Soal Dan Jawaban Sifat Sifat Himpunan [PDF]

Citation preview

Sifat Identitas Contoh: Diketahui S = himpunan bilangan asli kurang dari 10 dan J = {2, 3, 5, 7}. Tentukan: a. J ∩ ∅ b. J ∩ S c. J ∪ ∅ d. J ∪ S



Penyelesaian: S = himpunan bilangan asli kurang dari 10 maka S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} a. J ∩ ∅ = {2, 3, 5, 7} ∩ { } ( Ingat irisan dua himpunan didapat dengan mencari anggota yang sama) J∩∅=∅ b. J ∩ S = {2, 3, 5, 7} ∩ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} J ∩ S = {2, 3, 5, 7} J∩S=J c. J ∪ ∅ = {2, 3, 5, 7} ∪ { } (Ingat gabungan dua himpunan didapat dengan menggabungkan semua anggota kedua himpunan tersebut) J ∪ ∅ = {2, 3, 5, 7} J∪∅=J d. J ∪ S = {2, 3, 5, 7} ∪ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} J ∪ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} J∪S=S



Idempoten Contoh: Diketahui K = {4, 5, 6}. Tentukan: a. K ∩ K b. K ∪ K



Penyelesaian:



a. K ∩ K = {4, 5, 6} ∩ {4, 5, 6} = {4, 5, 6} K∩K=K b. K ∪ K = {4, 5, 6} ∪ {4, 5, 6} = {4, 5, 6} K∪K=K



Sifat Komplemen Contoh: Diketahui S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} dan L = {6, 8, 9, 10, 11}. Tentukan L ∩ L c .



Penyelesaian: Lc adalah semua anggota himpunan S yang bukan anggota himpunan bagian dari himpunan L, sehingga Lc = {2, 3, 4, 7}. Dengan demikian, diperoleh: L ∩ Lc = {6, 8, 9, 10, 11} ∩ {2, 3, 4, 7} L ∩ Lc = { } L ∩ Lc = ∅ Jadi, L ∩ Lc = ∅.



Sifat Asosiatif Diketahui A = {p, q, r, s}, B = {r, s, t} dan C = {q, r, s}. Tunjukkan bahwa (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) dan (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).



Penyelesaian: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Anggota himpunan A yang juga terdapat di himpunan B adalah r, s, sehingga diperoleh A ∩ B = {r, s}. Adakah anggota himpuanan C yang sama dengan anggota di A ∩ B? Ternyata ada yaitu r, s. Dengan demikian, (A ∩ B) ∩ C = {r, s}. Selanjutnya, perhatikan anggota himpunan B yang terdapat di himpunan C yaitu r, s, sehingga B ∩ C = {r, s}. Amati anggota himpunan A yang terdapat di himpunan B ∩ C yaitu r, s, sehingga (A ∩ B) ∩ C = {r, s}. Dengan demikian dapat ditunjukkan bahwa (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) Kita tentukan dahulu (A ∪ B) ∪ C. (A ∪ B) ∪ C = ({p, q, r, s} ∪ {r, s, t}) ∪ {q, r, s} (A ∪ B) ∪ C = {p, q, r, s, t} ∪ {q, r, s}



(A ∪ B) ∪ C = {p, q, r, s, t} Kemudian, kita tentukan A ∪ (B ∪ C). A ∪ (B ∪ C) = {p, q, r, s} ∪ ({r, s, t} ∪ {q, r, s}) A ∪ (B ∪ C) = {p, q, r, s} ∪ {q, r, s, t} A ∪ (B ∪ C) = {p, q, r, s, t} Dengan demikian, dapat ditunjukkan bahwa (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).



Sifat Distributif Contoh: Diketahui himpunan A = {1, 2, 3, 4, ..., 10}, B = {2, 4, 6, 8, 10} dan C = {1, 3, 5, 7, 9}. Tunjukkan bahwa A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B).



Penyelesaian: Langkah pertama, tentukan hasil dari A ∩ (B ∪ C). A ∩ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10} ∩ ({2, 4, 6, 8, 10} ∪ {1, 3, 5, 7, 9}) A ∩ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10} ∩ {1, 2, 3, 4, ..., 10} A ∩ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10} Langkah kedua tentukan hasil dari (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). (A ∩ B) = {1, 2, 3, 4, ..., 10} ∩ {2, 4, 6, 8, 10} (A ∩ B) = {2, 4, 6, 8, 10} (A ∩ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10} ∩ {1, 3, 5, 7, 9} (A ∩ C) = {1, 3, 5, 7, 9} (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {2, 4, 6, 8, 10} ∪ {1, 3, 5, 7, 9} (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10} Dengan membandingkan hasil akhir langkah pertama dan kedua, dapat ditunjukkan bahwa A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B).