Kumpulan Soal Dan Pembahasan Luas Daerah Kurva Dengan Integral [PDF]

Citation preview

KUMPULAN SOAL DAN PEMBAHASAN LUAS DAERAH KURVA DENGAN INTEGRAL



1.



Carilah luas kurva 



 di antara garis x=0, x=4 dan sumbu x.



Tutup Jawaban



     2.



Tentukanlah luas yang dibentuk oleh y = sin x, y = 1, x = 0 dan terletak di kuadran 1. Tutup Jawaban



Kuadran 1 artinya batas integral mulai dari 



    



3.



Perhatikan gambar di bawah ini. 



Tentukan luas yang dibentuk oleh garis 



 dan 



.



Lihat Jawaban



4.



Carilah luas yang diarsir dari gambar dibawah ini. Persamaan garisnya adalah  dan 



 



.



Tutup Jawaban Supaya lebih mudah, lebih baik kita menghitung luas kurva terhadap sumbu y. Sesuaikan persamaan kurva sehingga menjadi 



    



 dan 



, lalu cari titik potong nya.



     Lakukan Integral dari kurva kanan dikurang kurva kiri. Gunakan batas integral dari -1 sampai 2.



    



5.



Carilah luas daerah yang dibatasi oleh garis  Tutup Jawaban



, 



 dan 



 !



Untuk menyelesaikan soal ini, gambarlah dulu ketiga garis dan tandai luas yang ingin dicari. 



Melihat gambar yang diarsir, cara untuk menyelesaikan adalah dengan membagi 2 daerah seperti gambar dibawah ini 



Cari terlebih dahulu titik potong antara kurva y=2x dengan x+y=6. 



     Lalu cari titik potong antara kurva y=1/2 x dengan x+y=6. 



     Cari luas kurva bagian I. 



     Cari luas kurva bagian II. 



     Jadi luas yang diarsir adalah Luas Kurva I + Luas Kurva II = 6 cm.



6.



Hitunglah luas daerah kurva 



, yang dibatasi sumbu y dan garis x = 5 !



Tutup Jawaban Untuk menyelesaikan soal ini, pertama carilah titik potong dengan sumbu x. Lalu supaya lebih jelas, gambarlah kurva tersebut.  Titik potong dengan sumbu x 



     Gambarlah kurva tersebut 



Dari gambar terlihat bahwa ada 2 daerah dimana yang satu berada di bawah sumbu x dan yang satu di atas sumbu x. Supaya penjumlahan kedua daerah tersebut benar, maka kita perlu untuk memecahkan integral menjadi dua interval, yaitu dari 0-3, dan dari 3-5. 



    



     Tanda minus pada luas daerah I perlu diabaikan karena tanda minus hanya menandakan bahwa letak daerah berada di bawah sumbu x. Carilah luas kurva dengan menambahkan kedua daerah tersebut 



    



7.



Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh 



 dan sumbu x !



Tutup Jawaban Untuk grafik fungsi pangkat 3, perlu dianalisa ada berapa titik potong pada sumbu x nya. Jika titik potong sumbu x lebih dari satu, maka untuk amannya, kita perlu melakukan integral secara terpisah untuk masing-masing interval titik potong. Ini karena dalam fungsi pangkat 3 terkadang ada fungsi naik dan fungsi turun yang saling meniadakan. Jika kita langsung mengintegral tanpa memecah interval, hasilnya akan salah. Cari titik potong grafik dengan sumbu x (berarti y = 0). 



     Jika digambar, hasilnya kurang lebih seperti di bawah ini. 



Disini dapat kita lihat bahwa daerah A berada di atas sumbu x dan daerah B di bawah sumbu x. Jika kita langsung menggabungkan kedua daerah tersebut, akan didapat hasil = 0, sehingga kita perlu memecah interval dan mencari masing-masing daerah. 



    



     Perhatikan bahwa luas B bernilai minus, karena letaknya yang di bawah sumbu x. Inilah yang menyebabkan perhitungan integral secara langsung akan saling meniadakan. Untuk menghitung luas, nilai minus ini harus kita abaikan, yang kita perhitungkan hanya luas daerahnya saja. 



    



  Cara Menghitung Luas Daerah Menggunakan Integral sebenarnya dibagi menjadi dua secara garis besarnya yaitu luas daerah dengan batas ada di sumbu X dan luas daerah yang batasnya ada pada sumbu Y. Kemudian untuk masing-masing baik batas di sumbu X maupun sumbu Y dibagi lagi menjadi beberapa bagian. Untuk lebih jelasnya, mari kita simak materinya langsung pada penjabaran berikut ini. 



Luas Daerah dengan Batas pada Sumbu X [Math Processing Error]♠ Luas Daerah dibatasi Satu Kurva pada sumbu X         Untuk daerah yang dibatasi oleh satu kurva memiliki dua tipe luas yaitu luas dengan daerah di atas sumbu X dan daerah berada di bawah sumbu X seperti gambar berikut ini : 



*). Luas Daerah R di atas sumbu X yang dibatasi oleh kurva [Math Processing Error]y=f(x) , sumbu X, garis [Math Processing Error]x=a dan garis [Math Processing Error]x=b , dengan [Math Processing Error]f(x)≥0 pada interval [Math Processing Error][a,b] , dapat dihitung dengan rumus integral :                Luas R [Math Processing Error]=∫abf(x)dx.  *). Luas Daerah S di bawah sumbu X yang dibatasi oleh kurva [Math Processing Error]y=g(x) , sumbu X, garis [Math Processing Error]x=c dan garis [Math Processing Error]x=d , dengan [Math Processing Error]g(x)≤0 pada interval [Math Processing Error][c,d] , dapat dihitung dengan rumus integral :                Luas S [Math Processing Error]=−∫cdg(x)dx.  Catatan : Kenapa luas daerah di bawah sumbu X diberi tanda negatif? karena nilai fungsi di bawah sumbu X negatif padahal luasan suatu daerah selalu bernilai positif sehingga diberi atau dikalikan negatif agar bernilai positif.  [Math Processing Error]♠ Luas Daerah dibatasi Dua Kurva pada sumbu X         Untuk luas daerah yang terletak di antara dua kurva dengan batas ada di sumbu X bisa dilihat gambar berikut ini. 



Daerah U terletak antara dua kurva (dibatasi oleh dua kurva) yaitu kurva fungsi [Math Processing Error]y1=f(x) dan [Math Processing Error]y2=g(x) dengan batas pada sumbu X yaitu terletak pada interval [Math Processing Error][a,b] secara umum dapat dihitung dengan MENGURANGKAN KURVA ATAS dan KURVA BAWAH dimanapun letak kurva tersebut. Sehingga luas daerah U dapat dihitung dengan rumus :                Luas U [Math Processing Error]=∫ab(y1−y2)dx=∫ab(f(x)−g(x))dx Contoh Soal Luas Daerah pada Sumbu X :  1). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva [Math Processing Error]y=4x−x2,x=1,x=3, dan sumbu X.  Penyelesaian :  *). Kita gambar dulu kurva dan arsiran daerah yang dimaksud. 



Untuk cara menggambarnya, silahkan baca artikel Sketsa dan Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat.  *). Menentukan luas daerah yang diarsir :  [Math Processing Error]Luas Arsiran  =∫13f(x)dx=∫13(4x−x2)dx=[2x2−13x3]13=[2.32−13.33]−[2.12−13.13]=[18−9]−[2−13]=713  Jadi, luas daerah yang diarsir adalah [Math Processing Error]713 satuan luas.  2). Tentukan luas daerah yang diarsir pada Gambar berikut dengan menggunakan integral. 



Penyelesaian :  *). Karena L2 terletak di bawah sumbu X (bernilai negatif), L2 diberi tanda negatif (agar menjadi positif). Oleh karena itu, luas daerah yang dicari adalah sebagai berikut.  [Math Processing Error]Luas Arsiran  =L1+ (−L2)=L1−L2=∫01(x2−5x+4)dx−∫14(x2−5x+4)dx=[13x3−52x2+4x]01−[13x3−52x2+4x]14=613  Jadi, luas daerah yang diarsir adalah [Math Processing Error]613 satuan luas.  3). Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva [Math Processing Error]f(x)=−sinx,0≤x≤2π, dan sumbu-x.  Penyelesaian :  *). Kita gambar dulu kurva [Math Processing Error]f(x)=−sin⁡x dan daerah arsirannya. 



*). Menentukan luas daerah arsiran.  Luas daerah arisran terdiri dari dua daerah yaitu A1 dan A2, dimana A2 ada di bawah sumbu X sehingga kita berikan tanda negatif agar luasnya positif.  [Math Processing Error]Luas Arsiran  =A1+(−A2)=A1−A2=∫π2π(−sin⁡x)dx−∫0π(−sin⁡x)dx=[cos⁡x]π2π− [cos⁡x]0π=([cos⁡2π]−[cos⁡π])−([cos⁡π]−[cos⁡0])=([1]−[−1])−([−1]−[1])=(2)−(−2)=4  Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 4 satuan luas.  4). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva [Math Processing Error]y=x2−2x dan [Math Processing Error]y=6x−x2 ?  Penyelesaian :  *). Menentukan titik potong kedua kurva :  [Math Processing Error]y1=y2x2−2x=6x−x22x2−8x=02x(x−4)=0x=0∨x=4  artinya titik potong kedua kurva di [Math Processing Error]x=0 dan [Math Processing Error]x=4.  *). Berikut gambar daerahnya, 



*). Menentukan luas daerah arsiran.  Daerah arsiran dibatasi oleh dua kurva yaitu [Math Processing Error]y=x2−2x (di atas) dan [Math Processing Error]y=6x−x2(di bawah).  [Math Processing Error]Luas Arsiran  =∫04[(x2−2x)−(6x−x2)]dx=∫04(2x2−8x)dx=[23x3−4x2]04=2113  Jadi, luas daerah yang diarsir adalah [Math Processing Error]2113 satuan luas.  5). Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva [Math Processing Error]f(x)=4−x2, garis [Math Processing Error]x=0, dan di atas garis [Math Processing Error]y=1, di kuadran I.  Penyelesaian :  *). Menentukan titik potong kedua kurva :  [Math Processing Error]y1=y24−x2=1x2=3x=±3x=−3∨x=3  Karena daerah yang dimaksud adalah kuadran I, maka titik potong yang dipakai adalah [Math Processing Error]x=3 (positif).  *). Berikut gambar daerahnya, 



*). Menentukan luas daerah arsiran.  Daerah arsiran dibatasi oleh dua kurva yaitu [Math Processing Error]y=4−x2 (di atas) dan [Math Processing Error]y=1(di bawah).  [Math Processing Error]Luas Arsiran  =∫03[(4−x2)−(1)]dx=∫03[3−x2]dx=[3x−13x3]03=23  Jadi, luas daerah yang diarsir adalah [Math Processing Error]23 satuan luas. 



Luas Daerah dengan Batas pada Sumbu Y        Bagaimana dengan luas daerah dengan batas yang ada pada sumbu Y? Rumus dan cara penghitungannya hampir sama dengan luas daerah dengan batas pada sumbu X, hanya saja fungsinya harus diubah menjadi bentuk [Math Processing Error]x=f(y) . Sementara luas yang dibatasi oleh dua kurva, caranya PENGURANGAN FUNGSI KURVA KANAN DAN FUNGSI KURVA KIRI. Kesulitan dari luas daerah yang batasnya pada sumbu Y adalah dalam mengubah fungsinya menjadi bentuk [Math Processing Error]x=f(y). Sehingga kebanyakan soal dikerjakan dengan cara menggunakan batas pada sumbu X seperti di atas. Contoh soal :  6). Kita akan coba untuk menghitung luas daerah dengan integral pada contoh soal nomor 5 di atas dengan batas yang kita gunakan ada pada sumbu Y.  Fungsinya adalah [Math Processing Error]y=4−x2→x=4−y.  Batasnya adalah dari [Math Processing Error]y=1 sampai [Math Processing Error]y=4.  Rumus dasar yang digunakan : [Math Processing Error]∫k(ax+b)ndx=ka1n+1(ax+b)n+1+c.  *). Menghitung luasnya :  [Math Processing Error]Luas Arsiran  =∫144−ydy=[−23(4−y)32]14=[−23(4−4)32]−[−23(4−1)32]=[0]− [−23(3)32]=[0]−[−2333]=[0]−[−23]=23  Jadi, luas daerah yang diarsir adalah [Math Processing Error]23 satuan luas.  Contoh soal yang belum diketahui fungsinya.  7). Hitunglah luas daerah yang diarsir berikut ini : 



Penyelesaian :  a). Daerah gambar (a) dibatasi oleh fungsi linear (garis lurus), sehingga kita harus menentukan fungsi linearnya terlebih dahulu karena fungsinya belum ada. Silahkan baca materi : Gradien dan Menyusun Persamaan Garis Lurus.  *). Garis melalui titik [Math Processing Error](x1,y1)=(−2,0) , dan [Math Processing Error](x2,y2)=(0,1) :  *). Persamaan garis lurusnya :  [Math Processing Error]y−y1y2−y1=x−x1x2−x1y−01−0=x−(−2)0−(−2)y1=x+22y=12x+1  Artinya fungsi linearnya adalah [Math Processing Error]y=12x+1  *). Menghitung luasnya :  [Math Processing Error]Luas Arsiran  =∫0212x+1dx=[14x2+x]02=[14.22+2]−[14x.02+0]=[3]−[0]=3  Jadi, luas daerah yang diarsir adalah [Math Processing Error]3 satuan luas.  b). Daerah gambar (b) dibatasi oleh fungsi kuadrat (karena kurvanya berupa parabola), sehingga kita harus menentukan fungsi kuadratnya. Silahkan baca materi : Menyusun dan Menentukan Fungsi Kuadrat.  *). Titik puncaknya [Math Processing Error](xp,yp)=(3,0) dan melalui titik (0,3)  *). Menyusun fungsi kuadratnya :  [Math Processing Error]y=a(x−xp)2+ypy=a(x−3)2+0y=a(x−3)2[substitusi titik (0,3)]3=a(0−3)23=9aa=13  Artinya fungsi kuadratnya adalah  [Math Processing Error]y=13(x−3)2=13(x2−6x+9)→y=13x2−2x+3  *). Menghitung luasnya :  [Math Processing Error]Luas Arsiran  =∫0313x2−2x+3dx=[19x3−x2+3x]03=[19.33−32+3.3]−[19.03−02+3.0]=[3]−[0]=3  Jadi, luas daerah yang diarsir adalah [Math Processing Error]3 satuan luas.         Dari semua contoh dan cara penghitungan Luas Daerah Menggunakan Integral di atas, perlu kita ketahui bahwa setiap pengerjaan menggunakan integral harus memerlukan fungsi kurva masing-masing, daerah arsiran, dan batasan baik pada sumbu X maupun sumbu Y. Untuk pemilihan batas integralnya (sumbu X atau sumbu Y) sebaiknya kita sesuaikan dengan masing-masing soal dan fungsi yang ada.         Apakah bisa menentukan luas daerah menggunakan integral tanpa harus menggambar kurvanya? Untuk beberapa jenis soal memang bisa tanpa harus menggambar grafiknya atau kurvanya terlebih dahulu. Silahkan baca materinya pada artikel : cara cepat menghitung luas daerah berkaitan integral.