Teori Trigonometri Dan Sudut Berelasi [PDF]

Citation preview

 



4. Trigonometri  Sudut  Berelasi     a. Sudut  90! ± 𝛼     Segitiga  𝐴𝐶𝐵    siku  siku  di  𝐶  sehingga     𝐴+𝐵+𝐶 = 180! 𝛼 + 𝐵 + 90! = 180!     𝐵 = 180! − 90! − 𝛼 𝐵 = 90! − 𝛼    



  sin 90! − 𝛼   cos 90! − 𝛼   tan 90! − 𝛼       Kesimpulan      



Gambar  17   = !"



!"



= cos 𝛼    



= !"



!"



= sin 𝛼    



!"



= cot 𝛼    



= !"



sin 90! − 𝛼



= cos 𝛼  



cos 90! − 𝛼



= sin 𝛼  



tan 90! − 𝛼  



= cot 𝛼  



     



 



Segitiga  𝐴𝐶′𝐵′  adalah  segitiga  𝐴𝐵𝐶  yang  diputar  90!  berlawanan  arah   jarum  jam  sehingga  ∠𝐶𝐴𝐵! = 90! + 𝛼     Kedua  segitiga  terletak  di  dalam  lingkaran  satuan  𝑟 = 1    



        Gambar  18           Gambar  19       𝐵 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠, 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (𝑏, 𝑎)         𝐵′ 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠, 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (−𝑎, 𝑏)         cos 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = 𝑏           sin 90! + 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = 𝑏     sin 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = 𝑎           cos 90! + 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = −𝑎     !"#$# ! !"#$%&' ! cot 𝛼 = !"#$%&' = !           tan 90! + 𝛼 = !"#$# = !!       Kesimpulan     sin 90! + 𝛼 = cos 𝛼           cos 90! + 𝛼 = − sin 𝛼       tan 90! + 𝛼 = − cot 𝛼          



 



b. Sudut  180! ± 𝛼     Segitiga  𝐴𝐶′𝐵′  adalah  segitiga  𝐴𝐵𝐶  yang  dicerminkan  terhadap  sumbu  Y   sehingga  ∠𝐶𝐴𝐵! = 180! − 𝛼     Kedua  segitiga  terletak  di  dalam  lingkaran  satuan  𝑟 = 1    



      Gambar  20           Gambar  21       𝐵 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠, 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (𝑏, 𝑎)         𝐵′ 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠, 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (−𝑏, 𝑎)         sin 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = 𝑎           sin 180! − 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = 𝑎     cos 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = 𝑏           cos 180! − 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = −𝑏     !"#$%&' ! !"#$%&' !! tan 𝛼 = !"#$# = !           tan 180! − 𝛼 = !"#$# = !       Kesimpulan       sin 180! − 𝛼 = sin 𝛼           cos 180! − 𝛼 = − cos 𝛼       tan 180! − 𝛼 = − tan 𝛼  



 



Segitiga  𝐴𝐶′𝐵′  adalah  segitiga  𝐴𝐵𝐶  yang  diputar  180!  berlawanan  arah   jarum  jam  sehingga  ∠𝐶𝐴𝐵! = 180! + 𝛼     Kedua  segitiga  terletak  di  dalam  lingkaran  satuan  𝑟 = 1        



      Gambar  22           Gambar  23         𝐵 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠, 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (𝑏, 𝑎)         𝐵′ 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠, 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (−𝑏, −𝑎)       sin 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = 𝑎           sin 180! + 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = −𝑎     cos 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = 𝑏           cos 180! + 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = −𝑏     !"#$%&' ! !"#$%&' !! tan 𝛼 = !"#$# = !           tan 180! + 𝛼 = !!"#" = !!       Kesimpulan       sin 180! + 𝛼 = − sin 𝛼           cos 180! + 𝛼 = − cos 𝛼       tan 180! + 𝛼 = tan 𝛼        



 



c. Sudut  270! ± 𝛼     Segitiga  𝐴𝐶′𝐵′  adalah  segitiga  𝐴𝐵𝐶  yang  diputar  90!  searah  jarum  jam   kemudian  dicerminkan  terhadap  sumbu  Y  sehingga  ∠𝐶𝐴𝐵! = 270! − 𝛼     Kedua  segitiga  terletak  di  dalam  lingkaran  satuan  𝑟 = 1      



        Gambar  24           Gambar  25       𝐵 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠, 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (𝑏, 𝑎)         𝐵′ 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠, 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (−𝑎, −𝑏)         cos 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = 𝑏           sin 270! − 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = −𝑏     sin 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = 𝑎           cos 270! − 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = −𝑎     !"#$# ! !"#$%&' !! cot 𝛼 = !"#$%&' = !           tan 270! − 𝛼 = !"#$# = !!       Kesimpulan     sin 270! − 𝛼 = − cos 𝛼           cos 270! − 𝛼 = − sin 𝛼       tan 270! − 𝛼 = cot 𝛼  



 



Segitiga  𝐴𝐶′𝐵′  adalah  segitiga  𝐴𝐵𝐶  yang  diputar  90!  searah  jarum  jam   kemudian  dicerminkan  terhadap  sumbu  Y  sehingga  ∠𝐶𝐴𝐵! = 270! + 𝛼     Kedua  segitiga  terletak  di  dalam  lingkaran  satuan  𝑟 = 1      



        Gambar  26           Gambar  27       𝐵 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠, 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (𝑏, 𝑎)         𝐵′ 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠, 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (𝑎, −𝑏)         cos 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = 𝑏           sin 270! + 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = −𝑏     sin 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = 𝑎           cos 270! + 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = 𝑎     !"#$# ! !"#$%&' !! cot 𝛼 = !"#$%&' = !           tan 270! + 𝛼 = !"#$# = !       Kesimpulan     sin 270! + 𝛼 = − cos 𝛼           cos 270! + 𝛼 = sin 𝛼       tan 270! + 𝛼 = − cot 𝛼      



 



d. Sudut  360! − 𝛼    atau    Sudut  – 𝛼     Segitiga  𝐴𝐶′𝐵′  adalah  segitiga  𝐴𝐵𝐶  dicerminkan  terhadap  sumbu  X   sehingga  ∠𝐶𝐴𝐵! = 360! − 𝛼     Kedua  segitiga  terletak  di  dalam  lingkaran  satuan  𝑟 = 1    



        Gambar  28           Gambar  29       𝐵 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠, 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (𝑏, 𝑎)         𝐵′ 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠, 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = (𝑏, −𝑎)         sin 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = 𝑎           sin 360! − 𝛼 = 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 = −𝑎     cos 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = 𝑏           cos 360! − 𝛼 = 𝐴𝑏𝑠𝑖𝑠 = 𝑏     !"#$%&' ! !"#$%&' ! tan 𝛼 = !"#$# = !           tan 360! − 𝛼 = !"#$# = !!       Kesimpulan       sin 360! − 𝛼 = − sin 𝛼           cos 360! − 𝛼 = cos 𝛼       tan 360! − 𝛼 = − tan 𝛼       Untuk  sudut  – 𝛼    sama  dengan  sudut  360! − 𝛼