Soal Integral [PDF]

Citation preview

Matematika15.wordpress.com



LEMBAR AKTIVITAS SISWA – INTEGRAL Nama Siswa



: ___________________



Kelas



: ___________________



A. PENGERTIAN INTEGRAL (REVIEW) 1. Integral Tak Tentu



Latihan 1 1.



Jawab:



Rumus-rumus Dasar Integral Tak tentu Fungsi Aljabar n+ 1



1. 2. 3. 4. 5.



.x ∫ a . x n dx= an+ 1



+C



∫ k dx=k . x+C ∫ f ( x ) ± g ( x ) dx=∫ f ( x ) dx ±∫ g ( x ) dx ∫ f ' ( x ) dx=f ( x)+C ∫ f ' ' ( x ) dx=f ' ( x)+C



6.



d f ( x ) dx=f ( x) dx ∫



7.



kx ∫ k dx= ln x +C



8.



∫ e x dx=e x + C



9.



a ∫ x dx=a. ln x +C



10.



∫ ( ax+b )n dx= a .(n+1) +C



2.



Jawab:



x



3.



(ax +b)n+1



Jawab:



Contoh 1:



2



4



∫ (3 x2 −10 x √ x + x 5 − x +12) dx = … Jawab 4.



1



King’s Learning Be Smart Without Limits



Matematika15.wordpress.com



Jawab: Jawab:



5. 9.



Jawab: Jawab:



6.



Jawab:



10. selesaikan:



∫



Jawab:



√



x−√ 2+



2 dx x



7. 11. selesaikan:



∫ ( x m + mn ) dx



Jawab:



Jawab:



12. selesaikan:



∫



(6 t − 61t ) dt 2



2



Jawab: 8.



2



King’s Learning Be Smart Without Limits



Matematika15.wordpress.com



17.



∫



13. selesaikan:



(



x2 y3 − dx y3 x2



)



Jawab:



Jawab:



14. 18.



Jawab:



Jawab:



15. Jawab:



19.



Jawab:



16. Jawab:



3



King’s Learning Be Smart Without Limits



Matematika15.wordpress.com



b



20. Sebuah fungsi kuadrat diketahui f ’ (x) = 2x + 1, Jika fungsi tersebut mempunyai nilai minimum -0,25. Tentukan koordinat titik potong fungsi kuadrat tersebut dengan sumbu Y? Jawab:



8.



∫ f ( x ) dx ≥0 ,jika f(x) ≥ 0 pada selang a ≤ x ≤ b. a



Rumus tambahan: 9.



10.



11.



a



∫ f ( x ) dx =



−a



d dx



[



∫ f ( x)



dx = F(x) + c maka :



b



b



∫ f ( x) a



]



dx = F(x) a = F(b) – F(a) = – {F(a) - F(b)} a



{



g( x)



∫ h(t) dt ] ¿ h ¿



f ( x)



a



a



∫ f ( x ) dx = 0∫ f ( a−x ) dx



0



π



π



12. 2



=2



sin n x dx 0∫



2. Integral Tentu Jika suatu fungsi f kontinu pada interval [a,b], dan



a



2 0∫ f ( x ) dx , Jika f ( x ) fungsi genap 0 , Jika f ( x ) fungsi ganjil



{



∫ cos n x dx =



0



2.4 .6 … … ..(n−1) ,untuk n bil . ganjil 1.3 .5 … … … . n 1.3 .5 … … ..(n−1) ,untuk n bil . genap 2.4 .6 … … … . n



Contoh 2:



Jawab:



−∫ f (x )



b = dx Dengan F adalah anti turunan dari fungsi f.



Bentuk pengintegralan di atas disebut integral tentu. Latihan 2



Dengan f(x) = integran a, b = batas pengintegralan



1.



Sifat-sifat Integral Tertentu:



Jawab:



2.



Jawab:



b



7.



b



∫ f ( x ) dx ∫ g ( x ) dx; jika f(x) ≥ g(x), a ≤ x ≤ b. ≥



a



a



4



3.



King’s Learning Be Smart Without Limits



Matematika15.wordpress.com



Jawab:



Jawab:



4. 9. Jawab: Jawab:



5.



10. Jawab: Jawab



7. 11. Jawab: Jawab:



8.



12.



5



King’s Learning Be Smart Without Limits



Matematika15.wordpress.com



16. Jawab: Jawab:



13. 17. Jawab:



Jawab:



14.



18. Dik: Jawab:



f(x)



=



,untuk x ≤1 {3 x6−2x ,untuk x >1



.



Tentukan



2 ∫ x f ( x ) dx . −1 Jawab:



15.



19.



Jawab:



Jawab:



6



King’s Learning Be Smart Without Limits



nilai



dari



Matematika15.wordpress.com



4 2 4 20. Dik: dan . Tentukan nilai ∫ f ( x ) dx ¿ ¿ −1 Jawab:



Contoh3: 21. Jawab: Jawab:



22. Jawab:



B. INTEGRAL TRIGONOMETRI 1. Rumus dasar Integral Trigonometri Rumus dasar untuk fungsi Trigonometri dapat diturunkan sebagai berikut:



7



2. Pengubahan Integran dalam integral trigonometri Fungsi trigonometri sebagai integran tidak selalu cocok untuk langsung diintegralkan, seringkali kita perlu mengubahnya sehingga cocok dengan bentuk pada rumusan yang ada. Beberapa rumus yang dapat digunakan, yaitu:



King’s Learning Be Smart Without Limits



Matematika15.wordpress.com



Latihan 3 1.



Contoh 4: Tentukanlah:



Jawab:



Jawab:



2.



Jawab:



Contoh 5: 3.



Jawab: Jawab:



4.



Jawab:



5.



Jawab:



8



King’s Learning Be Smart Without Limits



Matematika15.wordpress.com



6. 10. Jawab:



Jawab:



7.



11.



Jawab:



Jawab: 8.



Jawab:



12.



Jawab:



9.



Jawab:



9



King’s Learning Be Smart Without Limits



Matematika15.wordpress.com



13.



jawab:



17.



Jawab:



14.



Jawab: (No 18 – 21 gunakan cara subtitusi) 18.



Jawab:



15.



Jawab: 19.



Jawab:



16.



Jawab: 20.



10



King’s Learning Be Smart Without Limits



Matematika15.wordpress.com



Jawab:



21.



Jawab:



Contoh 6:



Jawab:



C. TEKNIK PENGINTEGRALAN 1. Teknik Pengintegralan dengan Cara Subtitusi Bentuk integral yang tidak dapat diselesaikan secara langsung dengan dasar integral dapat diselesaikan dengan menggunakan pemisalan atau subtitusi aljabar. Syarat: Apabila fungsi yang satu mempunyai hubungan dengan turunan fungsi yang lain. Cara: Dengan pemisalan



Kegiatan Siswa! Lengkapilah titik-titik pada soal berikut.



11



King’s Learning Be Smart Without Limits



Matematika15.wordpress.com



Jawab:



Latihan 4 1.



4.



Jawab: Jawab:



2. 5.



Jawab: Jawab:



3. 6.



12



King’s Learning Be Smart Without Limits



Matematika15.wordpress.com



Jawab: 9.



Jawab:



7.



10. Selesaikan:



∫ x 5 √ x 2+1 dx



Jawab:



Jawab:



11. Selesaikan:



∫



( √2 x−3−1 √ 2 x−4 ) dx



8.



Jawab:



13



King’s Learning Be Smart Without Limits



Matematika15.wordpress.com



12. Selesaikan:



∫



(



x3 dx √ x 2−1



)



Jawab:



15. Selesaikan:



2 ∫ √ x 4 + x 2 dx 0



Jawab:



13. Selesaikan:



∫



(



x2−4 x−3 dx (x−2)2



)



Jawab:



16. Selesaikan:



3 x −2 x dx ∫ ( x 4 −4 x2 +3)5 −1



17. Selesaikan:



x + x +1 ∫ √ √ x +1



3



14. Selesaikan:



∫



( √ x √1x +2 ) dx



Jawab:



(



2



√



2



)



dx



Jawab:



14



King’s Learning Be Smart Without Limits



Matematika15.wordpress.com



2. Teknik Pengintegralan dengan Cara Parsial



2 ∫ x +2 x2 dx √ 4−x 0 3



18. Selesaikan:



Jawab:



19. Selesaikan:



Jawab:



12 1 ∫ 2 x √2 x + x 4



dx



Penentuan yang tepat u dan dv sangat berpengaruh dalam penyelesaian integral dengan menggunakan integral parsial. Pilihlah u dan dv sedemikian hingga: 1. du lebih sederhana dari u 2. dv mudah untuk diintegralkan. Contoh 7: Tentukanlah: Jawab:



15



King’s Learning Be Smart Without Limits



Matematika15.wordpress.com



Latihan 5



1.



Jawab:



2.



Jawab:



3.



Jawab:



Cara Praktis



4.



Jawab:



16



King’s Learning Be Smart Without Limits



Matematika15.wordpress.com



8. 5.



Jawab: Jawab:



9. 6.



Jawab:



Jawab:



7. 10.



Jawab: Jawab:



17



King’s Learning Be Smart Without Limits



Matematika15.wordpress.com



1) Luas daerah dibatasi Kurva dengan Sumbu X 11.



Jawab: 







2) Luas daerah dibatasi Kurva dengan Sumbu Y



D. LUAS DAERAH (PENGGUNAAN INTEGRAL) Integral tertentu didefinisikan sebagai luas daerah tertentu, dan luas daerah tertentu dapat dirumuskan menjadi sebuah integral tertentu. Perumusan luas suatu daerah dapat dilakukan dengan terlebih dahulu menggambar daerah yang bersangkutan. Contoh: 3) Dibatasi 1 kurva dan 1 Garis yang Saling Berpotongan



18



King’s Learning Be Smart Without Limits



Matematika15.wordpress.com



Contoh 10:



Jawab: (11



5 ) 6



Contoh 8:



Jawab: (



92 ) 3



Contoh 9:



Jawab: ( 5



3 4



)



Latihan 6 1.



Jawab:



19



King’s Learning Be Smart Without Limits



Matematika15.wordpress.com



2.



Jawab: 5.



Jawab:



3.



Jawab:



6.



Jawab:



4.



Jawab: 7.



Jawab:



20



King’s Learning Be Smart Without Limits



Matematika15.wordpress.com



11.



8. Jawab:



Jawab:



12.



9.



Jawab:



Jawab:



10. 13.



Jawab:



Jawab:



21



King’s Learning Be Smart Without Limits



Matematika15.wordpress.com



Jawab:



14. 17.



Jawab:



Jawab:



15.



Jawab: 18.



Jawab:



16.



22



King’s Learning Be Smart Without Limits



Matematika15.wordpress.com



Jawab: 19.



Jawab:



20. 23.



Jawab: Jawab:



24. 21.



Jawab:



Jawab:



25.



22.



Jawab:



23



King’s Learning Be Smart Without Limits



Matematika15.wordpress.com



E. VOLUME BENDA PUTAR 1) Diputar terhadap Sumbu X



Contoh 11: Tentukan isi yang dibatasi oleh kurva y = x 2 garis x = 2 jika diputar mengelilingi sumbu x. Jawab: (6,4𝛑)



Contoh 12:



Jawab: (13 2) Diputar terhadap Sumbu Y



24



8 𝛑) 15



King’s Learning Be Smart Without Limits



Matematika15.wordpress.com



Contoh 13:



Jawab: (53



4 5



𝛑)



Latihan 7 1.



Contoh 14: 2. Jawab: (8 𝛑 )



Jawab:



3.



Contoh 15:



Jawab: ( 13



1 𝛑) 2



25



Jawab:



King’s Learning Be Smart Without Limits



Matematika15.wordpress.com



4.



7.



Jawab:



Jawab:



5. 8.



Jawab:



Jawab:



6.



9.



Jawab:



26



King’s Learning Be Smart Without Limits



Matematika15.wordpress.com



Jawab: Jawab:



13. 10.



Jawab: Jawab:



√x



11.



14. Volume yang dibatasi oleh kurva y = dengan garis x = k diputar mengelilingi sumbu x adalah 64p, maka harga k sama dengan …



Jawab:



√2 8√ 2



A. 4



D. 6



B. 6



E.



C. 8 Jawab:



12.



27



King’s Learning Be Smart Without Limits



Matematika15.wordpress.com



15. Perhatikan gambar berikut! A. B. C. D. E.



88 π 15 96 π 15 184 π 15 186 π 15 280 π 15



17.



Jawab:



Jawab:



16. Perhatikan gambar berikut! A.



6 π 48



D.



10 π 48 18.



B.



11 π 48



8 π 48 C.



E.



9 π 48



Jawab:



Jawab:



28



King’s Learning Be Smart Without Limits



Matematika15.wordpress.com



29



King’s Learning Be Smart Without Limits