3 0 198 KB
Tugas Rutin Pertemuan 9 Nama
: Cyonita Evi Debora
NIM
: 4202411014
Kelas
: PSPM 2020 A
Mata Kuliah
: Teori Peluang
Dosen Pengampu
: Prof. Dr. Pargaulan Siagian, M.Pd.
1. Pemahaman uraian di atas akan diperjelas pada contoh yang berikut ini: 𝑘𝑥 ; untuk 0 ≤ 𝑥 < 1 𝑘 ; untuk 1 ≤ 𝑥 < 2 g(x) = {−𝑘𝑥 + 3𝑘 ; untuk 2 ≤ x < 3 0; untuk 𝑥 yang lainnya a. Hitunglah nilai k. b. Gambarkanlah grafik dari g(x). Jawab : ∞
a. ∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1 0
1
3
2
∞
∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 1 −∞
0
0
1
1
2
2 3
3 ∞
∫ 0 𝑑𝑥 + ∫ 𝑘𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑘 𝑑𝑥 + ∫ −𝑘𝑥 + 3𝑘 𝑑𝑥 + ∫ 0 𝑑𝑥 = 1 −∞
0
1
2
1
3 2
𝑘𝑥 2 −𝑘𝑥 2 2 0+ ] + 𝑘𝑥]1 + ( + 3𝑘𝑥)] + 0 = 1 2 0 2 3 1 5 𝑘 + 𝑘 − 𝑘 + 3𝑘 = 1 2 2 2𝑘 = 1 𝑘=
1 2 𝟏
Jadi, nilai k adalah 𝟐 Jadi, fungsi densitas dari bentuk X :
1 2 1
x; untuk 0 ≤ 𝑥 < 1
2 1
g(x) =
; untuk 1 ≤ 𝑥 < 2 3
− 2 + 2 ; untuk 2 ≤ x < 3 { 0; untuk 𝑥 yang lainnya b. Gambar grafik dari fungsi g(x)
2. Formula fungsi distribusi variabel random X adalah: 0; untuk 𝑥 < 0 𝑥 2 ; untuk 0 ≤ 𝑥 < 1 2 1
F(x) =
1 2
{
(𝑥 − 2)2 ; untuk 1 ≤ x ≤ 2 1; untuk 𝑥 > 2
Tentukanlah fungsi kerapatan probablitas dengan mendeferensialkan F(x), dan hitunglah 1
𝐹 (2) , 𝐹(2), dan 𝐹 (3) Jawab : Kerapatan probabilitas dicari dengan mendeferensialkan F(x). •
Untuk 𝑥 < 0, F(x) = 0, 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) =
•
𝑑𝑥
𝑑𝑥
=0 1
Untuk 0 x , 𝐹(𝑥) = 2 𝑥 2 , 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) =
•
𝑑𝐹(𝑥)
𝑑𝐹(𝑥)
𝑑𝐹(𝑥) 𝑑𝑥
=
1 2
𝑑 𝑥2 𝑑𝑥
𝑑𝐹(𝑥) 𝑑𝑥
=𝑥
1
Untuk 1 x ≤ , 𝐹(𝑥) = 2 (𝑥 − 2)2 + 1 , 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) =
𝑑𝐹(𝑥) 𝑑𝑥
=
1 2
𝑑 (𝑥−2)2 +1 𝑑𝑥
=𝑥−2
𝑑𝐹(𝑥) 𝑑𝑥
•
Untuk x , 𝐹(𝑥) = 1 , 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) =
𝑑𝐹(𝑥) 𝑑𝑥
𝑑𝐹(𝑥) 𝑑𝑥
𝑑1
= 𝑑𝑥 = 0
Jadi, fungsi densitasnya adalah 0; untuk 𝑥 < 0 x; untuk 0 ≤ 𝑥 < 1 f(x) = { − ; 2 x untuk 1 ≤ x ≤ 2 0; untuk 𝑥 > 2 Maka nilai dari : 1
1
𝐹 (2) = 2 𝑥 2 = 𝐹(2) =
1 2
1 1 1 ( ) (2) 2 2
1
1
= 8 , karena 𝐹(𝑥) = 2 𝑥 2 , untuk 0 x
1
1
(𝑥 − 2)2 = 2 (2−2)2 = 0, karena 𝐹(𝑥) = 2 (𝑥 − 2)2, untuk 1 x
𝐹(3) = 1, karena 𝐹(𝑥) = 1, untuk x
−2𝑥 Bila fungsi densiti (kerapatan) adalah f(x) ={2𝑒 , untuk 𝑥 ≥ 0 0, untuk 𝑥 yang lain
Tentukanlah fungsi distribusi F(x), dan hitunglah F(0), F(1), F(2), dan F(7). Jawab : •
Untuk x < , 𝑓(𝑥) = 0 𝑥
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∫ 0 𝑑𝑡 = 0 −∞ 𝑥
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥 < 0) = ∫ 0 𝑑𝑡 = 0 −∞
•
Untuk x ≥ , 𝑓(𝑥) = 2𝑒 −2𝑥 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥 < 0) + 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥) 𝑥 −2𝑡 = 0 + ∫0 2𝑒 𝑑𝑡 1
= 2(− 2 𝑒 −2𝑡 )] = −𝑒 −2𝑡 ]0𝑥 = −𝑒 −2𝑥 + 1 = 1 − 𝑒 −2𝑥
𝑥 0
Penyajian untuk F(x) adalah F(x) ={
1 − 𝑒 −2𝑥 , untuk 𝑥 ≥ 0 0, untuk 𝑥 yang lain
Maka nilai dari : 1
𝐹(0) = 1 − 𝑒
−2𝑥
= 1 − (2,7183)0 = 0, karena 𝐹(𝑥) = 1 − 𝑒 −2𝑥 , untuk x ≥ 0
𝐹(1) = 1 − 𝑒
−2𝑥
= 1 − (2,7183)2 = 0,8647; karena 𝐹(𝑥) = 1 − 𝑒 −2𝑥 , untuk 𝑥 ≥ 0
𝐹(2) = 1 − 𝑒
−2𝑥
= 1 − (2,7183)4 = 0,9817; karena 𝐹(𝑥) = 1 − 𝑒 −2𝑥 , untuk x ≥ 0
𝐹(7) = 1 − 𝑒
−2𝑥
= 1 − (2,7183)14 = 0,9999; karena 𝐹(𝑥) = 1 − 𝑒 −2𝑥 , untuk x ≥ 0
1
1
1
Misalnya fungsi distribusi dari perubah acak x berbentuk : 0, untuk 𝑥 ≤ 0 F(x) = {𝑥 , untuk 0 < 𝑥 ≤ 1 1, untuk 𝑥 > 1 2
Tentukan fungsi densitasnya. Jawab : Kerapatan probabilitas dicari dengan mendeferensialkan F(x). •
Untuk 𝑥 ≤ 0, F(x) = 0, 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) =
•
𝑑𝑥
𝑑𝑥
=0
Untuk 0 x ≤ , 𝐹(𝑥) = 𝑥 2 , 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) =
•
𝑑𝐹(𝑥)
𝑑𝐹(𝑥)
𝑑𝐹(𝑥) 𝑑𝑥
=
𝑑𝑥 2 𝑑𝑥
= 2𝑥
Untuk x , 𝐹(𝑥) = 1 , 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) =
𝑑𝐹(𝑥) 𝑑𝑥
𝑑1
= 𝑑𝑥 = 0
Jadi, fungsi densitasnya adalah 0, untuk 𝑥 ≤ 0 2𝑥 f(x) = { , untuk 0 < 𝑥 ≤ 1 0, untuk 𝑥 > 1
𝑑𝐹(𝑥)
𝑑𝐹(𝑥) 𝑑𝑥
𝑑𝑥
0, untuk 𝑥 < 0 2 3 5. Buatlah grafik fungsi distribusi kumulatif : F(x) = {4 𝑥 − 4 𝑥 , untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 1, untuk 𝑥 > 2 3
1
Jawab :
1
1
Tentukanlah 𝐹 ( ) , 𝐹 (− ) , dan 𝐹(2), bila f(x) ={ 2 2
1 − 𝑒 −𝑥 , untuk 𝑥 > 0 0, untuk 𝑥 yang lain
Jawab : •
Untuk x ≤ , 𝑓(𝑥) = 0 𝑥
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥 ≤ 0) = ∫ 0 𝑑𝑡 = 0 −∞
•
Untuk x > , 𝑓(𝑥) = 1 − 𝑒 −𝑥 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥 ≤ 0) + 𝑃(0 < 𝑋 < 𝑥) 𝑥 −𝑡 = 0 + ∫0 1 − 𝑒 𝑑𝑡 1
= (𝑥 + 𝑒 𝑡 )]
𝑥 0
1
1
= (𝑥 + 𝑒 𝑥 ) − (0 + 𝑒 0 ) 1
= 𝑥 + 𝑒𝑥 − 1 =
𝑥𝑒 𝑥 + 1 − 𝑒 𝑥 𝑒𝑥 𝑥𝑒 𝑥 +1−𝑒 𝑥
Penyajian untuk F(x) adalah F(x) ={
𝑒𝑥
, untuk 𝑥 > 0
0, untuk 𝑥 yang lain
Maka nilai dari : 1
𝐹 (2) =
1/2𝑒 1/2 +1−𝑒 1/2 𝑒 1/2
= 0,1065; karena 𝐹(𝑥) = 𝑥𝑒
𝑥 +1−𝑒 𝑥
𝑒𝑥
, untuk 𝑥 > 0
1
𝐹 (− 2) = 0; karena 𝐹(𝑥) = 0 untuk x ≤ 0 2𝑒 2 +1−𝑒 2
𝐹(2) =
= 1,1353; karena 𝐹(𝑥) = 𝑥𝑒
𝑒2
𝑥 +1−𝑒 𝑥
𝑒𝑥
, untuk x > 0
Tentukanlah F(x), dan F(10) , bila 10
f(x) ={
𝑥2
, untuk 𝑥 > 10
0, untuk 𝑥 yang lain
Jawab : •
Untuk x ≤ , 𝑓(𝑥) = 0 𝑥
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥 ≤ 10) = ∫ 0 𝑑𝑡 = 0 −∞
•
10
Untuk x > , 𝑓(𝑥) = 𝑥 2
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥 ≤ 10) + 𝑃(0 < 𝑋 < 𝑥) 𝑥 10
= 0 + ∫10 𝑡 2 𝑑𝑡 =
−10 𝑥
=( = =
]
𝑡
10
−10 𝑥
−10 𝑥
−10
) − ( 10 )
+1
𝑥 − 10 𝑥 𝑥−10
Penyajian untuk F(x) adalah F(x) ={
𝑥
, untuk 𝑥 > 10
0, untuk 𝑥 yang lain
Maka nilai dari : 𝐹(10) = 0; karena 𝐹(𝑥) = 0, untuk 𝑥 ≤ 10
8. f(x) kerapatan probabilitas variabel random kontinu X. Tentukan F(x) dan F(a), F(b), serta F(c) jika ; 1
𝑥, untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 a. f(x) ={2 0, untuk 𝑥 yang lain 1 , 2 Jawab : 𝑎=
•
𝑏 = 2,
𝑐=3
Untuk x < , 𝑓(𝑥) = 0 𝑥
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥 ≤ 0) = ∫ 0 𝑑𝑡 = 0 −∞
•
1
Untuk 0 ≤ x ≤ , 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥 < 0) + 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥) 𝑥1
= 0 + ∫0 2 𝑡 𝑑𝑡 1
= 4 𝑡2]
𝑥 0
1
1
= (4 𝑥 2 ) − 0 = 4 𝑥 2 •
Untuk x > , 𝑓(𝑥) = 0 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥 < 0) + 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 2) + 𝑃(2 < 𝑋 < 𝑥) 21
𝑥
= 0 + ∫0 2 𝑡 𝑑𝑡 + ∫2 0 𝑑𝑡 1
= 4 𝑡2]
2 0
1
4
= (4 (2)2 ) − 0 = 4 = 1 0, untuk 𝑥 < 0 1 Penyajian untuk F(x) adalah F(x) ={4 𝑥 2 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 1, untuk 𝑥 > 2 Maka nilai dari : 1
1 𝐹 (2) = 𝑥 2 = 4
1 1
1
1
1
( ) (2) = 16 ; karena 𝐹(𝑥) = 4 𝑥 2 , untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 4 2
1 1 1 𝐹(2) = 𝑥 2 = (2)(2) = 1; karena 𝐹(𝑥) = 𝑥 2 , untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 4 4 4 𝐹(3) = 1 = ; karena 𝐹(𝑥) = 1, untuk 𝑥 > 2
b. f(x) ={
2𝑒 −2𝑥 , untuk 𝑥 ≥ 0 0, untuk 𝑥 yang lain
𝑎 = 0,
𝑏 = 1,
𝑐=2
Jawab : •
Untuk x < , 𝑓(𝑥) = 0 𝑥
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥 < 0) = ∫ 0 𝑑𝑡 = 0 −∞
•
Untuk x ≥ , 𝑓(𝑥) = 2𝑒 −2𝑥 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥 < 0) + 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥) 𝑥 −2𝑡 = 0 + ∫0 2𝑒 𝑑𝑡 1
𝑥
= 2(− 2 𝑒 −2𝑡 )] = −𝑒 −2𝑡 ]0𝑥 0
= −𝑒 −2𝑥 + 1 = 1 − 𝑒 −2𝑥 Penyajian untuk F(x) adalah F(x) ={
1 − 𝑒 −2𝑥 , untuk 𝑥 ≥ 0 0, untuk 𝑥 yang lain
Maka nilai dari : 1
𝐹(0) = 1 − 𝑒
−2𝑥
= 1 − (2,7183)0 = 0, karena 𝐹(𝑥) = 1 − 𝑒 −2𝑥 , untuk x ≥ 0
𝐹(1) = 1 − 𝑒
−2𝑥
= 1 − (2,7183)2 = 0,8647; karena 𝐹(𝑥) = 1 − 𝑒 −2𝑥 , untuk 𝑥 ≥ 0
−2𝑥
= 1 − (2,7183)4 = 0,9817; karena 𝐹(𝑥) = 1 − 𝑒 −2𝑥 , untuk x ≥ 0
𝐹(2) = 1 − 𝑒
1
1
1
, untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 8 c. f(x) ={ 8 0, untuk 𝑥 yang lain 𝑎 = −2,
𝑏 = 4,
𝑐=9
Jawab : •
Untuk x < , 𝑓(𝑥) = 0 𝑥
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥 ≤ 0) = ∫ 0 𝑑𝑡 = 0 −∞
•
1
Untuk 0 ≤ x ≤ , 𝑓(𝑥) = 8 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥 < 0) + 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥) 𝑥1
= 0 + ∫0 1
= 8 𝑡]
8
𝑑𝑡
𝑥 0
1
1
= (8 𝑥) − 0 = 8 𝑥 •
Untuk x > , 𝑓(𝑥) = 0 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥 < 0) + 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 8) + 𝑃(8 < 𝑋 < 𝑥) 81
= 0 + ∫0 1
= 8 𝑡]
8
𝑥
𝑑𝑡 + ∫8 0 𝑑𝑡
8 0
1
8
= (8 (8)) − 0 = 8 = 1 0, untuk 𝑥 < 0 1 Penyajian untuk F(x) adalah F(x) ={ 8 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 8 1, untuk 𝑥 > 8 Maka nilai dari : 𝐹(−2) = 0; karena 𝐹(𝑥) = 0, untuk 𝑥 < 0 1 1 1 1 𝐹(4) = 𝑥 = (4) = ; karena 𝐹(𝑥) = 𝑥, untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 8 8 8 2 8 𝐹(9) = 1 = ; karena 𝐹(𝑥) = 1, untuk 𝑥 > 8
6
d. f(x) ={
𝑥2
, untuk 𝑥 > 0
0, untuk 𝑥 yang lain
𝑎 = 0,
𝑏 = 4,
𝑐=7
Jawab : •
Untuk x ≤ 0, 𝑓(𝑥) = 0 𝑥
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥 < 0) = ∫ 0 𝑑𝑡 = 0 −∞
•
6
Untuk x > , 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥 ≤ 0) + 𝑃(0 < 𝑋 < 𝑥) 𝑥 6
= 0 + ∫0
𝑡2
𝑑𝑡
6 𝑥
= − 𝑡] −6
0 −10
=(𝑥)−(
0
6
) = −𝑥
6
Penyajian untuk F(x) adalah F(x) ={
− 𝑥 , untuk 𝑥 > 0 0, untuk 𝑥 yang lain
Maka nilai dari : 𝐹(0) = 0; karena 𝐹(𝑥) = 0, untuk 𝑥 ≤ 0 𝐹(4) = −
6 6 3 6 = − = − ; karena 𝐹(𝑥) = − , untuk 𝑥 > 0 𝑥 4 2 𝑥
𝐹(7) = −
6 6 6 = − ; karena 𝐹(𝑥) = − , untuk 𝑥 > 0 𝑥 7 𝑥