Soal Dan Pembahasan Integral SBMPTN [PDF]

Citation preview

1. UN 2012 Hasil dari



10



∫ ( 2 x+3 ) ( x 2 +3 x )



A.



1 2 11 (x +3 x) + c 11



B.



2 x (x 2 +3 x)11 +c



C.



1 2 11 x (x +3 x ) + c 11



D.



1 2 ( x +3 x )11 +c 2



E.



2 2 11 x (x +3 x ) + c 11



dx=…



Pembahasan: 10



∫ ( 2 x+3 ) ( x 2 +3 x )



10



10



dx=∫ ( x2 +3 x ) d ( x 2 +3 x ) ¿



1 2 (x +3 x)11 + c 11



2. SNM-PTN IPA 2010 a



 21 Jika



3



x2 dx



0



3 b ,  (2x  3) dx 4 dana,b  0 10 0



makanilai



A. 20 B. 45 C. 40 D. 25 E. 15 Pembahasan: a







1 2



0



2



x3 dx



3  10



 x 3 10



5 3



a 0



 (2 x  3) dx  4   x







b



0



a2 +2 ab+b 2=25 3. SNM-PTN IPA 2012



2



3 10



5



a3 







b



3  a 1 10



 3x 0  4  b  4



a2  2ab b2



…



y



1 3



x



3







3 x



2



15 4



B.



10 6



C.



4 3



D.



18 5



E.



17 6



 dy  dx .......  dx



4 



1



Jika A.



2



 maka



Pembahasan : 2



dy 2  2  dy 2 2 2 4 4 y x  x  x x    x  x   x  x  2 dx  dx 1 3



2



3



1



 dy  4   dx 



 1



2



2



dx   4  x  x 4



1



2



   x 2  x 2  dx 







1 3



x 3  1x



1



¿ 4. UMB 2010 2



  3x



2



- 3x + 7  dx =



0



A. 16 B. 10 C. 6 D. 13 E. 22



…



17 6







2 1



4



2



 2 dx   1



x



2



 x  2  dx 2



Pembahasan : 2



  3x



2



- 3x + 7  dx



0



=



=







x



= =



3 x 21 2 1



3



- 131 x11 + 7x



- 32 x 2 + 7x



(2)



3











2 0



2 0



 



- 32 (2)2 + 7(2)  (0)3 - 32 (0)2 + 7(0)



8 - 32 (4) + 14  0 - 0 + 0







= 8 – 6 + 14 = 16



5. SNMPTN 2010 4



Jika A. B. C. D. E.



4



∫ f ( x ) dx=6 1



, maka



∫ f ( 5−x ) dx=… 1



6 3 0 -1 -6



Pembahasan: u=5−x



Misalkan :



Untuk x=1;u=4 dan untuk x=4;u=1



du=−dx 4



1



4



∴∫ f ( 5−x ) dx=−∫ f ( u ) du=∫ f ( u ) du=6 1



4



6. SIMAK UI 2008 −1 /3 Hasil dari ∫ 6 x (3 x−1) dx=… A. B.



2 3



5 3 3 x(3 x−1) − (3 x −1) 3 +c 5



2 3



5 6 4 x ( 3 x−1 ) − ( 3 x−1 ) 3 +c 5 2



C.



5 3 3 ( ) ( ) 9 x 3 x−1 − 3 x−1 3 +c 5 2



D.



5 3 4 x ( 3 x−1 ) 3 − ( 3 x−1 ) 3 + c 5 2



E.



5



3 3 x(3 x−1) 3 − (3 x −1) 3 +c 5



Pembahasan : −1



∫ 6 x (3 x−1 ) 3 dx=



2



1 6 xd ( 3 x−1 ) 3 2∫



1



2 3



2 1 ¿ 3 x ( 3 x−1 ) − ( 3 x−1 ) 3 .6 dx 2 2



5 3 3 ( ) ( ) ¿ 3 x 3 x−1 − 3 x−1 3 + c 5



7. UM UNDIP 2009 f ( 5−x ) dx=¿ Jika Pada interval a ≤ x ≤ b diketahui



f ( x ) . f ( x ) dx=¿



4



, maka



∫¿ 1



A. F(b) –F(a) F ( b ) f ( b ) −F ( a ) f ( a ) B. 2



b



∫¿ a



D. f(b) –f(a) E.



F 2 ( b )−F 2 ( a ) 2



2 2 f ( b )−f (a) 2



C.



Pembahasan : df ( x ) =f ( x ) , maka dx



Karena



b



b



∫ F ( x ) . f ( x ) dx=∫ F ( x ) dF ( x )=… a



a



]



b



F 2 (x) F2 ( b ) −F 2 (a) ¿ = 2 a 2 8. UN TAHUN 1989 2



Nilai A. B. C. D. E.



∫ (2 x−1)3 dx=¿ 0



....



10 20 40 80 160



Pembahasan : 2



2



∫ ( 2 x−1 )3 dx=∫ 0



0



3



( 2 x−1 ) d ( 2 x−1 ) 2



[



]



¿



1 1 ( 2 x−1 ) 4 2 4



¿



1 (3)4 −(−1)4 ] [ 8



1 ¿ ( 81−1 ) =10 8



9. UN TAHUN 1992



2



0



…



Hasil dari



∫ x √ 4 x+ 1dx



adalah .... 3



A.



−1 ( 6 x−1 ) ( 4 x +1 ) 2 +C 60



B.



1 ( 6 x−1 ) ( 4 x +1 ) 2 + C 60



C.



−4 ( 3 x−2 ) ( 4 x +1 ) 2 +C 60



D.



4 ( 3 x−2 )( 4 x +1 ) 2 +C 60



E.



1 ( 3 x−2 )( 4 x +1 ) 2 +C 60



3



3



3



3



Pembahasan : B Misal : u=x → du=dx dv= √ 4 x+1 dx 1 2



v =∫ ( 4 x+1) dx 3



2 1 v = . .(4 x +1) 2 3 4 3



1 v = .(4 x+1) 2 6 3



∫ x √ 4 x+ 1dx =∫ x d 16 .(4 x+1)2 3



3



x 1 ¿ (4 x +1)2 −∫ (4 x +1)2 dx 6 6 3



5



x 1 2 1 ¿ (4 x +1) 2 − . . (4 x +1) 2 +C 6 6 5 4 1 4 x + ¿} 10 x−¿+ C 3 1 ¿ ( 4 x+ 1) 2 ¿ 60 3



1 ¿ ( 6 x−1 ) ( 4 x +1 ) 2 +C 60 10. UN TAHUN 1998



Gradien garis singgung sebuah kurva pada setiap titik ( x , y ) dinyatakan oleh dy =6 x2 −2 x +6. Kurva melalui titik ( 1,−2 ) , maka persamaan kurva adalah .... dx A.



y=2 x 3−x 2+ 6 x +5



B.



y=2 x 3−x 2+ 6 x +5



C.



y=2 x −x + 6 x + 4



D.



y=2 x 3−x 2+ 6 x −9



E.



y=2 x −x + 6 x +9



3



2



3



2



Pembahasan : y=∫



dy 2 =6 x −2 x+6 dx dx



y=2 x 3−x 2+ 6 x +C Melalui (1,2) y (1 ) =2 ( 1 ) −(1)+ 6(1)+C −2=7+C



−9=C 3



2



y=2 x −x + 6 x −9



Jadi,



11. SNMPTN 2009 KODE 176 1



Hasil substitusi u=x +1 pada



A.



u−1 ¿2 ¿ ¿ 1



∫¿ 0



1



B.



∫ x 2 √u du 0 2



C.



∫ (u−1) √u du 1



2



D.



u−1 ¿ ¿ ¿ 1



∫¿ 0



∫ x 2 √ x +1 dx=¿ 0



....



2



u−1 ¿ ¿ ¿



E.



2



∫¿ 1



Pembahasan : 1



x+1 ¿ 2 dx 1



1



∫ x √ x +1 dx=∫ x 2 ¿ 2



0



0



1



1 2



¿∫ x u dx 2



0 1



¿∫ x2 √ u dx 0



12. SPMB 2007 Nilai



 x sin ( x



2



 1) dx  ....



A. –cos (x2 + 1) + C



C. -



cos (x2 + 1) + C



B.



D.



1 2



1 2 2 cos (x + 1) + C



E. 2 cos (x2 + 1) +



cos (x2 + 1) + C



Pembahasan : 2



Misalnya



 x sin ( x



2



u  x 1



 1) dx 



, maka



1 du  xdx 2



, sehingga:



1



 2 sin u du



1   cos u  C 2



=-



1 2 2 cos (x + 1) + C



13. SPMB IPA TAHUN 2006 π 6







 sin 



x



0







A.



1 4



π π   cos x   dx  .... 3 3 







B.



1 8



C.



1 8



D.



1 4



E.



3 8



π 6







 sin 



x



0



π 6



π π 1 2π    sin  2 x   cos x   dx   dx 3 3 2 3     0







u  2x 



Misalnya x



π 6



2π 3



π  π  2π  u  2   π 6 3  6







 sin 



x



0



du  2dx



, maka



.



x  0  u  2 0  



dan



2π 2π  3 3



π 6



π π 1 2π   sin  2 x   cos x   dx   dx 3 3 20  3  







π



1 sin u du 1 π 4 2π    cos u  2 π 4 3 3











1 2π    cosπ  cos  4 3 



¿



1 8



14. UN 2009 1



∫ 12 x(x 2 +1)2 dx=14



Nilai a yang memenuhi



a



A. -2 B. -1 C. 2 1 D. 2 E. 1 Pembahasan: 1



1



∫ 12 x(x 2 +1)2 dx=∫ 6( x 2+ 1)2 d (x 2+1) a



a



1



14=2(x2 +1)3 ]a



a2 +1 ¿ ¿ 14=2.8−2. ¿ 2



a +1 ¿ ¿ 2=2. ¿ a=2



adalah …



15. UN 2008 x 2(x 3 +2)5 dx=¿ 0



Hasil dari



…



∫¿ −1



A.



85 3



B.



75 3



C.



63 18



D.



58 18



E.



31 18



Pembahasan 0



x 2(x 3 +2)5 dx=¿



1 ∫ (x 3 +2)5 d ( x3 +2 ) 3 −1 0



∫¿ −1



¿



1 3 (x + 2)6 18



¿



64 1 − 18 18



¿



63 18



]



0



−1



16. UN 2007 p



Diketahui



∫ 3 x . ( x+ 23 ) dx=78 1



maka nilai (-2p) = …



A. 8 B. 4 C. 0 D. -4 E. -8 Pembahasan : p



p



∫ 3 x . x+ 23 dx=∫ 3 x 2 +2 x dx 1 1



( )



p



78=x 3 + x 2 ]1



78= p3 + p2−(1+1) 0=p 3+ p 2−80 p=4



17. UN 2006 6 x √ 4 x−8 dx=¿ Hasil … ∫¿ A.



3 2



5



1 x (4 x−8) − ( 4 x−8) 2 + C 10 3 2



5



B.



1 x (4 x−8) + (4 x−8) 2 +C 10



C.



1 x (4 x−8) 2 − ( 4 x−8) 2 + C 5



D.



2 x (4 x−8) 2 + (4 x−8) 2 +C 5



E.



2 x (4 x−8) 2 − ( 4 x−8) 2 + C 5



3



5



3



5



3



5



Pembahasan: ∫ u . dv=uv−∫ v du u=6 x → du=6 dx



4 x−8 ¿ ¿ 3 2 1 1 dv= √ 4 x−8 dx → v= . (4 x−8) 2 = ¿ 3 4 6 4 x−8 ¿ ¿ 4 x−8 ¿ ¿ 3 ¿ 2 1 6. ¿ 6 1 6 x √ 4 x−8 dx=¿ 6 x . ¿ 6 ∫¿ 4 x −8 ¿ ¿ 4 x −8 ¿ ¿ ¿ ¿ x¿ 4 x −8 ¿ ¿ 4 x −8 ¿ ¿ ¿ x¿



3 2



5



1 ¿ x(4 x−8) − (4 x−8) 2 +C 10 18. UN TAHUN 1988 Diketahui



F' ( x ) =



A.



−1 −1 x



B.



−1 +x x



C.



−1 +x 3 x



D.



1 + x+2 x



E.



−1 + x+2 3 x



1 +1 x2



dan



F (−1 )=0 , maka



Pembahasan : F' ( x ) =



1 +1 x2



F ( x )=∫ ( x−2+ 1 ) dx= F (−1 )=0 → 0=



Persamaan fungsi



−1 + x+C x



−1 + (−1 )+ C ↔C=0 (−1) F ( x )=



−1 +x . x



19. UN 2012 1 π 2



Nilai dari



∫ ( 2sin 2 x−3 cosx ) dx 1



A. B. C. D. E.



-5 -1 0 1 2



Pembahasan: 1 π 2



∫ ( 2sin 2 x−3 cosx ) dx 1



= ...



F ( x )=¿ .....



¿



[



1 −2 cos 2 x−3 sinx 2 π 2 0



]



1 π ¿ [ −cos 2 x−3 sinx ] 2 0



(



¿ −cos 2



( 12 π )−3 sin ( 12 π ))



¿ (−cos ( 2.0 )−3 sin 0 ) ¿ (−1 ) −3 (1 )−(−1 ) ¿−1



20. UN 2011 Hasil dari



∫ cos 4 2 x sin 2 x dx



A.



−1 5 sin 2 x+C 10



B.



−1 cos 5 2 x +C 10



C.



−1 5 cos 2 x +C 5



D.



1 cos5 2 x+C 5



E.



1 sin 5 2 x +C 10



Pembahasan:



∫ cos 4 2 x . sin2 x dx



adalah ... Menggunakan integral substitusi



2x cos ¿ ¿ = cos 4 2 x .d ¿ −∫ ¿



=



−1 1 cos 5 2 x . +C 5 2



=



−1 5 cos 2 x +C 10