![Integral Luas Daerah [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/integral-luas-daerah.jpg)
13 0 2 MB
LUAS
DAERAH DAN
VOLUME BENDA PUTAR
DALAM MENENTUKAN LUAS DAERAH DAN VOLUME BENDA PUTAR, DISARANKAN UNTUK MENGGAMBAR GRAFIKNYA TERLEBIH DULU.
Dengan menggambar grafiknya maka Daerah yang diminta akan lebih jelas tampak.
MENGGAMBAR GRAFIK Fungsi linear: y = mx + c Cari titik potong pada sumbu x dan y. Fungsi kuadrat: y = ax2 + bx + c Cari titik potong pada sumbu x dan y Cari sumbu simetri: xs = –b/2a Fungsi kubik: Turunan pertama = 0 Cek tanda + – + – Sketsa grafiknya
Fungsi linear: y = mx + c Cari titik potong pd sb. x & y Contoh: gambarkan y = 8 – 2x
Buat hubungan x & y :
x
y
0
8
4
0
Fungsi kuadrat: y = ax2 + bx + c - Cari titik potong pd sumbu x & y - Cari sumbu simetri: xs = –b/2a Contoh: Gambarkan y = x2 – 2x – 8
x
y
0
–8
–2
0
4
0
Sb. simetri: xs = –(–2) / 2 . 1 = 1
MENENTUKAN FUNGSI DARI GRAFIK Fungsi linear/garis lurus: a) Jika diketahui titik potong dgn sumbu “angka di sb. x kali dgn y dan angka di sb. y kali dgn x” b) Diketahui 2 titik sembarang Cari gradien: m = y / x Pakai rumus: y – y1 = m(x – x1) atau y = mx + c
Fungsi kuadrat: y = ax2 + bx + c a) Diketahui Puncak dan 1 titik sembarang Pakai: y – yP = a (x – xP)2 dan cari nilai “a”
b) Diketahui titik potong dgn sumbu x (x1, 0), (x2, 0) dan 1 titik lain Pakai: y = a (x – x1) (x – x2) dan cari nilai “a” c) Diketahui 3 titik sembarang Pakai: y = ax2 + bx + c dgn eliminasi 3 var, cari nilai “a, b, c”
A(1, 5)
LUAS DAERAH
1.
LUAS DAERAH
2.
LUAS DAERAH
3.
4.
5.
Cari titik potong garis & parabola 2x – 1 = –x2 + 2x + 8
6.
x2 = 9 x1 = 3 , x2 = –3 Titik potong garis & sumbu x 2x – 1 = 0 x = 0,5 Titik potong parabola & sumbu x
A
–3 –2
0,5
B
3
–x2 + 2x + 8 = 0 4
x2 – 2x – 8 = 0 4 ˅ –2 4
LB
LA
2
2x 8 dx
3
2, 5 5 25 2 4 Luas total
x
x3 x 2 8x 3
25 8 107 4 3 12
4
8 3 3
g( x ) x 2 Titik potong garis & parabola:
7.
x 2 x 2
1 2 x 2x 6 2
1 2 x 2x 6 2
1 2 x 3x 8 0 x 2 6x 16 0 2
(x – 2) ( x + 8) = 0 x = 2 ˅ –8 2
Luas
8
1 2 x 3x 8 dx 2 2
x 3 3x 2 8x 6 2 8
Luas
–0,5x2 –
D D 6a 2 3x + 8 = 0 D =
(–3)2
4 250 256 6 16 96 64 3 3 3
– 4 (–0,5) 8 = 25
Luas
25 25 6 0, 5 2
250 3
8.
9.
LUAS ARSIRAN = TRAPES BESAR – TRAPES KECIL 46 26 2 2 2 2 2
Pers. garis 1: y = 7 – x Pers. garis 2: y = 6 – 0,5x saat x = 2 y1 = 5 & y2 = 5 saat x = 6 y1 = 1 & y2 = 3
2
53 5 1 4 4 4 2 2
1
LUAS ARSIRAN = TRAPES BESAR – TRAPES KECIL
Pers. garis : y = 2x + 2 Pers. parabola : y = 2x2 – 2 Atas kurang Bawah: 2x + 2 – (2x2 – 2) = 0 2x + 4 – 2x2 = 0
Luas arsiran
D D 36 36 36 6 9 2 2 64 6a 6 ( 2 )
DISKRIMINAN: D = 22 – 4 .(–2) .4 = 36
Pers. garis : y = 2x + 2 Pers. parabola : y = 2x2 – 2 Luas A = 0,5 . 2 . 4 = 4
B
Luas trapesium BC: = 0,5 (4 + 6) x 1 = 5 A
C
2
Luas C
1
2
2x 3 2 x 2 dx 2x 3 1 2
16 8 2 4 2 3 3 3
LUAS ARSIRAN = 4 + 5 – 8/3 = 19/3 Bisa juga: luas pd soal sebelumnya dikurangi Bisa juga: . . . ? dgn luas yg di bawah sumbu x
: y = –1,5x + 6
Pers. garis
Pers. parabola : y = 3 – x2 Atas – bawah : –1,5x + 6 – (3 – x2) = x2 – 1,5x + 3 2
2
x 3 3x 2 3 Luas arsiran x 2 x 3 dx 3 x 2 4 3 0 0
8 17 3 6 3 3
Pers. garis: y = –2x + 6
2
LA
x
2
2
A
1 2
3 2 2 dx x 2 3
2
2
2 8 0 16 3 3
B
LB = 0,5 . 1 . 2 = 1 Larsir = 16/3 + 1 = 19/3
Pers. garis: y = x – 2 y
A
x3 4
2
x 3 2 LA x 2 ( x 2 ) dx 4 2
x2 2
2
x3 2 x x 4 dx 4 2
2
x4 x3 x2 4 x 3 2 16 2
B
1 4
LB
2
8 8 32 2 8 1 2 8 3 3 3
x3 5 2 x 2 x 2 dx 4 3
Larsir = 32/3 + 5/3 = 37/3
GRAFIK DIPUTAR MENJADI
Parabola : x2 = y + 3 Garis
:
y=x+3
Atas – bawah : x + 3 – (x2 – 3 ) = –x2 + x + 6 D = 12 – 4 . (–1) . 6 = 25
Luas arsiran
D D 25 25 125 6 6a2 6 ( 1)2
Menghitung Luas dengan Integral Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b]. Berubah Menjadi
Jumlah Luas Partisi y
Integral
y
f(x)
f(x)
Tentukan limitnya
n
b
n
i 1
f ( x ) dx
f ( xi )xi
a
x
x 0
a
x
0
b b
n
a
L f ( x ) dx lim f ( x i ) x i a
n i 1
b
Menghitung Luas dengan Integral Kegiatan pokok dalam menghitung luas daerah dengan integral tentu adalah:
y
y f(x)
xi
1. Gambar daerahnya.
2. Partisi daerahnya 3. Aproksimasi luas sebuah partisi Li
f(xi )
Li
f(xi) xi 4. Jumlahkan luas partisi
x
L f(xi) xi
0
5. Ambil limitnya L = lim f(xi) xi 6. Nyatakan dalam integral
L
a
0
f ( x ) dx
xi
a
Menghitung Luas dengan Integral Contoh 3.
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x, dan garis x = 3 Jawab
Langkah penyelesaian :
f ( x) x 2
1. Gambarlah daerahnya
y xi
2. Partisi daerahnya 3. Aproksimasi luasnya Li xi2 xi
4. Jumlahkan luasnya L xi2 xi 5. Ambil limit jumlah luasnya L = lim
xi2
xi 2
xi
Li
6. Nyatakan dalam integral dan
hitung nilainya
3
L x 2 dx
x 0
0
L
3 x3 3 0
33 3
0 9
xi
3
Menghitung Luas dengan Integral Contoh 4.
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2, sumbu x, dan garis x = 5 Jawab
y
xi
Langkah penyelesaian: 1. Gambar dan Partisi daerahnya 2. Aproksimasi : Li (4xi -
xi2)xi
4 xi xi 2
dan
-(4xj - xj2)xj
0
4. Jumlahkan : L (4xi - xi2)xi dan
-(4xj -
Aj A
xj2)xj
Li
xj 4 xi 0 (4 x x 2 )
5. Ambil limitnya L = lim (4xi - xi2)xi
5
xj
Aj
dan
A = lim -(4xj - xj2)xj 6. Nyatakan dalam integral 4
L (4 x x 2 ) dx
Home 0
Hal.: 36
f ( x) 4 x x 2
5
A (4 x x 2 ) dx 4
Integral
Back
Next
x
Menghitung Luas dengan Integral 4
L (4 x x 2 ) dx 0
2
L 2x
1 3
y
4 x3 0
L 2(4)2 31 (4)3 0 32 5
64 3
xi
4 xi xi 2
Li
2
xj
A (4 x x ) dx 4
A 2x 2
1 3
x3
0
5 4
A 2(5)2 31 (5)3 2(4)2 31 (4)3
A 50 125 32 3
A
61 3
xi 0 (4 x x 2 )
5
xj
x
Aj
64 3
18
f ( x) 4 x x 2
Luas daerah 32 64 3
61 3
Luas daerah 13
Home
Hal.: 37
4
18 Back
Integral
Next
Menghitung Luas dengan Integral LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah antara dua kurva tersebut.
Langkah penyelesaian:
y x
1. Partisi daerahnya
y f(x)
2. Aproksimasi : Li [ f(x) – g(x) ] x 4. Jumlahkan : L [ f(x) – g(x) ] x 0
5. Ambil limitnya : L = lim [ f(x) – g(x) ] x
f(x) g(x)
Li a
x
b x
y g(x)
6. Nyatakan dalam integral tertentu b
Home
L f (x) g(x)dx a
Hal.: 38
Integral
Back
Next
Menghitung Luas dengan Integral
Luas Daerah
Contoh 5.
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2 - x Jawab
Langkah penyelesaian: 1. Gambar daerahnya 2. Tentukan titik potong kedua kurva x2 = 2 – x x2 + x – 2 = 0 (x + 2)(x – 1) = 0 diperoleh x = -2 dan x = 1 3. Partisi daerahnya 4. Aproksimasi luasnya Li (2 - x - x2)x 4. Jumlahkan luasnya L (2 - x - x2)x 5. Tentukan limit jumlah luasnya L = lim (2 - x - x2)x 6. Nyatakan dalam integral tertentu
y
y 2x
5 x
4 3
(2 x) x 2
Li
y x2
2 1 x
-3
-2
-1
x
0
1
2
1
L (2 x x 2 ) dx Home
2
Back Hal.: 39
Integral
Next
Menghitung Luas dengan Integral
1
L (2 x x 2 ) dx 2
L 2x
x 2
L 2(1)
12 2
L 2
1 2
L 2
1 2
1 3
13 3
x3 3
1
2
x
42
L 5
4
4 3
(2 x) x 2
Li
1 2
Home
1 x -2
-1
x
0
Back Hal.: 40
Integral
y x2
2
8 3 -3
1 2
5
2(2) (2)2 (2)3 2 3
4 2 83 1 3
y
y 2x
1
2
Next
Menghitung Luas dengan Integral
Untuk kasus tertentu pemartisian
y g(x)
y
secara vertikal menyebabkan ada
y f(x) x
dua bentuk integral. Akibatnya
Li
x
f(x) g(x)
diperlukan waktu lebih lama untuk Ai
menghitungnya.
0
x
a
b 2f(x)
Luas daerah =
a
b
0
a
2 f ( x)dx f (x) g(x)dx
Home
Back Hal.: 41
Integral
Next
Menghitung Luas dengan Integral Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga
penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya. y g(x) x g(y) y
y f(x) x f(y)
d g(y) f(y) y
Li
x 0
c
d
Home
Luas daerah = g(y ) f (y ) dy c
Hal.: 42
Integral
Back
Next
Menghitung Luas dengan Integral Contoh 6.
Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6, dan sumbu x Jawab Langkah penyelesaian: 1. Gambar daerahnya 2. Tentukan titik potong kedua kurva y2 = 6 – y y2 + y – 6 = 0 (y + 3)(y – 2) = 0 diperoleh y = - 3 dan y = 2 3. Partisi daerahnya 4. Aproksimasi luasnya Li (6 - y - y2)y 4. Jumlahkan luasnya L (6 - y - y2)y 5. Tentukan limitnya L = lim (6 - y - y2)y 6. Nyatakan dalam integral tertentu Luas daerah =
6 y
2
y 6
(6 y) y 2
x y2
2
y
Li
y
6 x
0
x 6y
y 2 dy
0 Home
Back Hal.: 43
Integral
Next
Menghitung Luas dengan Integral
6 y
2
Luas daerah =
y 2 dy
0
6 y
Luas daerah =
y y3 2 3
0
2 23 0 6 ( 2 ) Luas daerah = 2 3
Luas daerah =
12
y
2 6
(6 y) y 2
1 8 3
x y2
2 y
Li
y
6 x 0
Luas daerah =
x 6y
25 3
Back
Home Hal.: 44
Integral
Next
Volume Benda Putar Suatu daerah jika di putar mengelilingi garis tertentu sejauh
360º, maka akan terbentuk suatu benda putar. Kegiatan pokok dalam menghitung volume benda putar
dengan integral adalah: partisi, aproksimasi, penjumlahan, pengambilan limit, dan menyatakan
dalam integral tentu.
Gb. 4
Home
Back Hal.: 45
Integral
Next
Volume Benda Putar Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda
putar dibagi menjadi : 1. Metode cakram 2. Metode cincin 3. Metode kulit tabung y
y
y
4 3 x
0
2
x
1 x 2 Home
1
0
1 Back
Hal.: 46
Integral
2 Next
Volume Benda Putar
Metode Cakram
Metode cakram yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume mentimun dengan memotong-motongnya sehingga tiap potongan berbentuk cakram.
Home
Back Hal.: 47
Integral
Next
Volume Benda Putar
Metode Cakram y
Bentuk cakram di samping dapat
x
dianggap sebagai tabung dengan jari-jari r = f(x), tinggi h = x. Sehingga volumenya
f (x)
dapat diaproksimasi sebagai V r2h atau V f(x)2x. Dengan cara jumlahkan, ambil
a
x
x
y h=x
limitnya, dan nyatakan dalam integral diperoleh:
r f(x)
V f(x)2 x V = lim
f(x)2
x
0
x
a
v [ f (x)]2dx 0
x
Home
Back Hal.: 48
Integral
Next
Volume Benda Putar
Metode Cakram
Contoh 7.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 + 1, sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º. Jawab
y
y
Langkah penyelesaian:
y x2 1
1. Gambarlah daerahnya
x
h=x
2. Buat sebuah partisi 1
3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi
x2 1 x
2
r x2 1
x
x
4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan,
x
ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. Home
Back Hal.: 49
Integral
Next
Volume Benda Putar
Metode Cakram
V r2h
y
V (x2 + 1)2 x V
(x2
V = lim
+
1)2
(x2
+
h=x
x 1)2
r x2 1
x
x
2
V (x 2 1)2 dx
x
0
2
V (x 4 2x 2 1) dx 0
2 5 3 1 2 V x x x 5 3 0
V ( 32 16 2 0) 1311 5
3
15
Home
Back Hal.: 50
Integral
Next
Volume Benda Putar
Metode Cakram
Contoh 8. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º. y
Jawab
y x2
Langkah penyelesaian: 2
1. Gambarlah daerahnya
y
y
2. Buatlah sebuah partisi
y
3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi
x y
4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya,
r
dan nyatakan dalam bentuk
y
h=y
integral.
y x
Home
Back Hal.: 51
Integral
Next
Volume Benda Putar
Metode Cakram
V r2h
y
V (y)2 y V y y
2 r y
V = lim y y
h=y
2
V
ydy 0
y x
2
V ydy 0
V
1 2
y2
2 0
V ( 21 4 0)
V 2 Home
Back Hal.: 52
Integral
Next
Volume Benda Putar
Metode Cincin
Metode cincin yang digunakan dalam
menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume bawang bombay dengan memotong-motongnya yang potongannya berbentuk cincin.
Home
Back Hal.: 53
Integral
Next
Volume Benda Putar
Metode Cincin
Menghitung volume benda putar dengan menggunakan metode cincin dilakukan dengan memanfaatkan rumus volume cincin seperti gambar di samping, yaitu V= (R2 – r2)h Gb. 5
R h
Home
r
Back Hal.: 54
Integral
Next
Volume Benda Putar
Metode Cincin
Contoh 9.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º. Jawab
Langkah penyelesaian:
y
y
y x2
1. Gambarlah daerahnya 2. Buat sebuah partisi
y = 2x 4
x
3. Tentukan ukuran dan bentuk
partisi 4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan
x
2x x2 x
2
x
nyatakan dalam bentuk integral. Home
Back Hal.: 55
Integral
Next
Volume Benda Putar
Metode Cincin y
y x2
V (R2 – r2) h V [
(2x)2
y = 2x
– (x2)2
] x
4
x
V (4x2 – x4) x
R=2x r=x2
V (4x2 – x4) x V = lim
(4x2
–
x4)
x
2
V (4 x 2 x 4 ) dx 0
V
x
2
x
y
4 x3 1 x5 2 3 5 0
V ( 32 32 )
x
3 5 V (160 96 ) 15 V 64 15 Home Hal.: 56
Back Integral
Next
Volume Benda Putar
Metode Kulit Tabung
Metode kulit tabung yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dapat
dianalogikan seperti menentukan volume roti pada gambar disamping.
Home
Back Hal.: 57
Integral
Next
Volume Benda Putar
Metode Kulit Tabung r
r
h
h
V = 2rhΔr 2r Home
Δr Back
Hal.: 58
Integral
Next
Volume Benda Putar
Metode Kulit Tabung
Contoh 10.
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º. Jawab
Langkah penyelesaian:
y
y x2
1. Gambarlah daerahnya 2. Buatlah sebuah partisi 3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi. 4. Aproksimasi volume partisi yang
diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral.
Home
4 3
x
2 x2
1
x 0
x
1
2
Back Hal.: 59
Integral
Next
Volume Benda Putar
Metode Kulit Tabung
y
yx
y
2
4
4
3
x
3
x
r=x
2
2 x2
1
1
h = x2
x 0
x
1
x
2
1
V 2rhx
V
2(x)(x2)x
V 2x3x V = lim 2x3x Home
2
0
1
2
2
V 2 x 3 dx 0
1x V 2 4
4
2 0
V 8 Back
Hal.: 60
Integral
Next
Volume Benda Putar
Metode Kulit Tabung
Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara horisontal dan sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y, maka partisi tersebut membentuk cincin. Volume benda putar tersebut dihitung dengan metode cincin adalah sebagai berikut.
V (R2 – r2)y
y
yx
V (4 - x2)y
y
2
4
V (4 – y)y
4
3
V = lim (4 – y)y
3
4
V 4 y dx
R=2 2
2
r=x
0
y
1
V 4y
1 x
0
x
1
2
x -2
-1
0
1
2
1 2
y
2
4 0
V (16 8)
V 8 Back
Home Hal.: 61
Integral
Next
