17 0 308 KB
Soal Linear Programming Metode Grafik Minimisasi : 1) Seorang petani sedang membeli pupuk yang mengandung tiga nutrien A, B, dan C. Kebutuhan minimum adalah 160 satuan A, 200 satuan B, dan 80 satuan C. Ada dua pupuk terkenal yang tersedia di pasar. Tumbuh Cepat, harga Rp 4.000,00 per kantong; mengandung tiga satuan A, lima satuan B, dan satu satuan C. Tumbuh Mudah, harga Rp 3.000,00 per kantong, mengandung 2 satuan tiap nutrien. Jika petani ingin meminimalkan biaya dan kebutuhan nutrien tetap terjaga, maka berapa banyak kantong dari tiap merk yang harus dibeli ? Pembahasan :
Variabel
x1 = Tumbuh Cepat x2 = Tumbuh Mudah
Kendala
3×1 + 2×2 ≥ 160 5×1 + 2×2 ≥ 200 1×1 + 2×2 ≥ 80
Fungsi Tujuan
Zmin = 4000×1 + 3000×2
Penyelesaian : Membuat Grafik
3×1 + 2×2 ≥ 160
3×1 = 0 ; 2×2 = 160/2 | x2 = 80 2×2 = 0 ; 3×1 = 160/3 | x1 = 53,3
5×1 + 2×2 ≥ 200
5×1 = 0 ; 2×2 = 200/2 | x2 = 100 2×2 = 0 ; 5×1 = 200/5 | x1 = 40
1×1 + 2×2 ≥ 80
1×1 = 0 ; 2×2 = 80/2 | x2 = 40 2×2 = 0 ; 1×1 = 80/1 | x1 = 80
Gambar Grafik
Penyelesaian titik :
Titik A
x1 = 80 x2 = 0 Memasukan Nilai x1 dan x2 ke Zmin Zmin = 4000×1 + 3000×2 Zmin = 4000 * 80 + 3000 * 0 Zmin = 320000 + 0 Zmin = 320000 Maka, titik A adalah Rp320.000,00
Titik B
( Pertemuan garis 3×1 + 2×2 ≥ 160 dan 1×1 + 2×2 ≥ 80 ) Maka garis 3×1 + 2×2 = 160 – garis 1×1 + 2×2 = 80 (Kedua garis dikurang) = =====> 2×1 = 80 | x1 = 80/2 | x1 = 40 garis 1×1 + 2×2 = 80 | 40 + 2×2 = 80 – 40 | 2×2 = 40 | x2 = 40/2 | x2 = 20 x1 = 40 x2 = 20 Memasukan Nilai x1 dan x2 ke Zmin Zmin = 4000×1 + 3000×2 Zmin = 4000 * 40 + 3000 * 20 Zmin = 160000 + 60000 Zmin = 220000 Maka, titik B adalah Rp220.000,00
Titik C
( Pertemuan garis 5×1 + 2×2 ≥ 200 dan 3×1 + 2×2 ≥ 160 ) Maka garis 5×1 + 2×2 = 200 – garis 3×1 + 2×2 = 160 (Kedua garis dikurang ) =====> 2×1 = 40 | x1 = 40/2 | x1 = 20 garis 3×1 + 2×2 = 160 | 3*20+ 2×2 = 160 | 60 + 2×2 = 160 – 60 | 2×2 = 100 | x2 = 100/2 | x2 = 50 x1 = 20 x2 = 50
Memasukan Nilai x1 dan x2 ke Zmin Zmin = 4000×1 + 3000×2 Zmin = 4000 * 20 + 3000 * 50 Zmin = 80000 + 150000 Zmin = 230000 Maka, titik C adalah Rp230.000,00
Titik D
x1 = 0 x2 = 100 Memasukan Nilai x1 dan x2 ke Zmin Zmin = 4000×1 + 3000×2 Zmin = 4000 * 0 + 3000 * 100 Zmin = 0 + 300000 Zmin = 300000 Maka, titik D adalah Rp300.000,00 Dari hasil perhitungan di atas tampak bahwa titik minimum adalah titik B yaitu x1 = 40, x2 = 20 dengan biaya pembelian pupuk minimum adalah Rp 220.000,00. Adapun penyelesaian dengan aplikasi QM for Windows berikut ini :
2)
Soal Linear Programming Metode Grafik Maksimisasi : 1) Di Toko Anugerah, seorang karyawati menyediakan jasa membungkus kado. Sebuah kado jenis A membutuhkan 3 lembar kertas pembungkus dan 1 meter pita, sebuah kado jenis B membutuhkan 2 lembar kertas pembungkus dan 2 meter pita. Tersedia kertas pembungkus 60 lembar dan pita 40 meter. Jika upah untuk membungkus kado jenis A Rp. 3.500/buah dan kado jenis B seharga Rp. 3.000/buah. Berapa upah maksimum yang dapat diperoleh karyawati?
Kado
Jenis A
Jenis B
Max penyedia
Kertas
3
2
60
Pita
1
2
40
Variabel
X1 = Jenis A
X2 = Jenis B
Kendala
3X1+2X2 C (kertas)
X1+2X2 ≤ 40 (pita)
Fungsi tujuan
Zmax = 3.500.X1 + 3.000.X2
Penyelesaian : Membuat grafik
3X1 + 2X2 ≤ 60
X1=0 ,X2=60/2=30 X2=0 ,X1=60/3=20
X1 + 2X2 ≤ 40
X1=0 ,X2=40/2=20 X2=0 ,X1=40 Gambar Grafik
Zmax=3.500X1 + 3.000X2
Titik A (X1=0 ,X2=0) Zmax=3500.0 + 3000.0=0
Titik B (X1=20, X2=0) Zmax=3.500.20 + 3000.0=70.000
Titik C
3X1+2X2=60 X1+2X2=40 2X1=20 X1≤20/2=10 3X1+2X2=60 3.10+2X2=60 30+2X2=60 2X2=60-30=30 X2=30/2=15
Zmax=3.500.10+3.000.15 35.000+45.000=80.000
Titik D (X1=0, X2=20) Zmax=3.500.0+3000.20=60.000 Dari grafik yang dihasilkan, terlihat bahwa titik maksimum berada dititik koordinat
(10,15) yang berarti karyawati akan memperoleh upah maksimum sebesar Rp. 80.000 jika melakukan jasa membungkus 10 kado Jenis A dan 15 kado Jenis B. Adapun penyelesaian dengan aplikasi QM for Windows berikut ini :
2) PT Maju Mundur menghasilkan 2 macam barang. Setiap unit barang I memerlukan bahan baku A = 2 kg dan bahan baku B = 2 kg. Setiap unit II memerlukan bahan baku A= 1 kg dan B= 3 kg. Jumlah bahan baku A yang disediakan perusahaan 6000 kg dan bahan baku B = 9000 kg. Sumbangan terhadap laba untuk produk I adalah Rp 3000,- dan setiap unit produk II adalah Rp 4000,-. Tentukan Keuntungan Maksimum ? Penyelesaian :
2X1 +X2 6000 2X1 + 3X2 9000 X1 0 , X2 0 Z = 3000 X1 + 4000 X2
Koordinat titik pojok A(3000,0), B( 2250,1500 ), C(0,3000) Titik B : 2X1 + X2 = 6000 2X1 + 3X2= 9000 – -2X2=-3000 X2 = 1500 2X1 + 1500= 6000 2X1 = 6000 – 1500 = 4500 X1 = 2250 Titik Pojok A(3000,0) B(2250,1500) C(0,3000)
Z = 3000 X1 + 4000 X2 9.000.000 6.750.000+6.000.000=12.750.000 12.000.000
Produk pertama dihasilkan 2250 unit Produk kedua dihasilkan 1500 unit Dan Keuntungan maksimum adalah Rp 12.750.000,Adapun penyelesaian dengan aplikasi QM for Windows berikut ini :
Soal Linear Programming Metode Simpleks Maksimisasi : 1) Maksimum z = 8 X1 + 9 X2+ 4 X3 Fungsi Kendala : X1+ X2 + 2 X3 ≤ 2 2 X1 + 3 X2 + 4 X3 ≤ 3 7 X1+ 6 X2 + 2 X3≤ 8 X1, X2, X3 ≥ 0
Penyelesaian : Untuk menyelesaikan masalah di atas dilakukan langkah-langkah dibawah ini : 1. Mengubah fungsi tujuan z = 8 X1 + 9 X2+ 4 X3+ 0S1 + 0S2 + 0S3 atau z - 8 X1 - 9 X2 - 4 X3 - 0S1 - 0S2 - 0S3 = 0 2. Mengubah fungsi batasan X1+ X2 + 2 X3 + S1 = 2 2X1 + 3 X2 + 4 X3 + S2 = 3 7X1+ 6 X2 + 2 X3 + S3 = 8 X1, X2, X3, S1, S2, S3 ≥ 0 3. Masukkan setiap koefisien variabel ke dalam tabel simpleks. Sehingga :
4. Pada contoh di atas nilai negatif yang tebesar adalah -9 pada kolom X2 jadi, kolom X2 adalah kolom kunci/Pivot, sehingga :
5. Menentukan Baris Kunci/Pivot Baris kunci diketahui dari nilai indeks (Rasio) yang terkecil. Rasio = NK/Kolom Pivot
Jadi nilai rasio terkecil adalah 1 (selain Z), sehingga baris kuncinya / baris pivot ada pada S2. 6. Mencari angka Kunci/ Elemen Pivot
Angka kunci diperoleh dari perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci. Jadi angka kunci diperoleh adalah 3.
7. Membuat Baris Baru Kunci (BBK) Karena nilai kunci berada pada kolom X2, maka baris S2 kita ubah namanya menjadi X2, dan nilainilai pada baris S2 kita ubah pula dengan cara membagi nilai baris dengan angka kunci. Maka kita mendapat nilai baris kunci yang baru (baris x1) :
8. Mencari baris baru selain baris kunci/pivot. Baris baru : baris lama – (angka kolom kunci X nilai baru baris kunci) Baris Z : -8 -9 -4 0 0 0 0 -9 ( 2/3 1 4/3 0 1/3 0 1 ) -2 0 8 0 3 0 9 Baris S1 : 1 1 2 1 0 0 2 1 ( 2/3 1 4/3 0 1/3 0 1 ) 1/3 0 2/3 1 -1/3 0 1
Baris S3: 7 6 2 0 0 1 8 6 ( 2/3 1 4/3 0 1/3 0 1 ) 3 0 -6 0 -2 1 2 9. Masukkan nilai-nilai tersebut ke dalam tabel simpleks yang baru (iterasi 1)
10. Perhatikan kembali tabel di atas, bila pada baris Z masih ada variabel yang bernilai negatif, maka fungsi tujuan belum maksimal. Sehingga untuk menghilangkan nilai negatif kita ulangi lagi langkahlangkah sebelumnya. Ini kita lakukan terus-menerus hingga tiada variabel Z yang negatif.
Variabel masuk dengan demikian adalah X1, variabel keluar adalah S3 serta elemen pivot yaitu 3 . Hasil perhitungan iterasi ke 2 adalah sebagai berikut :
Tabel sudah optimal, sehingga perhitungan iterasi dihentikan ! Sehingga dapat kita simpulkan bahwa untuk memperoleh hasil maksimum, S1 = 2/3 X2= 7/9 S3 = 5/9 Z = 31/3
Soal Linear Programming Metode Simpleks Minimisasi : 2) Perusahaan Maju Terus merencanakan untuk menginvestasikan uang paling banyak $ 1.200.000.uang ini akan ditanamkan pada 2 buah cabang usaha yaitu P dan Q. setiap unit P memerlukanuang sebesar $50 dan dapat memberikan rate of return per unitnya per tahun sebesar 10%sedangkan untuk setiap unit Q memerlukan uang sebesar $100, namun memberikan rate of returnper unit per tahunnya sebesar 4%. Perusahaan tersebut telah mempertimbangkan bahwa targetrate of return dari kedua usaha tersebut paling sedikit adalah $60.000 per tahunnya.Kemudian hasil analisis perusahaan memperoleh data bahwa setiap unit P dan Q mempunyai index risiko masing-masing 8 dan 3. Padahal perusahana ini tidak mau menanggung resiko yangterlalu besar. Kebijakan lainnya yang diinginkan oleh pemimpin khususnya
untuk
cabang
usahaP
ditargetkan
paling
sedikit
jumlah
investasinya
adalah
$3.0000.Bagaimana penyelesaian persoalan diatas apabila perusahaan bermaksud untuk tetap melakukaninvestasi tetapi dengan menekan atau meminimasi resiko sekecil mungkin. Berapa unit masing-masing usaha dapat diinvestasikan ?
Penyelesaian: Fungsi Tujuan : z = 8x + 3y Fungsi Pembatas : 50x + 100y ≤ 1.200.000 50x ≥ 3.000 5x + 4y ≥ 60.000 Bentuk baku diperoleh dengan menambahkan
variabel
slack pada kendala pertama,
mengurangkan variabel surplus pada kendala kedua. Sehingga diperoleh : Minimumkan : Z = 8x + 3y + 0S1 + 0S2 + 0S3 +MA1 + MA2 50x + 100y + S1 = 1.200.000 50x - S2 + A1 = 3.000 5x + 4y – S3 + A2 = 60.000
Tabel Simpleks Awal
Basi
S1
S2
S3
A1
NK
A2
Rasio
X1
X2
Z
55M-8
4M-3
0
-M
-M
0
0
63.000M
S1
50
100
1
0
0
0
0
1.200.000 1.200.000:50=24.0
s
00 A1
50
0
0
-1
0
1
0
3.000
3.000:50 = 60
A2
5
4
0
0
-1
0
1
60.000
60.000 : 5 = 12.000
Iterasi Pertama
X1
Basis
X2
S1
S2
S3
A1
A2
NK
Z
0
4M-3
0
0,1M-0,16
0
-1,1M+0,16
0
59.700M+480
S1
0
100
1
1
0
-1
0
1.197.000
Rasio
11.970
X1
1
0
0
-0,02
0
0,02
0
60
A2
0
4
0
0,1
-1
-0,1
1
5700
1.425
Iterasi Kedua
X1
Basis
X2
S1
S2
S3
A1
A2
NK
Z
0
0
0
-0,085
M-0,75
-M+0,085
-M+0,75
54.000M+4755
S1
0
0
1
-1,5
25
1,5
-25
1.054.500
X1
1
0
0
-0.02
0
0.02
0
60
X2
0
1
0
0,025
-0,25
-0,025
0,25
1425
Iterasi
kedua adalah optimal karena
koefisien
pada
persamaan Z
semuanya non positif, dengan X1= 60, X2 = 1425 dan Z = 54.000M+4755