REFLEKSI [PDF]

Citation preview

REFLEKSI (PENCERMINAN)



A. Pengertian refleksi (Pencerminan) Refleksi adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik yang hendak dipindahkan itu. Refleksi suatu bangun geometri adalah proses mencerminkan setiap titik bangun geometri itu terhadap garis tertentu. Garis tertentu itu dinamakan sebagai sumbu cermin atau sumbu simetri. Jika suatu bangun geometri dicerminkan terhadap garis tertentu, maka bangun bayangan kongruen dengan bangun semula.1 Refl eksi (pencerminan) adalah suatu transformasi yang memindahkan suatu titik pada bangun geometri dengan menggunakan sifat benda dan bayangannya pada cermin datar.2



Transformasi pencerminan/refleksi menghasilkan bayangan yang tergantung pada acuannya. Refleksi atau pencerminan adalah suatu transformasi



yang



memindahkan



setiap



titik



pada



bidang



dengan



menggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik yang hendak dipindahkan itu.3 Untuk dapat melakukan pencerminan harus ada atau ditentukan dulu sebuah garis sumbu pencerminan. Pencerminan adalah suatu transformasi yang memindahkan titik-titik dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin. Pencerminan dilambangkan dengan Mg, dimana g adalah sumbu cermin.4 Jadi, penulis menyimpulkan bahwa refleksi (pencerminan) adalah suatu transformasi yang memindahkan titik-titik dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin dari titik-titik yang hendak dipindahkan itu. Pencerminan dilambangkan dengan Mg, dimana g adalah sumbu cermin. 1



Evi Mega Putri, Geometri Transformasi tentang Refleksi dan Isometri,http://educate.com.pdf. (on-line). Diakses tanggal 19 Maret 2016. Pukul 16.00 WIB. 2 http://Transformasi Bidang Datar.com. pdf. Diakses tanggal 13 Maret 2016, pukul 14.45 WIB. 3 Sulistiyono, Seri Pendalaman Materi Matematika, (Jakarta: Erlangga, 2007), hlm. 79. 4 Cucun Cunayan, Etsa Indra Irawan, 1700 Bank Soal Bimbingan Pemantapan Matematika, (Bandung: Yrama Widya, 2013), hlm. 530.



1



B. Sifat-sifat Refleksi (Pencerminan) Sifat-sifat refleksi (pencerminan) antara lain sebagai berikut: 1. Jarak dari titik asal ke cermin sama dengan jarak cermin ke titik bayangan.



2. Garis yang menghubungkan titik asal dengan titik bayangan tegak lurus terhadap cermin.5



Keterangan: titik A(2,0) dan bayangannya A’(-2,0). Garis vertikal pada gambar di atas dikatakan sebagai sumbu cermin. 3. Ukuran dan bentuk bayangan sama dengan bentuk benda (kongruen).6 5



Ibid., hlm. 530.



2



4. Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah.



6



Op.Cit.



3



Dari gambar di atas termasuk jenis transformasi identity, yaitu suatu transformasi yang bayangannya pada dirinya sendiri. Titik A(3,2) → A’ (3,2) dan titik B (-3,-2) → B’ (-3,-2). 5. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat: i. Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan. ii. Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatif. 6. Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus bersifat komutatif.



4



7. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat: i. Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran. ii. Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu pencerminan. iii. Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua. 7



C. Prinsip Dasar Refleksi (Pencerminan) 1) Menentukan sumbu pencerminan/ sumbu refleksi/ garis penceminan/ cermin. 2) Isometri.



7



Evi Mega Putri, Op.Cit.,



5



D. Persamaan Refleksi (Pencerminan)



6



E. Refleksi (Pencerminan) Sebagai Suatu Isometri Pencerminan dikatakan sebagai suatu Isometri karena, setiap pencerminan pada garis merupakan suatu Isometri lawan. Karena setiap refleksi adalah transformasi kongruen dapat dibuktikan dengan mencari rumus jarak. Misalkan ̅̅̅̅̅ 𝐴𝐵 = ̅̅̅̅̅̅ 𝐴′𝐵′ dan dengan suatu refleksi, bayangan sebuah sudut adalah sebuah sudut dengan ukuran yang sama. 8



8



Ibid.



7



ISOMETRI



A. Pengertian isometri Isometri adalah suatu transformasi yang tidak mengubah bentuk dan ukuran. Translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (putaran) termasuk transformasi isometri. Translasi dan rotasi disebut transformasi langsung. Dan refleksi disebut transformasi tidak langsung atau berlawanan. Isometri merupakan suatu transformasi atas Refleksi (pencerminan), Translasi (pergeseran), dan Rotasi (perputaran) pada sebuah garis yang mempertahankan jarak (panjang suatu ruas garis). Secara matematis, Isometri didefinisikan sebagai berikut : “misalkan T suatu transformasi, transformasi T ini disebut isometri jika dan hanya jika untuk setiap pasangan titik P dan Q anggota dari bidang Euclid 𝑣 berlaku bahwa 𝑃’𝑄’=𝑃𝑄 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑃’=𝑇(𝑃) 𝑑𝑎𝑛 𝑄’=𝑇(𝑄).



B. Sifst-sifat isometri Suatu isometri memiliki sifat-sifat sebagai berikut : 1. Memetakan garis menjadi garis 2. Mempertahankan ukuran besarnya sudut antara dua garis 3. Mempertahankan kesejajaran dua garis 4. Jarak dari titik asal ke cermin sama denagn jarak cermin ke titik bayangan. 5. Garis yang menghubungkan titik asal dengan titik bayangan tegak lurus terhadap cermin. Bukti : 1. Memetakan garis menjadi garis Andaikan g sebuah garis dan 𝑇 suatu isometri. Kita akan membuktikan bahwa (𝑔) = ℎ adalah suatu garis juga.



8



Ambil 𝐴 ∈𝑔 dan 𝐵 ∈𝑔. maka 𝐴’=(𝐴) ∈ ℎ,𝐵’=𝑇(𝐵) ∈ℎ melalui 𝐴’ 𝑑𝑎𝑛 𝐵’ ada satu garis. Misalnya ℎ’. Untuk ini akan dibuktikan ℎ’ ⊂ℎ 𝑑𝑎𝑛 ℎ ⊂ ℎ’.  Bukti ℎ’ ⊂ℎ Ambil 𝑋’ ∈ℎ’. oleh karena bidang kita adalah bidang Euclides, maka kita andaikan (𝐴’ 𝑋’ 𝐵’), artinya 𝐴’ 𝑋’ + 𝑋’ 𝐵’= 𝐴’ 𝐵’. oleh karena 𝑇 suatu isometric. Jadi suatu transformasi maka ada 𝑋 sehingga 𝑇 (𝑋) = 𝑋’ dan oleh karena 𝑇 suatu isometric maka 𝐴𝑋=𝐴’𝑋’ ; begitu pula 𝑋𝐵=𝑋’𝐵’. Maka 𝐴𝑋+𝐵𝑋=𝐴𝐵 Ini berarti bahwa 𝐴,,𝐵 𝑠𝑒𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑔 Ini berarti lagi bahwa 𝑋’=𝑇(𝑋) ∈ℎ. Sehingga ℎ’ ⊂ℎ sebab bukti serupa berlaku untuk posisi 𝑋’ dengan (𝑋’ 𝐴’ 𝐵’) 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝐴’ 𝐵’ 𝑋’).



2. Mempertahankan ukuran besarnya sudut antara dua garis



Andaikan 𝐴’= 𝑇(𝐴), 𝐵’=𝑇(𝐵), 𝐶’=𝑇(𝐶) Menurut (𝑎),𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐴’𝐵’ 𝑑𝑎𝑛 𝐵’𝐶’ adalah garis lurus Oleh karena ∠𝐴𝐵𝐶 = 𝐵𝐴 ∪ 𝐵𝐶 maka, ∠𝐴’𝐵’𝐶’= 𝐵’𝐴’ ∪ 𝐵’𝐶’ Sedangkan 𝐴’𝐵’= 𝐴𝐵, 𝐵’𝐶’ = 𝐵𝐶, 𝐶’𝐴’ = 𝐴𝐶 Sehingga ⊿ 𝐴𝐵𝐶 = ⊿ 𝐴’𝐵’𝐶’. Jadi ∠ 𝐴’𝐵’𝐶’ = ∠𝐴𝐵𝐶 Sehingga terbuktilah suatu isometri mempertahankan besarnya sebuah sudut.



9



3. Mempertahankan kesejajaran dua garis



Andaikan 𝑎’ memotong 𝑏’ disebuah titik 𝑃’ 𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑃’ ∈ 𝑎’ 𝑑𝑎𝑛 𝑃’∈ 𝑏’. Oleh karena 𝑇 sebuah transformasi, maka ada 𝑃 sehingga (𝑃) = 𝑃’ dengan 𝑃 ∈ 𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑃 ∈ 𝑏. Ini berarti bahwa memotong 𝑏 𝑑𝑖 ; jadi bertentangan dengan yang diketahui bahwa 𝑎 ⁄⁄ 𝑏 Maka Pengandaian bahwa 𝑎’ memotong 𝑏’ salah. Jadi haruslah 𝑎’ ⁄⁄ 𝑏’. Sehingga terbuktilah suatu isometri mempertahankan kesejajaran dua garis.



4. Jarak dari titik asal ke cermin sama dengan jarak cermin ke titik bayangan. 



Gambar isometri pada titik



10



Jarak titik A (titik asal) sama dengan jarak jarak cermin ke titik A’(bayangan).  Gambar isometric pada garis



 Gambar isometri pada bidang



11



5. Garis yang menghubungkan titik asal dengan titik bayangan tegak lurus terhadap cermin.



Keterangan: titik A(2,0) dan bayangannya A’(-2,0). Garis vertikal pada gambar di atas dikatakan sebagai sumbu cermin.



C. Isometric Langsung dan Isometric Lawan Suatu transformasi dinamakan langsung apabila trasformasi tersebut mengawetkan orientasi, suatu transformasi disebut transformasi lawan apabila transformasi tersebut mengubah orientasi. Ciri atau sifat penting dalam isometric adalah:  Setiap refleksi pada garis adalah isometric lawan.  Setiap isometric adalah sebuah isometric langsung atau sebuah isometric lawan. Dikatakan suati isometric berorientasi positif apabila berlawanan arah jarum jam, dan apabila berorientasi negative maka searah jarum jam. Contoh:



12



Contoh isometric lawan pada bidang



D’



C’



B’



A’



D



A



C



B



13



EXERCISE 53 Given ∆ 𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆ 𝐷𝐸𝐹, where A= (0,0), B = (5,0), C = (0,10), D = (4,2), E = (1,-2) and F = (12,-4). Find equations of lines such that the product of reflections in these lines takes ∆ 𝐴𝐵𝐶 𝑡𝑜 ∆ 𝐷𝐸𝐹. Penyelesaian: Gambar di bawah ini adalah segitiga ABC



Gambar di atas adalah segitiga DEF ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐷𝐸𝐹, dimana 𝐴𝐵 ≅ 𝐷𝐸 →AB = DE, 𝐴𝐶 ≅ 𝐷𝐹 → 𝐴𝐶 = 𝐷𝐹 Dan 𝐵𝐶 ≅ 𝐸𝐹 → 𝐵𝐶 = 𝐸𝐹 𝐴𝐵 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 = √(5 − 0)𝟐 + (0 − 0)𝟐



14



= √52 = √25 = 5



𝐵𝐶 = √(𝒙2 − 𝒙1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2



= √(0 − 5)2 + (10 − 0)2



= √52 + 102 = √25 + 100



= √125 = 5√5



𝐴𝐶 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2



= √(𝟎 − 𝟎)𝟐 + (10 − 0)𝟐



= √10𝟐 = √100 = 10



𝐷𝐸 = √(𝑥2 − 𝑥2 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2



= √(1 − 4)2 + (−2 − 2)2



= √−32 + (−4)2



= √9 + 16



= √25 = 5



15



𝐷𝐹 = √(12 − 4)2 + (−4 − 2)2



= √82 + (−6)2



= √64 + 36



= √100 = 10



𝐸𝐹 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2



= √(12 − 1)2 + (−4 − (−2))



2



= √112 + (−2)2



= √121 + 4



= √125 = 5√5



Besar sudut A sama dengan besar D, besar sudut B sama dengan besar sudut E, dan besar sudut C sama dengan besar sudut F. Jadi, segitiga di atas termasuk isometric karena panjang dan besar sudutnya sama besar (kongruen).



16



EXERCISE 56 Prove or Disprove the images of a triangle under two distinct isometries cannot be identical.



Penyelesaian:



𝐴𝐵 = √(3 − 1)2 + (2 − 0)2 = √22 + 22 = √4 + 4 = √8



𝐵𝐶 = √(0 − 3)2 + (3 − 2)2 = √9 + 1 = √10



𝐴𝐶 = √(1 − 0)2 + (0 − 3)2 = √1 + 9 = √10



𝐷𝐸 = √(9 − 7)2 + (1 − 2)2 = √4 + 1 = √5



17



𝐸𝐹 = √(10 − 9)2 + (5 − 1)2 = √12 + 42 = √17



𝐹𝐷 = √(7 − 10)2 + (2 − 5)2 = √9 + 9 = √18 Dari gambar segitiga di atas tidak isometric karena pada segitiga tersebut sudutnya tidak sama besar dan tidak memiliki bentuk yang sama (kongruen).



18



DAFTAR PUSTAKA



Evi Mega Putri, Geometri Transformasi tentang Refleksi dan Isometri,http://educate.com.pdf. (on-line). Diakses tanggal 19 Maret 2016. Pukul 16.00 WIB. Sulistiyono, 2007, Seri Pendalaman Materi Matematika, Jakarta: Erlangga. Cunayan Cucun, Irawan, Etsa Indra 2013, 1700 Bank Soal Bimbingan Pemantapan Matematika, Bandung: Yrama Widya, 2013. http://Transformasi Bidang Datar.com. pdf. Diakses tanggal 13 Maret 2016, pukul 14.45 WIB.



19