![Kumpulan Soal Integral [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/kumpulan-soal-integral.jpg)
15 0 1002 KB
SOAL INTEGRAL A. Integral Tak Tentu 1. Soal Buku Mandiri Matematika XII 1
Jika f(x) = x 3n , untuk setiap n dan n ≠ − 3 , maka ∫ f (x) dx adalah ... a.
1 3n x 3n
+ C
b.
1 4n x 4n
+ C
c. x3n + 1 + C d.
1 xn + 1 n+1
e.
1 x3n + 1 3n + 1
+ C + C
Penyelesaian : Substitusikan f(x) = x 3n ke dalam ∫ f (x) dx = ∫ x 3n dx 1
∫ x 3n dx = 3n + 1 x3n + 1 + C Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah
1 x3n + 1 3n + 1
+ C (e)
2. Soal Buku Mandiri Matematika XII ∫ 3x 2 + 2x + 4 dx = ... a. x 3 + 2x 2 + 4x + C b. x 3 + x 2 + 4x + C c. x 3 − 2x 2 + 4x + C d. x 3 − x 2 + 4x + C e. x 3 + x 2 − 4x + C Penyelesaian : 3
2
∫ 3x 2 + 2x + 4 dx = 3 x 3 + 2 x 2 + 4x + C = x 3 + x 2 + 4x + C Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah x 3 + x 2 + 4x + C (b)
3. Soal Buku Mandiri Matematika XII 1
∫ 2x √x dx = ... a. −
1 + √x
b. − x
1 + √x
1 √x
+ C
d. −
2 + √x
c.
e. − 2
1 + √x
C C
C C
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
1
Penyelesaian : 1
∫ 2x
√x
1
dx = ∫
3
dx
2x2 3
1 2
= ∫ x −2 dx 3
1
= ∫ x −2 dx 2 1
=2 .
3 2
1 3 2 − + 2 2
x −2+2 + C
1 1 −1 x 2 2 −1
= .
+ C
2
1
1
= 2 . −2 . x −2 + C 1
= − x −2 + C =−
1 √x
+ C
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah −
1 √x
+ C (a)
4. Soal Buku Mandiri Matematika XII ∫ 3x 2 − 6x + 7 dx = ... a. 6x 3 − 6x 2 + 6x + C b. x 3 − 3x 2 + 7x + C c. 3x 3 + 2x 2 − x + C d. 3x 3 − 2x 2 + x + C e. 3x 3 − 3x 2 + x + C Penyelesaian : 3
6
∫ 3x 2 − 6x + 7 dx = 3 x 3 − 2 x 2 + 7x + C = x 3 − 3x 2 + 7x + C Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah x 3 − 3x 2 + 7x + C (b)
5. Soal Buku Mandiri Matematika XII ∫{x 3 + sin (5x + 1)} dx = ... a.
1 2 x 2
− 5 cos(5x − 1) + C
1
b.
1 2 x 2
+ 5 cos(5x − 1) + C
c.
1 2 𝑥 4
− cos(5𝑥 − 1) + 𝐶
d.
1 2 𝑥 4
+ 5 cos(5𝑥 − 1) + 𝐶
1
1 5 1
1
e. 3𝑥 2 − 5 cos(5𝑥 − 1) + 𝐶 Penyelesaian : 1
1
∫{x 3 + sin (5x + 1)} dx = 4 x 4 + 5 . −cos(5x − 1)2 + C 1
1
= 4 x 4 − 5 cos(5x − 1)2 + C 2
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
1
1
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 4 x 4 − 5 cos(5x − 1)2 + C (c) 6. Soal Buku Mandiri Matematika XII ∫{sin 3x − cos 3x} dx = ... 1
a. − 3 (cos 3x + sin 3x) + C b. − cos 3x . sin x + C c. − cos 3𝑥 + sin 𝑥 + 𝐶 1
d. − 3 sin 3x + cos x + C e.
1 3
sin 3x + cos x + C
Penyelesaian : 1
1
∫{sin 3x − cos 3x} dx = − 3 cos 3x − 3 sin 3x + C 1
= − 3 (cos 3x + sin 3x) + C 1 3
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah − (cos 3x + sin 3x) + C (a)
7. Soal Buku Mandiri Matematika XII ∫ sin2 2x dx = ... a.
1 sin3 2x + 3
C
b.
1 cos 3 2x + 3
C
1
c. − 3 cos3 2x + C d.
1 x 2
− sin 4x + C
1 8
e.
1 x 2
− 8 cos 4x + C
1
Penyelesaian : 1
∫ sin2 2x dx = ∫ 2 (1 − cos 4x) dx 1
= 2 ∫(1 − cos 4x) dx 1
1
= 2 (x − 4 sin 4x) + C 1 2
1 8
= x − sin 4x + C 1
1
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 2 x − 8 sin 4x + C (d) 8. Soal Buku Mandiri Matematika XII 1
Jika f(x) = ∫ (3 x 2 − 2x + 5) dx dan f(0) = 5 , maka f(x) = ... a.
1 3 x − 9
x 2 + 5x + C
b.
2 3 x − 3
x 2 + 5x + 9
c.
2 3 x − 3
2x 2 + 5x + 5
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
3
d.
1 3 x − 9
2x 2 + 5x + 3
e.
1 3 x − 9
x 2 + 5x + 5
Penyelesaian : 1
1
2
f(x) = ∫ (3 x 2 − 2x + 5) dx = 9 x 3 − 2 x 2 + 5x + C 1 9
= x 3 − x 2 + 5x + C Melalui f(0) = 5 dapat ditentukan berapa nilai C dengan 1 9
f(0) = 5 𝑓(𝑥) = x 3 − x 2 + 5x + C 1 𝑓(0) = . 03 − 02 + 5.0 + C 9 1 5 = . 03 − 02 + 5.0 + C 9 5=C Masukkan nilai C ke dalam fung si f(x) 1 𝑓(𝑥) = x 3 − x 2 + 5x + C 9 1 𝑓(𝑥) = x 3 − x 2 + 5x + 5 9 1
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 9 x 3 − x 2 + 5x + 5 (e) 9. Soal Buku Mandiri Matematika XII Jika F(x) = 3 ∫ √x dx = f(x) + C dengan f′(x) = 3√x , agar F(4) = 19 , maka nilai C = ... a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 Penyelesaian : F(x) = 3 ∫ √x dx = f(x) + C 1
= 3 ∫ x 2 dx = 3 (1
1
2 + 2 2
1 2
x 2+2 ) + C
2 3
= 3 (3 x 2 ) + C = 2𝑥√𝑥 + C Melalui F(4) = 19 dapat ditentukan berapa nilai C dengan F(4) = 19 𝐹(𝑥) = 2𝑥 √𝑥 + C 𝐹(4) = 2.4√4 + C 4
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
19 = 16 + C 3=C Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 3 (d)
10. Soal Buku Mandiri Matematika XII Jika F ′ (x) = 1 − 2x dan F(3) = 4 , maka F(x) = ... a. 2x 2 − x + 11 b. x 2 + 2x + 11 c. −2x 2 + x + 11 d. −x 2 + x + 11 e. −x 2 + x + 11 Penyelesaian : F(x) = ∫ F ′ (x) dx =∫ 1 − 2x dx 2
= x − 2 x2 + C = x − x2 + C Melalui F(3) = 4 dapat ditentukan berapa nilai C dengan F(3) = 4 𝐹(𝑥) = x − x 2 + C 𝐹(3) = 3 − 32 + C 4 = −6 + C 10 = C Masukkan nilai C ke dalam fung si F(x) 𝐹(𝑥) = x − x 2 + C 𝐹(𝑥) = x − x 2 + 10 𝐹(𝑥) = −x 2 + x + 10 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah −x 2 + x + 10 (e)
B. Integral Tentu 11. Soal Buku Mandiri Matematika XII 3
Nilai dari ∫2 4𝑥 3 𝑑𝑥 adalah ... a. -65 b. 4 c. 65 d. 76 e. 260 Penyelesaian : 3
4
∫2 4𝑥 3 𝑑𝑥 = [4 𝑥 4 ] = [𝑥 4 ] = (34 ) − (24 ) = 81 – 16 Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
5
= 65 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 65 (c)
12. Soal Buku Mandiri Matematika XII 2
∫1 (2𝑥 2 + 4𝑥 − 5) 𝑑𝑥 = ... a. -4 b. -2 c. 6 d. 8 e. 13 Penyelesaian : 2
3
4
∫1 (3𝑥 2 + 4𝑥 − 5) 𝑑𝑥 = [3 𝑥 3 + 2 𝑥 2 − 5𝑥] = [𝑥 3 + 2𝑥 2 − 5𝑥] = [(23 + 2. 22 − 5.2) − (13 + 2. 12 − 5.1)] = [(8 + 8 − 10) − (1 + 2 − 5)] = 8 + 8 − 10 − 1 − 2 + 5 =8 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 8 (d)
13. Soal Buku Mandiri Matematika XII 1
∫0 (𝑥 √𝑥 + 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 = ... a.
1 3
b.
2 5
c.
11 15 1
d. 3 2 e. 5
1 2
Penyelesaian : 1
3
1
∫0 (𝑥 √𝑥 + 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 = ∫0 (𝑥 2 + 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 3
2
1
= [5 𝑥 2 + 3 𝑥 3 ] 2
3
2
1
1
2
3
1
= [(5 . 12 + 3 . 13 ) − (5 . 02 + 3 . 03 )] = [(5 + 3) − 0] =
6 15
+
5 15
11
= 15 11
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 15 (c) 6
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
14. Soal Buku Mandiri Matematika XII 2 𝑥−1
∫1
𝑥3
𝑑𝑥 = ...
19
a. 1 20 b.
1 8
c.
7 8
d. 1 e.
3 2
Penyelesaian : 2 𝑥−1
∫1
𝑥3
2
𝑑𝑥 = ∫1 𝑥 −3 (𝑥 − 1) 𝑑𝑥 2
= ∫1 (𝑥 −2 − 𝑥 −3 ) 𝑑𝑥 =[
1 −1 𝑥 −1
−
1
1
1 −2 𝑥 ] −2
= [− 𝑥 + 2𝑥2 ] 1
1
1
1
= [(− 2 + 2.22 ) − (− 1 + 2.12 )] 1
1
1
1
= [(− 2 + 8) − (− 1 + 2)] 4
1
8
4
= −8 +8 + 8 − 8 =
1 8 1
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 8 (b) 15. Soal Buku Mandiri Matematika XII 𝑏 1 𝑑𝑥 𝑥2
∫𝑎 a.
𝑎−𝑏 𝑎𝑏
b.
𝑎𝑏 𝑎−𝑏
c.
𝑏−𝑎 𝑎𝑏
d.
𝑎𝑏 𝑏−𝑎
e.
𝑎𝑏 𝑎+𝑏
= ...
Penyelesaian : 𝑏 1 𝑑𝑥 𝑥2
∫𝑎
𝑏
= ∫𝑎 𝑥 −2 𝑑𝑥 1
= [−1 𝑥 −1 ] 1
= [− 𝑥] 1
1
= [(− 𝑏) − (− 𝑎)] 1
1
= −𝑏 + 𝑎
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
7
=
𝑏−𝑎 𝑎𝑏
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah
𝑏−𝑎 𝑎𝑏
(c)
16. Soal Buku Mandiri Matematika XII 4
1
∫−2 (𝑥 + 4 − 2 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 = ... a. 2 b. 18 c. 20
1 3
d. 22 1
e. 24 3 Penyelesaian : 4
1
1
1
∫−2 (𝑥 + 4 − 2 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 = [2 𝑥 2 + 4𝑥 − 6 𝑥 3 ] 1
1
1
1
= [(2 . 42 + 4.4 − 6 . 43 ) − (2 . (−2)2 + 4. (−2) − 6 . (−2)3 )] = [(8 + 16 −
64 )− 6
= [(24 − =− =
64 6
64 )− 6
8 6
− +
8
(2 − 8 + 6)] 8
(−6 + 6)]
180 6
108 6
= 18 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 18 (b)
17. Soal Buku Mandiri Matematika XII 1 𝜋 2 1 − 𝜋 2
∫
(2𝑥 3 − cos 𝑥)𝑑𝑥 = ...
a. −2 b. 0 1 2
c.
d. 1 e. 2 Penyelesaian : 1
𝜋
2
∫21 (2𝑥 3 − cos 𝑥)𝑑𝑥 = [4 𝑥 4 − sin 𝑥] − 𝜋 2
2
2
2
2
= [(4 . 904 − sin 90) − (4 . −904 − sin −90)] = [(4 . 904 − sin 90) − (4 . (−90)4 − sin 90] = − sin 90 − sin 90 = −1 − 1 8
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
= −2 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah −2 (a)
18. Soal Buku Mandiri Matematika XII 𝑎
1
∫2 (𝑥 − 2)𝑑𝑥 = 4 2 . Nilai 𝑎 = ... a. 1 atau 5 b. -1 atau -5 c. -1 atau 5 d. 2 atau -4 e. -1 atau 4 Penyelesaian : 𝑎
1
∫2 (𝑥 − 2)𝑑𝑥 = [2 . 𝑥 2 − 2𝑥]
9 2
9 2
= [( . 𝑎2 − 2𝑎) − ( . 22 − 2.2)]
1 2
1 2
9 2
= [(2 . 𝑎2 − 2𝑎) − (−2)]
9 2
= [(2 . 𝑎2 − 2𝑎) + 2]
1 1
4
4
1
− 2 = 2 . 𝑎2 − 2𝑎 5 2
1
= 2 . 𝑎2 − 2𝑎 1 2
0= . 𝑎2 − 2𝑎 −
5 2
0= 𝑎2 − 4𝑎 − 5 0= (𝑎 − 5)(𝑎 + 1) 𝑎 = 5 atau 𝑎 = -1 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah -1 atau 5 (c)
19. Soal Buku Mandiri Matematika XII 𝑎
5
∫−1(𝑥 − 1)𝑑𝑥 = 2 . Nilai 𝑎 = ... a. 4 b. 2,5 c. 2 d. 1 e. -1 Penyelesaian : 𝑎
1
∫−1(𝑥 − 1)𝑑𝑥 = [2 . 𝑥 2 − 𝑥] 5 2
1 2
1 2
= [( . 𝑎2 − 𝑎) − ( . 12 − 1)]
5 = 2
[(2 . 𝑎2 − 𝑎) − (2)]
1
5 = 2
[(2 . 𝑎2 − 𝑎) − 2]
1
3
3
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
9
5 2
3 2
1 2
+ = . 𝑎2 − 𝑎 8 2
1 2
= . 𝑎2 − 𝑎 1
8
0= 2 . 𝑎2 − 𝑎 − 2 0= 𝑎2 − 2𝑎 − 8 0= (𝑎 − 4)(𝑎 + 2) 𝑎 = 4 atau 𝑎 = -2 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 4 (a)
20. Soal Buku Mandiri Matematika XII 1
∫𝑝 (2𝑥 + 1)𝑑𝑥 = −4, maka selisih nilai 𝑝 = ... a. -6 b. -4 c. -1 d. 1 e. 5 Penyelesaian : 1
2
∫𝑝 (2𝑥 + 1)𝑑𝑥 = [2 . 𝑥 2 + 𝑥] −4 = [(12 + 1) − (𝑝2 + 𝑝)] −4 = [2 − 𝑝2 − 𝑝] 0 = 2 − 𝑝2 − 𝑝 + 4 0 = −𝑝2 − 𝑝 + 6 0 = 𝑝2 + 𝑝 − 6 0 = (𝑝 + 3)(𝑝 − 2) 𝑝 = -3 atau 𝑝 = 2 Selisih nilai 𝑝 = 2 – (-3) = 5 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 5 (e)
C. Integral Substitusi 21. Soal Buku Mandiri Matematika XII ∫(𝑥 3 + 2)2 . 3𝑥 2 𝑑𝑥 = ... a.
1 (x 3 3
+ 2)3 + C
b.
1 (x 2 2
+ 2)2 + C
c.
1 (x 3 3
+ 2)2 + C
d.
1 (x 3 2
+ 2)3 + C
e. 2(x 3 + 2)3 + C Penyelesaian : Misal 𝑈 = 𝑥 3 + 2 10
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
𝑑𝑈 = 3𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑈 3𝑥 2
𝑑𝑥 =
∫(𝑥 3 + 2)2 . 3𝑥 2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑈 2 . 3𝑥 2
𝑑𝑈 3𝑥 2
=∫ 𝑈 2 𝑑𝑈 1
= 3 𝑈3 + 𝐶 1
= 3 (𝑥 3 + 2)3 + 𝐶 1
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 3 (𝑥 3 + 2)3 + 𝐶 (a) 22. Soal Buku Mandiri Matematika XII 8𝑥 2
∫ (x3 +2)3 𝑑𝑥 = ... 4
a. - (x3 +2)2 + C 4
b. - 3(x3 +2)2 + C c.
4 3(x3 +2)2
d.
4 (x3 +2)2
e.
3 4(x3 +2)2
+C
+C +C
Penyelesaian : Misal 𝑈 = 𝑥 3 + 2 𝑑𝑈 = 3𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 =
𝑑𝑈 3𝑥 2
8𝑥 2
∫ (x3 +2)3 𝑑𝑥 = ∫
8𝑥 2 𝑑𝑈 . U3 3𝑥 2
8
= 3 ∫ 𝑈 −3 𝑑𝑈 =
8 1 . 𝑈 −2 3 −2
=-
4 3
+ 𝐶
𝑈 −2 + 𝐶 4
= − 3(𝑥3 +2)2 + 𝐶 4
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah − 3(𝑥3 +2)2 + 𝐶 (b)
23. Soal Buku Mandiri Matematika XII ∫ 3𝑥√1 − 2𝑥 2 𝑑𝑥 = ... 3
a.
1 (1 − 2
2𝑥 2 )2 + C
b.
1 (1 − 2
2𝑥 2 )3 + C
1
2
2
c. − 2 (1 − 2𝑥 2 )3 + C Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
11
3
1
d. − 2 (1 − 2𝑥 2 )2 + C e.
2 (1 − 3
3
2𝑥 2 )2 + C
Penyelesaian : Misal 𝑈 = 1 − 2𝑥 2 𝑑𝑈 = −4𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 =
𝑑𝑈 −4𝑥
∫ 3𝑥√1 − 2𝑥 2 𝑑𝑥 = ∫ 3𝑥√𝑈
𝑑𝑈 −4𝑥 1
3
= − 4 ∫ 𝑈 2 𝑑𝑈 3
3 1 4
= − . 3 𝑈2 + 𝐶 2
3 2
3
= − 4 . 3 𝑈2 + 𝐶 3
1
= − 2 𝑈2 + 𝐶 3
1
= − 2 (1 − 2𝑥 2 )2 + 𝐶 1
3
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah - 2 (1 − 2𝑥 2 )2 + 𝐶 (d) 24. Soal Buku Mandiri Matematika XII ∫ 𝑥√9 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = ... a.
1 (9 − 3
x 2 )√9 − x 2 + C
1 4
b. - (9 − x 2 )√9 − x 2 + C c.
1 (9 − 4
x 2 )√9 − x 2 + C
1
d. − 3 (9 − x 2 )√9 − x 2 + C e.
1 (9 − 5
x 2 )√9 − x 2 + C
Penyelesaian : Misal 𝑈 = 9 − x 2 𝑑𝑈 = −2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 =
𝑑𝑈 −2𝑥
∫ 𝑥√9 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 √𝑈
𝑑𝑈 −2𝑥 1
1
= − 2 ∫ 𝑈 2 𝑑𝑈 1 1
3
= − 2 . 3 𝑈2 + 𝐶 2
1 2
3
= − 2 . 3 𝑈2 + 𝐶 1 3
3
= − 𝑈2 + 𝐶 12
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
1
3
= − 3 (9 − 𝑥 2 )2 + 𝐶 1
= − 3 (9 − 𝑥 2 )√9 − 𝑥 2 + 𝐶 1
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah - − 3 (9 − 𝑥 2 )√9 − 𝑥 2 + 𝐶 (d) 25. Soal Buku Mandiri Matematika XII 9𝑥 2
∫ √x3 +8 𝑑𝑥 = ... a.
1 6
√𝑥 3 + 8 + 𝐶
b.
3 2
√𝑥 3 + 8 + 𝐶 3
c. - 2 √𝑥 3 + 8 + 𝐶 d. 6 √𝑥 3 + 8 + 𝐶 e. 18 √𝑥 3 + 8 + 𝐶 Penyelesaian : Misal 𝑈 = x 3 + 8 𝑑𝑈 = 3𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 =
𝑑𝑈 3𝑥 2
9𝑥 2
9𝑥 2
𝑑𝑈
∫ √x3 +8 𝑑𝑥 = ∫ √U . 3𝑥 2 1
= 3 ∫ 𝑈 −2 𝑑𝑈 1
1
= 3. 1 𝑈 2 + 𝐶 2 1
= 6 𝑈2 + 𝐶 = 6 √x 3 + 8 + 𝐶 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 6 √x 3 + 8 + 𝐶 (d)
26. Soal Buku Mandiri Matematika XII ∫ cos(4𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = ... a.
1 cos(4𝑥 4
+ 1) + 𝐶
b.
1 sin(4𝑥 4
+ 1) + 𝐶
1
c. − 4 cos(4𝑥 + 1) + 𝐶 1 4
d. − sin(4𝑥 + 1) + 𝐶 e. 4 sin(4𝑥 + 1) + 𝐶 Penyelesaian : Misal 𝑈 = 4𝑥 + 1 𝑑𝑈 = 4 𝑑𝑥 𝑑𝑥 =
𝑑𝑈 4
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
13
∫ cos(4𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = ∫ cos 𝑈
𝑑𝑈 4
1
= 4 sin 𝑈 + 𝐶 1
= 4 sin(4𝑥 + 1) + 𝐶 1
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 4 sin(4𝑥 + 1) + 𝐶 (b) 27. Soal Buku Mandiri Matematika XII ∫ 𝑥 sin 𝑥 2 𝑑𝑥 = ... a.
1 cos 𝑥 2 2
+ 𝐶
1
b. − 2 cos 𝑥 2 + 𝐶 1
c. − 2 sin 𝑥 2 + 𝐶 d. 2 cos 𝑥 2 + 𝐶 e. 2 sin 𝑥 2 + 𝐶 Penyelesaian : Misal 𝑈 = 𝑥 2 𝑑𝑈 = 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 =
𝑑𝑈 2𝑥
∫ 𝑥 sin 𝑥 2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 sin 𝑈
𝑑𝑈 2𝑥
1 2
= . − cos 𝑈 + 𝐶 1
= − 2 cos 𝑥 2 + 𝐶 1
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah − 2 cos 𝑥 2 + 𝐶 (b) 28. Soal Buku Mandiri Matematika XII ∫ 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = ... a.
1 𝑠𝑖𝑛5 𝑥 5
b.
1 𝑠𝑖𝑛5 𝑥 cos 𝑥 5
c.
1 𝑐𝑜𝑠 5 𝑥 5
d.
1 𝑐𝑜𝑠 5 𝑥 sin 𝑥 5
e.
1 𝑠𝑖𝑛5 𝑥 5
+ 𝐶 + 𝐶
+ 𝐶 + 𝐶
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝐶
Penyelesaian : Misal 𝑈 = sin 𝑥 𝑑𝑈 = cos 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 =
𝑑𝑈 cos 𝑥
∫ 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑈 4 cos 𝑥 14
𝑑𝑈 cos 𝑥
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
= ∫ 𝑈 4 𝑑𝑈 1 5
= 𝑈5 + 𝐶 1 5
= 𝑠𝑖𝑛5 𝑥 + 𝐶 1 5
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 𝑠𝑖𝑛5 𝑥 + 𝐶 (a)
29. Soal Buku Mandiri Matematika XII tan 𝑥
∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑑𝑥 = ... a.
1 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 2
+ 𝐶
b.
1 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 2
+ 𝐶
c.
1 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 2
+ 𝐶
d.
1 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 2
e.
1 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 2
+ 𝐶
+ 𝐶
Penyelesaian : tan 𝑥
sin 𝑥
∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠3 𝑥 𝑑𝑥 Misal 𝑈 = cos 𝑥 𝑑𝑈 = − sin 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 =
𝑑𝑈 −sin 𝑥
sin 𝑥
∫ 𝑐𝑜𝑠3 𝑥 𝑑𝑥 = ∫
sin 𝑥 𝑑𝑈 𝑈 3 −sin 𝑥
= − ∫ 𝑈 −3 𝑑𝑈 =− 1
1 𝑈 −2 −2
+ 𝐶
1
= 2 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 + 𝐶 1
= 2 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 + 𝐶 1
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 2 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 + 𝐶 (c) 30. Soal Buku Mandiri Matematika XII 2
∫1 2𝑥√5 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = ... a.
11 3
b.
12 3
c.
13 3
d.
14 3
e.
15 3
Penyelesaian : Misal 𝑈 = 5 − x 2 Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
15
𝑑𝑈 = −2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 =
𝑑𝑈 −2𝑥
2
2
𝑑𝑈 −2𝑥
∫1 2𝑥√5 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = ∫1 2𝑥 √𝑈 2
1
1
3
= − ∫1 𝑈 2 𝑑𝑈 = − [ 3 𝑈2] 2 3
2
= − [3 (5 − 𝑥 2 )2 ] 3
2
3
2
= − [(3 (5 − 22 )2 ) − (3 (5 − 12 )2 )] 2 3
= −[ − =
16 ] 3
14 3
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah
14 3
(d)
D. Integral Parsial 31. Soal Buku Mandiri Matematika XII ∫ 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 = ... a. −𝑥 cos 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 + C b. −𝑥 cos 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + C c. 𝑥 cos 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 + C d. −𝑥 sin 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + C e. −𝑥 sin 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 + C Penyelesaian : Diferensial
Integral
+
𝑥
sin 𝑥
-
1
− cos 𝑥
−𝑥 cos 𝑥
+
0
− sin 𝑥
sin 𝑥
∫ 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah −𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶 (b)
32. Soal Buku Mandiri Matematika XII ∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = ... a. 𝑥 sin 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + C b. 𝑥 sin 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 + C c. 𝑥 cos 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + C d. 𝑥 cos 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 + C e. −𝑥 cos 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 + C Penyelesaian : 16
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
Diferensial
Integral
+
𝑥
cos 𝑥
-
1
sin 𝑥
𝑥 sin 𝑥
+
0
− cos 𝑥
cos 𝑥
∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶 (a)
33. Soal Buku Mandiri Matematika XII ∫ 𝑥 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = ... a. 𝑥 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 + C b. 𝑥 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 + C c. 𝑥 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 + C d. 𝑥 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 + C e. 𝑥 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 + C Penyelesaian : Diferensial
Integral
+
𝑥2
cos 𝑥
-
2𝑥
sin 𝑥
𝑥 2 sin 𝑥
+
2
− cos 𝑥
2x cos 𝑥
-
0
− sin 𝑥
−2 sin 𝑥
∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 𝑥 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶 (a)
34. Soal Buku Mandiri Matematika XII ∫ 𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥 = ... a.
1 𝑥 cos 2𝑥 2
b.
1 𝑥 cos 2 2
1
+ 4 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + C 1
− 4 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + C
1
1
c. − 2 𝑥 cos 2𝑥 + 4 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + C d.
1 𝑥 cos 2𝑥 2
1
e.
1 1 𝑥 sin 2 − 4 𝑐𝑜𝑠2𝑥 2
+ 4 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + C +C
Penyelesaian :
+ +
Diferensial
Integral
𝑥
sin 2𝑥
1
1 − cos 2𝑥 2 1 1 − . sin 2𝑥 2 2
0
1 − cos 2𝑥 2 1 sin 2𝑥 4
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
17
1
∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 = − 2 cos 2𝑥 +
1 4
sin 2x+ C 1
1
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah − 2 𝑥 cos 2𝑥 + 4 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + C (c) 35. Soal Buku Mandiri Matematika XII ∫(3𝑥 + 2)𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = ... a. (3𝑥 + 2) sinx +3 𝑐𝑜𝑠𝑥 + C b. (3𝑥 + 2) sinx −3 𝑐𝑜𝑠𝑥 + C c. (3𝑥 + 2) cosx +5 𝑐𝑜𝑠𝑥 + C d. (3𝑥 + 2) cosx −5 𝑠𝑖𝑛𝑥 + C e. (3𝑥 + 2) cosx − 5 𝑐𝑜𝑠𝑥 + C Penyelesaian : Diferensial
Integral
+
(3𝑥 + 2)
𝑐𝑜𝑠𝑥
-
3
𝑠𝑖𝑛𝑥
(3𝑥 + 2) sin 𝑥
+
0
−𝑐𝑜𝑠𝑥
3 𝑐𝑜𝑠𝑥
∫(3𝑥 + 2)𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = (3𝑥 + 2) sinx +3 𝑐𝑜𝑠𝑥 + C Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah (3𝑥 + 2) sinx +3 𝑐𝑜𝑠𝑥 + C (a)
36. Soal Buku Mandiri Matematika XII ∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑠(2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = ... a. – 𝑥 𝑠𝑖𝑛(2𝑥 + 1) + 1 2
b. – 𝑠𝑖𝑛(2𝑥 + 1) +
1 2
cos(2𝑥 + 1) + C
1 4
cos (2 𝑥 + 1) + C
c.
1 2
𝑠𝑖𝑛(2𝑥 + 1) +
1 4
cos (2 𝑥 + 1) + C
d.
1 2
𝑠𝑖𝑛(2𝑥 + 1) −
1 4
cos (2 𝑥 + 1) + C
1 2
e. – 𝑠𝑖𝑛(2𝑥 + 1) −
1 4
cos (2 𝑥 + 1) + C
Penyelesaian :
+ +
Diferensial
Integral
𝑥
𝑐𝑜𝑠(2𝑥 + 1)
1
1 cos(2𝑥 + 1) 2 1 1 − . cos(2𝑥 + 1) 2 2
0 1
∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑠(2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = 2 𝑠𝑖𝑛(2𝑥 + 1) +
1 4
1 𝑥 cos(2𝑥 + 1) 2 1 − cos(2𝑥 + 1) 4
cos (2 𝑥 + 1) + C 1
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 2 𝑠𝑖𝑛(2𝑥 + 1) +
1 4
cos (2 𝑥 + 1) + C (c)
37. Soal Buku Mandiri Matematika XII ∫(𝑥 + 1) 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = ... 18
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
a. 𝑠𝑖𝑛(𝑥 − 1) − (𝑥 + 1) 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 1) b. 𝑠𝑖𝑛(𝑥 − 1) + (𝑥 + 1) 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 1) c. 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 1) − (𝑥 + 1) 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 1) d. 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 1) + (𝑥 + 1) 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 1) e. 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 1) − (𝑥 + 1) 𝑠𝑖𝑛(𝑥 − 1) Penyelesaian : Diferensial
Integral
+
(𝑥 + 1)
𝑠𝑖𝑛 (𝑥 − 1)
-
1
− 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 − 1)
− (𝑥 + 1)𝑐𝑜𝑠 (𝑥 − 1)
+
0
− sin(𝑥 − 1)
sin(𝑥 − 1)
∫(𝑥 + 1) 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛(𝑥 − 1) − (𝑥 + 1) 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 1) Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 𝑠𝑖𝑛(𝑥 − 1) − (𝑥 + 1) 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 1) (a)
38. Soal Buku Mandiri Matematika XII ∫ 𝑥 √1 + 𝑥 𝑑𝑥 = ... 3
4
5
5
5
a.
2 𝑥 3
(1 + 𝑥)2 − 15 (1 + 𝑥)2 + 𝐶
b.
2 𝑥 3
(1 + 𝑥)2 − 15 (1 + 𝑥)2 + 𝐶
c.
2 𝑥 3
(1 + 𝑥)2 −
d.
2 𝑥 3
(1 + 𝑥)2 −
e.
2 𝑥 3
(1 + 𝑥)2 − 15 (1 + 𝑥)2 + 𝐶
3
3
3
3
5
6 (1 + 15
𝑥)2 + 𝐶
7 (1 + 15
𝑥)2 + 𝐶
5
5
8
Penyelesaian : Diferensial
Integral 1
𝑥
+
(1 + 𝑥)2 3 2 (1 + 𝑥)2 3 5 2 2 . (1 + 𝑥)2 3 5
1
+
0 3
2
4
3 2 𝑥 (1 + 𝑥)2 3 5 4 − 𝑥 (1 + 𝑥)2 15
5
∫ 𝑥√1 + 𝑥 𝑑𝑥 = 3 𝑥 (1 + 𝑥)2 − 15 (1 + 𝑥)2 + 𝐶 2
3
4
5
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 3 𝑥 (1 + 𝑥)2 − 15 (1 + 𝑥)2 + 𝐶 (a) 39. Soal Buku Mandiri Matematika XII ∫ 𝑥 (𝑥 − 2)3 𝑑𝑥 = ... a.
1 𝑥 4
(𝑥 − 2)4 + 20 (𝑥 − 2)5 + 𝐶
1
b.
1 𝑥 4
(𝑥 − 2)4 − 20 (𝑥 − 2)5 + 𝐶
c.
1 𝑥 5
(𝑥 − 2)5 + 20 (𝑥 − 2)6 + 𝐶
d.
1 𝑥 5
(𝑥 − 2)5 − 20 (𝑥 − 2)6 + 𝐶
1 1 1
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
19
e.
1 𝑥 5
1
(𝑥 − 2)5 − 20 (𝑥 − 2)6 + 𝐶
Penyelesaian : Diferensial
Integral
𝑥
(𝑥 − 2)3
1
1 (𝑥 − 2)4 4 1 1 . (𝑥 − 2)5 4 5
+ +
0 1
1 𝑥 (𝑥 − 2)4 4 1 − (𝑥 − 2)5 20
1
∫ 𝑥 (𝑥 − 2)3 𝑑𝑥 = 4 𝑥 (𝑥 − 2)4 − 20 (𝑥 − 2)5 + 𝐶 1 4
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 𝑥 (𝑥 − 2)4 −
1 (𝑥 20
− 2)5 + 𝐶 (b)
40. Soal Buku Mandiri Matematika XII 3
∫0 𝑥√1 + 𝑥 𝑑𝑥 = ... a. 3 b. 6
1 15 11
c. 7 15 d. 15 e. 8 Penyelesaian : Diferensial + +
Integral 1
𝑥
(1 + 𝑥)2 3 2 (1 + 𝑥)2 3 5 2 2 . (1 + 𝑥)2 3 5
1
0 3
2
3 2 𝑥 (1 + 𝑥)2 3 5 4 − 𝑥 (1 + 𝑥)2 15
5
4
∫ 𝑥√1 + 𝑥 𝑑𝑥 = 3 𝑥 (1 + 𝑥)2 − 15 (1 + 𝑥)2 + 𝐶 3
3
2
5
4
∫0 𝑥 √1 + 𝑥 𝑑𝑥 = [ 3 𝑥 (1 + 𝑥)2 − 15 (1 + 𝑥)2 ] 3
2
5
4
2
3
4
5
= [ 3 . 3 (1 + 3)2 − 15 (1 + 3)2 ] - [ 3 . 0 (1 + 0)2 − 15 (1 + 0)2 ] = [ 2 (8) − = [ 16 − =[ =
4 (32)] 15
-[−
4 ] 15
128 4 + 15] 15
240 128 4 − 15 + 15] 15
116 15
=7
11 15 11
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 7 15 (c)
20
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
E. Integral Substitusi Trigonometri
Catatan! √𝑎2 − 𝑥 2 , 𝑥 = 𝑎 sin 𝑡 √𝑎2 + 𝑥 2 , 𝑥 = 𝑎 tan 𝑡 √𝑥 2 − 𝑎2 , 𝑥 = 𝑎 sec 𝑡 41. Soal Buku Mandiri Matematika XII ∫ √9 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = ... a.
9 2
arc sin 3 + 2 𝑥 √9 − 𝑥 2 + C
𝑥
1
b.
9 2
arc cos 3 + 2 𝑥 √9 − 𝑥 2 + C
𝑥
1
c.
9 2
arc sin 2 + 2 𝑥 √9 − 𝑥 2 + C
𝑥
1
d.
9 2
arc cos + 𝑥 √9 − 𝑥 2 + C
𝑥 2
1 2
e.
9 2
𝑥 arc cos 2
+
1 𝑥 3
𝑥 3
√9 − 𝑥 2 + C
Penyelesaian : (i)
𝑥 = 3 sin 𝑡 𝑡 = 𝑎𝑟𝑐 sin
𝑥 3
√9 − 𝑥 2
𝑑𝑥 = 3 cos 𝑡 𝑑𝑡 √9 − 𝑥 2 = √32 − 𝑥 2 = √32 − 32 sin2 𝑡 = √32 (1 − sin2 𝑡) = √32 cos 2 𝑡 = 3 cos 𝑡 (ii) ∫ √9 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = ∫ 3 cos 𝑡 .3 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 9𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 𝑑𝑡 = 9 ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 𝑑𝑡 1
= 9 ∫ (1 + cos 2𝑡) 𝑑𝑡 2 9
= 2 ∫(1 + cos 2𝑡) 𝑑𝑡 9
1
= 2 (𝑡 + 2 sin 2𝑡) + 𝐶 =
9 2
1 2
(𝑡 + . 2 sin 𝑡. 𝑐𝑜𝑠𝑡) + 𝐶
9
= 2 (𝑡 + sin 𝑡. 𝑐𝑜𝑠𝑡) + 𝐶 9
𝑥
𝑥
= 2 (𝑎𝑟𝑐 sin 3 + 3 . =
9 2
𝑥 3
√9−𝑥 2 3
)+ 𝐶
1 2
𝑎𝑟𝑐 sin + 𝑥 √9 − 𝑥 2 + 𝐶
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
21
9
𝑥
1
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 2 𝑎𝑟𝑐 sin 3 + 2 𝑥 √9 − 𝑥 2 + 𝐶 (a) 42. Soal Buku Mandiri Matematika XII 𝑑𝑥
∫ 𝑥 2 √4+𝑥2 = ... a.
4x √4+𝑥 2 x
b. − c. − d.
+C
4√4+𝑥 2 √4+𝑥 2 4x
√4+𝑥 2 4x
+C
+C
+C
e. −√4 + 𝑥 2 + C Penyelesaian : (i)
𝑥 = 2 tan 𝑡
√4 + 𝑥 2
2
𝑥 𝑡 = 𝑎𝑟𝑐 tan 2 𝑑𝑥 = 2 sec 2 𝑡 𝑑𝑡 √4 + 𝑥 2 = √22 + 𝑥 2
𝑥
= √22 + 22 tan2 𝑡 = √2(1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑡 = √22 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 = 2 sec 𝑡 2 sec2 𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑥
(ii) ∫ 2 = ∫ (2 tan 𝑡)2 .2 sec 𝑡 𝑥 √4+𝑥 2 sec 𝑡
= ∫ 4 𝑡𝑎𝑛2 𝑡 𝑑𝑡 =∫
1 cos 𝑡 𝑠𝑖𝑛2 𝑡 4. 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡
1
= 4∫
𝑑𝑡
1 𝑠𝑖𝑛2 𝑡 cos 𝑡
1
cos 𝑡 𝑠𝑖𝑛2 𝑡
1
cos 𝑡
= 4∫
𝑑𝑡 𝑑𝑡 1
= 4 ∫ sin 𝑡 . sin 𝑡 𝑑𝑡 1
= 4 ∫ cot 𝑡 . 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 1
= 4 . −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑡 + 𝐶 1
= − 4 . 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑡 + 𝐶 1
= −4 . =−
𝑥 √4+𝑥 2 𝑥
4√4+𝑥 2
+𝐶
+𝐶
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah −
𝑥 4√4+𝑥 2
+ 𝐶 (b)
43. Soal Buku Mandiri Matematika XII 22
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
𝑑𝑥
∫ 𝑥 2 √9−𝑥2 = ... a.
√9−𝑥 2 9x
b. − c.
+C
√9−𝑥 2 9x
9𝑥 √9−𝑥 2
+C
+C
d. −√9 −+ C e. √9 − 𝑥 2 + C Penyelesaian : (i)
𝑥
𝑥 = 3 sin 𝑡 𝑥 𝑡 = 𝑎𝑟𝑐 sin 3
3
𝑑𝑥 = 3 cos 𝑡 𝑑𝑡
√9 − 𝑥 2
√9 − 𝑥 2 = √32 − 𝑥 2 = √32 − 32 sin2 𝑡 = √32 (1 − sin2 𝑡) = √32 cos 2 𝑡 = 3 cos 𝑡 𝑑𝑥
3 cos 𝑡 𝑑𝑡
∫ 𝑥 2 √4+𝑥2 = ∫ (3 sin 𝑡)2 .3 cos 𝑡
(ii)
1
=∫ 9 𝑠𝑖𝑛2 𝑡 𝑑𝑡 1
= 9∫
1 𝑠𝑖𝑛2 𝑡
𝑑𝑡
1
= 9 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 1
= 9 . − cot 𝑡 + 𝐶 1
= − 9 . cot 𝑡 + 𝐶 1 9
=− . =−
√9−𝑥 2 𝑥
√9−𝑥 2 9𝑥
+𝐶
+𝐶
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah −
√9−𝑥 2 9𝑥
+ 𝐶 (b)
44. Soal Buku Mandiri Matematika XII ∫ √25 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = ... a.
25 2
arc sin 5 + 2 𝑥 √25 − 𝑥 2 + C
𝑥
1
b.
25 2
arc cos 5 − 2 𝑥 √25 − 𝑥 2 + C
𝑥
1
c.
25 2
arc sin 2 + 5 𝑥 √25 − 𝑥 2 + C
𝑥
1
d.
25 2
arc cos 2 − 5 𝑥 √25 − 𝑥 2 + C
𝑥
1
e.
25 2
arc cos + 𝑥 √25 − 𝑥 2 + C
𝑥 5
1 5
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
23
Penyelesaian : (i)
𝑥 = 5 sin 𝑡 𝑥
𝑡 = 𝑎𝑟𝑐 sin 5
𝑥
𝑑𝑥 = 5 cos 𝑡 𝑑𝑡 5
√25 − 𝑥 2 = √52 − 𝑥 2 = √52 − 52 sin2 𝑡 = √52 (1 − sin2 𝑡)
√25 − 𝑥 2
= √52 cos 2 𝑡 = 5 cos 𝑡 (ii) ∫ √25 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = ∫ 5 cos 𝑡 .5 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 25 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 𝑑𝑡 = 25 ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 𝑑𝑡 1
= 25 ∫ 2 (1 + cos 2𝑡) 𝑑𝑡 =
25 2
∫(1 + cos 2𝑡) 𝑑𝑡
=
25 2
(𝑡 + 2 sin 2𝑡) + 𝐶
=
25 2
(𝑡 + 2 . 2 sin 𝑡. 𝑐𝑜𝑠𝑡) + 𝐶
=
25 2
(𝑡 + sin 𝑡. 𝑐𝑜𝑠𝑡) + 𝐶
=
25 2
(𝑎𝑟𝑐 sin 5 + 5 .
=
25 2
𝑎𝑟𝑐 sin 5 + 2 𝑥 √25 − 𝑥 2 + 𝐶
1 1
𝑥
𝑥
𝑥
√25−𝑥 2 5
)+ 𝐶
1
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah
25 2
𝑥 5
1 2
𝑎𝑟𝑐 sin + 𝑥 √25 − 𝑥 2 + 𝐶 (a)
F. Luas Daerah 45. Soal Buku Mandiri Matematika XII 3
Jika L = ∫2 4𝑥 3 𝑑𝑥 , maka L = ... a. -65 b. 4 c. 65 d. 76 e. 260 Penyelesaian : 3
4
L = ∫2 4𝑥 3 𝑑𝑥 = [4 𝑥 4 ] = [𝑥 4 ] = (34 ) − (24 ) = 81 – 16 = 65 24
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 65 (c)
46. Soal Buku Mandiri Matematika XII Luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi 𝑦 = 𝑥 2 − 7𝑥 + 10 dan sumbu x, dapat dinyatakan sebagai ... 5
a. ∫0 (𝑥 2 − 7𝑥 + 10)𝑑𝑥 5
b. − ∫0 (𝑥 2 − 7𝑥 + 10)𝑑𝑥 5
c. − ∫2 (𝑥 2 − 7𝑥 + 10)𝑑𝑥 5
d. ∫2 (𝑥 2 − 7𝑥 + 10)𝑑𝑥 2
e. ∫0 (𝑥 2 − 7𝑥 + 10)𝑑𝑥 Penyelesaian : (i)
Mencari titik-titiknya 𝑥 = 0 𝑦 = 𝑥 2 − 7𝑥 + 10 𝑦 = 02 − 7.0 + 10 𝑦 = 10 Titiknya di (0,10) 𝑦 = 0 𝑦 = 𝑥 2 − 7𝑥 + 10 0 = 𝑥 2 − 7𝑥 + 10 0 = (𝑥 − 5)(𝑥 − 2) 𝑥 = 5 atau 𝑥 = 2 Titiknya di (5,0) atau (2,0)
(ii) Mencari sumbu simetri 𝑥=
−𝑏 −. −7 7 = = = 3,5 2𝑎 2.1 2
(iii) Mencari batas-batas luas daerah 5
L = − ∫2 𝑥 2 − 7𝑥 + 10 𝑑𝑥 Tanda minus adalah menandakan bahwa daerah berada di bawah sumbu x. 5
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah − ∫2 𝑥 2 − 7𝑥 + 10 𝑑𝑥 (c) 47. Soal Buku Mandiri Matematika XII Luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi 𝑦 = 𝑥 2 − 5𝑥 − 6 dan garis 𝑦 = 6 , dapat dinyatakan sebagai ... 5
a. ∫0 (𝑥 2 − 5𝑥 − 12)𝑑𝑥 5
b. ∫0 (−𝑥 2 + 5𝑥)𝑑𝑥 5
c. ∫0 (𝑥 2 − 5𝑥)𝑑𝑥 5
d. ∫0 (−𝑥 2 + 5𝑥 + 12)𝑑𝑥 6
e. ∫−1(𝑥 2 − 5𝑥)𝑑𝑥 Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
25
Penyelesaian : (i)
Mencari titik-titiknya 𝑥 = 0 𝑦 = 𝑥 2 − 5𝑥 − 6 𝑦 = 02 − 5.0 − 6 𝑦 = −6 Titiknya di (0,-6) 𝑦 = 0 𝑦 = 𝑥 2 − 5𝑥 − 6 0 = 𝑥 2 − 5𝑥 − 6 0 = (𝑥 − 6)(𝑥 + 1) 𝑥 = 6 atau 𝑥 = −1 Titiknya di (6,0) atau (-1,0)
(ii) Mencari sumbu simetri 𝑥=
−𝑏 −. −5 5 = = = 2,5 2𝑎 2.1 2
(iii) Mencari batas-batas luas daerah 5
L = ∫0 (−6) − (𝑥 2 − 5𝑥 − 6)𝑑𝑥 5
= ∫0 −6 − 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 𝑑𝑥 5
= ∫0 (−𝑥 2 + 5𝑥) 𝑑𝑥 5
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah ∫0 (−𝑥 2 + 5𝑥) 𝑑𝑥 (b) 48. Soal Buku Mandiri Matematika XII Luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi 𝑦 = 𝑥 3 , garis 𝑥 = 1 dan garis 𝑥 = 2, sama dengan ... satuan luas. a.
1 4
b.
5 4
c.
9 4
d.
15 4
e.
17 4
Penyelesaian : (i)
Mencari titik-titiknya 𝑥 = 0 𝑦 = 𝑥3 𝑦 = 03 𝑦=0 Titiknya di (0,0) 𝑥 = 1 𝑦 = 𝑥3 𝑦 = 13 𝑦=1
26
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
Titiknya di (1,1) 𝑥 = -1 𝑦 = 𝑥 3 𝑦 = (−1)3 𝑦 = −1 Titiknya di (-1,-1) 𝑥 = 2 𝑦 = 𝑥3 𝑦 = 23 𝑦=8 Titiknya di (2,8)
(ii) Mencari titik stasioner 𝑦 = 𝑥3 𝑦′ = 3𝑥 2 0 = 3𝑥 2 𝑥 = 0 (iii) Mencari batas-batas luas daerah 2
L = ∫1 𝑥 3 𝑑𝑥 1 4
= [ 𝑥4] 1 4
1 4
=[( . 24 ) − ( . 14 )] =
15 4
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah
15 4
(d)
49. Soal Buku Mandiri Matematika XII Luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi 𝑦 = 𝑥 2 + 1 dan garis 𝑦 = −𝑥 + 3 , adalah ... satuan luas. a. 11
1 2
b. 6 1
c. 5 2 d. 5 e. 4
1 2
Penyelesaian : (i)
Mencari titik potong antara garis dan kurva 𝑥 2 + 1 = −𝑥 + 3 𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0 (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) = 0 𝑥 = −2 atau 𝑥 = 1
(ii) Mencari luas daerah
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
27
1
L = ∫−2(−𝑥 + 3) − (𝑥 2 + 1)𝑑𝑥 1
= ∫−2 −𝑥 + 3 − 𝑥 2 − 1𝑑𝑥 1
= ∫−2 −𝑥 2 − 𝑥 + 2 𝑑𝑥 = [− 𝑥 3 −
1 3
1 2 𝑥 2
+ 2𝑥]
1
1 2 1 2
+ 2.1] − [− 3 (−2)3 −
= [− 3 13 − 1 3
= [− −
1 2
1
1 (−2)2 2
+ 2(−2)]
8 3
+ 2] − [ − 2 − 4]
1
= 42 1
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 4 2 (e) G. Volume Benda Putar 50. Soal Buku Mandiri Matematika XII Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 2𝑥 + 1, garis 𝑥 = 1 dan garis 𝑥 = 3 diputar mengelilingi sunbu x adalah ... satuan volume. 2
a. 50 3 𝜋 b. 52𝜋 2
c. 52 3 𝜋 d. 57𝜋 1 3
e. 61 𝜋 Penyelesaian : (i)
Menentukan titik-titiknya 𝑥 = 0 𝑦 = 2𝑥 + 1 𝑦 = 2.0 + 1 𝑦=1 Titiknya di (0,1) 𝑦 = 0 𝑦 = 2𝑥 + 1 0 = 2𝑥 + 1 𝑥=−
1 2
Titiknya di (-1/2,0) (ii) Menentukan volume benda putar 3
V = 𝜋 ∫1 (2𝑥 + 1)2 𝑑𝑥 3
= 𝜋 ∫1 (4𝑥 2 + 4𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = 𝜋 [3 𝑥 3 +
4
4 2 𝑥 2
+ 𝑥]
4
4 2 3 2
+ 3] − 𝜋 [3 13 +
= 𝜋 [ 3 33 +
4
4 2 1 2
+ 1]
2
= 52 3 𝜋 28
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
2
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 52 3 𝜋 (c) 51. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi 𝑦 = 𝑥 3 , garis 𝑥 = −1 dan garis 𝑥 = 1 diputar mengelilingi sumbu x adalah ... satuan volume. a.
2 𝜋 4
b.
2 𝜋 5
c.
2 𝜋 6
d.
2 𝜋 7
e.
2 𝜋 8
Penyelesaian : (i)
Mencari titik-titiknya 𝑥 = 0 𝑦 = 𝑥3 𝑦 = 03 𝑦=0 Titiknya di (0,0) 𝑥 = 1 𝑦 = 𝑥3 𝑦 = 13 𝑦=1 Titiknya di (1,1) 𝑥 = -1 𝑦 = 𝑥 3 𝑦 = (−1)3 𝑦 = −1 Titiknya di (-1,-1) 𝑥 = 2 𝑦 = 𝑥3 𝑦 = 23 𝑦=8 Titiknya di (2,8)
(ii) Mencari titik stasioner 𝑦 = 𝑥3 𝑦′ = 3𝑥 2 0 = 3𝑥 2 𝑥 = 0 (iii) Mencari volume bendar putar 1
VI = 𝜋 ∫0 (𝑥 3 )2 𝑑𝑥 1
= 𝜋 ∫0 𝑥 6 𝑑𝑥 1
= 𝜋 [7 𝑥 7 ]
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
29
1
1
= 𝜋 [ 7 1 7 ] − 𝜋 [ 7 07 ] 1
= 7𝜋 VI = VII 1
Vtotal = 7 𝜋 𝑥 2 =
2 𝜋 7 2
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 7 𝜋 (d) 52. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑥 2 − 1, garis 𝑥 = 1 dan garis 𝑥 = −1 diputar mengelilingi sunbu x adalah ... satuan volume. 16
a. 5 15 𝜋 b. 2𝜋 16
c. 2 15 𝜋 d. 5𝜋 e.
16 𝜋 15
Penyelesaian : (i)
Menentukan titik-titiknya 𝑥 = 0 𝑦 = 𝑥2 − 1 𝑦 = 02 − 1 𝑦 = −1 Titiknya di (0,-1) 𝑦 = 0 𝑦 = 𝑥2 − 1 0 = 𝑥2 − 1 𝑥 = −1 atau 𝑥 = 1 Titiknya di (1,0) atau (-1,0)
(ii) Menentukan sumbu simetri −𝑏 −0 0 = = =0 2𝑎 2.1 2 (iii) Menentukan volume benda putar 𝑥=
1
V = 𝜋 ∫−1(𝑥 2 − 1)2 𝑑𝑥 1
= 𝜋 ∫−1(𝑥 4 − 2𝑥 2 + 1) 𝑑𝑥 1
2 3 𝑥 3
= 𝜋 [5 𝑥 5 − 1
= 𝜋 [(5 15 − 1
= 𝜋 [(5 − 1
= 𝜋 [5 − 3
2 3
= 𝜋 [15 −
2 3
+ 𝑥]
2 3 1 3
1
+ 1) − (5 (−1)5 − 1
+ 1) − (− 5 + 1
+1+5−
2 3
10 15 3 + 15 + 15 15
2 3
2 (−1)3 3
+ (−1))]
− 1)]
+ 1]
−
10 15 + 15] 15
16
= 15 𝜋 16
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 15 𝜋 (e) 30
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
53. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦 2 = 2𝑥, garis 𝑥 = 4 dan sumbu x diputar mengelilingi sunbu x adalah ... satuan volume. a. 16𝜋 b. 17𝜋 c. 18𝜋 d. 19𝜋 e. 20𝜋 Penyelesaian : (i) Menentukan titik-titiknya 𝑥 = 0 𝑦 2 = 2𝑥 𝑦 2 = 2.0 𝑦=0 Titiknya di (0,0) 𝑦 = 2 𝑦 2 = 2𝑥 22 = 2𝑥 4 = 2𝑥 𝑥=2 Titiknya di (2,2) 𝑦 = -2 𝑦 2
= 2𝑥
(−2)2 = 2𝑥 4
= 2𝑥
𝑥=2 Titiknya di (2,-2) (ii) Menentukan volume benda putar 4
V = 𝜋 ∫0 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝜋[𝑥 2 ] = 𝜋[42 ] − 𝜋[02 ] = 16𝜋 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 16𝜋 (a)
54. Soal Buku Mandiri Matematika XII Perhatikan gambar di bawah. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu y, jika dinyatakan dalam bentuk integral adalah ... 𝑏
a. 𝜋 ∫𝑎 𝑦 2 𝑑𝑥 𝑏
b. 𝜋 ∫𝑎 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑏
c. 𝜋 ∫𝑎 𝑥 𝑑𝑥 𝑏
d. 𝜋 ∫𝑎 𝑦 2 𝑑𝑥 Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
31
𝑏
e. 𝜋 ∫𝑎 𝑦 𝑑𝑥 Penyelesaian : Menentukan volume benda putar 𝑦 = 𝑥2 𝑥 = √𝑦 𝑏
V = 𝜋 ∫𝑎 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑏
= 𝜋 ∫𝑎 (√𝑦)2 𝑑𝑥 𝑏
= 𝜋 ∫𝑎 𝑦 𝑑𝑥 𝑏
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 𝜋 ∫𝑎 𝑦 𝑑𝑥 (e
SOAL PROGRAM LINEAR 1. Soal Buku Mandiri Matematika XII 32
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
Sistem pertidaksamaan untuk daerah himpunan penyelesaian pada gambar di bawah ini adalah ... a. 6𝑥 + 2𝑦 ≥ 12 3𝑥 + 4𝑦 ≤ 12 𝑥≤0 𝑦≤0 b. 6𝑥 + 2𝑦 ≥ 12 3𝑥 + 4𝑦 ≥ 12 𝑥≥0 𝑦≥0 c. 6𝑥 + 2𝑦 ≤ 12 3𝑥 + 4𝑦 ≤ 12 𝑥≥0 𝑦≥0 d. 6𝑥 + 2𝑦 ≤ 12 3𝑥 + 4𝑦 ≥ 12 𝑥≥0 𝑦≤0 e. 6𝑥 + 2𝑦 ≥ 12 3𝑥 + 4𝑦 ≥ 12 𝑥≤0 𝑦≤0 Penyelesaian : 6𝑥 + 2𝑦 ≤ 12 3𝑥 + 4𝑦 ≤ 12 𝑥≥0 𝑦≥0 Membuktikan daerah yang diarsir dengan menggunakan uji 0 (nol) 6𝑥 + 2𝑦 ≤ 12 6.0 + 2.0 ≤ 12 0 ≤ 12 Benar, berarti yang mengandung 0 (nol) diarsir 3𝑥 + 4𝑦 ≤ 12 3.0 + 4.0 ≤ 12 0 ≤ 12 Benar, berarti yang mengandung 0 (nol) diarsir Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 6𝑥 + 2𝑦 ≤ 12 (c) 3𝑥 + 4𝑦 ≤ 12 𝑥≥0 𝑦≥0
2. Soal Buku Mandiri Matematika XII Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
33
Sistem pertidaksamaan untuk daerah himpunan penyelesaian pada gambar di bawah ini adalah ... a. 4𝑥 + 2𝑦 ≥ 8 2𝑥 + 5𝑦 ≥ 10 𝑥≥0 𝑦≥0 b. 4𝑥 + 2𝑦 ≤ 8 2𝑥 + 5𝑦 ≤ 10 𝑥≥0 𝑦≥0 c. 4𝑥 + 2𝑦 ≥ 8 2𝑥 + 5𝑦 ≤ 10 𝑥≥0 𝑦≥0 d. 4𝑥 + 2𝑦 ≤ 8 2𝑥 + 5𝑦 ≥ 10 𝑥≥0 𝑦≥0 e. 4𝑥 + 2𝑦 ≤ 8 2𝑥 + 5𝑦 ≤ 10 𝑥≤0 𝑦≤0 Penyelesaian : 4𝑥 + 2𝑦 ≥ 8 2𝑥 + 5𝑦 ≤ 10 𝑥≥0 𝑦≥0 Membuktikan daerah yang diarsir dengan menggunakan uji 0 (nol) 4𝑥 + 2𝑦 ≥ 8 4.0 + 2.0 ≥ 8 0 ≥ 8 Salah, berarti yang tidak mengandung 0 (nol) diarsir 2𝑥 + 5𝑦 ≤ 10 2.0 + 5.0 ≤ 10 0 ≤ 10 Benar, berarti yang mengandung 0 (nol) diarsir Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 4𝑥 + 2𝑦 ≥ 8
(c)
2𝑥 + 5𝑦 ≤ 10 𝑥≥0 𝑦≥0
3. Soal Buku Mandiri Matematika XII 34
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
Suatu jenis roti (x) memerlukan 300 gram tepung dan 80 gram mentega. Untuk jenis roti yang lain (y) memerlukan 200 gram tepung dan 40 gram mentega. Persediaan yang ada 4 kg tepung dan 2 kg mentega. Model matematika dari persoalan di atas adalah ... a. 3𝑥 + 2𝑦 ≥ 40; 2𝑥 + 𝑦 ≥ 50; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0 b. 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 40; 2𝑥 + 𝑦 ≤ 50; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0 c. 3𝑥 + 2𝑦 ≥ 40; 2𝑥 + 𝑦 ≥ 50; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0 d. 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 40; 2𝑥 + 𝑦 ≤ 50; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0 e. 3𝑥 + 2𝑦 = 40; 2𝑥 + 𝑦 = 50; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≠ 0 Penyelesaian : Jenis roti
Tepung
Mentega
X
300 gram
80 gram
Y
200 gram
40 gram
Persediaan
4000 gram
2000 gram
300𝑥 + 200𝑦 ≤ 4000 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 40 80𝑥 + 40𝑦 ≤ 2000 2𝑥 + 𝑦 ≤ 50 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 40; 2𝑥 + 𝑦 ≤ 50; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0 (b)
4. Soal Buku Seri Pendalaman Materi Matematika XII Seorang pengrajin tas akan membuat dua model tas. Tas model I memerlukan 2 unsur A dan 2 unsur B, sedangkan tas model II memerlukan 2 unsur A dan 1 unsur B. Pengrajin tersebut mempunyai persediaan 20 unsur A dan 14 unsur B. Jika banyaknya tas model I dimisalkan x dan model II dimisalkan y, maka model matematika yang sesuai untuk persoalan tersebut adalah ... a. 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑥 + 𝑦 ≤ 10,2𝑥 + 𝑦 ≤ 14 b. 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑥 + 𝑦 ≥ 10,2𝑥 + 𝑦 ≥ 14 c. 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑥 + 𝑦 ≤ 10, 𝑥 + 2𝑦 ≤ 14 d. 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑥 + 𝑦 ≥ 10, 𝑥 + 2𝑦 ≥ 14 e. 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑥 + 𝑦 ≤ 14, 𝑥 + 2𝑦 ≤ 10 Penyelesaian :
Model tas
Unsur A
Unsur B
X (Model I)
2 Unsur
2 Unsur
Y (Model II)
2 Unsur
1 Unsur
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
35
Persediaan
20 Unsur
14 Unsur
2𝑥 + 2𝑦 ≤ 20 𝑥 + 𝑦 ≤ 10 2𝑥 + 𝑦 ≤ 14 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑥 + 𝑦 ≤ 10,2𝑥 + 𝑦 ≤ 14 (a)
5. Soal Buku Seri Pendalaman Materi Matematika XII Suatu tukang roti hendak membuat dua jenis roti. Roti A memerlukan 400 g tepung dan 150 g mentega, sedangkan roti B memerlukan 200 g tepung dan 50 g mentega. Tukang roti tersebut mempunyai persediaan 5 kg tepung dan 3 kg mentega. Jika jumlah roti A dimisalkan x dan jumlah roti B dimisalkan y, maka model matematika yang sesuai dengan persoalan tersebut adalah ... a. 𝑥 + 2𝑦 ≥ 25, 𝑥 + 3𝑦 ≥ 60, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 b. 𝑥 + 2𝑦 ≤ 25, 𝑥 + 3𝑦 ≤ 60, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 c. 2𝑥 + 𝑦 ≥ 25, 3𝑥 + 𝑦 ≥ 60, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 d. 2𝑥 + 𝑦 ≤ 25, 3𝑥 + 𝑦 ≤ 60, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 e. 2𝑥 + 𝑦 > 25, 3𝑥 + 𝑦 > 60, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 Penyelesaian : Jenis roti
Tepung
Mentega
X (Roti A)
400 gram
150 gram
Y (Roti B)
200 gram
50 gram
Persediaan
5000 gram
3000 gram
400𝑥 + 200𝑦 ≤ 5000 2𝑥 + 𝑦 ≤ 25 150𝑥 + 50𝑦 ≤ 3000 3𝑥 + 𝑦 ≤ 60 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 2𝑥 + 𝑦 ≤ 25, 3𝑥 + 𝑦 ≤ 60, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 (d)
6. Soal Buku Mandiri Matematika XII Luas daerah parkir 176 m2 , dengan luas rata-rata untuk mobil sedan 4 m2 dan bus 20 m2. Daya muat maksimum hanya 20 kendaraan. Biaya parkir untuk mobil sedan Rp 1.000,00/jam dan untuk bus Rp 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah ... a. 𝑅𝑝 20.000,00 b. 𝑅𝑝 26.000,00 c. 𝑅𝑝 30.000,00 d. 𝑅𝑝 24.000,00 e. 𝑅𝑝 44.000,00 36
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
Penyelesaian : (i) Menentukan masalah atau kendala Jenis Kendaraan
Luas
Banyak
Mobil
4 m2
X
Bus
20 m2
Y
Persediaan
176 m2
20 Kendaraan
(ii) Menentukan fungsi 𝑓 = 1000𝑥 + 2000𝑦 (iii) Menentukan model matematika 4𝑥 + 20𝑦 ≤ 176 𝑥 + 5𝑦 ≤ 44 𝑥 + 𝑦 ≤ 20 𝑥≥0 𝑦≥0 (iv) Menentukan daerah yang diarsir pada grafik 𝑥 + 5𝑦 = 44 X
0
44
Y
8,8
0
𝑥 + 𝑦 = 20 X
0
20
Y
20
0
Menentukan daerah yang diarsir pada grafik dengan menggunakan uji 0 (nol) 𝑥 + 5𝑦 ≤ 44 0 + 5.0 ≤ 44 0 ≤ 44 Benar, yg mengandung 0 diarsir 𝑥 + 𝑦 ≤ 20 0 + 0 ≤ 20 0 ≤ 20 Benar, yg mengandung 0 diarsir (v)
Menentukan titik di A, B, C, dan D Koordinat titik
𝒇 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝒙 + 𝟐𝟎𝟎𝟎𝒚
A (0, 8,8)
𝑓 = 17600
B (0, 0)
𝑓=0
C (20, 0)
𝑓 = 20000
D (14, 6)
𝑓 = 26000
Mencari koordinat titik D dengan mencari perpotongan kedua garis dengan metode eliminasi: 𝑥 + 5𝑦 = 44 x 1 𝑥 + 5𝑦 = 44 𝑥 + 𝑦 = 20
x 5 5𝑥 + 5𝑦 = 100 −4𝑥 = −56
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
37
𝑥 = 14 𝑥 + 𝑦 = 20 14 + 𝑦 = 20 𝑦=6 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 𝑅𝑝 26.000,00 (b)
7. Soal Buku Seri Pendalaman Materi Matematika XII Sebuah butik memiliki 4m kain satin dan 5m kain prada. Dari bahan tersebut akan dibuat dua baju pesta. Baju pesta I memerlukan 2m kain satin dan 1m kain prada, sedangkan baju pesta II memerlukan 1m kain satin dan 2m kain prada. Jika harga jual baju pesta I sebesar Rp500.000,00 dan baju pesta II sebesar Rp400.000,00, hasil penjualan maksimum butik tersebut adalah ... a. 𝑅𝑝 800.000,00 b. 𝑅𝑝 1000. .000,00 c. 𝑅𝑝 1.300.000,00 d. 𝑅𝑝 1.400.000,00 e. 𝑅𝑝 2.000.000,00 Penyelesaian : (i) Menentukan masalah atau kendala Model baju
Kain satin
Kain prada
Baju I (x)
2m
1m
Baju II (y)
1m
2m
Persediaan
4m
5m
(ii) Menentukan fungsi 𝑓 = 500.000𝑥 + 400.000𝑦 (iii) Menentukan model matematika 2𝑥 + 𝑦 ≤ 4 𝑥 + 2𝑦 ≤ 5 𝑥≥0 𝑦≥0 (iv) Menentukan daerah yang diarsir pada grafik 2𝑥 + 𝑦 = 4 X
0
2
Y
4
0
𝑥 + 2𝑦 = 5 X
0
5
Y
5 2
0
Menentukan daerah yang diarsir pada grafik dengan menggunakan uji 0 (nol) 2𝑥 + 𝑦 ≤ 4 38
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
2.0 + 0 ≤ 4 0 ≤ 4 Benar, yg mengandung 0 diarsir 𝑥 + 2𝑦 ≤ 5 0 + 2.0 ≤ 5 0 ≤ 5 Benar, yg mengandung 0 diarsir (v)
Menentukan titik di A, B, C, dan D Koordinat titik
𝒇 = 𝟓𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒙 + 𝟒𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒚
A (0, 2,5)
𝑓 = 1.000.000
B (0, 0)
𝑓=0
C (2, 0)
𝑓 = 1.000.000
D (1, 2)
𝑓 = 1.300.000
Mencari koordinat titik D dengan mencari perpotongan kedua garis dengan metode eliminasi: 2𝑥 + 𝑦 = 4 x 2 4𝑥 + 2𝑦 = 8 𝑥 + 2𝑦 = 5 x 1
𝑥 + 2𝑦 = 5 3𝑥 = 3 𝑥=1
𝑥 + 2𝑦 = 5 1 + 2𝑦 = 5 𝑦=2 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 𝑅𝑝 1.300.000,00 (c)
SOAL MATRIKS A. Operasi dan Sifat Matriks 1. Soal Buku Mandiri Matematika XII
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
39
Diberikan (
2𝑥 5
−3 −4 −3 )=( ). Nilai dari 𝑥 2 + 𝑦 2 = ... −𝑦 5 −1
a. -5 b. -7 c. 5 d. 7 e. 9 Penyelesaian : (
2𝑥 5
−3 −4 −3 )=( ) −𝑦 5 −1
2𝑥 = −4 𝑥 = −2 −𝑦 = −1 𝑦= 1 𝑥 2 + 𝑦 2 = (−2)2 + 12 = 5 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 5 (c)
2. Soal Buku Mandiri Matematika XII Diberikan (
4 5𝑥 + 𝑦
2 4 2 𝑥 𝑦 )=( ). Maka nilai dari 𝑦 + 𝑥 = ... 5 7 𝑦+3
1
a. 1 2 b. 2 c. 2
1 2
d. 3 1
e. 3 2 Penyelesaian: (
4 5𝑥 + 𝑦
2 4 2 )=( ) 5 7 𝑦+3
5= 𝑦+3 2= 𝑦 5𝑥 + 𝑦 = 7 5𝑥 + 2 = 7 5𝑥 = 5 𝑥=1 𝑥 𝑦 1 2 1 + = + =2 𝑦 𝑥 2 1 2 1
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 2 2 (c) 3. Soal Buku Mandiri Matematika XII
40
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
1 2 2 Diketahui A = ( );B=( 3 4 0
3 5 2 ) ; dan C =( ). Bentuk paling sederhana dari (A+B) 1 −1 0
- (A+C) = ... 3 1 a. ( ) 1 1 3 1 b. ( ) −1 1 −3 1 c. ( ) 1 1 −3 1 d. ( ) −1 1 −3 −1 e. ( ) −1 1 Penyelesaian: (A+B) - (A+C) 1 [( 3 3 [( 3 −3 ( 1
2 2 3 1 )+( )] − [( 4 0 1 3 6 4 5 )] − [( )] 2 4 5 1 ) 1
2 5 2 )+( )] 4 −1 0
−3 1 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah ( ) (c) 1 1 4. Soal Buku Mandiri Matematika XII 3 −2 −2 𝑎 −1 12 Diketahui A = ( );B=( ) ; dan C =( ). Jika A + 2B = C, maka −1 4 𝑏 −1 −7 2 nilai dari (a – b) = ... a. -1 b. 1 c. 10 d. 11 e. 15 Penyelesaian: A + 2B = C 3 −2 −2 𝑎 −1 12 ( ) + 2( )= ( ) −1 4 𝑏 −1 −7 2 3 −2 −4 2𝑎 −1 12 ( )+ ( )= ( ) −1 4 2𝑏 −2 −7 2 −1 2𝑎 − 2 −1 12 ( )= ( ) 2𝑏 − 1 2 −7 2 2𝑎 − 2 = 12 2𝑎 = 14 𝑎=7 2𝑏 − 1 = −7 2𝑏 = −6
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
41
𝑏 = −3 (𝑎 − 𝑏) = 7— 3 = 10 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 10 (c)
5. Soal Buku Mandiri Matematika XII Diberikan (
log 𝑦 1
log 𝑧 log 𝑧 )=( log 𝑦 1
2
1 ). 2
Maka nilai dari 𝑥 2 = ...
a. √2 b. √3 c. 2 d. 3 e. 5 Penyelesaian: log 𝑧 = 2 𝑧 = 22 𝑧=4 log 𝑦 =
1 2
1
𝑦 = 32 𝑦 = √3 log 𝑧 =
log 𝑦
log 4 =
log √3
1 = log √3 𝑥 1 = √3 𝑥 = √3 𝑥2 = 3 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 3 (d)
6. Soal Buku Mandiri Matematika XII Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan | a.
1 2
2𝑥 − 1 2 | = 0 adalah ... 𝑥+2 𝑥+2
dan 3 1
b. − 2 dan -3 c.
1 2
dan -3
d.
1 3
dan -2 1
e. − 3 dan 2 Penyelesaian: 42
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
|
2𝑥 − 1 𝑥+2
2 | = 0 𝑥+2
(2𝑥 − 1)(𝑥 + 2) − 2(𝑥 + 2) = 0 2𝑥 2 + 4𝑥 − 𝑥 − 2 − (2𝑥 + 4) = 0 2𝑥 2 + 4𝑥 − 𝑥 − 2 − 2𝑥 − 4 = 0 2𝑥 2 + 𝑥 − 6 =0 (2𝑥 − 3)(𝑥 + 2) =0 3
𝑥 = 2 atau 𝑥 = −2 𝑥1 + 𝑥2 = 𝑥1 . 𝑥2 =
3 4 1 − = − 2 2 2
3 . −2 = −3 2
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah -5 (a)
7. Soal Buku Mandiri Matematika XII 1 2 1 0 Diketahui matriks A = ( ) dan I =( ), x adalah bilangan yang memenuhi persamaan 4 3 0 1 |𝐴 − 𝑥𝐼| = 0. Hasil kali dari nilai-nilai x yang mungkin adalah ... a. -5 b. -4 c. -1 d. 1 e. 5 Penyelesaian: |𝐴 − 𝑥𝐼| = 0 1 2 1 0 )−𝑥( )| = 0 |( 4 3 0 1 1 2 𝑥 0 )−( )| = 0 |( 4 3 0 𝑥 1−𝑥 2 )| = 0 |( 4 3−𝑥 (1 − 𝑥)(3 − 𝑥) − 2.4 = 0 3 − 𝑥 − 3𝑥 + 𝑥 2 − 8 = 0 𝑥 2 − 4𝑥 − 5 = 0 (𝑥 − 5)(𝑥 + 1) =0 𝑥 = 5 atau 𝑥 = −1 𝑥1 . 𝑥2 = 5 . −1 = −5 1
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah − 2 dan -3 (b) 8. Soal Buku Mandiri Matematika XII
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
43
𝑥−5 Jika ( −1
3 −2 −1 12 −2 )( )=( ), maka ... −1 4 −7 2 4
a. 𝑦 = 3𝑥 b. 𝑦 = 2𝑥 c. 𝑦 = 𝑥 d. 𝑦 =
𝑥 3 𝑥
e. 𝑦 = 2 Penyelesaian: A + 2B = C 3 −2 −2 𝑎 −1 12 ( ) + 2( )= ( ) −1 4 𝑏 −1 −7 2 3 −2 −4 2𝑎 −1 12 ( )+ ( )= ( ) −1 4 2𝑏 −2 −7 2 −1 2𝑎 − 2 −1 12 ( )= ( ) 2𝑏 − 1 2 −7 2 2𝑎 − 2 = 12 2𝑎 = 14 𝑎=7 2𝑏 − 1 = −7 2𝑏 = −6 𝑏 = −3 (𝑎 − 𝑏) = 7— 3 = 10 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 10 (c)
B. Transpose Matriks 9. Soal Buku Mandiri Matematika XII 3 Diketahui matriks A = ( 𝑦
𝑥 3 ) dan B =( −3 6
−5 ), jika 𝐴𝑇 = 𝐵𝑇 , maka nilai dari −3
𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 = ... a. -4 b. -1 c. 1 d. 4 e. 5 Penyelesaian: 𝐴𝑇 = 𝐵𝑇 𝐴𝑇 = 𝐵𝑇 3 ( 𝑥
𝑦 3 6 )=( ) −5 −3 −3
𝑦 = 6 dan 𝑥 = −5 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 = (−5)2 + 2.6. (−5) + 62 = 1 44
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 1 (c)
10. Soal Buku Mandiri Matematika XII 𝑥+𝑦 Diketahui matriks A = ( 𝑦 𝑥−𝑦 𝑥+𝑦
𝑥 1 𝑥 − 𝑦) dan B =(−2𝑦
1
−2𝑥 ), jika 𝐴𝑇 = 𝐵 , maka nilai dari 3
= ...
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 Penyelesaian: 𝐴𝑇 = 𝐵 𝑥+𝑦 ( 𝑥
𝑦 1 𝑥 − 𝑦) = ( −2𝑦
1 − 𝑥 2 ) 3
𝑥+𝑦 =1 𝑥−𝑦 =3 2𝑦 = −2 𝑦 = −1 𝑥+𝑦 =1 𝑥−1=1 𝑥=2 𝑥−𝑦 𝑥+𝑦
2+1
3
= 2−1 = 1 = 3
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 3 (c)
C. Invers Matriks 11. Soal Buku Mandiri Matematika XII 2𝑥 Diketahui matriks A = ( 3
𝑥 ) . Jika |𝑃| = −1, maka nilai-nilai x yang mungkin adalah ... 𝑥
1
a. 1 atau − 2 b. 1 atau
1 2
c. 2 atau -1 d. 2 atau
1 2
e. 2 atau 1 Penyelesaian: |𝑃| = −1 2𝑥. 𝑥 − 3. 𝑥 = −1
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
45
2𝑥 2 − 3𝑥 = −1 2𝑥 2 − 3𝑥 + 1 = 0 (2𝑥 − 1)(𝑥 − 1) = 0 1
𝑥 = 2 dan 𝑥 = 1 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 1 atau
1 2
(b)
12. Soal Buku Mandiri Matematika XII 1+𝑥 Diketahui matriks C = ( 5
3 ) , tidak mempunyai invers. Nilai-nilai x yang 1 + 2𝑥
mungkin adalah ... 5
a. − 2 atau 2 7
b. − 2 atau 2 c.
5 2
atau 2
d.
7 2
atau 2
e.
5 2
atau 2
7
Penyelesaian: Tidak mempunyai invers determinan = 0 1+𝑥 |( 5
3 )| = 0 1 + 2𝑥
(1 + 𝑥)(1 + 2𝑥) − 3.5 = 0 1 + 2𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 2 − 15 = 0 2𝑥 2 + 3𝑥 − 14 = 0 (2𝑥 + 7)(𝑥 − 2) = 0 7
𝑥 = − 2 dan 𝑥 = 2 7
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah − 2 atau 2 (b) 13. Soal Buku Mandiri Matematika XII 3 3 Diketahui matriks F = ( ) , jika (F – kI) adalah matriks singular, maka nilai k yang 4 2 mungkin adalah ... a. -3 atau 6 b. -2 atau 6 c. 2 atau -6 d. -1 atau 6 e. 1 atau -6 Penyelesaian: Matriks singular tidak mempunyai invers determinan = 0 46
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
|(F – k𝐼)| = 0 3 3 1 0 ) – k( )| = 0 |( 4 2 0 1 3 3 𝑘 0 )–( )| = 0 |( 4 2 0 𝑘 3−𝑘 3 )| = 0 |( 4 2−𝑘 (3 − 𝑘)(2 − 𝑘) − 12 = 0 6 − 3𝑘 − 2𝑘 + 𝑘 2 − 12 = 0 𝑘 2 − 5𝑘 − 6 = 0 (𝑘 − 6)(𝑥 + 1) = 0 𝑘 = 6 dan 𝑘 = −1 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah -1 atau 6 (d)
14. Soal Buku Mandiri Matematika XII Jika A = (
2 1
5 5 ) dan B = ( 3 1
4 ), maka determinan (𝐴𝐵)−1 adalah ... 1
a. -3 atau 6 b. -2 atau 6 c. 2 atau -6 d. -1 atau 6 e. 1 atau -6 Penyelesaian: Matriks singular tidak mempunyai invers determinan = 0 |(𝐴𝐵)−1 | = |[(2 1 15 = |[( 8
5 5 4 −1 )( )] | 3 1 1 13 −1 )] | 7 1 7 −13 =| ( )| 105 − 104 −8 15 1 7 −13 =| ( )| 1 −8 15 = 7.15— (−8). (−13) = 105 − 104 = 1
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 1 (b)
15. Soal Buku Mandiri Matematika XII 1 Diketahui matriks ( 3 −2 4 a. ( ) −1 −3 2 4 b. ( ) −1 −3
2 0 1 )𝐴 = ( ) , maka nilai 2A = ... 4 1 0
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
47
2 −4 c. ( ) 1 3 2 4 d. ( ) −1 3 2 −4 e. ( ) −1 3 Penyelesaian: 𝐴𝐵 = 𝐶 𝐴 = 𝐵−1 𝐶 1 2 −1 0 1 𝐴=( ) ( ) 3 4 1 0 1 4 −2 0 1 𝐴= ( )( ) 1 0 −2 −3 1 1 −2 4 𝐴= ( ) −2 1 −3 1 −2 4 2𝐴 = 2. ( ) −2 1 −3 2 −4 2𝐴 = ( ) −1 3 2 −4 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah ( ) (e) −1 3
VEKTOR A. Operasi Vektor 1. Soal Buku Mandiri Matematika XII 48
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
Pada segi empat sembarang OABC, S dan T masing-masing adalah titik tengan OB dan AC, ⃗⃗⃗⃗ = ... jika 𝑢 ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴, 𝑣 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵, 𝑤 ⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐶 , maka 𝑆𝑇 a.
1 𝑢 ⃗ 2
+ 2𝑣 + 2𝑤 ⃗⃗
1
1
b.
1 𝑢 ⃗ 2
+ 2𝑣 − 2𝑤 ⃗⃗
1
1
c.
1 𝑢 ⃗ 2
− 𝑣+ 𝑤 ⃗⃗
1 2
1 2
d.
1 𝑢 ⃗ 2
− 2𝑣 − 2𝑤 ⃗⃗
1
1
1
1
1
e. − 2 𝑤 ⃗⃗ + 2 𝑣 + 2 𝑤 ⃗⃗ Penyelesaian : ⃗⃗⃗⃗ = 𝑆𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝑇 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑆𝑇 1 𝑎+𝑐 = − ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵 + 2 2 ⃗⃗⃗⃗⃗ 1 𝑂𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐶 =− 𝑣+ 2 2 1 1 1 =− 𝑣+ 𝑢 ⃗ + 𝑤 ⃗⃗ 2 2 2 1 1 1 = 𝑢 ⃗ − 𝑣+ 𝑤 ⃗⃗ 2 2 2 1 2
1 2
1 2
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 𝑢 ⃗ − 𝑣+ 𝑤 ⃗⃗ (c)
2. Soal Buku Mandiri Matematika XII 1 ⃗⃗⃗⃗⃗ = ... ⃗⃗⃗⃗⃗ = (1,1,2). Jika ⃗⃗⃗⃗ Diketahui ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 = (2,0,1) dan 𝑃𝑅 PS = 2 ⃗⃗⃗⃗⃗ PQ, maka 𝑅𝑆
a. (0,-1,1) b. (0,1,-1) c. (0,-1,-1) 3 2
d. (0,-1, ) 3
e. (0,-1,-2) Penyelesaian : 1 2 ⃗⃗⃗⃗ PS = (0) 2 1 1 0 ⃗⃗⃗⃗ PS = (1) 2 ⃗⃗⃗⃗ RS = ⃗⃗⃗⃗⃗ RP + ⃗⃗⃗⃗ PS 1 0 −1 0 −1 ⃗⃗⃗⃗ RS = (−1) + (1) = ( 3) − −2 2 2
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
49
3
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah (0,-1,-2) (e) 3. Soal Buku Mandiri Matematika XII Diketahui 𝐴 = (3, 2, −1) , 𝐵 = (1, −2, 1) dan 𝐶 = (7, 𝑝 − 1, −5). terletak segaris. Nilai p = ... a. 11 b. 9 c. 6 d. 5 e. 2 Penyelesaian : ⃗⃗⃗⃗⃗ = k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ Jika terletak segaris AB ⃗⃗⃗⃗⃗ AB = k ⃗⃗⃗⃗⃗ BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ AB ⃗⃗⃗⃗ ⃗ − a⃗) = k(c − b) (b 7 1 3 1 (−2) − ( 2 ) = k [(p − 1) − (−2)] 1 −1 1 −5 6 −2 (−4) = k (p + 1) 2 −6 −2 = 6k k=−
1 3
−4 = k(p + 1) 1 −4 = − (p + 1) 3 1 1 −4 = − p − 3 3 11 1 − =− p 3 3 p = 11 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 11 (a)
4. Soal Buku Mandiri Matematika XII Diketahui 𝑎 = −7𝑖 + 8𝑗 , dan 𝑃(1, −2) dan 𝐶 = (7, 𝑝 − 1, −5). Jika |𝑃𝑄| = |𝑎| dan ⃗⃗⃗⃗⃗ PQ berlawanan arah dengan a⃗ , maka koordinat titik Q adalah ... a. (6, 10) b. (6, -10) c. (6, -6) d. (8, 10) e. (8, -10) Penyelesaian : Jika dan ⃗⃗⃗⃗⃗ PQ berlawanan arah dengan a⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ PQ = −a⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ PQ = −a⃗ (q ⃗ −p ⃗ ) = −a⃗ 50
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
a −7 1 ( ) − ( ) = −( ) b −2 8 a−1 7 ( )=( ) b+2 −8 a−1 = 7 a=8 b + 2 = −8 b = −10 (a, b) = (8, -10) Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah (8, -10) (e)
5. Soal Buku Seri Pendalaman Materi Matematika XII 2 Vektor 𝑎 = ( −1 ) , dan panjang vektor |𝑎| = 3√6 . Nilai x adalah ... 𝑥−3 a. 8 atau -5 b. -8 atau -5 c. -10 atau 4 d. -4 atau 10 e. -4 atau -10 Penyelesaian : |𝑎| = 3√6 3√6 = √22 + (−1)2 + (𝑥 − 3)2 3√6 = √4 + 1 + (𝑥 2 − 6𝑥 + 9) 3√6 = √𝑥 2 − 6𝑥 + 14 54 = 𝑥 2 − 6𝑥 + 14 0 = 𝑥 2 − 6𝑥 − 40 0 = (𝑥 − 10)(𝑥 + 4) x = 10 atau x = −4 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah -4 atau 10 (d)
6. Soal Buku Seri Pendalaman Materi Matematika XII ⃗⃗⃗⃗⃗ dengan perbandingan AP ⃗⃗⃗⃗⃗ : PB ⃗⃗⃗⃗⃗ = 1: 3. Vektor posisi titik A, B, Titik P membagi ruas garis 𝐴𝐵 dan P masing-masing adalah a⃗, ⃗b, dan p ⃗ . Maka ⃗b = ... a.
1 (3𝑎 4
+ 𝑝)
b.
1 (3𝑎 2
− 𝑝)
c.
1 (3𝑎 3
+ 𝑝)
d. 3a⃗ − 4p ⃗
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
51
e. 3a⃗ − 4p ⃗ Penyelesaian : ⃗ = p
3. a⃗ + 1. ⃗b 3+1
⃗ = p
⃗ 3a⃗ + b 4
⃗ 4p ⃗ = 3a⃗ + b 4p ⃗ − 3a⃗ = ⃗b Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 4p ⃗ − 3a⃗ (e)
7. Soal Buku Matematika XII ⃗⃗⃗⃗⃗ : PB ⃗⃗⃗⃗⃗ = 3: −1. Vektor posisi titik A, Titik A, B, dan C terletak segaris dengan perbandingan AP B, dan P masing-masing adalah a⃗, ⃗b, dan p ⃗ . Maka p ⃗ = ... a.
1 (3𝑏⃗ 2
+ 𝑎)
b.
1 (3𝑏⃗ 2
− 𝑎)
c.
1 (3𝑏⃗ 3
+ 𝑎)
⃗ − 4a⃗ d. 3b ⃗ − 4b ⃗ e. 3b Penyelesaian : ⃗b =
1. a⃗ + 2. p ⃗ 2+1
⃗b =
a⃗ + 2p ⃗ 3
⃗ = a⃗ + 2p 3b ⃗ ⃗ − a⃗ 2p ⃗ = 3b ⃗ = p
⃗ − a⃗ 3b 2 1
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 2 (3𝑏⃗ − 𝑎) (b) B. Perkalian Skalar Dua Vektor 8. Soal Buku Seri Pendalaman Materi Matematika XII Sudut antara vektor 𝑎 = −1𝑖 + 2𝑗 + 2𝑘⃗ dan 𝑏⃗ = 2𝑖 + 4𝑗 + 4𝑘⃗ adalah 𝛼. Nilai sin 𝛼 = ...
52
a.
7 9
b.
7 18
c.
4 √3 9
d.
4 √2 9
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
e.
5 √2 9
Penyelesaian : Rumus perkalian dua vektor 𝑎 . 𝑏⃗ = |𝑎| . |𝑏⃗| . cos 𝛼 𝑎 . 𝑏⃗ = |𝑎| . |𝑏⃗| . cos 𝛼 cos 𝛼 =
𝑎 . 𝑏⃗ |𝑎| . |𝑏⃗|
−1 2 ( 2 ) . (4) 2 4 cos 𝛼 = −1 2 |( 2 )| . |(4)| 2 4 −2 + 8 + 8 cos 𝛼 = √(−1)2 + 22 + 22 . √22 + 42 + 42 cos 𝛼 =
14 3 .6 14
7
cos 𝛼 = 18 = 9 sin 𝛼 =
√92 − 72 √32 4 = = √2 9 9 9 4
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah √2 (d) 9 9. Soal Buku Seri Pendalaman Materi Matematika XII Diketahui |𝑎| = 8 dan |𝑏⃗| = 6. Sudut antara vektor 𝑎 dan 𝑏⃗ adalah 1200 . Maka panjang vektor 𝑎 + 2𝑏⃗ = ... a. 2√7 b. 4√7 c. 6√7 d. 2√33 e. 4√33 Penyelesaian : 2
Rumus vektor dengan metode jajar genjang 𝑎 + 𝑏⃗ = √(𝑎)2 + (𝑏⃗) + 2. 𝑎. 𝑏⃗ . cos 𝛼 2
𝑎 + 𝑏⃗ = √(𝑎)2 + (𝑏⃗) + 2. 𝑎. 𝑏⃗ . cos 𝛼 2
𝑎 + 2𝑏⃗ = √(𝑎)2 + (2𝑏⃗) + 2. 𝑎. 2𝑏⃗ . cos 𝛼 𝑎 + 2𝑏⃗ = √(8)2 + (2.6)2 + 2.8.2.6 . cos 1200 𝑎 + 2𝑏⃗ = √64 + 144 + 192 . −
1 2
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
53
𝑎 + 2𝑏⃗ = √112 = 4√7 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 4√7 (b)
10. Soal Buku Seri Pendalaman Materi Matematika XII 2
Jika vektor a⃗ dan vektor ⃗b membentuk sudut 600 , |𝑎| = 4 dan |𝑏⃗| = 3, maka |𝑎 − 𝑏⃗| = ... a. 1 b. 13 c. 14 d. 15 e. 16 Penyelesaian : 2
Rumus vektor dengan metode jajar genjang 𝑎 + 𝑏⃗ = √(𝑎)2 + (𝑏⃗) + 2. 𝑎. 𝑏⃗ . cos 𝛼 2
𝑎 + 𝑏⃗ = √(𝑎)2 + (𝑏⃗) + 2. 𝑎. 𝑏⃗ . cos 𝛼 2
⃗⃗⃗⃗ = √(𝑎)2 + (−𝑏⃗) + 2. 𝑎. −𝑏⃗ . cos 𝛼 𝑎 + (−𝑏) 𝑎 − 𝑏⃗ = √(4)2 + (−3)2 + 2.8. −3 . cos 600 𝑎 − 𝑏⃗ = √16 + 9 − 48 .
1 2
𝑎 − 𝑏⃗ = √13 2
2
|𝑎 − 𝑏⃗| = (√13) = 13 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 13 (b)
11. Soal Buku Seri Pendalaman Materi Matematika XII Diketahui segitiga PQR dengan P(0,1,4), Q(2,-3,2), dan R(-1,0,2). Besar sudut PRQ = ... a. 1200 b. 900 c. 600 d. 450 e. 300 Penyelesaian : ⃗⃗⃗⃗⃗ | . cos 𝑃𝑅𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ | . |𝑄𝑅 Rumus perkalian dua vektor pada segitiga 𝑃𝑅 𝑄𝑅 = |𝑃𝑅 ⃗⃗⃗⃗⃗ | . cos 𝑃𝑅𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ | . |𝑅𝑄 Rumus perkalian dua vektor pada segitiga 𝑅𝑃 𝑅𝑄 = |𝑅𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑝 − 𝑟 𝑅𝑃 0 −1 1 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (1) − ( 0 ) = (1) 𝑅𝑃 4 2 2 54
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
2 −1 3 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (−3) − ( 0 ) = (−3) 𝑅𝑄 2 2 0 ⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝑅𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ | . cos 𝑃𝑅𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑅𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ | . |𝑅𝑄 𝑅𝑃 1 3 (1) . (−3) 0 2 cos 𝑃𝑅𝑄 = 3 1 |(1)| . |(−3)| 0 2 3−3+0 cos 𝑃𝑅𝑄 = 2 2 √1 + 1 + 22 . √32 + (−3) + 02 cos 𝑃𝑅𝑄 =
0 3 √12
=0
0 = cos 900 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 900 (b)
12. Soal Buku Seri Pendalaman Materi Matematika XII Diketahui vektor 𝑎 = 𝑝𝑖 + 𝑗 + 4𝑘⃗, 𝑏⃗ = 2𝑖 − 4𝑗 + 3𝑘⃗, dan 𝑐 = 𝑖 − 3𝑗 + 3𝑘⃗. Jika vektor 𝑎 tegak lurus dengan vektor 𝑏⃗ , maka panjang vektor 𝑎 − 𝑐 = ... a. −5𝑖 + 4𝑗 + 𝑘⃗ b. −3𝑖 − 2𝑗 + 𝑘⃗ c. −3𝑖 + 2𝑗 + 𝑘⃗ d. 3𝑖 + 2𝑗 + 𝑘⃗ e. 5𝑖 − 4𝑗 + 𝑘⃗ Penyelesaian : Rumus dua vektor yang tegak lurus 𝑎 . 𝑏⃗ = 0 𝑎 . 𝑏⃗ = 0 𝑝 2 0 = (1) (−4) 4 3 0 = 2𝑝 − 4 + 12 0 = 2𝑝 + 8 −8 = 2𝑝 −4 = 𝑝 −4 1 −5 a⃗ − c = ( 1 ) − (−3) = ( 4 ) 4 3 1 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah −5𝑖 + 4𝑗 + 𝑘⃗ (a)
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
55
C. Proyeksi Vektor pada Vektor Lain 13. Soal Buku Seri Pendalaman Materi Matematika XII 1 2 Diketahui 𝑢 ⃗ = (−2) dan 𝑣 = ( 3 ). Proyeksi skalar vektor (2u ⃗ + ⃗⃗⃗⃗ 3𝑣 ) pada 𝑣 adalah ... 3 −1 a.
1 2
b.
1 √2 2
c.
1 √14 4
d. 2√14 e.
7 √14 2
Penyelesaian : ⃗
𝑎⃗ .𝑏 Rumus proyeksi skalar vektor 𝑎 pada 𝑏⃗ ⃗ |𝑏|
𝑎 . 𝑏⃗ |𝑏⃗| ⃗ + ⃗⃗⃗⃗ 3𝑣 ) . 𝑣 (2u |𝑣 | 1 2 2 (2 (−2) + 3 ( 3 )) . ( 3 ) 3 −1 −1 2 | ( 3 )| −1 2 6 2 ((−4) + ( 9 )) . ( 3 ) 6 −3 −1 √22 + 32 + (−1)2 8 2 (5) . ( 3 ) 3 −1 √4 + 9 + 1 16 + 15 − 3 √14
=
28 √14
= 2√14
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 2√14 (d)
14. Soal Buku Seri Pendalaman Materi Matematika XII ⃗⃗⃗ − 𝑘⃗ . Proyeksi ortogonal vektor Diketahui 𝑢 ⃗ = 𝑖 − 𝑗 + 𝑘⃗, 𝑣 = 𝑖 + 𝑗 + 𝑘⃗ , dan 𝑤 ⃗⃗ = 3𝑖 (v ⃗ +𝑤 ⃗⃗ ) pada 𝑢 ⃗ adalah ...
56
a.
4 𝑖 3
+ 3 𝑗 + 3 𝑘⃗
4
4
b.
4 𝑖 3
+ 𝑗 + 3 𝑘⃗
c.
4 𝑖 3
+ 𝑗 + 𝑘⃗
4
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
d. 𝑖 − 𝑗 + 𝑘⃗ e. 4𝑖 + 𝑗 + 𝑘⃗ Penyelesaian : Rumus proyeksi ortogonal 𝑎 pada 𝑏⃗ 𝑎 . 𝑏⃗ 2
| 𝑏⃗|
⃗ 𝑎⃗ .𝑏 2
⃗| |𝑏
𝑏⃗
𝑏⃗
(v ⃗ +𝑤 ⃗⃗ ) . 𝑢 ⃗ 𝑢 ⃗ 2 |𝑢 ⃗| 1 3 1 ((1) + ( 0 )) . (−1) 1 −1 1 1 2 | (−1)| 1 4 1 (1) . (−1) 0 1
1 (−1) 1
1 ( ) −1 2 ( √12 + (−1)2 + 12 ) 1 1 ( ) −1 2 ( √3) 1 4−1
1 3 1 (−1) = (−1) 3 1 1 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 𝑖 − 𝑗 + 𝑘⃗ (d)
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
57
TRANSFORMASI GEOMETRI 1. Soal Buku Mandiri Matematika XII Titik R(5, -3) dirotasikan oleh [O,180o]. Bayangan titik R adalah ... a. (−5, 3) b. (3, −5) c. (−3, 5) d. (−5, −3) e. (−3, −5) Penyelesaian : 𝑅[𝑂,180𝑜 ]
𝑅(5, −3) →
𝑥′ cos 𝛼 ( )=( 𝑦′ sin 𝛼
𝑅 ′ (𝑥 ′ , 𝑦 ′ )
− sin 𝛼 𝑥 ) (𝑦) cos 𝛼
𝑥′ cos 180𝑜 ( )=( 𝑦′ sin 180𝑜
5 − sin 180𝑜 )( ) −3 cos 180𝑜
𝑥′ −1 0 5 ( )=( )( ) 𝑦′ 0 −1 −3 𝑥′ −5 ( )=( ) 𝑦′ 3 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah (−5, 3) (a)
2. Soal Buku Mandiri Matematika XII Jika jajargenjang ABCD dengan A(-3, 5); B(4, 1); dan C(6, 8) dicerminkan terhadap garis 𝑦 = −𝑥, bayangan titik D adalah ... a. (1, −12) b. (−12, 1) c. (12, −1) d. (12, −5) e. (−5,12) Penyelesaian : ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐶 𝑏⃗ − 𝑎 = 𝑐 − 𝑑 𝑎 4 −3 6 ( )−( )= ( )− ( ) 𝑏 1 5 8 𝑎 7 6 ( )=( )− ( ) 𝑏 −4 8 𝑎 −1 ( )=( ) 𝑏 12 𝑀𝑦=−𝑥
𝐷(−1, 12) →
58
𝐷 ′ (𝑥 ′ , 𝑦 ′ )
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
𝑥′ 0 −1 𝑥 ( )=( ) (𝑦) 𝑦′ −1 0 𝑥′ 0 −1 −1 ( )=( )( ) 𝑦′ −1 0 12 𝑥′ −12 ( )=( ) 𝑦′ 1 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah (−12, 1) (b)
3. Soal Buku Mandiri Matematika XII 2 Garis 𝑔 mempunyai persamaa 2𝑥 + 3𝑦 = 4 ditranslasikan oleh T( ) menghasilkan 𝑔′. −3 Persamaan garis 𝑔′ adalah ... a. 2𝑥 + 3𝑦 = −1 b. 2𝑥 + 3𝑦 = −2 c. 3𝑥 + 2𝑦 = −1 d. 3𝑥 + 2𝑦 = 9 e. 2𝑥 + 3𝑦 = 9 Penyelesaian : 𝑇(
𝐴(𝑥, 𝑦) →
2 ) −3
𝐴′ (𝑥 ′ , 𝑦 ′ )
𝑥+𝑎 𝑥′ ( ) = (𝑦 + 𝑏 ) 𝑦′ 𝑥+2 𝑥′ ( )=( ) 𝑦−3 𝑦′ 𝑥 𝑥′ − 2 (𝑦) = ( ′ ) 𝑦 +3 Substitusikan x dan y ke dalam persamaan 2𝑥 + 3𝑦 = 4 2𝑥 + 3𝑦 = 4 2(𝑥 ′ − 2) + 3(𝑦 ′ + 3) = 4 2𝑥 ′ − 4 + 3𝑦 ′ + 9 = 4 2𝑥 ′ + 3𝑦 ′ = −1 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 2𝑥 + 3𝑦 = −1 (a)
4. Soal Buku Mandiri Matematika XII 2 0 Garis 2𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0 ditranslasikan dengan matriks ( ) . Persamaan garis bayangan −1 1 adalah ... a. 5𝑥 + 6𝑦 − 12 = 0 b. 5𝑥 + 6𝑦 − 6 = 0 c. 5𝑥 + 6𝑦 − 2 = 0 d. 2𝑥 + 3𝑦 − 12 = 0 e. 2𝑥 + 3𝑦 − 2 = 0
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
59
Penyelesaian : (
2 0 ) −1 1
𝐴(𝑥, 𝑦) →
𝐴′ (𝑥 ′ , 𝑦 ′ )
𝑥′ 2 0 𝑥 ( )=( )( ) 𝑦′ −1 1 𝑦 2𝑥 𝑥′ ( )=( ) −𝑥 + 𝑦 𝑦′ 𝑥′ 𝑥 (𝑦) = ( ′ 2 ) 𝑥 + 𝑦′ 2 Substitusikan x dan y ke dalam persamaan 2𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0 2𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0 𝑥′ 𝑥′ 2 ( ) + 3 ( + 𝑦′) − 6 = 0 2 2 2 ′ 3 ′ 𝑥 + 𝑥 + 3𝑦′ − 6 = 0 2 2 2𝑥′ + 3𝑥′ + 6𝑦′ − 12 = 0 5𝑥′ + 6𝑦′ − 12 = 0 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 5𝑥 + 6𝑦 − 12 = 0 (a)
5.
Soal Buku Mandiri Matematika XII 2 Bayangan titik P(1, 1) karena transformasi ( 0 0 −1 ( ) adalah ... 1 0
0 ) diteruskan dengan transformasi 2
a. (−2, 2) b. (−2, −2) c. (−2, 1) d. (2, 0) e. (−2, 0) Penyelesaian : 2 𝑇( 0
𝑃(1, 1) →
0 ) 2
′
′
0 −1 𝑇( ) 1 0
𝑃′(𝑥 , 𝑦 ) →
(
𝑥′′ 0 )=( 𝑦′′ 1
−1 2 0 𝑥 )( )( ) 0 0 2 𝑦
(
𝑥′′ 0 )=( 𝑦′′ 1
−1 2 0 1 )( )( ) 0 0 2 1
(
𝑥′′ 0 )=( 𝑦′′ 2
−2 1 )( ) 0 1
(
𝑥′′ −2 )=( ) 𝑦′′ 2
𝑃′′(𝑥′′ , 𝑦 ′′ )
Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah (−2, 2) (a)
60
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
6. Soal Buku Mandiri Matematika XII Persamaan bayangan dari garis 3𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 oleh pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝑥 1 2
dilanjutkan dengan rotasi 𝜋 terhadap O adalah ... a. 3𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 b. 3𝑥 + 𝑦 + 2 = 0 c. 3𝑦 − 𝑥 + 2 = 0 d. 𝑦 − 3𝑥 + 2 = 0 e. 𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0 Penyelesaian : 𝑀𝑦=𝑥
𝑃(𝑥, 𝑦) →
𝑅[𝑂,900 ]
𝑃′(𝑥 ′ , 𝑦 ′ ) →
(
0 𝑥′′ ) = (cos 900 𝑦′′ sin 90
(
𝑥′′ 0 )=( 𝑦′′ 1
(
𝑥′′ −1 0 𝑥 )=( )( ) 𝑦′′ 0 1 𝑦
(
−𝑥 𝑥′′ )=( 𝑦 ) 𝑦′′
𝑃′′(𝑥′′ , 𝑦 ′′ )
− sin 900 ) (0 1 cos 900 −1 0 1 𝑥 )( )( ) 0 1 0 𝑦
1 𝑥 )( ) 0 𝑦
𝑥 −𝑥′′ (𝑦) = ( ) 𝑦′′ Substitusikan x dan y ke dalam persamaan 3𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 3𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 −3𝑥′′ − 𝑦′′ + 2 = 0 3𝑥 ′′ + 𝑦 ′′ − 2 = 0 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 3𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 (a)
7. Soal Buku Mandiri Matematika XII Titik A(n, m) dicerminkan terhadap garis 𝑥 = 2, menghasilkan bayangan A′ (0,2). Nilai 𝑛 + 𝑚 = ... a. -6 b. -4 c. -2 d. 2 e. 6 Penyelesaian : 𝑀𝑥=2
𝐴(𝑛, 𝑚) →
𝐴′ (0, 2)
𝑥′ −1 0 𝑥 2ℎ ( )=( )( ) + ( ) 𝑦′ 0 1 𝑦 0 𝑛 4 0 −1 0 ( )=( )( ) + ( ) 2 0 1 𝑚 0
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
61
−𝑛 4 0 ( )= ( )+( ) 𝑚 2 0 𝑛 4 0 ( )=( )+( ) 𝑚 2 0 𝑛 −0 + 4 ( )=( ) 𝑚 2−0 𝑛 4 ( )=( ) 𝑚 2 𝑛+𝑚 =4+2=6 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 6 (e)
8.
Soal Buku Mandiri Matematika XII Titik B(1, −√3) jika dirotasikan pada pusat rotasi O(0, 0) sejauh 600 searah jarum jam, maka bayangannya adalah ... a. (2, 0) b. (1, √3) c. (−√3, 1) d. (−1, √3) e. (−1, −√3) Penyelesaian : 𝑅[𝑂,60𝑜 ]
𝐵(1, −√3) →
𝑥′ cos 𝛼 ( )=( 𝑦′ sin 𝛼 𝑥′ cos 60𝑜 ( )=( 𝑦′ sin 60𝑜
𝐵′ (𝑥 ′ , 𝑦 ′ )
− sin 𝛼 𝑥 ) (𝑦) cos 𝛼 1 − sin 60𝑜 )( ) cos 60𝑜 −√3
1 1 − √3 𝑥′ 2 )( 1 ) ( )=( 2 1 1 𝑦′ −√3 √3 2 2 1 3 + 𝑥′ ( )=( 2 2 ) 1 1 𝑦′ √3 − √3 2 2 𝑥′ 2 ( )=( ) 𝑦′ 0 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah (2, 0) (a)
9.
Soal Buku Mandiri Matematika XII Jika titik A(2, −6) didilatasikan pada titik pusat dilatasi O(0, 0) dengan faktor dilatasi k = 2, maka koordinat bayangannya adalah ... a. 𝐴′(−4, −12) b. 𝐴′(−2, −6) c. 𝐴′(−4,12)
62
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
d. 𝐴′(4, −12) e. 𝐴′(1, −3) Penyelesaian : 𝐷[𝑂,2]
𝐴(2, −6) →
𝐴′ (𝑥 ′ , 𝑦 ′ )
𝑥′ 2 ( )=( 𝑦′ 0
0 𝑥 )( ) 2 𝑦
𝑥′ 2 ( )=( 𝑦′ 0
0 2 )( ) 2 −6
𝑥′ 4 ( )=( ) 𝑦′ −12 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 𝐴′(4, −12) (d)
10. Soal Buku Mandiri Matematika XII 1
Sebuah transformasi dilatasi dengan faktor dilatasi − 2 memetakan titik A(4, 3) menjadi A’(10, 6). Koordinat titik pusat dilatasinyadalah ... a. 𝑃(1, −2) b. 𝑃(8, 5) c. 𝑃(−2, 3) d. 𝑃(5, 2) e. 𝑃(6, 3) Penyelesaian : 1 𝐷[(𝑎,𝑏),− ] 2
𝐴(4, 3) →
1
− 𝑥′ ( )=( 2 𝑦′ 0 1
− 10 ( )=( 2 6 0
𝐴′ (10,6)
0
𝑥−𝑎 𝑎 − 𝑏) + (𝑏 )
0
4−𝑎
1) ( −2 𝑦
)+ 1) ( −2 3 − 𝑏
𝑎 ( ) 𝑏
1
−2 + 𝑎 𝑎 10 ( ) = ( 3 21 ) + ( ) 𝑏 6 − + 𝑏 2
2
3 −2 + 𝑎 10 2 ) ( )=( 3 3 6 − + 𝑏 2 2 1 10 = −2 + 𝑎 2 3 12 = 𝑎 2 8=𝑎
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
63
3 3 6=− + 𝑏 2 2 15 3 = 𝑏 2 2 5=𝑎 Jadi jawaban yang tepat untuk soal di atas adalah 𝑃(8,5) (b)
64
Kumpulan Soal & Penyelesaian Kelas XII Semester 1 / Firda Fitri Annisa (6299) SMAN7YK
