Relasi Sebuah Himpunan Yang Bersipat [PDF]

Citation preview

relasi sebuah himpunan yang bersipat 



Classic







Flipcard







Magazine







Mosaic







Sidebar







Snapshot







Timeslide 1. 2. APR 21 relasi sebuah hipunan Relasi yang didefinisikan pada sebuah himpunan mempunyai beberapa sifat. Sifat-sifat tersebut antara lain : 1. Refleksif (reflexive) Suatu relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat refleksif jika (a, a) ∈ R untuk setiap a ∈ A. Dengan kata lain, suatu relasi R pada himpunan A dikatakan tidak refleksif jika ada a ∈ A sedemikian sehingga (a, a) ∉ R. Contoh : Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R adalah relasi ‘≤’ yang didefinisikan pada himpunan A, maka R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}



Terlihat bahwa (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) merupakan unsur dari R. Dengan demikian R dinamakan bersifat refleksif. Contoh : Misalkan A = {2, 3, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R pada himpunan A dengan aturan : (a, b) ∈ R jika a faktor prima dari b Perhatikan bahwa (4, 4) ∉ R . Jadi, jelas bahwa R tidak bersifat refleksif. Sifat refleksif memberi beberapa ciri khas dalam penyajian suatu relasi, yaitu : • Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang unsur diagonal utamanya semua bernilai 1, atau mii = 1, untuk i = 1, 2, …, n, • Relasi yang bersifat refleksif jika disajikan dalam bentuk graf berarah maka pada graf tersebut senantiasa ditemukan loop setiap simpulnya. 2. Simetri (symmetric) dan Anti Simetri (antisymmetric) Suatu relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat simetri jika (a, b) ∈ R, untuk setiap a, b ∈ A, maka (b, a) ∈ R. Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan tidak simetri jika (a, b) ∈ R sementara itu (b, a) ∉ R. Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan anti simetri jika untuk setiap a, b ∈ A, (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R berlaku hanya jika a = b. Perhatikanlah bahwa istilah simetri dan anti simetri tidaklah berlawanan, karena suatu relasi dapat memiliki kedua sifat itu sekaligus. Namun, relasi tidak dapat memiliki kedua sifat tersebut sekaligus jika ia mengandung beberapa pasangan terurut berbentuk (a, b) yang mana a ≠ b. Contoh : Misalkan R merupakan relasi pada sebuah himpunan Riil, yang dinyatakan oleh : a R b jika dan hanya jika a – b ∈ Z. Periksa apakah relasi R bersifat simetri ! Misalkan a R b maka (a – b) ∈ Z, Sementara itu jelas bahwa (b – a) ∈ Z. Dengan demikian R bersifat simetri. Contoh : Tunjukan bahwa relasi ‘≤’ merupakan pada himpunan Z. bersifat anti simetri Jelas bahwa jika a ≤ b dan b ≤ a berarti a = b.



Jadi relasi ‘≤’ bersifat anti simetri. Contoh : Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat asli N merupakan contoh relasi yang tidak simetri karena jikaa habis membagi b, b tidak habis membagi a, kecuali jika a = b. Sementara itu, relasi “habis membagi” merupakan relasi yang anti simetri karena jika a habis membagi b dan b habis membagi a maka a = b. Contoh : Misalkan relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } maka relasi R merupakan relasi yang simetri sekaligus relasi yang anti simetri. Sifat simetri dan anti simetri memberikan beberapa ciri khas dalam penyajian berbentuk matriks maupun graf, yaitu : • Relasi yang bersifat simetri mempunyai matriks yang unsur-unsur di bawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-unsurdi atas diagonal utama, atau mij = mji = 1, untuk i = 1, 2, …, n dan j = 1, 2, …, nadalah : Relasi yang bersifat simetri, jika disajikan dalam bentuk graf berarah mempunyai ciri bahwa jika ada busur dari a keb, maka juga ada busur dari b ke a. • Relasi yang bersifat anti simetri mempunyai matriks yang unsur mempunyai sifat yaitu jika mij = 1 dengan i ≠ j, maka mji = 0. Dengan kata lain, matriks dari relasi anti simetri adalah jika salah satu dari mij = 0 atau mji = 0 bila i ≠j : Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat anti simetri mempunyai ciri bahwa tidak akan pernah ada dua busur dalam arah berlawanan antara dua simpul berbeda. Misalkan, R merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan dengan R–1, adalah relasi dari himpunan B ke himpunan A yang didefinisikan oleh : R–1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R } Contoh : Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika didefinisikan relasi R dari P ke Q yaitu : (p, q) ∈ R jika dan hanya jika p habis membagi q maka kita peroleh : R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) R–1 merupakan invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P yang berbentuk : (q, p) ∈ R–1 jika q adalah kelipatan dari p



sehingga diperoleh : R–1 = {(2, 2), (4, 2), (4, 4), (8, 2), (8, 4), (9, 3), (15, 3) } Jika M adalah matriks yang menyajikan suatu relasi R, maka matriks yang merepresentasikan melakukan transpose terhadap matriks M,



relasi R–1,



misalkan N,



diperoleh



dengan



3. Transitif (transitive) Suatu relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat transitif jika (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk a,b, c ∈ A. Contoh : Misalkan A = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, dan relasi R didefinisikan oleh : a R b jika dan hanya jikan a membagi b, dimana a, b ∈ A, Dengan memperhatikan definisi relasi R pada himpunan A, maka : R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8)} Ketika (2, 4) ∈ R dan (4, 8 ) ∈ R terlihat bahwa (2, 8 ) ∈ R. Dengan demikian R bersifat transitif. Contoh : R merupakan relasi pada himpunan bilangan asli N yang didefinisikan oleh : R : a + b = 5, a, b ∈ A, Dengan memperhatikan definisi relasi R pada himpunan A, maka : R = {(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2) } Perhatika bawa (1, 4) ∈ R dan (4, 1) ∈ R , tetapi (1, 1) ∉ R. Dengan demikian R tidak bersifat transitif. Sifat transitif memberikan beberapa ciri khas dalam penyajian suatu relasi, yaitu : sifat transitif pada graf berarah ditunjukkan oleh : Jika ada busur dari a ke b dan busur dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c. Pada saat menyajikan suatu relasi transitif dalam bentuk matriks, relasi transitif tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya



Contoh 1 : Misalkan A = {1, 2, 3, 4} dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka : a.



Relasi R = { (1,1), (1,3), (2,1), (2,2), (3,3), (4,2), (4,3), (4,4) } bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a,a) yaitu (1,1), (2,2), (3,3), dan (4,4)



b.



Relasi R = {(1,1), (2,2), (2,3), (4,2), (4,3), (4,4)} tidak bersifat refleksif karena tidak terdapat (3,3).



Contoh 2 : Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat refleksif karena setiap bilangan bulat posifit selalu habis membagi dirinya sendiri, sehingga (a,a) Î R untuk setiap a Î A.



Misalkan A adalah himpunan mahasiswa Teknik Informatika STIKOM Poltek Cirebon dan R adalah relasi pada A sedemikian sehingga (a,b) Î R jika dan hanya jika a satu jurusan dengan b. Maka jika dibalik, b pun se-jurusan dengan a. Jadi bisa dikatakan bahwa R setangkup.



Contoh lain : Misalkan T adalah relasi pada himpunan bilangan bulat positif sedemikian sehingga (a,b) Î T jika dan hanya jika a ³b. Jelas dong...T tidak setangkup, karena misalnya (6,5) Î T tetapi (5,6) Ï T.



Definisi Tolak-Setangkup (antisymmetric) : Relasi R pada himpunan A disebut tolak-setangkup jika (a,b) Î R dan (b,a) Î R maka a = b, untuk semua a,b Î A. Definisi di atas menyatakan bahwa jika (a,b) Î R, maka (b,a) Ï R kecuali a = b. Juga menyatakan bahwa relasi R pada himpunan A tidak tolak-setangkup jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a,b) Î R dan (b,a) Î R. Contoh : Misalkan A adalah himpunan tes seleksi yang diadakan untuk masuk bekerja ke sebuah perusahaan (misalnya tes membaca cepat, tes menulis cepat, tes berjalan cepat, dsb). Terus.....misalkan R adalah relasi pada A sedemikian sehingga (a,b) Î R jika tes a dilakukan sebelum tes b. Jadi jelas dong....jika tes a dilakukan sebelum tes b, tes b tidak mungkin dilakukan sebelum tes a untuk dua tes a dan b yang berbeda. Dengan kata lain, (b,a) Ï R kecuali a = b. Jadi R adalah relasi tolak-setangkup.



Contoh lagi : Misalkan A = {1,2,3,4} dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka :



-



Relasi R = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (2,4), (4,2), (4,4)} bersifat setangkup karena jika (a,b) Î R maka (b,a) juga ÎR.



Disini (1,2) dan (2,1) Î R, begitu juga (2,4) dan (4,2) Î R.



-



Relasi R = {(1,1), (2,3), (2,4), (4,2)} tidak setangkup karena (2,3) Î R tetapi (3,2) Ï R Relasi R = {(1,1), (2,2), (3,3)} tolak-setangkup karena (1,1) Î R dan 1 = 1, (2,2) Î R dan 2 = 2, (3,3) Î R dan 3 = 3.



Betul ngga yach....bahwa R juga setangkup ??



-



Relasi R = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3)} tolak-setangkup karena (1,1) Î R dan 1 = 1, serta (2,2) Î R dan 2 = 2.



Betul ngga yach....bahwa R tidak setangkup ??



-



-



Relasi R = {(1,1), (2,4), (3,3), (4,2)} tidak tolak-setangkup karena 2 ≠ 4 tetapi (2,4) dan (4,2) anggota R. Relasi R = {(1,2), (2,3), (1,3)} tidak setangkup tetapi tolak-setangkup.



Contoh berikutnya : 1.



Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif dikatakan tidak setangkup karena jika a habis membagi b, b tidak habis membagi a, kecuali jika a = b.



Misalnya, 2 habis membagi 4, tetapi 4 tidak habis membagi 2. Karena itu (2,4) Î R tetapi (4,2) Ï R.



2.



Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif dikatakan tolak-setangkup karena jika a habis membagi b dan b habis membagi a maka a = b.



Misalnya, 4 habis membagi 4 maka oleh karena itu (4,4) Î R dan 4 = 4.



Contoh lagi ?? Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilanga bulat positif. R : x lebih besar dari y S:x+y=6 T : 3x + y = 10 R bukan relasi setangkup karena, misalnya 5 lebih besar dari 3, tetapi 3 tidak lebih besar dari 5. S relasi setangkup karena, misalnya (4,2) dan (2,4) adalah anggota S. T tidak setangkup karena, misalnya (3,1) adalah anggota T tetapi (1,3) bukan anggota T. S bukan relasi tolak-setangkup karena, misalnya (4,2) dan (4,2) Î S tetapi 4 ≠ 2. R dan T keduanya tolak-setangkup.....sok buktikan !!!



3.



Menghantar (transitive)



Definisi : Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a,b) Î R dan (b,c) Î R, maka (a,c) Î R untuk semua a,b,c Î A



Ilustrasinya : Misalkan A adalah himpunan orang, dan R adalah relasi pada A sedemikian sehingga (a,b) Î R jika dan hanya jika b adalah keturunan a.



Jika b adalah keturunan a, yaitu (a,b) Î R, dan c adalah keturunan b, yaitu (b,c) Î R maka c juga keturunan a, yaitu (a,c) Î R. Jadi, R adalah relasi menghantar. Tetapi, jika T adalah relasi pada A sedemikian sehingga (a,b) Î T jika a adalah ibu dari b, maka T tidak menghantar.



Contoh 1 : Misalkan A = {1,2,3,4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka : (a) R = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} bersifat menghantar. Perhatikan tabel berikut : Pasangan berbentuk (a,b) (3,2) (4,2) (4,3) (4,3)



(b,c) (2,1) (2,1) (3,1) (3,2)



(a,c) (3,1) (4,1) (4,1) (4,2)



(b) R = {(1,1), (2,3), (2,4), (4,2)} tidak menghantar karena (2,4) dan (4,2) Î R, tetapi (2,2) Ï R, begitu juga (4,2) dan (2,3) Î R, tetapi (4,3) Ï R. (c)



R = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)} jelas menghantar.....mangga buktikan !!!



Contoh 2 : Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat menghantar. Misalkan bahwa a habis membagi b dan b habis membagi c. Maka terdapat bilangan positif m dan n sedemikian sehingga b = ma dan c = nb. Disini c = nma, sehingga a habis membagi c. Jadi, relasi “habis membagi” bersifat menghantar.



Contoh 3 : Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif R : x lebih besar dari y S:x+y=6



T : 3x + y = 10 R adalah relasi menghantar karena jika x > y dan y > z maka x > z. S tidak menghantar karena, misalkan (4,2) dan (2,4) adalah anggota S tetapi (4,4) Ï S. T tidak menghantar karena, misalkan T = {(1,7), (2,4), (3,1)} Menghantar (transitive) Definisi : Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a,b) Î R dan (b,c) Î R, maka (a,c) Î R untuk semua a,b,c Î A



Ilustrasinya : Misalkan A adalah himpunan orang, dan R adalah relasi pada A sedemikian sehingga (a,b) Î R jika dan hanya jika b adalah keturunan a. Jika b adalah keturunan a, yaitu (a,b) Î R, dan c adalah keturunan b, yaitu (b,c) Î R maka c juga keturunan a, yaitu (a,c) Î R. Jadi, R adalah relasi menghantar. Tetapi, jika T adalah relasi pada A sedemikian sehingga (a,b) Î T jika a adalah ibu dari b, maka T tidak menghantar.



Contoh 1 : Misalkan A = {1,2,3,4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka : (a) R = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} bersifat menghantar. Perhatikan tabel berikut : Pasangan berbentuk (a,b) (3,2) (4,2) (4,3) (4,3)



(b,c) (2,1) (2,1) (3,1) (3,2)



(a,c) (3,1) (4,1) (4,1) (4,2)



(b) R = {(1,1), (2,3), (2,4), (4,2)} tidak menghantar karena (2,4) dan (4,2) Î R, tetapi (2,2) Ï R, begitu juga (4,2) dan (2,3) Î R, tetapi (4,3) Ï R.



(c)



R = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)} jelas menghantar.....mangga buktikan !!!



Contoh 2 : Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat menghantar. Misalkan bahwa a habis membagi b dan b habis membagi c. Maka terdapat bilangan positif m dan n sedemikian sehingga b = ma dan c = nb. Disini c = nma, sehingga a habis membagi c. Jadi, relasi “habis membagi” bersifat menghantar.



Contoh 3 : Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif R : x lebih besar dari y S:x+y=6 T : 3x + y = 10 R adalah relasi menghantar karena jika x > y dan y > z maka x > z. S tidak menghantar karena, misalkan (4,2) dan (2,4) adalah anggota S tetapi (4,4) Ï S. T tidak menghantar karena, misalkan T = {(1,7), (2,4), (3,1)}



Relasi Suatu relasi R dalam himpunan A disebut relasi equivalen jika memenuhi ; 1.Sifat Refleksif 2.Sifat Simetrik 3.Sifat Transitif Sekian penjelasannya, untuk lebih paham, ada 1 soal nih.



1.



Jika A = {1, 2, 3, 4}, berikut diberikan relasi atas A: R1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)}



Equivalen



R2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)} R3 = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2,2), (3, 3), (4, 1), (4,4)} R4 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)} R5 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3,4), (4, 4)} R6 = {(3, 4)} R7 = {(1, 1)} R8 = {(1, 1), (1, 2), (3, 4), (4, 3)} Manakah dari kedelapan relasi di atas yang masing-masing bersifat: refleksif, simetri, anti simetri, transitif, dan yang bukan simetri sekaligus bukan antisimetri.



Pada relasi-relasi di atas yang bersifat refleksif adalah: R3, dan R5. R1 tidak refleksif karena (3, 3)∉R1. Relasi yang bersifat simetri: R2, R3, dan R7. Relasi yang bersifat antisimetri: R4, R5, R6, dan R7. Relasi yang bersifat transitif: R5, R6, dan R7. Untuk melihat R3 tidak bersifat transitif, dapat menggunakan tabel berikut: (a,b) (b,c) (a,c) Keterangan (1,1) (1,2) (1,2) Anggota R3 (1,2) (2,2) (1,2) Anggota R3 (1,4) (4,1) (1,1) Anggota R3 (2,1) (1,4) (2,4) Bukan anggota R3 (2,2) (2,1) (2,1) Anggota R3 Untuk melihat R5 bersifat transitif, lihat tabel berikut: R5 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2,2), (2,3), (2,4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)} (a,b) (b,c) (a,c) Keterangan (1,1) (1,2) (1,2) Anggota R5 (1,2) (2,2) (1,2) Anggota R5 (1,3) (3,3) (1,3) Anggota R5 (1,4) (4,1) (1,1) Anggota R5 (2,2) (2,4) (2,4) Bukan anggota R3 (2,3) (2,1) (2,1) Anggota R3 (2,4) (3,3) (3,4) (4,4) Relasi yang bukan simetri dan bukan pula antisimetri: R1, dan R8.



RELASI 1. Pengertian Relasi Antara elemen-elemen dari dua buah himpunan seringkali terdapat suatu relasi atau hubungan tertentu. Misalnya : A = { 2, 3, 5 } B = { 1, 4, 7, 10, 14 } Akan kita tinjau relasi “ adalah faktor dari “ antara elemen-elemen himpunan A dengan elemen-elemen himpunan B. Tampaklah bahwa : 2 adalah faktor dari 4 2 adalah faktor dari 10 2 adalah faktor dari 14 5 adalah faktor dari 10 Sedangkan 3Î A tidak berrelasi dengan suatu elemenpun dari himpunan B. Relasi itu dikatakan sebagai suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B. Perhatikan bahwa suatu relasi mempunyai arah tertentu. Relasi tersebut juga dapat dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut. Elemen dari himpunan A yang berelasi dengan elemen dari himpunan B di susun menjadi suatu pasangan terurut, diman elemen dari A pada urutan pertama dan elemen dari B pada urutan yang kedua. Jadi kalau relasi “ adalah faktor dari “ tersebut diberi nama R, maka : R



=



{



(2,



4),



(2,



10),



(2,



14),



(5,



10)



}



Dalam diagram panah Jelaslah bahwa R c A x B Secara umum dapat dikatakan bahwa suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B merupakan himpunan bagian dari AXB (produk Cartesius A dan B). sehingga dapat didefinisikan: R adalah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B. R c A x B A disebut daerah asal (domain) dan B disebut daerah kawan (kodomain) dari relasi R tersebut.



2. Relasi-relasi Khusus



Jika A = B maka relasinya disebut sebagai relasi pada himpunan A. a) Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi refleksif bhb setiap elemen dari A berrelasi R dengan dirinya sendiri.



Contoh : A adalah suatu keluarga himpunan. R adalah relasi ”himpunan bagian” yaitu: | xÎA, yÎA, x c y }



R ={ (x,y)



R adalah relasi refleksif pada A karena untuk setiap xÎA berlakulah bahwa (xÎA). (x,x) ÎR



x c x, yaitu



Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi non- refleksif bhb. ada elemen dari A yang tidak berrelasi R dengan dirinya sendiri. Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi irrefleksif bhb. setiap elemen dari A tidak berelasi R dengan dirinya sendiri. Perhatikan bahwa suatu relasi yang irrefleksif dengan sendirinya refleksif, tetapi sebaliknya belum tentu.



adalah non-



Contoh : A = himpunan semua bilangan nyata. Relasi “ > “ adalah suatu relasi yang irrefleksif (jadi juga non- refleksif ) pada A karena setiap bilangan nyata tidak lebih besar dari pada dirinya sendiri. A = himpunan semua manusia Relasi “ dapat menguasai” adalah relasi yang non – refleksif pada A ( karena ada orang yang tidak dapat menguasai dirinya sendiri), tetapi bukan relasi yang irrefleksif ( karena tidak semua orang tidak dapat menguasai dirinya sendiri) b) Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi simetris bhb. Untuk setiap dua elemen x dan y dalam A, jika x berrelasi R dengan y, maka y berrelasi R dengan x. R simetris pada A bhb. Contoh : A = himpunan semua garis lurus pada bidang datar.



Relasi “ sejajar” adalah relasi yang simetris pada A, karena untuk setiap dua garis lurus x dan y, di mana x//y, maka pastilah y//x Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi non-simetris bhb. Ada sepasang elemen x dan yÎA dimana x berrelasi R dengan y tetapi y tidak berrelasi R dengan x Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi asimetris bhb. Untuk setiap pasangan elemen x dan yÎA di mana x berrelasi R dengan y, maka y tidak berrelasi R dengan x Jelas bahwa suatu relasi yang asimetris pada himpunan A pasti juga non-simetris pada A, tetapi sebaliknya belum tentu. Contoh: A = Keluarga himpunan. Relasi “ himpunan bagian sejati” adalah suatu relasi yang asimetris pada A (jadi juga nonsimetris ) karena untuk setiap dua himpunan x dan yÎA dimana x c y, maka pastilah bahwa yCx A = himpunan semua manusia. Relasi “mencintai” adalah relasi yang non simetris pada A, tetapi bukan relasi yang asimetris pada A. Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi anti-simetris bhb. Untuk setiap pasang elemen x dan y Î A, jika x berrelasi R dengan y dan y berrelasi R dengan x, maka x = y. R antisimetris pada A bhb. Contoh: A = keluarga himpunan. Relasi “ himpunan bagian” adalah relasi yang antisimetris pada A, karena untuk setiap dua himpunan x dan y, jika x c y dan yc x, maka x = y. c). Suatu relasi R pada himpunan A disebut transitif bhb. Untuk setiap tiga elemen x,y dan z Î A, jika x berrelasi R dengan y dan y berrelasi R dengan z , maka x berrelasi R dengan z. R transitif pada A bhb. Contoh: A = himpunan semua bilangan nyata. Relasi “adalah faktor dari” adalah relasi yang transitif pada A. Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi non-transitif bhb. Ada tiga elemen x,y dan z ÎA dimana x berrelasi R dengan y dan y berrelasi z, tetapi x tidak berrelasi R dengan z.



d) Suatu relasi R pada himpunan A yang sekaligus bersifat refleksif,simetris dan transitif disebut relasi ekuivalensi pada A. Contoh: A = himpunan semua segitiga. Relasi “sebangun” adalah relasi ekuvalensi pada A sebab relasi tersebut sekaligus bersifat refleksif, simetris dan transitif pada A A = himpunan semua bilangan bulat Relasi 1.



Macam-macam Relasi



1.



Relasi Refleksif



2.



Relasi Non-refleksif



3.



Relasi Irrefleksi



4.



Relasi Simetri



5.



Relasi Non-simetri



6.



Relasi Antisimetri



7.



Relasi Transitif



8.



Relasi Non-transitif



9.



Relasi Intransitif



10.



Relasi Ekivalen



2.



Relasi Refleksif



1.



Definisi R adalah relasi pada himpunan A, R Ì A. Maka R disebut relasi refleksif jika dan hanya jika untuk setiap a Î A, (a,a) Î R (setiap anggota A berelasi dengan dirinya sendiri). Contoh :



2.



Ditentukan B = {x, y, z, a} dan R = {(x,x), (y,y), (z,z), (a,a)} .



Apakah R merupakan relasi refleksif ? Jawab : R merupakan relasi refleksif, karena setiap anggota himpunan R merupakan anggota himpunan di B yang sudah berelasi dengan dirinya sendiri



3.



Relasi non-refleksif Definisi R adalah relasi pada himpunan A. R disebut relasi non-refleksif jika dan hanya jika ada a Î A, (a,a) Î R (ada anggota A yang tidak berelasi dengan dirinya sendiri).



Contoh 1.



Ditentukan H = {1, 2, 5, 7} dan R = {(1,1), (2,2), (5,7), (7,7)} . Apakah R merupakan relasi non-refleksif? Jawab : R merupakan relasi non-refleksif, karena ada anggota di himpunan R yang merupakan anggota di Himpunan H yang tidak berelasi dengan dirinya sendiri.



4. 1.



Relasi irrefleksif Definisi R adalah relasi pada A. R disebut relasi irrefleksif jika dan hanya jika setiap a Î A, (a,a) Î R (setiap anggota a tidak berelasi dengan dirinya sendiri). Contoh



2.



Ditentukan M = {s, a, t, z} dan R = {(s,a), (a,t), (t,z)} . Apakah R merupakan relasi irrefleksif ? Jawab : R merupakan relasi irrefleksif, karena setiap anggota di himpunan R yang merupakan anggota di himpunan M tidak berelasi dengan dirinya sendiri