Statistik Cukup Minimal [PDF]

Citation preview

Statistik Cukup Minimal Definisi : Suatu himpunan statistik dikatakan sebagai himpunan statistik cukup minimal jika anggota-anggotanya adalah statistik cukup gabungan untuk parameter dan jika statistik-statistik tersebut merupakan fungsi dari himpunan statistic cukup gabungan yang lain. Jika 𝑋1, 𝑋2, … … . , 𝑋𝑛 variabel random saling bebas dan berdistribusi identik dari distribusi Cauchy dengan parameter 𝜃 = ( 𝜇, 𝜎 2 ) dan fungsi kepadatan probabilitas 1



𝜎



𝑓(𝑥; 𝜇, 𝜎 2 ) = 𝜋 𝜎2 +(𝑥−𝜇)2 Untuk −∞ < 𝑥 < ∞ maka tidak ada statistic cukup yang diameternya lebih kecil dari statistic cukup (𝑋1, 𝑋2, … … . , 𝑋𝑛 )𝑡 . Jika m adalah bilangan bulat terkecil sehingga 𝑻 = (𝑇1, 𝑇2, … … . , 𝑇𝑚 )𝑡 dengan 𝑇𝑗 = 𝑇𝑗 (𝑋1, 𝑋2, … … . , 𝑋𝑛 ) untuk 𝑗 = 1,2, … . . , 𝑚 merupakan statistik cukup untuk 𝜃 = (𝜃1 , … . . , 𝜃𝑟 )𝑡 maka 𝑻 dinamakan statistik cukup minimal untuk 𝜃. Teorema : Misalkan 𝑓(𝑥; 𝜃) fungsi probabilitas dari sampel 𝑥. Misalkan terdapat fungsi 𝑇(𝑥) sehingga untuk dua 𝑓(𝑥;𝜃)



titik sampel 𝑥 dan 𝑦, ratio 𝑓(𝑦;𝜃) tidak tergantung pada 𝜃 jika dan hanya jika 𝑇(𝑥) = 𝑇(𝑦), maka 𝑇(𝑥) adalah statistik cukup minimal untuk 𝜃.



Contoh 1: Misal 𝑥1 , 𝑥2 , … … . , 𝑥𝑛 iid N(𝜎, 𝜎 2 ), 𝜎 > 0. tentukan himpunan statistik cukup minimal untuk 𝜃 =(𝜎, 𝜎 2 ). 𝑛



𝑛



𝑖=0 𝑛



−



1



1 − 2 (𝑦−𝜎)2 2𝜎



𝑖=0 𝑛



𝑓(𝑦, 𝜃) = ∏ 𝑓(𝑦𝑖 ; 𝜎 , 𝜎 2 ) = ∏(2𝜋𝜎 2 )−2 𝑒 𝑖=0



𝑖=0 𝑛



𝑛



∏𝑖=0 𝑓(𝑥𝑖 ; 𝜎 , 𝜎 2 ) 𝑓(𝑥, 𝜃) = = 𝑛 𝑓(𝑦, 𝜃) ∏𝑖=0 𝑓(𝑦𝑖 ; 𝜎 , 𝜎 2 )



1 (𝑥−𝜎)2 2𝜎2



1



𝑓(𝑥, 𝜃) = ∏ 𝑓(𝑥𝑖 ; 𝜎 , 𝜎 2 ) = ∏(2𝜋𝜎 2 )−2 𝑒



𝑖=0 𝑛



∏



1



−



1



−



(2𝜋𝜎 2 )−2 𝑒



∏



(2𝜋𝜎 2 )−2 𝑒 𝑖=0



1 (𝑥−𝜎)2 2𝜎2



1 (𝑦−𝜎)2 2𝜎2



= 𝑒



−



1 (∑(𝑥−𝜎)2 −(∑(𝑦−𝜎)2 ) 2𝜎2



1 (∑(𝑋 2 − 𝑦 2 ) − 2𝜎𝛴 (𝑥 − 𝑦))) 2𝜎 2 1 = exp(− 2 {(∑𝑥 2 − ∑𝑦 2 ) − 2𝜎𝛴 (∑𝑥 − ∑𝑦))) 2𝜎 = exp(−



𝑓(𝑥,𝜃)



Rasio 𝑓(𝑦,𝜃) ini tidak tergantung pada 𝜃 = (𝜎, 𝜎 2 ) jika ∑𝑥 2 = ∑𝑦 2 dan ∑𝑥 = ∑𝑦 Jadi 𝑇(𝑥) = (∑𝑥, ∑𝑥 2 ) merupakan statistik minimal untuk 𝜃̅ .



Contoh 2: Misal 𝑋1, 𝑋2, … … . , 𝑋𝑛 peubah acak iid berdistribusi Gamma dengan a tidak diketahui, 𝛽 diketahui. Tunjukkan 𝑇 = ∑𝑛𝑖=1 ln(𝑋𝑖 ) dan 𝑇 = ∏𝑛𝑖=1 𝑋𝑖 adalah statistik cukup bagi 𝑎. Petunjuk : pdf distribusi Gamma (dengan 𝛽 diketahui). 𝑓(𝑥, 𝑎) =



𝛽 𝛼 𝛼−1 −𝑥/𝛽 𝑥 𝑒 Ӷ(𝑎)



Fungsi kumulatif dari distribusi Gamma (dengan 𝛽 diketahui ) adalah 𝑛



𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … … . , 𝑥𝑛 |𝛼) = ∏ 𝑖=1 𝑛



𝛼−1



𝛽 𝑛𝛼 = . (∏ 𝑥𝑖 ) 𝑛 (Ӷ(𝛼)) ⏟ 𝑖=1 𝑉(∏𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖 ,𝛼)



𝛽 𝑛𝛼



𝛽 𝛼 𝛼−1 𝑥𝑖 𝑥 exp (− ) Ӷ(𝛼) 𝛽 𝑛



1 . 𝑒𝑥𝑝 (− ∑ 𝑥𝑖 ) 𝛽 ⏟



(1)



𝑖=1 𝑈(𝑥1 ,𝑥2 ,…….,𝑥𝑛 )



1



= (Ӷ(𝛼))𝑛 . 𝑒𝑥𝑝((𝛼 − 1)𝑙𝑛 ∏𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 ) . 𝑒𝑥𝑝 (− 𝛽 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 ) 𝛽 𝑛𝛼



1



= (Ӷ(𝛼))𝑛 . 𝑒𝑥𝑝((𝛼 − 1) ∑𝑛𝑖=1 𝑙𝑛 𝑥𝑖 ) . 𝑒𝑥𝑝 (− 𝛽 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 ) ⏟ ⏟ 𝑉(∑𝑛 𝑖=1 ln 𝑥𝑖 ,𝛼 )



(2)



𝑈(𝑥1 ,𝑥2 ,…….,𝑥𝑛 )



Dari (1) dan (2) dari metode faktorisasi terbukti 𝑇 = ∏𝑛𝑖=1 𝑋1 dan 𝑇 = ∑𝑛𝑖=1 ln(𝑥𝑖 ) adalah statistic cukup bagi 𝛼.