukan peluang pulpen yang terambil itu keduanya tintanya habis. Penyelesaian: misalkan A = kejadian pertama terambilnya pulpen yang tintanya habis. B|A = kejadian terambilnya pulpen yang kedua tintanya habis, setelah terambil pulpen pertama tintanya habis. Maka: P(A) =



5 1 = (karena 5 pulpen tintanya habis dari 20 pulpen) 20 4



P(B|A) =



4 (setelah yang pertama tintanya habis, yang masih tinggal 19



19 buah, 4 buah



diantaranya tintanya habis)



P(A ∩ B) = P(A) x P(B|A) =



1 4 × = (5,26%) 4 19



 Aturan perkalian khusus. Rumusnya P(A ∩ B) = P(A) x P(B)  Aturan kejadian bersyarat. Rumusnya P(A ∩ B) = P(A) x P(B|A) atau P(A∩B) = P(B) x P(A|B) Contoh soal: Seorang mahasiswa memiliki peluang bahwa ia lulus tes masuk perguruan tingg adalah 0,8. Jika ia lulus tes masuk perguruan tinggi, peluang bahwa ia menjadi sarjana adalah 0,7. Berapapeluang calon mahasiswa tersebut lulus tes masuk perguruan tinggi dan menjadi sarjana? Penyelesaian: A = kejadian lulus tes masuk perguruan tinggi. B|A = kejadian menjadi sarjana setelah lulus tes perguruan tinggi. P(A) = 0,8



P(B|A)= 0,7 Maka: P(A ∩ B) = P(A) x P(B|A) = 0,8 x 0,7 =



0,56 VI.



Kaedah Bayes Kaedah Bayes dapat dikembangkan dari peluang bersyarat serta memerankan peranan penting untuk menentukan peluang akhir (peluang yang relevan untuk mengambil putusan) setelah adanya peluang awal ditambah informasi tertentu seperti hasil uji atau sampel. a. Aturan Peluang Total. Bila Bi (i=1, 2, 3, . . .k) merupakan sekatan-sekatan dari ruang sampel S dan setiap peristiwa B i bersifat mutually exclusive dengan P(B i) ≠ 0. P (A) = P(B1) x P(A│B1) + P(B2) x P(A│B2) + . . . P(Bk) x P(A│Bk)



b. Kaedah



Bayes. Selanjutnya bilai Bi (i = 1, 2, 3. . . k) merupakan sekatan-



sekatan dari ruang sampel S dan setiap peristiwa Bi bersifat mutually exclusive dengan P(B i) ≠ 0, dan Bn merupakan sekatan tertentu dari Bi (1 ≤ n ≤ k) dan P (Bn) ≠ 0, maka peluang terjadinya A pada sekatan Bn adalah: P(Bn │ A) = Contoh soal : suatu pabrik Garmen menggunakan tiga jenis kain untuk menghasilkan sejenis baju. Baju yang dapat dihasilkan dalam satu hari dari kain pertama, kedua dan ketiga masing-masing sebanyak 500, 300 dan 200 unit. Informasi lainnya bahwa persentase cacat kain pertama, kedua dan ketiga masing-masing adalah dua persen (2%), tiga persen (3%) dan satu persen (1%). Pertanyaannya (a) Jika sebuah baju dari pabrik tersebut diambil secara acak, berapa peluang produk tersebut cacat? (b) Jika sebuah baju diambil dan setelah diperiksa ternyata cacat, berapa peluang bahwa produk tersebut berasal dari : (i) kain pertama? (ii) kain kedua? Penyelesaian (a) Misalkan, A = kejadian terambilnya produk baju cacat. Maka P(A) = ...? n(S) = n(K1) + n(K2) + n(K3) = 500 +300 + 200 = 1000 n ( K 1) = 500 =0,5 n (S) 1000



P (A│K1) = 2 % = 0,02



P(K2) =



n ( K 2) = 300 =0,3 n (S ) 1000



P (A│K2) = 3 % = 0,03



P(K3) =



n ( K 3) 200 = =0,2 n(S ) 1000



P (A│K3) = 1 % = 0,01



P(K1) =



Maka , P (A) = P(K1) x P(A│K1) + P(K2) x P(A│K2) + P(K3) x P(A│K3) = 0,5 x 0,02 + 0,3 x 0,03 + 0,2 x 0,01 = 0,01 + 0,009 + 0,002 = 0,021 = 2,1% (b) (i) P(K1│A) =



P(K1│A) = (ii) P(K2│A) =



P ( K 1) XP ( A │ K 1) P( A) 0,5 X 0,02= 0,476= 47,6 0,021 P ( K 2) XP ( A │ K 2) P(A)



P(K1│A) =



0,53 X 0,03= 0,428= 42,8 0,021



c. Diagram Pohon, Suatu Cara Lain. Bila contoh soal diatas dipecahkan menggunakan diagram pohon. VII.



Permutasi dan Kombinasi



Metode permutasi dan kombinasi digunakan untuk menghitung atau menentukan seluruh kejadian yang mungkin (ruang sampel) dari suatu kejadian yang relatif kompleks. 1. Faktorial = Falkutet n! ( dibaca n faktorial )adalah perkalian n buah bilangan yang asli yang berurut. Dapat dinyatakan sebagai berikut : n! = 1 x 2 x 3 x . . . x n dengan 1! = 1 dan 0! = 1 Contoh : a. 5!



= 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120



b. (9 – 3)!(5 – 3 )! = (6!)(2!) = (1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6) (1 x 2) =1440 2. Kaedah Penggandaan Kaedah Penggandaan yang Diperluas. Pemilihan dalam urutan tersebut dapat dilakukan dalam n1 x n2 x n3 x . . . . . . . x nk cara yang berbeda Contoh : Pengendara sepeda motor dapat menggunakan dua rute jalan untuk pergi ke kota A ke Kota B, tiga rute dari Kota B ke Kota C, dan dua rute dari Kota C ke Kota D. Apabila dalam bepergian dari A ke D, ia harus melakukan perjalanan dari A ke B ke C ke D, berapa banyak kemungkinan rute jalan yang dapat diambil dari Kota A ke Kota D ? Penyelesaian : Misalkan, n1 = banyaknya rute dari A ke B n2 = banyaknya rute dari B ke C n3 = banyaknya rute dari C ke D Maka, n1 = 2, n2 = 3, n3 = 2. Jadi, alternatif banyaknya rute perjalanan yang dapat diambil dari Kota A ke Kota D = n1 x n2 x n3 = 2 x 3 x 2 = 12 cara. 3. Kaedah Penjumlahan Kaedah Penjumlahan yang Diperluas. jika suatu pemilihan dapat dilakukan dengan n1 cara, dan jika untuk setiap cara tersebut pemilihan kedua dapat dilakukan dalam n2 cara, jika untuk setiap pasangan dua cara yang



pertama, pemilihan ketiga dapat dilakukan dalam n3 dan seterusnya hingga pemilihan ke – k dapat dilakukan dengan dalam nk cara, maka pemilihan pertama atau kedua atau ke – k dan bukan semuanya bersama-sama, dapat dilaksanakan dalam n1 + n2 . . . . + nk cara yang berbeda contoh Soal : Ibu Ani menjual semacam cemilan atau semacam minuman. Jika terdapat empat macam cemilan ( Keripik, Kacang, Biskuit, dan Wafer) dan dua macam minuman (es teh dan es jeruk ). Berapa pilihan yang dapat diperoleh ? Penyelesaian : Pilihan yang dapat diperoleh adalah 4 + 2 = 6 macam yaitu keripik saja atau kacang saja atau biscuit saja atau wafer saja atau es teh saja atau es jeruk saja. 1) Permutasi Permutasi adalah banyaknya cara untuk menyusun keseluruhan atau sebagian dari sekumpulan obyek yang berbeda dengan memperhatikan urutannya. a) Permutasi sebagian dari seluruh obyek Permutasi r obyek yang diambil sekaligus dari sekelompok n obyek yang berbeda tanpa pemulihan.



nPr =



n! ( n−r ) !



r= banyaknya objek yang dipermutasikan



b) Permutasi atas keseluruhan obyek Permutasi n obyek yang diambil sekaligus dari sekelompok n obyek yang berbeda,tanpa pemulihan n P n = n! contoh: Dalam sebuah kelas ingin membentuk perangkat kelas yang terdiri dari ketua kelas, wakil ketua kelas, sekertaris, dan bendahara. Calon yang ada untuk mengisi posisi tersebut sebanyak 8 orang. Tentukan banyaknya cara mengisi posisi tersebut.



Penyelesaian : n = 8, dan r = 4 8P4 =...? nPr



= = 15 P 4 = =



= 1680



2) Kombinasi Kombinasi adalah banyaknya cara untuk menyusun keseluruhan atau sebagian dari sekumpulan obyek (unsur) yang berbeda tanpa memperhatikan urutannya.